ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται"

Transcript

1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ = Ο. 3) Αν Α, Β, Γ Μ n (R) και AA = ΓΓ = Ι n, να δείξετε ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος και Α 1 = Β = Γ. 4) Έστω A, Β Μ n (R). (i) Αν AA = ΒΒ και ο Β αντιστρέφεται, τότε AΒ 1 = Β 1 Α (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται 5) Έστω A, Β Μ n (R). Αν A, Β, Α + Β είναι αντιστρέψιμοι, να δειχθεί ότι : A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A 6) Έστω A Μ n (R) με A m = O. Να δείξετε ότι ο Ι n Α αντιστρέφεται. 1 α α 7) Έστω Β = Μ 3 (R) Να δείξετε ότι: i. (Β + Ι 3 ) 3 = Ο ii. O Β αντιστρέφεται και να βρείτε τον αντίστροφό του iii. Να υπολογίσετε τον Β m για κάθε m N 0 0 i 8) Έστω J = i 0 0 Μ 3x3 (C). Να υπολογίσετε τον J n, για κάθε n N ) Αν A, Β Μ n (R), να δείξετε ότι : (i) (ΑΑ) Τ = Β Τ Α Τ. (ii) Αν ο Α είναι αντιστρέψιμος και συμμετρικός τότε ο Α 1 είναι συμμετρικός.

2 10) Έστω A, Β Μ n (R) με A 2 = Ο και AΒ = ΒΒ. Να δείξετε ότι για κάθε m N (Α + Β) m+1 = Β m (B + (m + 1)A). 11) Αν ο πίνακας A Μ n (R) είναι συμμετρικός, να δείξετε ότι A 2 = O A = O. 12) Έστω A, Β Μ n (R). Να δειχθεί ότι TT(AA) = TT(ΒΒ). ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ α 1 1 1) Να υπολογιστεί η ορίζουσα 1 α α 1 α ββ ) Να δειχθεί ότι 1 β γγ = α β γ. 1 γ αα α 2 β 2 γ α 1 + x a + x x α 1 3) Να δειχθεί ότι 1 + β 1 + y β + y = 2 y β γ 1 + z γ + z z γ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ-ΥΠΟΧΩΡΟΙ 1. Να εξεταστεί αν είναι πραγματικός διανυσματικός χώρος το σύνολο R + των θετικών πραγματικών αριθμών, εφοδιασμένο με τις πράξεις " + " και ". " που ορίζονται ως εξής: x + y = xx και λ. x = x λ, για κάθε x, y R + και κάθε λ R. 2. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το R και έστω U ένα μη κενό υποσύνολο του V. Να δειχθεί ότι το U θα είναι υποχώρος του V αν και μόνο αν ισχύει : u, v U και λ, μ K λu + μv U 3. Να δειχθεί ότι οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο U {0}, ενός διανυσματικού χώρου V, δεν είναι υποχώρος του. 4. Να εξεταστεί ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι R -υποχώροι του R 3. Α = {(x, y, z) R 3 x + y = 0, z = 1}

3 Β = {(x, y, z) R 3 x + y z} Γ = {(x, y, z) R 3 x + 2y z = 0} 5. Να εξεταστεί ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι R -υποχώροι του Μ 2 (R). V = {Α Μ 2 (R) dddd 0} U = {Α Μ 2 (R) dddd = 0} W = {Α Μ 2 (R) AA = 0}, όπου Μ Μ 2 (R). 6. Να δειχθεί ότι το σύνολο V = {(x 1, x 2,..., x n ) R n 2x 1 3x 2 = 4x n } είναι R-υποχώρος του R n. a a β β 7. Να δειχθεί ότι το σύνολο V = {Α Μ 2x3 (R) Α = } είναι α + β α α R-υποχώρος του Μ 2x3 (R). ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ/ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ 1. Να δείξετε ότι τα διανύσματα (1,2,0), ( 2,3,1), (0,1, 1) του R 3 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. 2. Να δείξετε ότι τα διανύσματα v 1 = (1,0,3), v 2 = (2,1,1), v 3 = ( 3, 2,1) του R 3 είναι γραμμικώς εξαρτημένα και να βρείτε τη σχέση που τα συνδέει. 3. Να δειχθεί ότι οι πίνακες , 2, 1, 1 είναι γραμμικώς ανεξάρτητοι. 4. Αν τα v 1, v 2, v 3 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, να δειχθεί ότι είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και τα w 1 = v 1 +v 2, w 2 = v 1 +v 2 + v 3, w 3 = v 3 v Αν τα διανύσματα v 1, v 2,..., v n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε οποιαδήποτε από αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. 6. Αν τα διανύσματα v 1, v 2,..., v n είναι γραμμικώς εξαρτημένα, τότε και τα v 1, v 2,..., v n, v είναι γραμμικώς εξαρτημένα. ΒΑΣΗ και ΥΠΟΧΩΡΟΙ Να δείξετε ότι τα διανύσματα (1,2,0), ( 2,3,1), (0,1, 1) αποτελούν μια βάση του R 3. Να δειχθεί ότι τα διανύσματα (1,0, 1), (1,1,0), ( 1,1,1) παράγουν τον R 3. Να δειχθεί ότι το σύνολο W = {(x, y, z) R 3 x + 2y z = 0} είναι υποχώρος του R 3 και να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του.

4 Δίνεται ο πίνακας Μ = 0 1. Να δειχθεί ότι το σύνολο 1 2 V = {A M 2 (R): AA = MM} είναι υποχώρος του M 2 (R) και να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του. Να δειχθεί ότι το σύνολο Β = {1 + x 2, 2x x 2, 1 + x + x 2 } είναι μια βάση του R 2 [x]. Να δείξετε ότι αν U είναι υπόχωρος του διανυσματικού χώρου V και dddd = dddd = n, τότε U = V. Θεωρούμε τον R- διανυσματικό χώρο V και τα διανύσματά του x, y. Να δειχθεί ότι < x, y >=< 3x 2y, 5x + y >. Θεωρούμε τα διανύσματα του R 3, v 1 = (2,3, 1), v 2 = (1, 1, 2), w 1 = (3,7,0), w 2 = (5,0, 7). Να δείξετε ότι < v 1, v 2 >=< w 1, w 2 >. Να εξεταστεί αν το σύνολο Β = {(1,0,0,0), (0,2,0,0), (1,2,3,0), (2,4,3,4)} είναι μια βάση του R 4. x y Να δειχθεί ότι το σύνολο V = { z w M 2(R) x + 2w = 0, x y 2z + w = 0 } είναι υποχώρος του M 2 (R) και να βρεθεί μια βάση του Να δειχθεί ότι οι πίνακες 0 3, 1 1, 3 3 του M 3x2 (R) είναι γραμμικώς εξαρτημένοι και να βρεθεί η σχέση που τους συνδέει. Να εξεταστεί αν τα x 2 + 2x + 3, x 2 1, x 2 x + 1 παράγουν τον χώρο R 2 [x]. Να βρεθεί μια βάση του R 4 που να περιέχει τα διανύσματα (1,2,3,4), (0,0,1,2). Aν V =< (1,0,0), (0,1,1) > και W =< (2,1,0), ( 1,0,1) >, να οριστεί ο υπόχωρος V W, να βρεθεί μια βάση του η οποία και να επεκταθεί σε μια βάση του R Να βρεθεί η βαθμίδα του πίνακα Α = ΕΥΘΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 1. Θεωρούμε τους υποχώρους V, W του R 3, όπου V = {(x, y, z) R 3 : x y = z}

5 W = {(x, y, z) R 3 : x + z = 2y} Να δειχθεί ότι V + W = R 3. Ισχύει V W = R 3 ; 2. Θεωρούμε τους υποχώρους V, W του R 3, όπου V = {(x, y, z) R 3 : x = y = z} W = {(x, y, z) R 3 : z = 0} Να δειχθεί ότι V W = R Θεωρούμε τους υποχώρους V, W του R 3, όπου V = < (1,1,0), (3,1,3) > W = < (0,1,1), (2,1,2) > Να δειχθεί ότι V + W = R Έστω Α, Β υποχώροι του διανυσματικού χώρου V. Αν Β Α, να δειχθεί ότι Α + Β = Α. 5. Θεωρούμε τους υποχώρους V, W του R 3 [x], όπου V = < 1 x 2x 3, 1 + x 3, 1 + x + 4x 3 > W = < 1 x 2x 3, 1 + x 3, 1 + x + 4x 3, x 2 > Να βρεθεί ο υποχώρος V + W. 6. Έστω Β = {e 1, e 2,..., e n } μια βάση του διανυσματικού χώρου V. Αν V 1 =< e 1 >, V 2 =< e 2 >,..., V n =< e n >, να δειχθεί ότι V = V 1 V 2... V n. 7. Θεωρούμε τους συμπληρωματικούς υποχώρους U, W του διανυσματικού χώρου V (δηλαδή U W = V). Αν Α = {a 1, a 2,..., a κ }, Β = {β 1, β 2,..., β n } με κ < n, είναι βάσεις των U, W αντίστοιχα και Μ =< α 1 + β 1, α 2 + β 2,..., α κ + β κ, β κ+1,..., β n >, να δειχθεί ότι οι υποχώροι U, Μ είναι συμπληρωματικοί (δηλαδή U Μ = V). ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω απεικονίσεις είναι γραμμικές i. f: R 2 R 3 με f(x, y) = (x + y, y x, 0) ii. f: R 3 R 2 με f(x, y, z) = (xx, z) iii. f: M 2 (R) R 4 με f α β = (α + 1, β, γ, δ) γ δ 2. Αν f: V W γραμμική απεικόνιση και Α = {x 1, x 2,..., x n } V και Β = {f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n )}, να δειχθεί ότι : i. Αν Β είναι γραμμικώς ανεξάρτητο, τότε και το Α είναι γραμμικώς ανεξάρτητο. ii. Αν είναι γραμμικώς εξαρτημένο, τότε και το Β είναι γραμμικώς εξαρτημένο. 3. Έστω η γραμμική απεικόνιση f: R 2 R 3 με f(x, y) = (x y, y, 2x + y). Να βρεθούν ο πυρήνας και η εικόνα της f.

6 4. Έστω η γραμμική απεικόνιση f: R 3 R 2 με f(x, y, z) = (x + y, z x). Να βρεθούν ο πυρήνας και η εικόνα της f. 5. Να βρεθούν ο πυρήνας και η εικόνα της γραμμικής απεικόνισης f: R 3 R 3 με f(x, y, z) = (x y + z, y, x + y + z ). 6. Αν f: R 2 [x] R 2 [x] με f(p) = P xx + (1 x 2 )P, όπου P και P είναι η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος του P, είναι γραμμική, να βρεθούν o KKKK και η III, καθώς και από μια βάση τους. 7. Να οριστεί ο α R έτσι, ώστε η γραμμική απεικόνιση f: R 3 R 3 με f(x, y, z) = (αα + y, x z, y z) να είναι ισομορφισμός. 8. Να δειχθεί ότι η γραμμική απεικόνιση f: R 2 [x] R 3, f(p) = (P(1), P(0), P( 1)), είναι ισομορφισμός. 9. Αν δύο ενδομορφισμοί f, g του χώρου V είναι τέτοιοι, ώστε i. f g = f και g f = f, τότε έχουν την ίδια εικόνα. ii. f g = g και g f = g, τότε έχουν τον ίδιο πυρήνα. 10. Αν f είναι ένας ενδομορφισμός του χώρου V, να δειχθεί ότι : III KKKK = {0} KKKf 2 KKKK 11. Έστω f: R 3 R 3 γραμμική απεικόνιση με f(x, y, z) = (x y, x + y, z). Να δειχθεί ότι ο f είναι ισομορφισμός και να βρεθεί ο f Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση f: V W και V 1 V, W 1 W. Να δειχθεί ότι f(v 1 ) W και f 1 (W 1 ) V. (Εικόνα του V 1 λέμε το σύνολο f(v 1 ) = {f(v) v V 1 }. Αντίστροφη εικόνα του W 1 λέμε το σύνολο f 1 (W 1 ) = {v V f(v) W 1 }.) 13. Έστω η γραμμική απεικόνιση f: R 3 R 2 με f(x, y, z) = (x + y, z). Να βρεθούν : i. Ο πυρήνας KKKK της f, ii. Η εικόνα f(v), όπου V ο υποχώρος του R 3, V = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 0}, iii. Η αντίστροφη εικόνα f 1 (W), όπου W ο υποχώρος του R 2, W = {(x, y) R 2 2x = y} ΠΙΝΑΚΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ 1. Να βρεθεί ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f: R 3 R 2, f(x, y, z) = (2x y, z). ως προς τις κανονικές βάσεις των R 2, R 3.

7 2. Έστω {e 1, e 2, e 3 } η κανονική βάση του R 3 και f: R 3 R 3 γραμμική απεικόνιση για την οποία f(e 1 ) = (2,1,0), f(e 2 ) = (1,0,1), f(e 3 ) = (0, 1,1). Να βρεθούν : i. Ο πίνακας της fως την κανονική βάση. ii. Το f(2,1,0). iii. Ο τύπος της f. 3. Να βρεθεί η γραμμική απεικόνιση f: R 2 R 3 της οποίας ο πίνακας ως προς τις 1 2 κανονικές βάσεις είναι ο Α = Να βρεθεί ο ενδομορφισμός 2f g του R 3, αν οι πίνακες των ενδομορφισμών f, g του R 3 ως προς τη βάση e 1 = (1,1,0), e 2 = (0,1,1), e 3 = (0,0,1), είναι οι Α = 1 1 0, Β = αντίστοιχα Δίνονται οι γραμμικές απεικονίσεις f: R 3 R 3, g: R 3 R 2, με πίνακες ως προς τις κανονικές βάσεις των R 3, R 2, Α = 0 1 1, Β = αντίστοιχα Να βρεθεί ο τύπος της g f. 6. Να δειχθεί ότι η γραμμική απεικόνιση f: R 3 R 3, με f(x, y, z) = (x + 3y + 2z, y + 4z, z) είναι ισομορφισμός και να βρεθεί η αντίστροφή της. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ 1. Αν ο πίνακας μετάβασης από τη βάση {v 1, v 2, v 3 } με v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (1, 0, 0), στη βάση {u 1, u 2, u 3 }, είναι ο P = 0 0 1, να βρεθεί η βάση {u 1, u 2, u 3 }. 2. Αν ο πίνακας μετάβασης από τη βάση {v 1, v 2, v 3 } στη βάση {u 1, u 2, u 3 } με u 1 = (2, 2, 0), u 2 = (2, 1, 0), u 3 = (0, 1, 1), είναι ο P = 0 0 1, να βρεθεί η βάση {v 1, v 2, v 3 }. 3. Έστω {e 1, e 2, e 3 } η κανονική βάση του R 3 και B = {u 1, u 2, u 3 } η βάση του R 3 με u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (0, 1, 1) και u 3 = (0, 0, 1). i. Να βρεθεί ο πίνακας μετάβασης από την βάση {e 1, e 2, e 3 } στην βάση B. ii. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του α = (2,1, 4) ως προς τη βάση B.

8 4. Αν B = {v 1, v 2, v 3 } είναι μια βάση του R 3 και u 1 = 2v 1 v 2 v 3, u 2 = v 2, u 3 = 2v 2 + v 3, να δειχθεί ότι και το σύνολο B = {u 1, u 2, u 3 } είναι μια βάση του R 3. Κατόπιν να βρεθούν τα στοιχεία του R 3 που έχουν τις ίδιες συντεταγμένες ως προς τις δύο βάσεις. 5. Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Ρ = Να βρεθεί ο ενδομορφισμός f του R 3, που ο πίνακάς του ως προς τη βάση e 1 = (1,0,1), e 2 = (0,1,1), e 3 = (0,0,1), είναι ο B = Ο πίνακας του ενδομορφισμού f: R 3 R 3 ως προς την κανονική βάση είναι ο Α = i. Να βρεθεί ο ενδομορφισμός f ii. Να βρεθεί ο πίνακας Β του f στη βάση {ε 1 = (1,0, 2), ε 2 = (0,1,0), ε 3 = (2,0,1)} iii. Να βρεθεί αντιστρέψιμος πίνακας Ρ έτσι ώστε Β = Ρ 1 ΑΑ. iv. Να υπολογιστεί ο πίνακας Α n για κάθε n 1. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ (Συμπλήρωμα). 1. Αν για τον πίνακα Α Μ n (R), με n = 2κ + 1, κ N, ισχύει Α 3 +Α 2 + Α + Ι n = O και Α < 0, να υπολογιστούν οι ορίζουσες : i. Α, A 1 ii. Α 2 + Α + Ι n iii. Α + Ι n 2. Αν Α Μ n (R) και Α = 2, aaaα = 8, να βρεθεί ο n. 3. Αν Α Μ n (R) και Α 2 + 2Α + 4Ι n = O, να δειχθεί ότι Α = Α + 2Ι n = Αν Α, Β Μ n (R) και ΑΑ αντιστρέψιμος, τότε και οι Α, Β είναι αντιστρέψιμοι Να δειχθεί ότι ο πίνακας Α = αντιστρέφεται και να βρεθεί ο Α Αν Α, Β Μ n (R) και Α, Β αντιστρέψιμοι, τότε aaaaa = aaaa. aaaa. 7. Αν Α Μ n (R) να δειχθεί ότι aaaa = A n Αν Α 3Ι n και Α 2 = 9Ι n, να δειχθεί ότι Α + 3Ι n = 0.

9 Να δειχθεί ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α = Να βρεθεί η βαθμίδα του πίνακα Α = ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Να λυθούν τα συστήματα x + y z + t = 3 x t = 1 y + 2t = 1 x 2z = 3 x1 + x2 3x3 = 3 2x1 x2 3x3 = 3 x1 + 2x2 = 0 3x y = 1 x + λy = 2 2x 3y = 3, λ R μx + y + z = 0 x + μy + z = 0, x + y + μz = 0 μ R x + y + z = 1 λx + λy + z = λ + 1, λx + 2y + 2z = 2 λ R ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ/ΙΔΙΟΧΩΡΟΙ 1. Να βρεθούν οι δυνατές ιδιοτιμές μιας γραμμικής απεικόνισης f: V V σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις : i. f 2 = I V ii. f 2 = f iii. f 2 = 0 2. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδομορφισμού f: R 3 R 3, με f(x, y, z) = (4x + y, x + y + 2z, x + 3z). 3. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδομορφισμού f: R 2 [x] R 2 [x], με f(ax 2 + βx + γ) = ax 2 + γx + β. 4. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδομορφισμού f: Μ 2 (R) Μ 2 (R) με f a β γ δ = 2α 2β + γ. 5β + 2γ 2δ Έστω Α = 1 α 1 Μ 3 (R) i. Να βρεθεί ο α έτσι, ώστε το διάνυσμα Χ = 2 Μ 3x1 (R) να είναι ένα 0 ιδιοδιάνυσμα του Α.

10 ii. Να βρεθεί ο ιδιοχώρος που περιέχει το Χ. 6. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα i. Α = Μ 3 (R). ii. Α = 1 i i 1 Μ 2(C) Αν λ 0 είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α Μ n (R), τότε ο Α είναι ιδιοτιμή του πίνακα aaaa. 8. Αν ο λ είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α Μ n (R), τότε ο λ κ, κ N, κ > 1, είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α κ. λ 9. Ο λ 0 είναι ιδιοτιμή του αντιστρέψιμου πίνακα Α Μ n (R), αν και μόνο αν ο λ 1 είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α Να δειχθεί ότι ο πίνακας Α Μ n (R) και ο ανάστροφός του Α Τ έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο. 11. Ο πίνακας Α Μ n (R) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ο 0 δεν είναι ιδιοτιμή του. 12. Να δειχθεί ότι οι πίνακες ΑΒ, ΒΒ Μ n (R) έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές. ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ- ΘΕΩΡΗΜΑ Cayley-Hamilton 1. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης πάνω από το R και f, g ενδομορφισμοί του τέτοιοι, ώστε f g = g f. Αν ο f έχει απλές ιδιοτιμές, να δειχθεί ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα του f είναι και ιδιοδιάνυσμα του g. 2. Ο πίνακας ενός ενδομορφισμού f του R 3 ως προς την κανονική βάση είναι ο πίνακας A = Να βρεθεί βάση του R 3 ως προς την οποία ο πίνακας του f να είναι διαγώνιος. 3. Δίνεται ο ενδομορφισμός f: R 2 [x] R 2 [x], f(p) = (x + 1)Ρ για κάθε P R 2 [x]. Να δειχθεί ότι ο f διαγωνιοποιείται. 4. Αν A είναι ο πίνακας του ενδομορφισμού f: R 2 R 2, f(x, y) = (2x + 2y, x + 3y), ως προς την κανονική βάση, i. Να βρεθεί βάση ως προς την οποία ο f διαγωνιοποιείται καθώς και ο διαγώνιος πίνακας B στη βάση αυτή. ii. Nα βρεθεί ο πίνακας Α n, όπου n θετικός ακέραιος.

11 Να εξεταστεί αν ο πίνακας A = είναι διαγωνιοποιήσιμος i. πάνω από το R ii. πάνω από το C 6. Να οριστούν οι πραγματικοί α, β, γ, δ έτσι, ώστε να διαγωνιοποιείται ο πίνακας 1 α β 1 Α = γ δ Δίνεται ο πίνακας A = Να βρεθεί διαγώνιος πίνακας Β τέτοιος, ώστε Α = ΡΡΡ Δίνεται ο πίνακας A = Μ 3 (R). Να δειχθεί ότι ο M 3x1 (R) είναι το ευθύ άθροισμα των ιδιοχώρων του A Να δειχθεί ότι ο πίνακας A = αντιστρέφεται και να βρεθεί ο Α Αν για τον πίνακα A Μ n (R) ισχύει Α n+1 = O, τότε Α n = O Αν A = 0 0 0, να δειχθεί ότι Α Α Α = Ο Δίνεται ο πίνακας A = Να δειχθεί ότι Α 19 = 9A 2 + Α 9Ι n Δίνεται ο 3x3 πραγματικός πίνακας A = i. Να βρεθεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο. ii. Να δειχθεί ότι ο A αντιστρέφεται και να βρεθεί ο αντίστροφός του. iii. Να βρεθεί ο πίνακας Α n, όπου n θετικός ακέραιος. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 1. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση <, > R 2 xr 2 R, που ορίζεται με τη σχέση < x, y > = x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + 4x 2 y 2, για κάθε x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), είναι ένα εσωτερικό γινόμενο του πραγματικού διανυσματικού χώρου R 2. Κατόπιν να βρεθεί ο δ ώστε, τα διανύσματα x = (1, 2), y = (3, δ) να είναι ορθογώνια. 2. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση <, > R n [x]xr n [x] R, που ορίζεται με τη σχέση

12 1 < P, Q > = P(t)Q(t)dd, για κάθε P, Q R 0 n [x], είναι ένα εσωτερικό γινόμενο του πραγματικού διανυσματικού χώρου R n [x]. 3. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση <, > Μ n (R)xΜ n (R) R, που ορίζεται με τη σχέση < A, B > = TT(AB T ), για κάθε A, B Μ n (R), είναι ένα εσωτερικό γινόμενο του πραγματικού διανυσματικού χώρουμ n (R). Κατόπιν να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων Α = 1 1 2, Β = Μ 2(R) ως προς το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο. 4. Στον R 4 εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο δίνονται τα διανύσματα x = (1,1,1,1), y = (0,1,0,0), z = (1,2, 1,0) i. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων x, y. ii. Να βρεθεί η ορθογώνια προβολή του x στο z. 5. Στον R 4 εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, i. Να δειχθεί ότι τα e 1 = (1,1,0,0), e 2 = (0, 1,0,2), e 3 = (0,0, 2,1) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. ii. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του υποχώρου V που παράγεται από τα e 1, e 2, e Στον R 3 εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο να κατασκευαστεί μια ορθοκανονική βάση από τη βάση X 1 = (1, 1,0), X 2 = (0, 1,1), X 3 = ( 3, 0,1). 7. Στον R 3 εφοδιασμένο με το εσωτερικό γινόμενο Χ. Υ = (x 1 2x 2 )(y 1 2y 2 ) + x 2 y 2 + (x 2 + x 3 )(y 2 +y 3 ) για κάθε Χ, Υ R 3, όπου Χ = (x 1, x 2, x 3 ), Υ = (y 1, y 2, y 3 ), ξεκινώντας από την κανονική βάση, να προσδιοριστεί με τη διαδικασία Gram-Schmidt μια ορθοκανονική βάση. 8. Στον R 4 εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, να βρεθεί το ορθογώνιο συμπλήρωμα του υποχώρου W που παράγεται από τα διανύσματα v 1 = (1,1,1,1), v 2 = (3, 1,3, 1). 9. Να βρεθεί ο μικρότερος ακέραιος κ ώστε η απεικόνιση <, > R 2 xr 2 R, που ορίζεται με τη σχέση < x, y > = x 1 y 1 3x 1 y 2 3x 2 y 1 + κκ 2 y 2, για κάθε x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), να είναι ένα εσωτερικό γινόμενο του πραγματικού διανυσματικού χώρου R 2. Κατόπιν να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του R 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 1. Να βρεθεί ορθογώνιος πίνακας που οι πρώτες δύο στήλες του είναι 1, 2, 2 και 2, 1, α 2. Να βρεθούν τα α, β, γ ώστε ο πίνακας 2 να είναι ορθογώνιος. β γ 3. Έστω f: V V ένας ενδομορφισμός του ευκλείδειου χώρου V. Να δειχθεί ότι αν ο πίνακας του f σε μια ορθοκανονική βάση είναι αντισυμμετρικός, τότε και σε κάθε άλλη ορθοκανονική βάση θα είναι αντισυμμετρικό

13 ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΙ ΧΩΡΟΙ 1. Στον ερμιτιανό χώρο C 2 ως προς το συνηθισμένο ερμιτιανό γινόμενο, να βρεθεί ο προσαρτημένος ενδομορφισμός f του ενδομορφισμού f: C 2 C 2, με f(z, w) = (2z + 3ii, ii + (1 i)w). 2. Να εξεταστεί αν είναι αυτοπροσαρτημένος ο ενδομορφισμός f: C 2 C 2, με f(z, w) = (2z + (1 3i)w, (1 + 3 i)z + 5w). 3. Να βρεθεί ορθοκανονική βάση στην οποία ο πίνακας του ενδομορφισμού f: C 3 C 3, που ορίζεται από τον τύπο f(x, y, z) = (2x + 2ii, 2ii + y 2ii, 2ii + z), να είναι διαγώνιος.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html ευτέρα 23

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 11 Μαίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ - Διανυσματικοί Χώροι Διδάσκουσα : Δρ Μ Αδάμ Λαμία, 6//05 Έστω = (,,), = (0,,)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 12 Απριλίου 2019 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html ευτέρα 23 Απριλίου 2018 Αν C

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10)

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10) Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β (Τζουβάρας/Χαραλάμπους) Φεβρουάριος 07 (I) Εστω n n πίνακας A τέτοιος ώστε A = 6A, έστω δ.χ. V με dim(v ) = n και f : V V η γραμμική απεικόνιση με πίνακα A ως πρός κάποια βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii09/laii09.html Παρασκευή 0 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii08/laii08.html Παρασκευή 4 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες

Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Εσωτερικό Γινόμενο και ορθογωνιότητα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, υπόχωρος του n. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο VV (την οποία θα συμβολίζουμε με ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Gauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0

Gauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0 Γραμμική Άλγεβρα Κεφάλαιο Πίνακες και απαλοιφή Gauss. Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα y, y 2, y 3 ώστε τα διανύσματα (0, y ), (, y 2 ), (2, y 3 ) να είναι στην ίδια ευθεία; Η ευθεία που περνάει από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο Ασκήσεις6 7 Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz Σύντομες Λύσεις Άσκηση. Δείξτε ότι η απεικόνιση u, v = u v + 5u v, όπου u = (u, u ), v = (v, v ),

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 9 Γραμμικοί Ισομορφισμοί Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 9 19/3/2014 1 / 12 Γραμμικές απεικονίσεις και υπόχωροι Εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Α 4 1 4) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 1 0 0 3 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Βάσεις Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/ / 1

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Βάσεις Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/ / 1 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/2014 1 / 1 Εάν ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V παράγει το V,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 7: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦ. 7: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦ 7: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Έστω V και W διανυσματικοί υπόχωροι Θεωρούμε συνάρτηση F: V W για την οποία ισχύει ότι: (ι) Fu ( + v) = Fu ( ) + Fv ( ) για όλα τα διανύσματα, και (ιι) F( κu) = κf( u) για

Διαβάστε περισσότερα

Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.)

Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.) Σ Γιάννης Σακελλαρίδης Τελευταία ενημέρωση 11 Ιουνίου 2016. (Το αρχείο θα ενημερώνεται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.) 1 Αντικείμενα: διανυσματικοί χώροι Ένας διανυσματικός χώρος (πάνω από το R, αλλά οι

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 28/4/2014 ΧΚουρουνιώτης (ΠανΚρήτης) Διάλεξη 13 28/4/2014 1 / 14 Πίνακες πάνω από σώμα K Πίνακες πάνω από σώμα K Το σύνολο των m n

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσµατα στο επίπεδο

Διανύσµατα στο επίπεδο Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή

Διαβάστε περισσότερα

Μαρινα Μπομπολακη Κανονικη Μορϕη Jordan Πτυχιακη Εργασια Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Μαρτίου 27 Εισηγητης: Ευστράτιος Πρασίδης Επιτροπη Βασίλειος Μεταϕτσής Νικόλαος Παπαλεξίου Θα ήθελα

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα

Γραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα Γραμμική Άλγεβρα II Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις ΜΜ Περιεχόμενα Ασκήσεις0: Όμοιοι Πίνακες Ασκήσεις: Πολυώνυμα 6 Ασκήσεις: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ασκήσεις: Διαγωνισιμότητα Ασκήσεις4: Τριγωνισιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα