4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

Transcript

1 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήµατος από τη διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος. Υπολογίζουµε την έξοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος του οποίου έχουµε προσδιορίσει, µε τη βοήθεια του θεωρήµατος της συνέλιξης, τον Μετασχηµατισµό Fourier της. Εξηγήσουµε έννοιες όπως ιδανικό κατωπερατό φίλτρο, χρονική σταθερά, ζώνη και συχνότητα. Περιγράψουµε τι είναι διαγράµµατα Bode και εξηγήσουµε έννοιες όπως decibel και σηµείο -3dB. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ένα γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h(t). Το σήµα εισόδου, x(t), και το σήµα εξόδου, y(t), ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το ολοκλήρωµα της συνέλιξης. Τα σήµατα εισόδου-εξόδου συσχετίζονται µε τη διαφορική εξίσωσης. Το θεώρηµα της Συνέλιξης.

2 Παρατηρούµε ότι η απόκριση συχνότητας H(ω) µπορεί να βρεθεί, ως πηλίκο των µετασχηµατισµών Fourier εξόδου-εισόδου. Και µε τη βοήθεια της έχουµε Παρατηρούµε ότι η απόκριση συχνότητας H(ω), ενός ΓΧΑ συστήµατος είναι µία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, µπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο πολυωνύµων της µεταβλητής ( jω). Σηµειώνεται επίσης στον υπολογισµό της H(ω) ενός συστήµατος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται πιθανόν το σύστηµα. 3 Σύστηµα πρώτης τάξεως Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήµατος πρώτης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση: Απάντηση Η παράµετρος τ ονοµάζεται χρονική σταθερά. 4

3 Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήµατος δεύτερης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση: Απάντηση 5 Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσµατα Οι σταθερές c και c υπολογίζονται από τις και Υπενθυµίζεται και το ζευγάρι µετασχηµατισµού Fourier 6 3

4 Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήµατος του ΓΧΑ συστήµατος δεύτερης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση: Απάντηση 7 Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσµατα Οι σταθερές c και c υπολογίζονται όπως και προηγουµένως από τις και ενώ η σταθερά c υπολογίζεται από την Από το ζευγάρι µετασχηµατισµού Fourier παραγώγισης στο πεδίο συχνότητας έχουµε µε τη βοήθεια της 8 4

5 Προσδιορισµός συστήµατος από την είσοδό του και έξοδό του Η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήµατος σε σήµα εισόδου είναι Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας του συστήµατος και η κρουστική απόκριση. Απάντηση Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι Σηµειώνεται ότι όταν το σήµα εισόδου είναι σήµα µίας συχνότητας θα πρέπει και το σήµα εξόδου να είναι σήµα της ίδιας συχνότητας και στην περίπτωση αυτή προσδιορίζεται µόνο η τιµή της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα του σήµατος εισόδου. 9 Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήµατος πρώτης τάξεως όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος. Το σύστηµα πρώτης τάξης έχει κρουστική απόκριση απόκριση συχνότητας h (t) = be a t u (t) και Απάντηση Y (ω) = b a y (t) = jω b a jω +a ( b b a a e a t ) u (t) 5

6 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Ο MF του σήµατος εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος δίνεται από Όπου H(ω) είναι η απόκριση πλάτους και argη(ω) η απόκριση φάσης του συστήµατος και X(ω) ο MF του σήµατος εισόδου. Για να πετύχουµε ανάλογη συµπεριφορά για το µέτρο, λογαριθµίζουµε την εξίσωση Y ( ω) = H ( ω) X ( ω) Χρησιµοποιούµε λογαριθµική κλίµακα για τη συχνότητα, και ως µονάδα µέτρου το decibel (db). Η κλίµακα των db βασίζεται στην αντιστοιχία Τα διαγράµµατα Bode συστήµατος πρώτης τάξεως. log H(ω) dB -6 argh(ω) 6

7 ΙΔΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ όπου ω c είναι η συχνότητα. Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήµα εισόδου, µε φασµατικό περιεχόµενο εντοπισµένο στη ζώνη, είναι µια χρονική καθυστέρηση t. 3 Ολίσθηση στο χρόνο για κάθε πραγµατικό αριθµό 4 7

8 Η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φιλτρού 5 Ιδανικά φίλτρα Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο 6 8

9 Πραγµατικά φίλτρα LPF HPF Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο Πραγµατικό υψιπερατό φίλτρο ΒPF ΒRF Πραγµατικό ζωνοπερατό φίλτρο Πραγµατικό ζωνοφρακτικό φίλτρο 7 Πλάτος Σήµα εισόδου Χρόνος x Πάτος 3 Φάσµα του σήµατος εισόδου Συχνότητα 8 8 9

10 Σήµα και θόρυβος 3 Φάσµα του Σήµατος + Θορύβου Πλάτος 5 Πλάτος x -3 Χρόνος Συχνότητα Πλάτος - - Το Σήµα εξόδου του φίλτρου x -3 Χρόνος Πλάτος Το φάσµα του Σήµατος εξόδου του φίλτρου Συχνότητα

11 6 4 4 Το Σήµα εξόδου του φίλτρου Το φάσµα του Σήµατος εξόδου του φίλτρου 3 Πλάτος Πλάτος x -3 Χρόνος Συχνότητα 8 Από το Παράδειγµα 3.6 έχουµε Να βρεθεί η τριγωνοµετρική σειρά της τάσης υ(t) είναι Παρατηρούµε ότι η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήµα µε ω = π/τ =. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι

12 Άσκηση 4.5 Η τάση εισόδου είναι ένα περιοδικό σήµα µε. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι Επειδή η συχνότητα του ιδανικού κατωπερατού φίλτρου είναι, από το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο διέρχονται µόνο οι δύο πρώτοι όροι, µε χρονική καθυστέρηση. Έτσι η έξοδος του φίλτρου είναι 3 Άσκηση 4.7 Ο ΜF του σήµατος εισόδου και το µέτρο του µετασχηµατισµού είναι και Η ολική ενέργεια του σήµατος εισόδου είναι Η ενέργεια του σήµατος εισόδου µπορεί να υπολογιστεί και στο πεδίο των συχνοτήτων 4

13 Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος εξόδου είναι και η ολική ενέργεια του σήµατος εξόδου είναι Επειδή η ενέργεια του σήµατος εξόδου πρέπει να είναι ίση µε τη µισή της ενέργειας του σήµατος εισόδου, έχουµε την εξίσωση απ όπου προκύπτει 5 Άσκηση 4.6 Η τάση εισόδου είναι ένα περιοδικό σήµα µε. Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι Στο Παράδειγµα 4. έχουµε υπολογίσει την απόκριση συχνότητας του συστήµατος πρώτης τάξης 6 3

14 Αν η είσοδος του συστήµατος είναι η αρµονική συνιστώσα τότε η έξοδος του συστήµατος είναι y (t) = H () 4 V π cos [ t + argh () ] = 4 V π cos [ t 4 π ] Με όµοιο τρόπο υπολογίζουµε την απόκριση για κάθε αρµονική συνιστώσα,, του σήµατος εισόδου και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της γραµµικότητας υπολογίζουµε την έξοδο του συστήµατος y ( t) = 4V π cos ( t 4 π ) 3 cos 3t tan 3 [ ( )] + 7 Άσκηση Γραµµικό χρονικά αναλλοιώτο σύστηµα έχει κρουστική απόκριση h(t) = e b t u(t) Όταν το σήµα εισόδου είναι x(t) = e a t u(t) να βρεθούν α) η φασµατική πυκνότητα β) η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και γ) η ενέργεια του σήµατος εξόδου. Απάντηση α) Η φασµατική πυκνότητα του σήµατος εξόδου είναι β) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήµατος εξόδου είναι γ) Η ενέργεια του σήµατος εξόδου είναι 8 4

15 Να βρεθεί η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας του συστήµατος. Σύστηµα ολοκλήρωσης Σύστηµα καθυστέρησης κατά τ Περιγραφή του συστήµατος στο πεδίο του χρόνου. Περιγραφή του συστήµατος στο πεδίο συχνότητας. jω τ e H total (ω) = jω τ = jω ω e e jω τ e jω τ j ( ) = ω sinω τ e jω τ = τ sin ω τ ω τ e jω τ 9 5