Τι είναι σήμα; Σεραφείμ Καραμπογιάς Ως σήμα ορίζεται ένα φυσικό μέγεθος το οποίο μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο ή το χώρο ή με οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή ή μεταβλητές. Παραδείγματα: Σήμα ομιλίας x Πίεση x P() Σήμα εικόνας y I y, y Λαμπρότητα Σεισμικά σήματα y Ιατρικά σήματα... Ένα σήμα μεταφέρει ενέργεια ισχύ και μηνύματα - πληροφορία.
Φάση s( ) si ( ) s() Σεραφείμ Καραμπογιάς T s ) si( ) ( Πλάτος Vols ή mpers Κυκλική συχνότητα rad sec Αρχική φάση Από μαθηματική άποψη, ένα σήμα εκφράζεται ως συνάρτηση μιας η περισσοτέρων x() Συχνότητα ανεξαρτήτων μεταβλητών. Με άλλα λόγια ένα σήμα είναι μία συνάρτηση. Η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι συνήθως ο χρόνος, ή οποία μπορεί να έχει και άλλη φυσική σημασία. Με x() συμβολίζεται η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή. rad Hz T Περίοδος sec Εισαγωγή -
Σήμα - Πληροφορία Σεραφείμ Καραμπογιάς Πληροφορία δεν υπάρχει χωρίς ένα σήμα που την αντιπροσωπεύει. Η πληροφορία κωδικοποιείται σε ένα σήμα τροποποιώντας τη δομή του σήματος. Η διαδικασία με την οποία η πληροφορία κωδικοποιείται σε ένα σήμα λέγεται διαμόρφωση (modulaio). s( ) si ( ) Φέρον σήμα Πλάτος Συχνότητα Αρχική φάση Διαμόρφωση πλάτους (ΑΜ) Διαμόρφωση συχνότητας (FΜ) Διαμόρφωση φάσης (PΜ) Η διαμόρφωση χρησιμοποιεί το σήμα πληροφορίας m(), για να μεταβάλλει κατά τρόπο συστηματικό το πλάτος, τη συχνότητα, ή τη φάση ενός ημιτονοειδούς φέροντος. Εισαγωγή -3
Τι είναι σύστημα; Σεραφείμ Καραμπογιάς Ως σύστημα ορίζουμε την οντότητα εκείνη η οποία επενεργώντας σε ένα σήμα x() έχει ως αποτέλεσμα ένα άλλο τροποποιημένο συνήθως σήμα y(). Η δράση ενός συστήματος περιγράφεται σχηματικά x( ) Είσοδος Σύστημα S Έξοδος y( ) Σχηματική περιγραφή του συστήματος S. όπου x() είναι το σήμα εισόδου ή απλά η είσοδος του συστήματος και y() η έξοδος του συστήματος. Ένα σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας μετασχηματισμός μεταξύ σημάτων y( ) S x( ) Εισαγωγή -4
Σεραφείμ Καραμπογιάς Παλμοκωδική Διαμόρφωση (PCM) Η παλμοκωδική διαμόρφωση (Pulse Code Modulaio (PCM)) είναι το απλούστερο σχήμα κωδικοποιήσης κυματομορφής. Ένας παλμοκωδικός διαμορφωτής παλμών αποτελείται από τρία βασικά μέρη: ένα δειγματολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. Σ Υ Σ Τ Η Μ Α PC M Δειγματολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής x( ) x() x() 4 5 6 7 8 9 3 3 4 5 6 7 8 9 3 3 Εισαγωγή -5
Φάση s( ) si ( ) s() Σεραφείμ Καραμπογιάς N s ) si( ) ( Πλάτος Vols ή mpers Κυκλική συχνότητα rad Αρχική φάση rad F Συχνότητα N Περίοδος Από μαθηματική άποψη, ένα σήμα εκφράζεται ως συνάρτηση μιας η περισσοτέρων ανεξαρτήτων μεταβλητών. Με άλλα λόγια ένα σήμα είναι μία συνάρτηση. x() Με x() συμβολίζεται η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή T. Εισαγωγή -6
x Το μιγαδικό εκθετικό σήμα s j ( όπου c s j ) ce c e και Σεραφείμ Καραμπογιάς Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγματικού μέρους του μιγαδικού εκθετικού σήματος για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου σ είναι e x c cos e x c e cos e x c e cos σ = Η περιβάλλουσα c e σ = c είναι σταθερή σ > Η περιβάλλουσα c e σ αυξάνεται εκθετικά σ < Η περιβάλλουσα c e σ μειώνεται εκθετικά Εισαγωγή -7
Σεραφείμ Καραμπογιάς Το μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου x( ) c a όπου c c e j και a a e j Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγματικού μέρους του μιγαδικού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α είναι e x( ) c a ex( ) c a a a Εισαγωγή -8
Σεραφείμ Καραμπογιάς Μετατροπές σημάτων ως προς το χρόνο x,, αλλιώς 6 4 x 4 6 8 Ανάκλαση: y() = x(-) y y,, αλλιώς 6 4 4 6 8 Χρονική μετατόπιση: z() = x(-3) z z 3, 3 5, αλλιώς 6 4 4 6 8 Αποδεκάτιση στο χρόνο: r() = x() r r,, αλλιώς 6 4 4 6 8 Εισαγωγή -9
Σεραφείμ Καραμπογιάς Ενεργειακά σήματα - σήματα ισχύος Η ενέργεια E x του σήματος x() δίνεται από τη σχέση E x lim T T T x ( ) d Ένα σήμα χαρακτηρίζεται ως ενεργειακό σήμα αν E x Η ενέργεια διακριτού σήματος δίνεται από τη σχέση E x x ( ) Εισαγωγή -
Σεραφείμ Καραμπογιάς Η μέση ισχύς P x του σήματος x() δίνεται από τη σχέση P x lim T T T T x ( ) d Ένα σήμα χαρακτηρίζεται ως σήμα ισχύος αν P x Αν το σήμα είναι περιοδικό τότε P x T T x ( ) d Η μέση ισχύς διακριτού σήματος δίνεται από τη σχέση P x N N x ( ) Εισαγωγή -
x() R i () C N k B a y () k d k y ( ) d k M k b k dy RC d d k x ( ) d k Σεραφείμ Καραμπογιάς Η σχέση μεταξύ του σήματος εισόδου x() και του σήματος εξόδου y() ενός συστήματος περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Η κρουστική απόκριση h() είναι η έξοδος του συστήματος, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση δ(), δηλαδή h() = S[δ()]. () y Συστήματα τα οποία χαρακτηρίζονται από διαφορικές εξισώσεις ( ) h() x ( ) ( ) y( ) h( ) Η σχέση μεταξύ του σήματος εισόδου x() και του σήματος εξόδου y() του συστήματος περιγράφεται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης. x ( ) h ( ) x( ) h( ) d y h( ) x h x( ) d Εισαγωγή -
Σεραφείμ Καραμπογιάς Η σχέση μεταξύ του σήματος εισόδου x() και του σήματος εξόδου y() ενός ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου περιγράφεται από μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές της μορφής Η κρουστική απόκριση h() είναι η έξοδος του συστήματος, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση δ(), δηλαδή h() = S[δ()]. () Η σχέση μεταξύ του σήματος εισόδου x() περιγράφεται με το άθροισμα της συνέλιξης. y Συστήματα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραμμικές εξισώσεις διαφορών ( ) x () ) b N k -a a x ( ) h ( ) k z y( k) x ( ) ( ) h() y( ) h( ) y ( k k M k b k x( k) x( k) y( ) a y( ) b x( ) και του σήματος εξόδου y() του συστήματος h( k ) με a k k h() h( k) x( k ) Εισαγωγή -3
Σεραφείμ Καραμπογιάς Ευστάθεια Μία από τις σημαντικότερες έννοιες στην θεωρία συστημάτων είναι αυτή της ευστάθειας. x() x() y() y() Στο σύστημα το σφαιρίδιο ισορροπεί και αν εφαρμοστεί μία μικρή οριζόντια δύναμη για μικρό χρονικό διάστημα θα μετακινηθεί λίγο και θα επανέλθει στην αρχική του θέση μετά από κάποιες ταλαντώσεις (το σύστημα θεωρείται πραγματικό και παρουσιάζει τριβές). Πρόκειται για ένα ευσταθές σύστημα. Στο σύστημα το σφαιρίδιο ισορροπεί αλλά αν μετακινηθεί λίγο λόγω μικρής και περιορισμένης διάρκειας οριζόντιας δύναμης, θα κυλίσει προς τα κάτω και δεν πρόκειται ποτέ να επανέλθει στην αρχική του θέση, κατάσταση που εκφράζει ότι το σύστημα είναι ασταθές. Παρατηρήστε ότι η απόκριση, η κατακόρυφη θέση, θα αυξάνει με το χρόνο χωρίς περιορισμό. x() Στο σύστημα μία μικρή και περιορισμένης διάρκειας οριζόντια δύναμη θα μετακινήσει λίγο το σφαιρίδιο, το οποίο θα παραμείνει εκεί που θα πάει, όπου έχει την ίδια απόκριση (κατακόρυφη θέση). Η κατάσταση αυτή αδιάφορης ισορροπίας, εκφράζει την οριακή ευστάθεια. Εισαγωγή -4
Ευστάθεια Σεραφείμ Καραμπογιάς Ένα σύστημα λέγετε ότι είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου) (Bouded Ipu Bouded Oupu (BIBO) sable) αν και μόνον αν για κάθε φραγμένη είσοδο η έξοδός του παραμένει φραγμένη. Φραγμένη Εισόδος x( ) M Ευσταθές σύστημα Σύστημα ευσταθές. Φραγμένη Εξόδος y( ) M Φραγμένη Εισόδος x( ) M Μη ευσταθές σύστημα Σύστημα μη ευσταθές Μη φραγμένη Εξόδος Εισαγωγή -5
Πλάτος Φάση x ( ) aσυν Σεραφείμ Καραμπογιάς Περιγραφή σήματος στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας a a T Πλάτος a 3 Φάση 3 x a 3 ( ) aσυν 3 Πλάτος 3 Φάση T 3 x( ) x( ) x( ) a 3 a 3 3 T Εισαγωγή -6
Σεραφείμ Καραμπογιάς Περιγραφή συστήματος στο πεδίο συχνότητας x ( ) e j H () y ( ) H ( ) e j Η συνάρτηση H(ω) είναι ο Μετασχηματισμός Fourier της h() και αποτελεί την Απόκριση συχνότητας του συστήματος. Η απόκρισης συχνότητας είναι μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας ω και γενικά έχει τη μορφή H H e j arg H Η φυσική σημασία της απόκρισης συχνότητας, H(ω), αναδεικνύεται από το σχήμα συν H ( ) Απόκριση πλάτους H Απόκριση φάσης συν H γων Συχνά χρησιμοποιούμε λογαριθμική κλίμακα για τη συχνότητα, και ως μονάδα μέτρου το decibel (db). Η κλίμακα των db βασίζεται στην αντιστοιχία db log H( ) Εισαγωγή -7
y Σεραφείμ Καραμπογιάς ( ) συν Η έξοδος του συστήματος όταν = 5 Hz. x ( ) συν 4 T H ( ) arg H ( ) y ( ) συν 4 Το σήμα εισόδου x(). Η έξοδος του συστήματος όταν = Hz. y( ) συν Η έξοδος του συστήματος όταν = 5 Hz. Εισαγωγή -8
Σεραφείμ Καραμπογιάς Ιδανικά φίλτρα Ανάλογα με τη ζώνη διέλευσής τους, τα φίλτρα διακρίνονται σε: H ( ) H ( ) διέλευσης c αποκοπής αποκοπής c διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο H ( ) H ( ) αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή -9
Σεραφείμ Καραμπογιάς Πραγματικά φίλτρα H ( ) LPF H ( ) HPF διέλευσης c αποκοπής Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο αποκοπής c διέλευσης Πραγματικό υψιπερατό φίλτρο Στη συχνότητα c η οποία χαρακτηρίζεται ως συχνότητα 3dB η απόκριση πλάτους του συστήματος είναι ίση με το / της μεγίστης τιμής της. H ( ) ΒPF H ( ) ΒRF αποκοπής διέλευσης Πραγματικό ζωνοπερατό φίλτρο αποκοπής διέλευσης αποκοπής Πραγματικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή - διέλευσης
Σεραφείμ Καραμπογιάς Περιγραφή συστήματος διακριτού χρόνου στο πεδίο συχνότητας ( ) e j x H () ( ) H ( ) e j y Η συνάρτηση Η(Ω) είναι ο Διακριτός μετασχηματισμός Fourier της h() και ονομάζεται Απόκριση συχνότητας του συστήματος διακριτού χρόνου. Η απόκρισης συχνότητας είναι μιγαδική συνάρτηση της διακριτής συχνότητας Ω και γενικά έχει τη μορφή H jargh H e Η φυσική σημασία της απόκρισης συχνότητας, H(Ω), αναδεικνύεται από το σχήμα x ( ) cos H () y Απόκριση Απόκριση πλάτους φάσης ( ) H ( ) cos arg H ( ) Εισαγωγή -
Σεραφείμ Καραμπογιάς x( ) cos,5 H,8 e Ω j y( ) 4,9 cos,5 3,4 Η απόκριση συχνότητας του συστήματος για Ω =,5π είναι H,8e Ω j H,8e,5 j, 5 j,5377 4 e,9 x() 4 Σήμα εισόδου y() 4 3,4 4 4,9 Σήμα εξόδου 4 Εισαγωγή -
Σεραφείμ Καραμπογιάς Τέλος Εισαγωγή -3
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Εισαγωγή -4
Σημειώματα Εισαγωγή -5
Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Προχωρημένα θέματα επεξεργασίας σήματος. Εισαγωγή». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opecourses.uoa.gr/courses/di4/ Εισαγωγή -6
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creaive Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] hp://creaivecommos.org/liceses/by-c-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Εισαγωγή -7
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Εισαγωγή -8