Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με Λύνουμε την εξίσωση. Το πρόσημο της φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί.. Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση ίσο με, και γνησίως αύξουσα στο,. και B. Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με Λύνουμε την εξίσωση,. ή ή Το πρόσημο της φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί Σελίδα από 6

2 Επομένως η είναι κυρτή στο διάστημα διάστημα,,. Τα σημεία καμπής της συνάρτησης είναι τα, κοίλη στο διάστημα,, 4 και B. Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής και ορισμένη στο, δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Θα μελετήσουμε αν η έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Είναι lim() lim lim Είναι lim() lim lim B4. Φτιάχνουμε τον πίνακα μεταβολών της και στο, 4. Επομένως η έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την y.. Επομένως η έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την y.. Με βάση τις απαντήσεις στα ερωτήματα B,B,B η γραφική παράσταση της είναι Σελίδα από 6

3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση με,. e. Η είναι παραγωγίσιμη στο με e e Λύνουμε την εξίσωση ή e. Είναι για κάθε οπότε e e e Άρα τo πρόσημο της εξαρτάται από το πρόσημο του και φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα Επειδή η έχει ολικό ελάχιστο στο, το () = έχουμε () για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για = άρα η εξίσωση () = έχει μοναδική ρίζα το =. Γ.Έχουμε () () (e ) e, οπότε η συνεχής συνάρτηση θα διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα (,), (,) (ως συνεχής και διάφορη του μηδενός). Από τη σχέση e e έχουμε ισοδύναμα Σελίδα από 6

4 Οι δυνατές περιπτώσεις του προσήμου της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Συνεπώς προκύπτουν οι εξής συνδυασμοί για τον τύπο της e, ή e, ή e, e ( ), ή e ( ), e, Γ. Έχουμε Ισχύει ότι '' 4e e ( e ) 4 e, e e e 4e ό ό () &() ύ 4e e '' με την ισότητα να ισχύει μόνο για =, οπότε η κυρτή στο. Γ4. Για την εξίσωση Θεωρούμε συνάρτηση g με g στο, Η g είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ως διαφορά και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο,,με g ' ' ' ' ' ' Για τη μονοτονία της έχουμε ότι για, οπότε g και συνεπώς η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση άρα και g g '' '' Αφού από τη θεωρία(σελ. 7) έχουμε ότι και για ισχύει με την ισότητα να ισχύει για =. g Σελίδα 4 από 6

5 ΘΕΜΑ Δ Δ. Από τη σχέση '' d ισοδύναμα έχουμε, () () d d () d d d. Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο, είναι και συνεχής στο άρα και στο =. οπότε lim Aπό τη δεδομένη σχέση lim και g όπου λόγω της () έχουμε lim lim g ()., θέτουμε g με g Aπό τις σχέσεις () και () και () παίρνουμε τελικά Για το lim. Oπότε () lim lim lim lim lim Άρα () = Δ α. Παραγωγίζοντας τη σχέση παραγωγίσιμες συναρτήσεις έχουμε e e Έστω ότι η έχει ακρότατο στη θέση. για κάθε η οποία αποτελείται από e e Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό σημείο, από το Θεώρημα Fermat έχουμε (). οπότε η σχέση () για = γίνεται οπότε ΑΤΟΠΟ, αφού Άρα η δεν έχει ακρότατα στο. e e e Σελίδα 5 από 6

6 Δ Β. Επειδή i. η στο, ως παραγωγίσιμη στο (αφού η είναι φορές παραγωγίσιμη στο ) για κάθε (από Δα) ii. (από i & ii έχουμε ότι η ως συνεχής και διάφορη του μηδενός) iii. () = > Από i, ii,iii προκύπτει () > οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο. Δ. Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο, lim, lim,. Άρα lim.. Ισχύει ότι και lim lim ()() () () () Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim. Ομοίως lim. Άρα lim lim lim () Δ4. Για το e ln d θέτουμε ln u d du. Για = είναι u ln ενώ, για e είναι u lne, οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται e ln d u du Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,π] και γνησίως αύξουσα άρα u () u u. Άρα u και η ισότητα ισχύει μόνο για u=, οπότε u Επίσης () u και η συνάρτηση u παντού, αλλά μόνο στο =π. Άρα (). udu () u du u du (). u du. Επομένως από (),() προκύπτει είναι συνεχής στο [,π] και δεν μηδενίζεται Επιμέλεια: Αθανασιάδης Κώστας Σελίδα 6 από 6