Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου του β) του χώρου γραμμών του και γ) του χώρου στηλών του. 0 0 A= r r + r U = 0 0 Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο οδηγοί. Έτσι rak( A ) = Επίσης dim R( A) = dim R( A T ) = rak( A) = To πλήθος των στηλών του πίνακα είναι =3, επομένως η διάσταση του μηδενοχώρου είναι: dim N( A) = rak( A) = 3 = O μηδενοχώρος αποτελείται από το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος: x 0 Ax = O A x = 0 x 3 ή ισοδύναμα του x 0 U x = 0 x 3 Υπάρχει μία ελεύθερη μεταβλητή (όσες και το dim N( A ) ) που αντιστοιχεί στις στήλες του πίνακα U οι οποία δεν έχει οδηγό, δηλ. είναι η μεταβλητή x Εκφράζοντας την ελεύθερη μεταβλητή με παράμετρο παίρνουμε N( A) = {(, t t,0 ) : t R} Κάθε βάση του μηδενοχώρου θα αποτελείται από διάνυσμα (όσα το dim N( A ) ) Επομένως π.χ. για t= παίρνουμε ως βάση του N( A ) το σύνολο 0 Ο χώρος στηλών ισούται με το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στηλών του πίνακα Α δηλ. 0 0 c+ c RA ( ) = spa,, c c c3 : c, c, c3 R = + + = c c c + 3 H διάστασή του όπως είδαμε ισούται με, άρα μία βάση του αποτελείται από δύο διανύσματα. Τα διανύσματα αυτά είναι οι στήλες του πίνακα Α, οι οποίες αντιστοιχούν στις

2 στήλες με οδηγό του πίνακα U. Επομένως μία βάση του RA ( ) είναι το σύνολο 0, Ο χώρος γραμμών ισούται με το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των γραμμών του πίνακα Α δηλ. c+ c T RA ( ) = spa, c c c c = + = : c, c R 0 0 c T Επίσης ο U δίνει άμεσα μία βάση του χώρου γραμμών RA ( ). Αυτή αποτελείται από όλες τις μη μηδενικές γραμμές του U. 0 Έτσι το σύνολο, 0 T αποτελεί μία βάση του RA ( ) 0 Άσκηση (Μονάδες ) α) Να γράψετε το διάνυσμα (3,3,5) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων (,,3) και (0,3,4) 3 β) Βρείτε το b ώστε να υπάρχει γραμμική απεικόνιση T : R R για την οποία T(,) = (,,3), T(,0) = (0,3, 4) και T(, b) = (3,3,5) α) (3,3,5) = c(,,3) + c(0,3,4) c = 3 c = 3 c+ 3c = 3 c = 3c 4c 5 + = Επομένως (3,3,5) = 3(,,3) (0,3,4) β) Η σχέση (3,3,5) = 3(,,3) (0,3,4) γράφεται ως T(, b) = 3 T(,) T(, 0) Λόγω γραμμικότητας της T το δεξί μέλος γίνεται: 3 T(,) T(, 0) = T( 3 (,) (, 0) ) = T(,3) Έτσι θα πρέπει να είναι T(, b) = T(,3) Άρα b = 3 Άσκηση 3 (Μονάδες ) Διαγωνοποιείστε τον πίνακα A, > A 6 4 = 6 4 και στη συνέχεια υπολογίστε τον πίνακα

3 Βρίσκουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα: 6 λ 4 p A ( λ) = = λ λ= λλ ( ) 6 4 λ Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του επιλύοντας την χαρακτηριστική εξίσωση: λ = 0 p A ( λ) = 0 λ = Υπολογίζουμε τους ιδιοχώρους των ιδιοτιμών: A 0I = r = r + r = V(0) = t 3, t R και A I = = r = r + r = V() = t, t R Για π.χ. t = 3 o V (0) δίνει το ενώ για π.χ. t = 0 o V () δίνει το 3 ως ένα ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής 0, ως ένα ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής Έτσι ο πίνακας P είναι ο P = 3 με αντίστροφο τον και ο πίνακας D είναι o 0 0 D = 0 P = 3 Επομένως η διαγωνοποίηση του A γράφεται ως: 0 0 A = PDP = Για τον υπολογισμό του A A έχουμε: ( ) ( ) = PD P = = =

4 Άσκηση 4 (Μονάδες ) Έστω V o διανυσματικός χώρος που αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις της μορφής: x x ae cos x + be si x. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T( f) = f ' + f. Να υπολογίσετε τον πίνακα αναπαράστασης του μετασχηματισμού ως προς τη βάση x cos, x B= v = e x v = e si x { } x x x x x x T( v ) = T( e cos x) = ( e cos x)' + e cos x= e cos x e si x+ e cos x= = = x x 3e cos x e si x 3v v x x x x x x T( v ) = T( e si x) = ( e si x)' + e si x= e si x+ e cos x+ e si x= = cos + 3 si = + Άρα 3 [ Τ ] B = 3 x x e x e x v 3v Άσκηση 5 (Μονάδες ) Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα A 5 5, με στοιχεία aij = mi( i, j) A = Αφαιρούμε την πρώτη γραμμή από όλες τις άλλες: A = Αναπτύσσουμε ως προς την πρώτη στήλη: A = Επαναλαμβάνουμε τα ίδια βήματα συνέχεια: 0 A = = = 0 = = =

5 Άσκηση 6 (Μονάδες ) Δίνεται ο πίνακας A =. Να υπολογίσετε το μέγιστο πλήθος γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων του μηδενοχώρου N( A ) Το μέγιστο πλήθος γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου ισούται με τη διάστασή του. Επομένως για να απαντήσουμε στο ερώτημα αρκεί να υπολογίσουμε την dim N( A ) r r r r3 r3 r r3 r3 3r r4 r4 r r4 r4 4r Έχουμε 3 οδηγούς και = 5 στήλες, επομένως η βαθμίδα του πίνακα είναι rak( A ) = 3 και η διάσταση του μηδενοχώρου: dim N( A) = rak( A) = 5 3= Άσκηση 7 (Μονάδες ) Δύο ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 7 του πίνακα Α είναι τα (,,) και (,,0). Αν το ίχνος του πίνακα είναι, υπολογίστε την ορίζουσά του. Τα δύο ιδιοδιανύσματα που δίνονται είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, καθώς το ένα δεν είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Επομένως η διάσταση του ιδιοχώρου V (7) (καθώς και η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 7) είναι τουλάχιστον, επομένως είναι τουλάχιστον και η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 7 αφού ως γνωστό η γεωμετρική πολλαπλότητα μιας ιδιοτιμής είναι το πολύ ίση με την αλγεβρική της πολλαπλότητα. Έτσι λ = λ = 7 3 Επειδή τώρα, τα ιδιοδιανύσματα ανήκουν στον χώρο R, ο πίνακας A θα είναι ένας πίνακας 3x3 και θα έχει 3 ιδιοτιμές, (εκ των οποίων οι δύο τουλάχιστον ισούνται με το 7, όπως δείξαμε παραπάνω) Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι το άθροισμα όλων των ιδιοτιμών θα πρέπει να ισούται με το ίχνος του πίνακα. Έτσι θα πρέπει λ+ λ + λ3 = λ3 = λ3 = Επίσης από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι η ορίζουσα ενός πίνακα ισούται με το γινόμενο των ιδιοτιμών του. Επομένως A = λλλ 3 = 7 7 ( ) = 588 5

6 Άσκηση 8 (Μονάδες +3, -4.5) Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις ως Αληθείς ή Ψευδείς. Δεν απαιτείται δικαιολόγηση. Κάθε σωστή απάντηση παίρνει +0. βαθμούς ενώ κάθε λανθασμένη Το κενό σύνολο είναι υποχώρος κάθε διανυσματικού χώρου. Λ (Το κενό σύνολο δεν περιέχει κανένα στοιχείο, ενώ ένας διανυσματικός χώρος πρέπει να περιέχει τουλάχιστον το 0.). Αν S είναι ένα γραμμικώς εξαρτημένο σύνολο διανυσμάτων, τότε κάθε στοιχείο του S εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός άλλων στοιχείων του S Λ (Το σωστό είναι «κάποιο στοιχείο» και όχι «κάθε στοιχείο») 3. Εάν ο διανυσματικός χώρος V έχει διάσταση, τότε ο V περιέχει ακριβώς έναν υποχώρο διάστασης 0 και ακριβώς έναν υποχώρο διάστασης Σ 4. Αν οι f, gv : W είναι γραμμικές απεικονίσεις οι οποίες παίρνουν την ίδια τιμή σε μια βάση του V τότε f = g Σ 5. Αν A = I τότε A= I είτε A= I Λ 0 (π.χ. A = 0 ) 6. Αν A = O τότε A= O Λ (π.χ. A = ) 7. Κάθε πίνακας αλλαγής βάσης είναι αντιστρέψιμος Σ 8. Ένας στοιχειώδης πίνακας είναι πάντα τετραγωνικός Σ 9. Η βαθμίδα ενός πίνακα 8x3 είναι το πολύ Λ (To σωστό είναι: Το πολύ 3) 0. Το σύνολο των λύσεων του γραμμικού συστήματος Am x x = bmx είναι υποχώρος του R Λ (Δεν είναι καν υποχώρος διότι το 0 δεν ανήκει αναγκαστικά στις λύσεις. Είναι υποχώρος μόνο αν b = 0 ). Η ορίζουσα ως συνάρτηση μεταξύ των διανυσματικών χώρων M( R) και R είναι γραμμικός μετασχηματισμός Λ (π.χ. A+ B A + B ). Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι δυνατόν να υπολογισθεί με ανάπτυγμα Laplace ως προς οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη του πίνακα Σ 3. Δύο οποιαδήποτε ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Λ 4. Όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Σ 5. Κάθε γραμμικό σύστημα μπορεί να επιλυθεί με τον κανόνα Cramer Λ (Πρέπει A 0 ) 6