פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון: על ציר ה- D C (השטח המקווקו בציור) OC הבע את שטח הצורה t באמצעות מהו השטח המקסימלי? t שטח זה מקסימלי? עבור איזה ערך של מצא את נפח גוף הסיבוב השטח המקסימלי שמצאת בסעיף ב' מסתובב סביב ציר ה- ג שנוצר g() =, f() = 9 הגרפים של הפונקציות f() ו- g() נחתכים בנקודה ( ), נתון: מצא את הפונקציות f() ו- g() g() סרטט במערכת צירים אחת סקיצות של f() ושל (השטח שנמצא מימין g() ועל-ידי ציר ה- מצא את השטח המוגבל על-ידי f(), על-ידי ג לנקודת החיתוך) g() ועל-ידי ציר ה- מסתובב סביב ציר ה- השטח המוגבל על-ידי f(), על-ידי ד חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר ( t > ) 9 g() =, f() = + נתונות הפונקציות והישרים = ציר ה-, f() הוא השטח הכלוא בין גרף הפונקציה S = t והישר ציר ה-, g() הוא השטח הכלוא בין גרף הפונקציה S S מה צריך להיות ערכו של t כדי שהיחס יהיה מינימלי? S חשב את האינטגרל הבא: ו- t = f() d g() 7
9 6 בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים בתחום גרף I וגרף II אחד הגרפים הוא של הפונקציה 6 I f() והגרף האחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f() II f() איזה גרף הוא של f() ואיזה גרף הוא של? נמק 6-5 כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f() בתחום נמק את תשובתך < 6 <? מצא את משוואת שיעור ה- של הנקודה הוא = 8 הנקודה נמצאת על גרף I ג המשיק לגרף I בנקודה ועל-ידי ציר ה- בתחום II מצא את השטח המוגבל על-ידי גרף ד [,] L K = f() העבירו ישר המשיק לגרף 6 95 נתונה הפונקציה K העבירו ישר = t מנקודה K שבה הפונקציה בנקודה המקביל לציר ה- וחותך את גרף הפונקציה בנקודה L בנקודה L העבירו עוד משיק לגרף הפונקציה המשיקים נפגשים בנקודה, שעל ציר ה- (ראה ציור) t הבע את שטח המשולש KL באמצעות מצא את השטח המינימלי של המשולש KL C 96 אוטובוס יצא בשעה מסוימת מעיר לעיר ונסע במהירות קבועה של 8 קמ"ש באותה שעה יצאה מעיר מונית שנסעה לעיר C במהירות קבועה של 96 קמ"ש נתון כי הזווית C היא בת ידוע כי המרחק בין האוטובוס למונית היה מינימלי כעבור 5 שעות לנסיעתם והאוטובוס טרם הגיע לעיר מצא את המרחק בין ל- מצא את המרחק המינימלי בין האוטובוס למונית K N O L M 97 O היא גזרת עיגול שמרכזו O ורדיוסו R אורך הקשת R MN כך שהצלע KLMN שווה ל- בונים מלבן משיקה לקשת בנקודת האמצע שלה והקודקודים K ו- L נמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה (ראה ציור) מבין כל האלכסונים של המלבן KLMN שנוצרים באופן זה, הבע באמצעות R את אורך האלכסון הקצר ביותר 75
98 בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים: גרף אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה ג ד II וגרף I f() f () והגרף האחר הוא I - - 8 איזה גרף הוא של f() ואיזה גרף הוא של ()? f נמק II מצא את שיעורי ה- של נקודות הקיצון של הפונקציה f() וקבע את סוגן נמק מצא את שיעורי ה- של נקודות הפיתול של הפונקציה f() נמק הוכח שהשטח המוגבל על-ידי גרף II וציר ה- (השטח האפור בציור שמעל לציר ה- ( שווה לשטח המוגבל על-ידי גרף II והצירים (השטח האפור בציור שמתחת לציר ה- ) f() = + 99 נתונה הפונקציה מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה, מצא את משוואת המשיק ששיפועו מקסימלי מצא את גודל הזווית בין הכיוון החיובי של ציר ה- ובין המשיק, שאת משוואתו מצאת בסעיף א' 9 ישר המקביל לציר נתונה הפונקציה f() = בתחום ( t ) ה- חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה = t הבע את השטח האפור שבציור באמצעות t מצא את t שעבורו השטח האפור שבציור יהיה מינימלי t חשב את השטח המינימלי ג מצא את t שעבורו השטח האפור שבציור יהיה מקסימלי חשב את השטח מקסימלי 9 בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים: גרף I וגרף II אחד הגרפים הוא של הפונקציה f() והגרף האחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת ג ד איזה גרף הוא של f() f() ואיזה גרף הוא של נמק f()? I - -7-7 II הסבר את סרטט סקיצה של גרף הפונקציה () f שיקוליך מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה f() מצא את שיעורי ה- של נקודות הפיתול חשב את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה I ועל-ידי הצירים (השטח האפור בציור) 76
g() = sin = 9 נתונים גרף הישר וגרף הפונקציה בתחום = ישר המאונך לציר ה-, חותך את הישר בנקודה וחותך את גרף הפונקציה g() בנקודה (ראה ציור) מצא את שיעוריה של הנקודה שעבורה אורך הקטע הוא מינימלי בתחום הנ"ל שעבורה אורך הקטע הוא מקסימלי בתחום הנ"ל מצא את שיעוריה של הנקודה מאונך לציר ה- ועובר דרך הנקודה שאת שיעוריה מצאת בסעיף א', הישר הישר ג חשב את השטח מאונך לציר ה- ועובר דרך הנקודה שאת שיעוריה מצאת בסעיף ב' ו- = ועל-ידי הישרים g(), על-ידי הישר המוגבל על-ידי העקום f () ( < < f() [, ] f () גזירה פעמיים לכל f() בתחום 9 הפונקציה בציור שלפניך מוצגת סקיצה של הנגזרת השנייה, f = f בתחום נתון: = () ( ) ( ) = ( ) = [, ] ( ) ( ) ( ) f 5,f 5, f = f = f = ג מצא את תחומי החיוביות והשליליות של f() נמק מצא את תחומי העלייה, הירידה ונקודות הקיצון הפנימיות של f() f() ד במערכת צירים אחת סרטט גרף של S את השטח המוגבל על-ידי הגרף של סמן ב- וגרף של ועל-ידי הצירים (בתחום < < f() f() את השטח המוגבל על-ידי הגרף של S סמן ב- S מצא את היחס S וציר ה- בתחום 9 cos = f() בתחום < < (ראה + sin נתונה הפונקציה: מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף ציור) עם ציר ה- מצא את משוואת המשיק מצא את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה, על-ידי המשיק ועל-ידי ציר ה- g()d = 95 f() ו- g() הן פונקציות רציפות המקיימות: - קבוע), f()d M ) f() + g() = M 77
b b P() d הבע באמצעות M את האינטגרל: g() d הגדרה: הבע באמצעות ערך הממוצע של פונקציה M את ערך הממוצע של P() רציפה בקטע b] [, שווה ל- f() בקטע ] [, 96 נתונה הפונקציה בנקודה שבה = הוא מצא את ערך הפרמטר ג f() = sin + sin () בתחום + הוכח כי בתחום הנ"ל מתקיים: f() הוכח כי השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה ועל-ידי ציר ה- f() שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בתחום הנ"ל שווה ל- m 97 פרשו את המעטפת של הגליל הישר וקיבלו מלבן שאלכסונו m נסמן ב- את הגובה של הגליל הבע את נפח הגליל באמצעות m ו- מצא את רדיוס הגליל שעבורו נפח הגליל יהיה מקסימלי b ( b > ) 98 g() = b ו- f() = + b הגרפים של הפונקציות = b נחתכים בנקודה שבה מצא את ערך הפרמטר b חשב את השטח המוגבל על-ידי הגרפים של הפונקציות ציר ה- ועל-ידי ו-( g( f() השטח שחישבת בסעיף ב' מסתובב סביב ציר ה- ג חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר העבירו משיק בנקודה שבה + f() = 99 לגרף הפונקציה הנקודה ) (, מצא את ערך הפרמטר מצא את משוואת המשיק חשב את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה, ג = נתון שהמשיק עובר דרך על-ידי המשיק ועל-ידי ציר ה- 78
O C D 9 נתונה גזרה O שרדיוסה R ואורך הקשת שווה ל- Rα ) α- זווית ברדיאנים) על הקשת בוחרים נקודה כלשהי ומורידים אנכים D ו- C על הרדיוסים O ו- O בהתאמה, O כך שמתקבל מרובע OCD נסמן: = הבע את שטח המרובע OCD באמצעות α, R ו- הוכח כי מכל המרובעים השונים שחסומים בגזרה באופן זה, למרובע שהוא דלתון יהיה שטח מקסימלי = P() הוכח: מתחלק ללא שארית ב- ) ( נתון כי פולינום P() 9 b+ f() = + מתחלקת ללא שארית בטרינום c הפונקציה מצא את ערכי הפרמטרים b ו- c הצב את ערכי b ו- c שמצאת בסעיף ב' ב- f() ומצא את משוואת המשיק לגרף ג הפונקציה בנקודה שבה = חשב את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה f(), על-ידי המשיק,שאת משוואתו מצאת ד בסעיף ג' ועל-ידי ציר ה- 9 נתונה הפונקציה f() = 9 (ראה ציור) חשב את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה ועל-ידי ציר ה- ברביע השלישי השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה ועל-ידי ציר ה- (ברביע הראשון וברביע השלישי), מסתובב סביב ציר ה- חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר 9 נתונה הפונקציה f() = cos bcos b הוא = בתחום הפונקציה בנקודה בה חשב את ערך הפרמטר b הוכח כי בתחום הנ"ל מתקיים: f() 6 ג חשב את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה שיפוע המשיק לגרף f(), על-ידי הצירים ועל-יד הישר = 9 נתונה הפונקציה = f() + מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בעל שיפוע מקסימלי הפונקציה g() מקיימת: () g() = 6 f חשב את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה = ו- ועל-ידי הישרים = על-ידי ציר ה-, g() 79
95 בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה f() = sin בתחום, וגרף של הפונקציה g() = cos בתחום, מצא את השטח המוגבל על-ידי הגרפים של הפונקציות f() C ו- g() ועל-ידי ציר ה- (השטח האפור בציור) (, ( C הנקודה היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה נתון: ), (, ), שעבורו שטח ) של הנקודה מצא את שיעור ה- f() = sin המשולש C הוא מקסימלי g() N f() ( > ) 96 g() = ו- f() = הגרפים של הפונקציות נפגשים בראשית הצירים O ובנקודה N (ראה ציור) הוכח שהקטע ON מחלק את השטח הכלוא בין הגרפים לשני חלקים שווים f() ושל g(), מסתובב השטח הכלוא בין הגרפים של סביב ציר ה- הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות O ( > ) g() = f() = ו- 97 הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות O ו- (ראה ציור) את שיעור ה- של הנקודה, ואת הבע באמצעות השטח המוגבל על-ידי הגרפים של הפונקציות f() ו- g(), שעבורו השטח שהבעת בסעיף הקודם האם קיים ערך של, אם לא - נמק מדוע אם כן - מצא את הוא מקסימלי? 98 = g() ברביע הראשון העבירו משיק לגרף הפונקציה נתונה הפונקציה הוכח כי השטח המוגבל על-ידי המשיק ועל-ידי הצירים איננו תלוי בנקודת הגרף שבה העבירו את המשיק (דהיינו, השטח הוא גודל קבוע) העבירו משיק לגרף הפונקציה = f() השטח המוגבל על-ידי המשיק ועל-ידי הצירים מסתובב סביב ציר ה- הוכח כי נפח גוף הסיבוב שנוצר איננו תלוי בנקודת הגרף שבה העבירו את המשיק 8
+ 99 נתונה הפונקציה = f() - c, b, ) מספרים ממשיים) האסימפטוטות המקבילות + b+ c = ו- = 5,= לצירים של גרף הפונקציה הן: מצא את ערכי הפרמטרים b, ו- c האם גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה המקבילה לציר ה-? אם כן מהי נקודת החיתוך? אם לא נמק מדוע ג מצא את תחומי העלייה, הירידה ונקודות הקיצון של הפונקציה f() ( ) g = 7 ( ) g () = + 6 5 f() המקיימת: g() ד מצא את הפונקציה ו- O D C 9 בציור מתואר מעגל שמרכזו O ורדיוסו R הרדיוס O ניצב לקוטר C הנקודה D היא נקודה כלשהי על הקשת C DC =, D O הבע את אורך הקטע D באמצעות R ו- מה צריך להיות גודל הזווית DC כדי ששטח הטרפז OCD יהיה המקסימלי? הבע את השטח המקסימלי באמצעות R שיעור ה- של אחת מנקודות g() = + cos f() = sin ו- 9 נתונות הפונקציות 5 המשותפות של שתי פונקציות הוא = מצא את ערך הפרמטר מצא את כל הנקודות המשותפות של f() ו- g() הוכח שכל הנקודות המשותפות הן נקודות ההשקה ג מצא את השטח המוגבל על-ידי הגרפים של שתי הפונקציות בין שתי נקודות ההשקה הקרובות ביותר לראשית הצירים ד + - קבוע); + f()d - קבוע); v() d K ) ) f() + g() = K הן פונקציות רציפות המקיימות: g() הבע באמצעות K את האינטגרל: u() + v() = + + f()d = + 9 f() ו- g()d ללא קשר לסעיף א', u() ו- v() הן פונקציות רציפות המקיימות: הבע באמצעות את האינטגרל: + + [ ] v() d = u() d 8
9 נתונה הפונקציה 6 f() = + השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה, על-ידי הישר ועל-ידי הצירים, מסתובב סביב ציר ה- = הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות עבור איזה ערך של נפח גוף הסיבוב הוא מינימלי? ), ( יש מינימום בנקודה ) c, b, מספרים ממשיים) 9 f() = + b + c+ לפונקציה 5 בנקודה בה = לפונקציה יש מקסימום b, ו- c מצא את ערכי הפרמטרים מצא את נקודת ההשקה לגרף הפונקציה f() העבירו משיק בעל שיפוע מינימלי M O משיק למעגל R הוא מיתר במעגל שרדיוסו 95 M היא נקודה כלשהי על היקף המעגל הנקודה בנקודה (ראה ציור) מצידו השני של המיתר ( < α < ) הבע את הסכום נתון: =α המקסימלי של המיתרים M ו- M באמצעות ללא קשר לסעיף א', נתונה הפונקציה: g() = cos + cos + cos כמה פתרונות יש למשוואה = g() בתחום הנ"ל α ו- R בתחום f ( ) נתון כי = f() = + 96 הנגזרת של הפונקציה f() היא: מצא את f() לגרף הפונקציה שאת משוואתו מצאת בסעיף א', העבירו משיק בנקודה שבה = 5 מצא את משוואת המשיק ג השטח המוגבל על-ידי המשיק ועל-ידי הצירים מסתובב סביב ציר ה- מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר M D C N 97 מעוין CD חסום במשולש MN כך שהצלעות ו- C של המעוין מונחות על הצלעות M ו- N של המשולש D נמצא על הצלע MN (ראה ציור) הקודקוד בהתאמה M =, D = d, C = β נתון: d ו- הבע את שטח המשולש MN באמצעות β, הבע את השטח המינימלי של המשולש MN באמצעות β ו- d 8
היא פונקציה זוגית הוכח כי פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית ורציפה בקטע 98 הדרכה: סמן ב- F() את הפונקציה הקדומה של f() חקור את ( G() = F() )F והראה כי = G() הנגזרת f() של הפונקציה f() היא רציפה ואי-זוגית בתחום בציור שלפניך מוצגת סקיצה של בתחום f() (i) מצא את שיעורי ה- של נקודות הקיצון ומצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() בתחום בתחום f() סרטט סקיצה של (ii) f() ( ) 99 g() = 5 ו- c> נתונות שתי הפונקציות f() = c מנקודת החיתוך של הפונקציות מורידים אנך לציר ה- השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה f(), על-ידי האנך ועל-ידי ציר ה- (ראה ציור) מסתובב סביב ציר ה- הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות c חשב את ערך הפרמטר c שעבורו נפח גוף הסיבוב שנוצר הוא מקסימלי חשב את הנפח המקסימלי 9 במשולש ישר-זווית הקודקוד ( = ) C C המצא על הפרבולה הקודקודים f() = נמצאים על ציר ה- C ו- ברביע הראשון נתון: ( ) מצא את שיעורי הנקודה כך ששטח המשולש C יהיה מקסימלי בנקודה, שאת שיעוריה מצאת בסעיף הקודם, העבירו משיק לפרבולה זווית α עם הכיוון החיובי של ציר ה- הראה כי α = C 6, המשיק יוצר 9 (סעיף א' אינו כלול בשאלון 586 החל משנה"ל תשע"א) cos ( cos + cos ) = sin ( sin sin ) נתונה פונקציה סתומה שמשוואתה היא: הראה כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ), ( מקביל לציר ה- 6 ( > ) ללא קשר לסעיף א', השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה f() = ועל-ידי ציר ה-, מסתובב סביב ציר ה- ידוע כי נפח גוף הסיבוב שנוצר הוא 59 מצא את ערך הפרמטר 8
> sin >, מתקיים 9 הוכח כי לכל cos > הוכח כי לכל >, מתקיים cos sin > ( ) הוכח כי לכל >, מתקיים g() =, f() = cos נתונות הפונקציות ללא קשר לסעיפים הקודמים, = השטח המוגבל בין הגרפים של הפונקציות f() ו- g() והישרים = ו- 6 מסתובב סביב ציר ה- חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר ג ד b ו- 9 נתונה הפונקציה: + b + + = f() ) ו- b מספרים ממשיים) ( + + ) + + מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ידוע כי ל-( f( אין אסימפטוטות המקבילות לציר ה- מצא את ערכי הפרמטרים f()d ג פשט את הפונקציה על-ידי חילוק פולינומים וחשב את האינטגרל הבא: α β γ cos cos cos הן זוויות במשולש שווה-שוקיים הוכח כי מתקיים: 9 γ, β, α O C O C הוא מקסימלי 95 R O ורדיוסיהם ס"מ = O ו- נתונים שני מעגלים שמרכזיהם המיתר המעגלים משיקים חיצונית בנקודה R ו- ס "מ = O, O והמיתר C נמצא במעגל שמרכזו נמצא במעגל שמרכזו ( < < ) O = ( נסמן: <β< ) נתון: C =β הבע את שטח המשולש C באמצעות β ו- הבע את השטח המקסימלי של בהנחה ש- β קבוע ו- משתנה, המשולש C באמצעות β על סמך סעיף ב', מצא את גודל הזווית β, שעבורה שטח המשולש ג + m 96 נתונה הפונקציה = f() m ) הוא פרמטר משתנה) + + מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את הערכים של m שעבורם ל-( f( יש שתי נקודות קיצון מצא את הערכים של m שעבורם הפונקציה עולה לכל בתחום הגדרתה מצא את הערכים של m שעבורם ל-( f( יש "חור" בגרף מצא את שיעוריה של כל אחת מנקודות אי-ההגדרה ג ד 8
97 sin 6 הפונקציה f() מקיימת: ) ( f הנגזרת של הפונקציה היא: = f() = cos cos מצא את f() = לגרף הפונקציה f() שאת משוואתה מצאת בסעיף א', העבירו משיק בנקודה בה מצא את השטח המוגבל על-ידי המשיק ועל-ידי הצירים 98 הפונקציה f() זוגית ורציפה בקטע f() מקיימת [, ] f( ) = f() = f() הנגזרת היא אי-זוגית ומקיימת: = () f f ( ) = f () = בציור שלפניך מוצגת סקיצה של הנגזרת השנייה ג ד ה ו ז בתחום () f מצא את תחומי העלייה והירידה של עבור f() f () < < מצא את תחומי החיוביות והשליליות של f() עבור < < < < מצא את שיעורי ה- של נקודות הקיצון של f() עבור מצא את שיעורי ה- של נקודות הפיתול ותחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של < עבור < f() סרטט סקיצה של f() בתחום נתון: f( ) = 5 מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה היעזר בסעיף הקודם וחשב את השטח המוגבל על-ידי הגרף של בתחום f() בנקודה שבה = f () ועל-ידי הצירים חשב את השטח המוגבל על-ידי הישר f() = 8 + c 99 נתונה הפונקציה הוכח כי בנקודה שבה = הפונקציה אינה גזירה = חותך את גרף הפונקציה ב- נקודות הישר = ועל-ידי גרף הפונקציה 95 8+ c = f() b,) פרמטרים קבועים, c- פרמטר משתנה) נתונה הפונקציה + b + >, < < הפונקציה מוגדרת בתחום <, מצא את ערכי הפרמטרים ו- b מצא את הערכים של c שעבורם ל- f() יש "חור" בגרף מצא את השיעורים של נקודות אי-ההגדרה ג הבע באמצעות c את שיעור ה- של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם האסימפטוטה המקבילה לציר ה- ד מצא את ערכי הפרמטר c שעבורם הפונקציה יורדת לכל בתחום הגדרתה 85
נמק g() = f() 95 נתונות שתי פונקציות + 8 6, f() = מצא את תחומי החיוביות והשליליות של f() g() היא פונקציה זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? האם g() סרטט סקיצה של ג g() אינה גזירה מצא את שיעורי ה- של הנקודות בהן הפונקציה ד 9 R - 97 =, = 8, = 9 9 תשובות לפרק ג 9 6 6 ; t= 5 g() = 6t t t, f() = 5 5 8 t= 9 9 7 ד ג ג ד ב = 5 + 6 96 min II S = 9 f () 7 ק"מ 77 ק"מ = = II f () f(), I t t 6 (), I f מקסימום, מינימום 8 + t S(t) = t ג S min =,t = - - 7 9 = m S = 9 9 95 98 99,t = 9 () II f() ; I f ג קעירות כלפי מעלה < 7 <, ; > 7, קעירות כלפי מטה: > =, = 7 ד 7 ג נקודות פיתול: 9 86
8 (, ) (, ) ג 9 f() f () 9 ג ; < <, < <, < < עלייה: ; < < ד 9 חיובית: שלילית: < < < < ; ירידה: ( ) min, 5, m (, 5) = c=, = 99 96 M M 95 + = ג b = 9 7 b = ( ) + α R sin sin 98 m 6 6 9 m 6 = 9 97 ג ג ד ג 5 9 ( ), b = 96 9 68 95 9 95 9 S= 6 + 95 = 8 8 = 9 9 ירידה: ג c= 5 = + + g() 5, = ( + K, ), b = 6, = 99 ( ) אין; עלייה: נקודות קיצון: ד אין = 9 R 8, 6, ; > 5 = +, < < 5 Rcos ד 9 + d tn β = 5 96 7 ( + + ) 9 96 α R cos 95 9 (, ) d d ( cosβ) ( cosβ ) dsin β + + 97 7 K 9 97, < 9 9 c=,b= 6 = ג - - - - f() (ii) (i) מינימום: = ; = ±, מקסימום: = ± ; < <, < <, < < < <, < <, < < 98 ירידה: עלייה: = 5 V = 8, c= 5c c ( + ) 559 9 ( ), 6 6 9 ד = b ג, = >, < <, < 9 99 9 87
, < ;(, 8) 96 sinβ β sin ) sin β cos cos( β+ ג ג ד : m= m 5 m> 5 f() = cos, m< 97 > (, 6) 95, < < : m= 5 - - - f() < < 98 עלייה: < < <, < ; ירידה: < < חיובית: < < <, < ; שלילית: < <,, < < ג = מינימום ד קעירות כלפי מעלה: < <, ; < <, < < ; קעירות כלפי מטה: < < פיתול: =± =±, ה ראה ציור ו 5 5 = ז 5 (, 5 ) : c = ;(, 5 ) : c = 7 b =, = 95 7 c 7 c + 99 ד ג 8 < < > ; שלילית: ג ראה ציור < 95 חיובית: לא זוגית ולא אי-זוגית ד = =, 88