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2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Weight space 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Log MSE (db) 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Weight space 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Log MSE (db) 5 5 10 10 15 15 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 epochs 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 epochs. A!"# t $$t T06/9< <2. 04<32U.7K 02232 4G2J0 KG267/ H0.2767/ k32. D^.7K A _^e
$ƒ!$ ƒ!$ ' ƒ $ƒ!$ ƒ! 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Weight space 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Log MSE (db) 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 Weight space 1.4 2 1.6 1.2 0.8 0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 Log MSE (db) 5 5 10 batch 10 15 15 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 epochs 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 epochs!"# t $ t T06/9< <2. 04<32U.7K 02232 4G2J0 KG267/ 5<349.5<64 H0.2767/ k32 E_e!"# t $ t T06/9< <2. 04<32605.7K 022325 k32 DB DB D 70<\32M <2.670K G567/ 5<349.5B <64 H0.2767/ e $ $ Š $ˆ ƒ# ˆ#% # $ ƒ!!! ƒ! Ž $! '$$ Ž Š $ Ž $ $ ˆ ƒ#$ Šˆ Š #$$$ #$$$ $$!$% '! $!!! #$$ $ ˆ Š %! #$$ $ ˆ Š Ž #$ % Š #$$! Š #$$ $ $ $ $ Š ˆ ƒ#
y ω 3 ω 1 ω 2 ω 0!"# χ t $ t >90-676-.H -GH<6H.U02 70<\32M e $ $#$ Š ƒ$ $ $Š $# Š $!$ $$! # Ž $ Š ' $ ˆ ƒ '#$ $ ª Ÿ # Ž $ ˆ $! ˆ' ## ' # $ $Š ## ' $ƒ $ˆ! $! $ ## $ $ ## ' $# Ž $# $ $ˆ ƒ# ƒƒ $$ ƒ$ ' $' ˆ $ $ # # $ Š $$ ˆ $ $'%! ƒ # ƒ ƒ# $ Š #! Š $ ## ƒ$ # $ƒ! #!'! $ Š ƒ $ƒ ## #! ˆ'! $# #! $ ˆ ˆ! Š ƒ '#$ #! $ ## ˆ $Š $ƒ # ' ## ƒ$$'#! $ #! ƒ '#$ $## $ $ Š '! Šˆ! $ $$ ' $ ƒ!$! ƒ#! Œ ƒ#! $ ˆ # ƒ ˆ! ƒˆ # $ Š## $ƒƒ$ ƒ '#$ Š '! #! $$ Š $ $! #! $ #$ ƒ #! $ $ $! $ '$!$! $ ' $ ' ƒ $ $!!$ ƒ!$ ˆ ˆˆ Š $! $$ $ # # $ Š $ƒ! #
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ω -½ Λ Θ U ΘΛ -½ Newton Algorithm here... output...is like Gradient Descent there output ω Network U -½ Λ Θ ω Network input input!"# t $ t FM0<49 3k <90 \96<0767/ ;23;02<605 3k <90 N0\<37.H/326<9- e Ž $# ˆ ƒ ƒƒ$! ƒˆ $ ˆ!!$% $ $$ ƒ# # ˆ ƒ$!!$! $ ˆ ˆ ## $ƒ# $#! ƒ$ $ $$ # $! ˆ $ ˆ ƒ# $ # Š ' # Ž! ƒƒ $ $ $$ˆ ƒ!$!! ˆ ˆ # # $! # $ '$ # $ #!!! #!!$ $! ' ˆ # $ #! ' $ ˆ # $! ## $ƒ# $# Š ƒ$ Ž # Š!$! $ $ $ Š '!! #! &$
first descent direction gradients conjugate direction!"# t $ t FM0<49 3k 437 G/.<0 /2.K607< K6204<6375 67. _: 02232 5G2k.40e #! &' Ž! $!!! $ Š! $ #! $ $ƒ Š! $$ ˆ $ ˆ ƒ Š ' $ $ ω κ ρ κ 1 ρ κ!"# t $ t FM0<49 3k 437 G/.<0 /2.K607< K6204<6375 67. _: 02232 5G2k.40e! # $ ƒ! ƒš #! Š '#$
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0 0.5 1 the ratio between the 1st and the 11th eigenvalues is 8 Log 10 Eigenvalue 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Eigenvalue order!"# t $ t 6/07J.HG0 5;04<2G- 67. ` H.U02 59.20K \06/9<5 70<\32M _^ D_a ` DE <2.670K 37 Q_E 9.7K\26<<07 K6/6<5e #$ # Ž $ ' $ # $ƒ!! ƒ!! ƒ# $# # # # $! Š$ $ˆ ˆ $ ## # #$ # ˆ ƒ$ $!' $ # Š # $ $ $! # $$ # # $ #$ $ y y} {} { z } z ~ z š { z { Š $ $ # $!! $ Š # $ # $ $ ƒ $ˆ ƒ$$ˆ $ Š $ ' ƒƒ# #$$ # $!! ˆ!$ Ž $ $ Š## $$ Šˆ % $$ % ' %(!! # ƒƒ# $ˆ ## $! ' ˆ! $ $ˆ ## $ $! $ƒ! ƒ ˆ $ ( $ $!! ˆ!$ %! #%$! Š ' $! $ $ ˆ! ( Š $!$ $$! ƒ$# ƒƒ# # ' # ˆ ƒ Š##! $ $!!$ $! ' # #$$ ƒ'#ˆ $ $ˆ ## ƒ'#ˆ $ #%#! ƒ$ # Š ƒƒ ˆ % # ƒ'#ˆ $ $! # %&'
Number of Eigenvalues 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 Big killers 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Eigenvalue magnitude!"# t t 6/07J.HG0 5;04<2G- 67. ` H.U02 59.20K \06/9<5 70<\32M _^ D_a ` DE <2.670K 37 Q_E 9.7K\26<<07 K6/6<5e!"# t $t ZGH<6H.U020K.2496<04<G20j <90 50437K K026J.<6J0 65 3k<07 5-.HH02 67 H3\02 H.U025e
'$ '$ ˆ' Š $ƒ! #'#! $ˆ ƒ# # ˆ ƒ$ $ ˆ ' $ ƒƒ#! #! %!! ƒ'#ˆ $ ' ˆ! # Š! ƒˆ ##! $ #! $ˆ $ $ # $ ƒ! $ ƒ#! ' Œ ' (! ƒ # ˆ! Ž ' $ $ $ Š ' (! # ˆ! $ ˆ ƒ! # $$ $ˆ Š $!! $ƒ ƒˆ Ž $$ $!! ' '! ' ƒƒ $ $ Šˆ#$ Š $ $ $ $ $ $ˆ $ $ ˆ ˆ ƒ!!# # $ Š ƒˆ!$ #'# #! $ $ˆ Š! # $!! $ƒ $ ƒˆ ƒ Šˆ '# ƒ $ $!! $ $ˆ ## ƒˆ ˆ $ ƒ$ Š Š Ž $ˆ $ ˆ ƒ! $ $ $ˆ ## $!ˆ $ ˆ Š ˆ ˆ $ ' $! Ž $!!$ ' ˆ ƒ! ƒ $'$ Š $ # $# # #! ' $ˆ! Š ƒ $!!# $ # ' ƒƒ $ # '#! $ $ # Š ˆ' ' ˆ $ Š$ Š##! $ $! # ˆ! $ Š $ $! # % ' (! ˆ! Š ˆ ƒ#!' $$ Š #% $ '$# ƒˆ $ $ Š $! $ˆ ## # $ Š## $ Š ˆ ƒ ƒ ƒ# # % Š $$ ˆ ƒ $$ $#Š &ˆ ˆ' $ #$!! ˆ! ƒƒ ˆ $ˆ ##$ Š $$ ˆ ƒ $$ $ #$
Weight space 2 Learning rates: η0 = 0.12 η1 = 0.03 η2 = 0.02 Hessian largest eigenvalue: λ = 0.84 max 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Maximum admissible Learning rate (batch): η = 2.38 max 0 5 10 Log MSE (db) 15 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 epochs!"# t t F<349.5<64 K6./37.H @0J07A02/BZ.2 G.2K<.H/326<9- e :.<. 50< k23- _ Y.G5B 56.75 \6<9 DEE 0u.- ;H05e >90 70<\32M 9.5 370 H670.2 G76<C _ 67;G<5.7K D 3G<;G<C 6e0e <9200 ;.2.- 0<025 _ \06/9<5C D A6.5 e
2 Weight space Learning rates: η0 = 0.76 η1 = 0.18 η2 = 0.12 Hessian largest eigenvalue: λ = 0.84 max 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Maximum admissible Learning rate (batch): η = 2.38 max 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 Log MSE (db) 15 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 epochs!"# t t F<349.5<64 K6./37.H @0J07A02/BZ.2 G.2K<.H/326<9- e :.<. 50< k23- _ Y.G5B 56.75 \6<9 DEE 0u.- ;H05e >90 70<\32M 9.5 370 H670.2 G76<C _ 67;G<5.7K D 3G<;G<C 6e0e <9200 ;.2.- 0<025 _ \06/9<5C D A6.5 e
ƒ $# Š!$ $$ $ $ Šˆ!ˆ # ## ## ƒ ƒ# ƒ ƒ# $ƒ! ## $ƒ! # ˆ! ˆ $ $ Š Š $ˆ ## ƒ% '$ Š! #$ #! ƒ ƒ# Š $ $ˆ ## $ Š $ ƒ! $ Š!! '! ƒƒ $ƒ$ Š ƒ $ Ž Š## # ˆ $ $ Š % ' # $ # Š $$ Š$ Ž $ˆ ˆ # ˆ ƒ$!ˆ $ $ Š # Š ƒ ƒ $ ƒ$!!$! ƒ Š!! '! ƒƒ $ƒ $ ƒšˆ!!!$ $! $!!! Š!! '! ƒƒ $ƒ $ ƒšˆ! ƒ'!!!$ $!!' $ ˆ ƒ!! Š $ ƒ!! #ƒ Šˆ % # $'# $'# $# $ '! Š ƒˆ # # $ $ $ # Š # $ Š Š ˆ' Š ƒ ƒ$$ Š #! $ ƒ!ƒ # $ Š! Š $ $ #$!! $ Š Š ƒ ƒ$$! Š ˆ! Š # # $! ˆ ƒˆ $ #$ '$ $ Š $$ $ˆ ##
80 70 60 eigenvalue 50 40 30 20 γ=0.01 γ=0.003 10 γ=0.1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 γ=0.03 Number of pattern presentations!"# t t J3HG<637 3k <90 06/07J.HG0.5. kg74<637 3k <90 7G-A02 3k ;.<<027 ;20507B <.<6375 k32. 59.20K \ 06/9< 70<\ 32M \ 6<9 ^ H.U025 C ` Qa 437704<6375.7K D_Pa k200 ;.2.- 0<025e >90 <2.6767/ 50< 437565<5 3k DEEE 9.7K\26<<07 K6/6<5e
! $ $ˆ #!$! ƒšˆ! ˆ' Š ƒ $ # $ ˆ ƒ! ' ˆ#ƒ# ƒ%!! # ' ƒ!! $ $ $ $ ƒ!! ƒˆ # # $ $ $!# $ #$! ' '$ Š $!$ ƒ!! ƒˆ # $ ƒˆ # 2.5 2 MEAN SQUARED ERROR 1.5 1 0.5 1 epoch 2 epochs 3 epochs 4 epochs 5 epochs 0 0 0.250.50.75 1 1.251.51.75 2 2.252.52.75 3 3.253.53.75 4 LEARNING RATE PREDICTED OPTIMAL LEARNING RATE!"# t t Z 0.7 5 G.20K 02232.5. kg74<637 3k <90 2.<63 A 0<\007 H0.2767/ 2.<0.7K ;20K64<0K 3;<6-.H H0.2767/ 2.<0 k32. kghhu 437704<0K 70<\32M Pa` QE DE e >90 <2.6767/ 50< 437565<5 3k QEE 9.7K\ 26<<07 K6/6<5 e
2.5 2 MEAN SQUARED ERROR 1.5 1 0.5 1 epoch 2 epochs 3 epochs 4 epochs 5 epochs 0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 LEARNING RATE PREDICTED OPTIMAL LEARNING RATE!"# t t Z 0.7 5 G.20K 02232.5. kg74<637 3k <90 2.<63 A 0<\007 H0.2767/ 2.<0.7K ;20K64<0K 3;<6-.H H0.2767/ 2.<0 k32. 59.20K \06/9< 70<\32M \6<9 ^ H.U025 DE_` D^ a QV_ `EE DEE DE C ` Qa H34.H 437704<6375.7K D_Pa k200 ;.2.- 0<025 59.20K \06/9<5 e >90 <2.6767/ 50< 437565<5 3k DEEE 9.7K\ 26<<07 K6/6<5 e
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