Διανυσματικός χώρος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Ορισμός Διανυσματικός χώρος V πάνω στο σύνολο πραγματικός διανυσματικός χώρος V λέγεται κάθε σύνολο εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης μεταξύ των στοιχείων του V και του πολλαπλασιασμού μεταξύ πραγματικών αριθμών και στοιχείων του V που ικανοποιούν τα παρακάτω αξιώματα: 1) x ( y z) ( x y) z ) x y y x 3) 0 V, τέτοιο ώστε x 0 x 4) x V, ( x ) V, τέτοιο ώστε x ( x) 0 5) ( x y) x y 6) ( )x x x 7) ( ) x ( x) 8) 1x x Τότε τα στοιχεία του V καλούνται διανύσματα. Πρόταση α) Αν 0V, τέτοιο ώστε x 0 x, για κάθε x V, τότε 0 0. β) Έστω x V. Αν υπάρχει xv τέτοιο ώστε x x 0, τότε x x. Πρόταση α) 0x 0, για κάθε x V. β) 0 0, για κάθε.
Παράδειγμα Το σύνολο ( x, x,..., x ), x, i {1,,..., } σύνολο, με τις ακόλουθες πράξεις: είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο 1 i x y ( x1 y1, x y,..., x y ), x ( x, x,..., x ), 1 όπου x ( x1, x,..., x ) και y ( y1, y,..., y ) ανκουν στον. Παράδειγμα Έστω C [ a, ] το σύνολο των συνεχών συναρτσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [ a, ] με τιμές στο. Αν ορίσουμε τις παρακάτω πράξεις f g ( x) f ( x) g( x), f ( x) f ( x), για κάθε x [ a, ] τότε ο [, ] C a αποτελεί πραγματικό διανυσματικό χώρο. Παράδειγμα Έστω Ρ το σύνολο των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές. Τότε ο Ρ αποτελεί διανυσματικό χώρο πάνω στο.
Γραμμικ ανεξαρτησία και βάση Ορισμός Έστω x1, x,..., x διανύσματα ενός διανυσματικού χώρου V. Τότε τα διανύσματα αυτά θα λέγονται γραμμικώς εξαρτημένα αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ i όχι όλοι ίσοι με το μηδέν τέτοιοι ώστε 1x1 x... x 0. Σε αντίθετη περίπτωση τα x1, x,..., x θα λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα. Ορισμός Ένα σύνολο από διανύσματα x1, x,..., x ενός διανυσματικού χώρου V, λέμε ότι παράγει τον V, αν κάθε διάνυσμα x V γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των x1, x,..., x, δηλαδ x x x x. 1 1... Ορισμός Ένα σύνολο από διανύσματα x1, x,..., x ενός διανυσματικού χώρου V, αποτελεί βάση του V, αν τα διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και παράγουν τον V. Θεώρημα Τα διανύσματα x 1, x,..., x ενός διανυσματικού χώρου είναι μία βάση του V αν και μόνον αν κάθε διάνυσμα του χώρου V γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων x 1, x,..., x.
Παρατρηση Τα διανύσματα e1 (1,0,...,0), e (0,1,...,0), e (0,0,...,1), αποτελούν μία βάση του χώρου. Η βάση αυτ ονομάζεται ευκλείδεια φυσικ κανονικ. Για τον συχνά χρησιμοποιείται ο συμβολισμός i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1). 3
Παράδειγμα Να δειχτεί ότι τα διανύσματα του 4 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. u (6,,3,4), v (0,5, 3,1), w (0,0,7, ) Απάντηση Έστω,, τέτοιοι ώστε u v w 0 (6,,3,4) (0,5, 3,1) (0,0,7, ) (0,0,0,0) (6, 5, 3 3 7, 4 ) (0,0,0,0) 6 0 5 0. 3 3 7 0 4 0 Οπότε 0, και κατά συνέπεια τα διανύσματα u, v και w του 4 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Παράδειγμα Να δειχτεί ότι τα διανύσματα του 3 είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Απάντηση Έστω,, τέτοιοι ώστε u (1, 1,0), v (1,3, 1), w (5,3, ) u v w 0 (1, 1,0) (1,3, 1) (5,3, ) (0,0,0) ( 5 v, 3, ) (0,0,0) 5v 0 3 3 0 0 από όπου βρίσκουμε v και 3v. Έστω v 1. Τότε και 3. Άρα 3u v w 0, δηλαδ τα διανύσματα u, v και w 3 του είναι γραμμικώς εξαρτημένα.
Παράδειγμα Έστω Ρ ο χώρος των πολυωνύμων. Να δειχτεί ότι τα πολυώνυμα x 1 1 t, x 3 t 1, x t t 3 3, t, είναι γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα του χώρου Ρ. Απάντηση Έστω 1,, 3 τέτοιοι ώστε (1 t) ( t 1) ( t t ) 0. 3 3 1 3 Αν επιλέξουμε 1 3 1 τότε προκύπτει ότι τα διανύσματα x 1, x και x 3 είναι γραμμικώς εξαρτημένα.
Θεώρημα Αν τα διανύσματα x1, x,..., x είναι γραμμικώς εξαρτημένα τότε ένα τουλάχιστον από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων και αντιστρόφως. Θεώρημα Αν k από τα διανύσματα x1, x,..., x x1, x,..., x είναι επίσης γραμμικώς εξαρτημένα. είναι γραμμικώς εξαρτημένα, τότε τα διανύσματα Θεώρημα Αν τα διανύσματα x1, x,..., x είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ενώ τα x, x1, x,..., x εξαρτημένα, τότε το διάνυσμα x είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των x 1, x,..., x. είναι γραμμικώς
Παράδειγμα Έστω Ρ v ο χώρος των πολυωνύμων με βαθμό μικρότερο από ν. Δίνονται τα πολυώνυμα 1,,,..., v 1 x x x. Να δειχτεί ότι τα πολυώνυμα αυτά αποτελούν μία βάση για το χώρο Ρ v. Απάντηση Έστω 1,,..., v τέτοιοι ώστε Τότε x x... x 0. v1 0 1 v1 0 1... v 1 0. 1 Συνεπώς τα διανύσματα 1, x, x,..., x v είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Έστω τώρα ένα τυχαίο πολυώνυμο p( x ) του χώρου P v. Τότε το πολυώνυμο αυτό γράφεται v 1 p( x) a a x a x... a x Οπότε τα διανύσματα v 1 {1,,,..., } x x x αποτελεί βάση του P v. 0 1 v1 1 1, x, x,..., x v παράγουν το διανυσματικού χώρου P v και επομένως το σύνολο
Παράδειγμα Έστω x, y, z γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα ενός διανυσματικού χώρου V. Να δειχτεί ότι τα διανύσματα x y, y z και z x είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του χώρου V. Απάντηση Έστω,, τέτοιοι ώστε ( x y) ( y z) ( z x) 0 ( v) x ( ) y ( ) z 0 v 0 0 0 Οπότε 0 και κατά συνέπεια τα διανύσματα x y, y z και z x διανύσματα χώρου V. είναι γραμμικώς ανεξάρτητα
Παράδειγμα Να δειχτεί ότι τα διανύσματα v1 (cos,si ) και v ( si,cos ) του είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Απάντηση Έστω 1, τέτοιοι ώστε Τότε 1. 1v1 v 0 (cos,si ) ( si,cos ) 0 1 cos si 0 1 si cos 0 1 cos si cos 0 1 si si cos 0. 1 (cos si ) 0 απ όπου προκύπτει ότι λ 1 = 0 και κατά συνέπεια λ = 0. Άρα τα διανύσματα v 1 και v του είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Παράδειγμα Να δειχτεί ότι οι συναρτσεις 1, C [, ]. Απάντηση Έστω 1,, 3 τέτοιοι ώστε si x, cos x είναι γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα του χώρου si x cos x 0. 1 3 Αν επιλέξουμε λ 1 = -1 και λ = λ 3 = 1 τότε υπάρχει μία μη μηδενικ λύση για την παραπάνω σχέση και επομένως οι συναρτσεις 1, si x, cos x είναι γραμμικώς εξαρτημένες.
Παράδειγμα Να βρεθεί η τιμ του k R έτσι ώστε το διάνυσμα y (1,, k) 3 διανυσμάτων x1 (3,0, ) και x (, 1,5) στον. να είναι γραμμικός συνδυασμός των Απάντηση Αφού το διάνυσμα y είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων x 1 και x υπάρχουν 1, τέτοιοι ώστε y x x 1 1 (1,, k) (3,0, ) (, 1,5) 1 3 1 1 1 5 k απ όπου βρίσκουμε λ = και επομένως λ 1 = -1. Άρα k 10 1.
Παράδειγμα Να δειχτεί ότι οι συναρτσεις 1, C [0,1]. Απάντηση Έστω 1,, 3 τέτοιοι ώστε x e, x xe είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του χώρου. x x 1 e 3xe 0 Τότε παραγωγίζοντας την ανωτέρω σχέση προκύπτει x x x e 3e 3xe 0 και στη συνέχεια παραγωγίζοντας εκ νέου την παραπάνω σχέση βρίσκουμε. x x x x e 3e 3e 3xe 0 Οπότε αφαιρώντας τις δύο τελευταίες σχέσεις λαμβάνουμε, x 3e 0 που σημαίνει ότι 3 0. Κατά συνέπεια 0 και τελικά 1 0. Δηλαδ αποδείξαμε ότι οι συναρτσεις 1, x e, x xe είναι γραμμικώς ανεξάρτητες.
Παράδειγμα Να δειχτεί ότι οι συναρτσεις 1, si x, cos x είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του χώρου C (0, ). Απάντηση Έστω 1,, 3 τέτοιοι ώστε si x cos x 0. 1 3 Τότε παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση, προκύπτει και ξαναπαραγωγίζοντας cos x si x 0 3 si x cos x 0. 3 Οπότε καταλγουμε στο ακόλουθο σύστημα cos x 3 si x 0 si x 3 cos x 0 cos xsi x 3 si x 0 si x cos x 3 cos x 0 και προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε 3 0. Οπότε 0 και τελικά 1 0. Άρα οι συναρτσεις 1, si x, cos x είναι γραμμικώς ανεξάρτητες.
Παράδειγμα Έστω ότι b 1 και b είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του. Να εξετάσετε αν τα διανύσματα a1 b1 b, a 3b1 3b και a3 b1 5b είναι γραμμικώς ανεξάρτητα γραμμικώς εξαρτημένα. Απάντηση Έστω 1,, 3 τέτοιοι ώστε. 1a1 a 3a3 0 Τότε ( b b ) (3b 3 b ) (b 5 b ) 0 1 1 1 3 1 ( 3 ) b ( 3 5 ) b 0 1 3 1 1 3 1 3 3 0 1 3 53 0 7 1 7 1 απ όπου βρίσκουμε 1 3, 3 1 c, c, 3 c, c. Επομένως τα διανύσματα a 1, a a είναι γραμμικώς εξαρτημένα. 3 και
Διάσταση διανυσματικού χώρου Ορισμός Διάσταση ενός διανυσματικού χώρου V λέγεται το πλθος των διανυσμάτων οποιασδποτε βάσης του χώρου και συμβολίζεται με dimv. Θεώρημα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος με dimv. Τότε οποιαδποτε +1 περισσότερα διανύσματα του V είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Ορισμός Έστω V ένας διανυσματικός χώρος με dimv. Έστω c 1, c,..., c μία βάση του V και a ένα διάνυσμα που ανκει στο χώρο V. Τότε υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a1, a,..., a τέτοιοι ώστε a a1c 1 ac... ac οι οποίοι θα λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος a ως προς τη βάση c 1, c,..., c. Στον 3 και στον τα διανύσματα c i λέμε ότι σχηματίζουν ένα σύστημα συντεταγμένων. V c O c V 1 1
Παράδειγμα Έστω a (4,) { e 1, e } δηλαδ έστω ότι το διάνυσμα a έχει συντεταγμένες 4 και ως προς τη βάση e1 (1,0), e (0,1). Να αποδειχτεί ότι το a (,) { e 1, e δηλαδ ότι το διάνυσμα a έχει συντεταγμένες } και ως προς τη βάση e 1 (1,0), e (1,1). Απάντηση Είναι a (4,) 4e 1 e 4(1,0) (0,1). Τότε και επομένως a (4,) c e c e c (1,0) c (1,1) 1 1 1 c1 c 4 c c c 1 Οπότε το διάνυσμα a έχει συντεταγμένες και ως προς τη βάση { e 1, e }.
Παράδειγμα Έστω ότι V είναι ένας διανυσματικός χώρος ο οποίος παράγεται από τα διανύσματα a (,1,3,1), (1,,0,1), ( 1,1, 3,0). Να βρεθεί η διάσταση του χώρου V. Απάντηση Έστω,, τέτοιοι ώστε a 0. Τότε (,1,3,1) (1,,0,1) ( 1,1, 3,0) (0,0,0,0) v 0 3 3 0 v 0 v v 3 3v 0 0 0 Έστω λ = 1 τότε μ = -1 και ν = 1 που σημαίνει ότι τα διανύσματα a, και είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Έστω τώρα, τέτοιοι ώστε a 0. Τότε (,1,3,1) (1,,0,1) (0,0,0,0) 0 0 0 3 0 0 0 που σημαίνει ότι τα διανύσματα a και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Συνεπώς η διάσταση του V είναι ίση με.