Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο χώρο που παράγεται από τα διανύσματα (, 0, 4), (,, c 5), (, c, c ) του Ο χώρος που παράγεται από τα διανύσματα (, 0, 4), (,, c 5), (, c, c ) είναι όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί της μορφής: 0 y z c, yz,, R 4 c 5 c Για να ανήκει το διάνυσμα (,, 6 ) στο χώρο αυτό θα πρέπει να προσδιορίσουμε τα yz,, ώστε το ακόλουθο σύστημα να έχει λύση (μία ή άπειρες): 0 y z c 4 c 5 c 6 Με απαλοιφή Gauss στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος παίρνουμε: r r 4 r r r (c ) r 0 c 0 c 0 c 4 c 5 c 6 0 c c ( c )( c 4) c Λόγω της τελευταίας γραμμή διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν c το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Αν c 4 το σύστημα είναι αδύνατο. Αν c και c 4 το σύστημα έχει μοναδική λύση. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για να ανήκει το διάνυσμα (,, 6 ) στο χώρο που παράγεται από τα διανύσματα (, 0, 4), (,, c 5), (, c, c ) πρέπει να είναι c 4 R Άσκηση (Μονάδες )

2 6 4 Δίνεται ο πίνακας A 7. Να υπολογίσετε τον πίνακα B έτσι ώστε το γινόμενο BA να έχει ως αποτέλεσμα την προσθήκη στην η γραμμή του πίνακα A του πενταπλάσιου της ης γραμμής, στη συνέχεια την εναλλαγή της ης γραμμής με την η γραμμή, και τέλος την αφαίρεση του διπλάσιου της ης γραμμής από τη η. 0 0 Το πρώτο βήμα περιγράφεται από τον στοιχειώδη πίνακα: E To δεύτερο βήμα περιγράφεται από τον στοιχειώδη πίνακα: E To τρίτο βήμα περιγράφεται από τον στοιχειώδη πίνακα: E Επομένως B EEE Άσκηση (Μονάδες ) Έστω ο πίνακας a b c A d e f g h i, ο οποίος έχει det( A ). Υπολογίστε την ακόλουθη ορίζουσα: ad be cf det 5g 5h 5i d e f Έχουμε διαδοχικά:

3 ad be cf ad be cf ad be cf 5g 5h 5i 5 g h i 5 d e f d e f d e f g h i a b c d e f d e f 5 d e f 5 d e f 5det( A) 5 d e f 5det( A) 0 5det( A) 5 g h i g h i g h i Άσκηση 4 (Μονάδες, -: Κάθε σωστή απάντηση: 0. μονάδες, Κάθε λανθασμένη απάντηση: -0. μονάδες) Να χαρακτηρίσετε ως «Σωστή» ή «Λάθος» τις ακόλουθες προτάσεις: 5 ) Ένα σύνολο τριών γραμμικά εξαρτημένων διανύσματων του χώρου R μπορεί να επεκταθεί κατάλληλα ώστε να αποτελέσει βάση του χώρου. (Λ) ) Aν, είναι δύο λύσεις του ομογενούς συστήματος A O, τότε η διαφορά είναι λύση του αντίστοιχου μη ομογενούς συστήματος A b. (Λ) ) Δύο όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές και τα ίδια ιδιοδιανύσματα. (Λ) 4) Αν { v, v..., v s } και { w, w,..., w t } είναι δύο βάσεις του ίδιου χώρου V, τότε s t. (Σ) 5) Ένας γραμμικός μετασχηματισμός στο ευθειών. (Σ) 6) Η τετράγωνος πίνακας με χαρακτηριστικό πολυώνυμο R διατηρεί πάντοτε την παραλληλότητα μεταξύ δύο αντιστρέψιμος. (Σ) 7) Οι στήλες ενός πίνακα A 4 5είναι πάντοτε γραμμικά εξαρτημένες. (Σ), τότε dimv 4 (Λ) 8) Αν V span{ v, v, v, v } 4 p λ λ λ λ είναι ( ) 5 4 A 9) Αν ένας διανυσματικός υποχώρος V γράφεται ως ευθύ άθροισμα δύο άλλων διανυσματικών υποχώρων U και W, τότε αυτό συνεπάγεται πως οι U και W δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. (Λ) 7 0) Δύο διανύσματα του R είναι γραμμικά εξαρτημένα όταν το ένα γράφεται ως κάποιο πολλαπλάσιο του άλλου. (Σ) Άσκηση 5 (Μονάδες.5) Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R 0 [ T ] BE, 4 7 R με πίνακα αναπαράστασης όπου B {(,),(,5)} και E η κανονική βάση του a) Να υπολογιστεί η εικόνα του (,4) (ως προς την κανονική βάση) b) Να προσδιοριστεί αν ο T είναι μονομορφισμός υπολογίζοντας τη μηδενικότητά του R

4 a) Ζητάμε το [ T (, 4) ] E T(, 4) [ T] E BE 4 Θα είναι: [ ], B Επομένως πρέπει να αναλύσουμε τo διάνυσμα (,4) ως προς τη βάση B : y 9 (, 4) (,) y(, 5) 5y 4 7 y 9 Δηλαδή /9 4 7/9 Έτσι B 0 /9 0 8 (, 4) [ ] BE 4,, E 4 7/9 9 9 B 7 [ T ] T, b) N( T ) Υπολογίζουμε τη διάσταση του μηδενοχώρου [ ], Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε: r r r r r r r r r Έχουμε λοιπόν rank nullity n rank 0 (όπου n ο αριθμός των στηλών) Αυτό συνεπάγεται πως ο γραμμικός μετασχηματισμός T είναι μονομορφισμός. BE Άσκηση 6 (Μονάδες ) Δίνεται ο πίνακας A. Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση a) του Μηδενοχώρου του b) του Χώρου Στηλών του και c) του Χώρου Γραμμών του

5 a) Για να υπολογίσουμε τον μηδενοχώρο N( A ) επιλύουμε το ομογενές γραμμικό σύστημα: A O Με απαλοιφή Gauss πάνω στον πίνακα A παίρνουμε: r r r r4 r4r Έτσι καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: με ελεύθερες μεταβλητές τις, 4, 5, 7 Επίσης είναι rank( A ) (όσοι οι οδηγοι) Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε τη λύση: Επομένως N( A) 4 :, 4, 5, 7 R Έχουμε dim N( A ) 4 (όσες οι ελεύθερες μεταβλητές)

6 Για να βρούμε τα τέσσερα διανύσματα μίας βάσης του μηδενοχώρου θέτουμε εκ περιτροπής κάθε ελεύθερη μεταβλητή ίση με και τις υπόλοιπες ίσες με 0: v ( ), , ,,0,0,0,0,0 v ( ) 5 4 7,0,,,0,0,0, 0 v (, 0,, 0,, 0, 0), 0 v 4 ( 9, 0, 6, 0, 0, 7,) b) Είναι dim R( A) rank( A) Μία βάση του RA ( ) αποτελείται από τις στήλες του πίνακα A στις οποίες αντιστοιχεί οδηγός, δηλ. από τις στήλες, και 6:{ (, 0, 0, 0), (,,, 0), (, 4,, ) } T c) Είναι dim R( A ) rank( A) T Μία βάση του RA ( ) αποτελείται από τις μη μηδενικές γραμμές του πίνακα, που προκύπτει με την απαλοιφή Gauss:{ (,5,,,,, ), (0,0,,,, 4, ), (0,0,0,0,0,,7)} Άσκηση 7 (Μονάδες.5) Δίνεται ο Γραμμικός Μετασχηματισμός T: P [ ] P [ ] με T a b c a b c a b c ( ) ( ) ( ) Να βρείτε τον πίνακα αναπαράστασης [ ] B, B B, 4, μία βάση του P[ ] και { } B, μία βάση του P [ ] T όπου { } Αρχικά βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων (πολυωνύμων) που αποτελούν την βάση B T( ) ( ) ( ) T( 4 ) ( ) ( 4 ) 9 T( ) ( ) ( ) 4 Οι εικόνες αυτές εννοείται ότι είναι γραμμένες ως προς την κανονική βάση του χώρου P [ ] Θα πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες τους ως προς τη βάση B Γενικά έχουμε για το τυχαίο διάνυσμα a b του P [ ]:

7 a b c ( ) c ( ) ( c c ) c c a b a b c c c a c c b ab c Έτσι για τις εικόνες των διανυσμάτων της B θα είναι: c c( ) c( ) c c 9 c( ) c( ) c 4 c ( ) c ( ) c Άρα c 6 [ T ] B, B 6 Άσκηση 8 (Μονάδες.5) Να βρείτε τον τετράγωνο πίνακα Α, που έχει ιδιοτιμές τις λ, λ, λ με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τα v (,0,0), v (0,, 4), v (0,0,) Επειδή ο πίνακας Α έχει διακριτές ιδιοτιμές θα διαγωνοποιείται. Επομένως θα μπορεί να γραφεί ως A PDP με 0 0 D και 0 0 P Υπολογίζουμε τον αντίστροφο του P π.χ. με τον επαυξημένο πίνακα:

8 r r r r / 0 r r r / / / / Έτσι A PDP / / / / / / 0 6