ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη)"

ÁἸσαάκ Γούσιος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης», σελίδα 5. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης», σελίδα 5.. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β. α. Είναι z i i i. 4 4 Άρα zz i i β. Προφανώς είναι z. Επομένως z z z z z z z z.

2 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ γ. Έχουμε z z z z z z Ομοίως z z z 4 z που ισχύει. z z z z z z z z z 4 z που ισχύει. Λόγω της δεύτερης σχέσης του ερωτήματος ( (γ)) έχουμε: z z z z i. Άρα α = και β =. Λόγω της πρώτης σχέσης του ερωτήματος ( (γ)) έχουμε: z z z z z z z z z i Άρα γ = και δ =.

3 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ. Επειδή οι συναρτήσεις f και g = = είναι παραγωγίσιμες, έχουμε ότι go = f είναι παραγωγίσιμη. Επομένως και η και η συνάρτηση συνάρτηση f( ) f συναρτήσεων. Επομένως, από τη δοθείσα σχέση έχουμε: ( f( ) ) = ( ) f ( ) + f ( ) = f ( )+ = είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων Όμως f + >, για κάθε R. Άρα f ( ) = +. Επειδή f ( ) = > + για κάθε R αύξουσα στο R. Επειδή f () = και η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, έχουμε f( ) < f() = για κάθε < και f( ) > f() = για κάθε >. Άρα f( ) <, για < f () = f( ) >, για >. Επειδή, έχουμε ότι η f είναι γνησίως f ( ) = +, η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με ( f ( ) ) f. = = = f ( ) = >, έχουμε f ( ) > για κάθε R Επειδή +. Άρα η f είναι κυρτή στο R. (Βλέπε και σχολικό βιβλίο, σελίδα 78, άσκηση, Β Ομάδας)

4 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 4. Για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού στο διάστημα [, ], ( > ) αφού είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο ξ, τέτοιο, ώστε,. Επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον f( ) f() f( ) f ( ξ ) = = Όμως f ( ) > για κάθε Rπου σημαίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Επομένως, αφού < ξ <, έχουμε ( ξ ) f () < f < f ( ) f( ) < < f ( ) f () + f( ) < < f ( ) + f( ) < < f ( ) και επειδή >, παίρνουμε : < f < f () Όμως f ( ) = < + και >. Επομένως f ( ) < () Από τις () και () έχουμε τελικά < f < f <, για κάθε >. 5. Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι : < f( ) <, > και εφ όσον lim = lim = + από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι lim f( ) = +.Επομένως im ( ) = και άρα lim = Έχουμε : f( ) f( ) ( ) = =, οπότε [ f ] lim ( ) = lim = 4

5 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Άρα η ευθεία y = είναι η πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, στο +. ΘΕΜΑ Δ. Η συνάρτηση t + f(t) t + είναι συνεχής στο,+, το,+, άρα η συνάρτηση f ()= +. f () = ( f() + ) t + dt είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με t + f(t) Για κάθε > έχουμε: + ( + ) f () = f() f () + f () = + f() f () + f () = + f() f() f() +f() = +ln +f()=+ln+c. Για = έχουμε f () +f()=+ln+c +=++c c=. Άρα για κάθε (, + ) έχουμε f() +f()=+ln.. Για κάθε R είναι φ () = + >, οπότε η συνεχής συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα είναι και.. Για κάθε > έχουμε: f() f() ln +f()=+ln +f()= +ln (). Από () ισοδύναμα έχουμε - φ(f ()) = φ(ln) f () = ln, (, + ). 5

6 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 4. α) Για είναι ln < και για ln >. Άρα E = d = d + d = ln d + ln d = [ ] [ ] = ln d + ln d = ln + d + ln d = = + [ ] [ ] + = = ln ln τµ β) Για να ορίζεται το κλάσμα, πρέπει ln ln > και () Θεωρούμε τη συνάρτηση κ () t = η οποία είναι συνεχής και έχει πεδίο ορισμού ln t το D κ = (,) (, + ). Για να ορίζεται η συνάρτηση dt πρέπει τα άκρα του ln t ολοκληρώματος να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του D κ και αφού (, + ) έπεται ότι και (, + ) () Από () και () προκύπτει ότι D G = (, + ). 6

7 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Η G είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων του πηλίκου ln και της dt η οποία είναι παραγωγίσιμη ως αρχική της συνεχούς ln t συνάρτησης κ () t =. ln t ln ln ln Παραγωγίζοντας τη G προκύπτει G ( ) = = = < ln ln ln ln για κάθε (, + ) και αφού η G είναι συνεχής θα είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ). Επομένως : G γνησ ίως φθ ίνουσα < G() > G( ) > dt dt ln ln > ln t ln t dt >. ln t 7

Σχετικά έγγραφα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων