Συμβολή κυμάτων Το σημείο Μ είναι ένα τυχαίο σημείο της επιφάνειας που απέχει απόσταση r1 από την πηγή Π1 και r2 από την πηγή Π2 (με r2> r1). Η πηγή Π1 παράγει κύματα με εξίσωση: y 1 = Aημ2π ( t T r 1 λ ) με t r 1 Από 0s έως t 1 r 1, κανένα από τα δύο κύματα δεν έχουν φτάσει στο σημείο Μ, συνεπώς το σημείο αυτό είναι ακίνητο με y M = 0. H πηγή Π2 παράγει κύματα με εξίσωση: y 2 = Aημ2π ( t T r 2 λ ) με t r 2 Το κύμα από την πηγή Π2, αργεί να φτάσει στο Μ, αφού βρίσκεται πιο μακριά σε σχέση με την πηγή Π1 (r2> r1). Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 1
Το σημείο Μ εκτελεί τρεις διαφορετικές κινήσεις, άρα θα έχουμε και τρεις εξισώσεις απομάκρυνσης για t 0. 1. y M = 0 (ακίνητο) για 0 t < t 1 με t 1 = r 1 2. y 1 = Aημ2π ( t T r 1 λ ) για t 1 t < t 2 με t 2 = r 2 Δηλαδή το σημείο Μ εκτελεί α.α.τ. υπό την επήρεια του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π1 η οποία βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο Μ. 3. y M = 2Aσυν2π r 1 r 2 2λ ημ2π ( t T r 1+r 2 2λ ) για t t 2 H παραπάνω εξίσωση είναι η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης από τη Θ.Ι. του σημείου Μ εξαιτίας της συμβολής των κυμάτων, δηλαδή της ταυτόχρονης διάδοσης των κυμάτων που προέρχονται από τις πηγές Π1 και Π2. ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Όταν ζητείται χρονική εξίσωση απομάκρυνσης για t 0, πρέπει να γραφούν και οι τρεις καταστάσεις του σημείου Μ ακριβώς όπως περιγράφηκαν προηγουμένως. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 2
Από την εξίσωση συμβολής, ο όρος: Η απόλυτη τιμή χρησιμοποιείται ΜΟΝΟ όταν υπολογίζουμε ξεχωριστά το πλάτος Α κάποιου σημείου της επιφάνειας του μέσου. 2A συν2π r 1 r 2 2λ = Α είναι το πλάτος ταλάντωσης του κάθε σημείου της επιφάνειας του μέσου. Άρα κάθε σημείο ταλαντώνεται με ένα «δικό του» πλάτος Α, το οποίο εξαρτάται από τη διαφορά των αποστάσεων r 1 r 2 και κυμαίνεται από: 0 Α 2Α Ορισμένα σημεία θα ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α = 2Α, δηλαδή θα παρατηρείται ενισχυτική συμβολή στα σημεία αυτά. Η διαφορά των αποστάσεων για τα σημεία αυτά είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ: 2Α = 2A συν2π r 1 r 2 2λ ή συν2π r 1 r 2 2λ = 1 συν2π r 1 r 2 2λ = ±1 ή 2π r 1 r 2 2λ = Νπ ή r 1 r 2 = Νλ με Ν = 0, ±1, ±2 (Συνθήκη Ενίσχυσης) Όλα τα σημεία που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη αποτελούν μια οικογένεια υπερβολών που ονομάζονται κροσσοί ενισχυτικής συμβολής και χαρακτηρίζονται η καθεμία από μια συγκεκριμένη τιμή Ν=.. -2,-1,0,1,2.. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 3
Ορισμένα σημεία θα παραμένουν συνεχώς ακίνητα, δηλαδή θα παρατηρείται ακυρωτική ή αποσβεστική συμβολή στα σημεία αυτά (Α = 0). Η διαφορά των αποστάσεων για τα σημεία αυτά είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος λ: 0 = 2A συν2π r 1 r 2 2λ ή συν2π r 1 r 2 2λ = 0 συν2π r 1 r 2 2λ = 0 ή 2π r 1 r 2 2λ = (2Ν + 1) π 2 r 1 r 2 = (2Ν + 1) λ 2 με Ν = 0, ±1, ±2 (Συνθήκη Απόσβεσης) Όλα τα σημεία που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη, αποτελούν μια οικογένεια υπερβολών που ονομάζονται κροσσοί αποσβεστικής ή ακυρωτικής συμβολής και χαρακτηρίζονται η καθεμία από μια συγκεκριμένη τιμή Ν=.. -2,-1,0,1,2.. Ορισμένα σημεία δεν ανήκουν ούτε σε υπερβολή ενίσχυσης, ούτε σε υπερβολή απόσβεσης, άρα ούτε ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος 2Α, ούτε είναι συνεχώς ακίνητα. Απλά ταλαντώνονται με τυχαία πλάτη το καθένα (0 Α 2Α) και υπολογίζεται από τη σχέση: Α = 2A συν2π r 1 r 2 2λ Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 4
Με μαύρο χρώμα έχουν σχεδιαστεί οι υπερβολές ενίσχυσης και με κόκκινο χρώμα οι υπερβολές απόσβεσης. Ενδιάμεσα των υπερβολών αυτών βρίσκονται σημεία που εκτελούν ταλάντωση με τυχαίο πλάτος 0 Α 2Α. Προφανώς, σημεία που ανήκουν στη μεσοκάθετο του τμήματος που συνδέει τις 2 πηγές, είναι σημεία ενίσχυσης αφού ισχύει r 1 = r 2. Άρα: Α = 2A συν2π r 1 r 2 2λ με r 1 r 2 = 0 Α = 2Ασυν0 Α = 2Α 1 = 2Α (ενίσχυση) Δεξιά της μεσοκαθέτου βρίσκονται οι υπερβολές με θετικές τιμές N και αριστερά αυτές με αρνητικές τιμές Ν. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 5
Διαφορά χρόνου που τα κύματα από τις δύο πηγές φτάνουν στο σημείο Μ. Δt = t 2 t 1 = r 2 r 1 = r 2 r 1 δηλαδή Δt = Δr (με απόδειξη) Διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που εκτελεί το σημείο Μ εξαιτίας των δύο κυμάτων. Δφ = φ 1 φ 2 = 2π ( t T r 1 λ ) 2π(t T r 2 λ ) = 2π t T 2π r 1 λ 2π t T + 2π r 2 λ = 2π r 2 r 1 λ Δηλαδή: Δφ = 2π Δr λ Τρόποι απόδειξης ότι ένα σημείο εκτελεί ενίσχυση ή απόσβεση. 1) Με υπολογισμό του πλάτους ταλάντωσης του σημείου. Εάν: Α = 2Α ενίσχυση Α = 0 απόσβεση Α 0 και Α 2Α τίποτα από τα δύο. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 6
2) Με υπολογισμό της διαφοράς r 1 r 2. Εάν: r 1 r 2 = Νλ ενίσχυση r 1 r 2 = (2Ν + 1) λ 2 απόσβεση r 1 r 2 Νλ και r 1 r 2 (2Ν + 1) λ 2 τίποτα από τα δύο. 3) Με υπολογισμό της διαφοράς φάσης Δφ. Εάν: Δφ = Ν 2π (0, 2π, 4π, 6π ) ενίσχυση Δφ = (2Ν + 1) π (π, 3π, 5π, 7π ) απόσβεση Δφ = Ν 2π και Δφ = (2Ν + 1) π τίποτα από τα δύο. Σημεία ενίσχυσης (πλήθος και θέσεις) πάνω στην ευθεία που ενώνει τις δύο πηγές. (d) Σ Π 1 Π 2 r1 r2 Έστω ένα σημείο Σ πάνω στο τμήμα Π1Π2 με r1>r2, το οποίο ανήκει σε υπερβολή ενίσχυσης. Αφού το Σ είναι σημείο ενίσχυσης, θα ισχύει: r 1 r 2 = Nλ αλλά και r 1 + r 2 = d Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις r 1 r 2 + r 1 + r 2 = Nλ + d 2r 1 = Nλ + d r 1 = Nλ + d 2 με Ν = 0, ±1, ±2 (Σχέση 1) Αφού το Σ είναι σημείο του τμήματος Π1Π2 πρέπει όμως να ισχύει και: 0 < r 1 < d Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 7
Και αξιοποιώντας τη σχέση 1 για r1: 0 < Nλ + d 2 < d ( 2) 0 < Nλ + d < 2d ( d) d < Nλ < d ( λ) d λ < Ν < d λ με Ν Ζ Επίσης, μπορούμε να υπολογίσουμε και τις θέσεις των σημείων ενίσχυσης χρησιμοποιώντας τη σχέση (1) για τις διάφορες τιμές του Ν. Σημεία απόσβεσης (πλήθος και θέσεις) πάνω στην ευθεία που ενώνει τις δύο πηγές. Έστω ένα σημείο Σ πάνω στο τμήμα Π1Π2 με r1>r2, το οποίο ανήκει σε υπερβολή απόσβεσης. Αφού το Σ είναι σημείο απόσβεσης, θα ισχύει: r 1 r 2 = (2N + 1) λ 2 Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις αλλά και r 1 + r 2 = d r 1 r 2 + r 1 + r 2 = (2N + 1) λ 2 + d 2r 1 = (2N + 1) λ 2 + d r 1 = (2Ν + 1) λ 4 + d 2 με Ν = 0, ±1, ±2 (Σχέση 1) Αφού το Σ είναι σημείο του τμήματος Π1Π2 πρέπει όμως να ισχύει και: Και αξιοποιώντας τη σχέση 1 για r1: 0 < r 1 < d 0 < (2Ν + 1) λ 4 + d 2 < d ( d 2 ) Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 8
d 2 < (2Ν + 1) λ 4 < d 2 2d < (2N + 1)λ < 2d 2d λ < 2Ν + 1 < 2d λ ( 4) ( λ) ( 1) 2d λ 1 < 2Ν < 2d λ d λ 1 2 < Ν < d λ + 1 2 1 ( 2) με Ν Ζ Επίσης, μπορούμε να υπολογίσουμε και τις θέσεις των σημείων απόσβεσης χρησιμοποιώντας τη σχέση (1) για τις διάφορες τιμές του Ν. Παράδειγμα υπολογισμού πλήθους και θέσεων σημείων ενίσχυσης d=5m και λ=1,6m Έστω ένα σημείο Σ όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα το οποίο ανήκει σε υπερβολή ενίσχυσης. Για το Σ ισχύει: r 1 r 2 = Nλ αλλά και r 1 + r 2 = d Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις r 1 r 2 + r 1 + r 2 = Nλ + d 2r 1 = Nλ + d r 1 = Nλ + d 2 με Ν = 0, ±1, ±2 (Σχέση 1) Αφού το Σ είναι σημείο του τμήματος Π1Π2 πρέπει όμως να ισχύει και: Και αξιοποιώντας τη σχέση 1 για r1: 0 < 0 < r 1 < d Nλ + d 2 < d ( 2) 0 < Nλ + d < 2d ( d) d < Nλ < d ( λ) Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 9
d λ < Ν < d λ με Ν Ζ 5 1,6 < Ν < 5 1,6 3,125 < Ν < 3,125 και επειδή Ν ακέραιος Ν = 3, 2, 1,0,1,2,3 δηλαδή 7 σημεία ενίσχυσης Επίσης, μπορούμε να υπολογίσουμε και τις θέσεις των σημείων ενίσχυσης χρησιμοποιώντας τη σχέση (1) για τις διάφορες τιμές του Ν που βρήκαμε. Για Ν = 3: r 1 = 0,2m Για Ν = 2: r 1 = 0,9m Για Ν = 1: r 1 = 1,7m Για Ν = 0: r 1 = 2,5m Για Ν = 1: r 1 = 3,3m Για Ν = 2: r 1 = 4,1m Για Ν = 3: r 1 = 4,9m Ελάχιστη συχνότητα f min για ενισχυτική ή ακυρωτική συμβολή. Έστω Σ ένα σημείο ενίσχυσης με r 1 r 2. Ισχύει ότι: r 1 r 2 = Nλ r 1 r 2 = Ν f αφού = λf f = N με Ν = 1,2,3 (όχι Ν = 0 διότι r r 1 r 1 = r 2 και f = 0) 2 Προφανώς η ελάχιστη συχνότητα fmin προκύπτει όταν Ν=1, δηλαδή με τη μικρότερη επιτρεπτή τιμή του Ν. Άρα: f min = r 1 r 2 (με απόδειξη) Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 10
Έστω Σ ένα σημείο απόσβεσης με r 1 r 2. Ισχύει ότι: r 1 r 2 = (2N + 1) λ 2 r 1 r 2 = (2N + 1) 2λ f = (2N + 1) 2(r 1 r 2 ) με Ν = 0,1,2,3 Προφανώς τώρα η ελάχιστη συχνότητα fmin προκύπτει όταν Ν=0, αφού η τιμή 0 επιτρέπεται στη συγκεκριμένη περίπτωση. Άρα: f min = 2(r 1 r 2 ) (με απόδειξη) Χρήσιμες παρατηρήσεις Δύο διαδοχικά σημεία του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές στα οποία συμβαίνει ενισχυτική συμβολή, απέχουν μεταξύ τους απόσταση λ 2. Δύο διαδοχικά σημεία του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές στα οποία συμβαίνει ακυρωτική συμβολή, απέχουν μεταξύ τους απόσταση λ 2. Δύο διαδοχικά σημεία του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές, όπου στο ένα σημείο συμβαίνει ενισχυτική και στο άλλο ακυρωτική συμβολή, απέχουν μεταξύ τους απόσταση λ 4. Όλα τα σημεία που ανήκουν στην ίδια υπερβολή έχουν ίδια τιμή Ν, αλλά και ίδια διαφορά αποστάσεων Δr = r 1 r 2. K Ν=2 r1 r2 Κ: r 1 r 2 = 2λ Π1 r1 r2 Π2 Λ: r 1 r 2 = 2λ Λ Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 11