مدلی برای حل مسائل برنامهریزی چندهدفه مبتنی بر تئوری امکان با متغیرهای تصمیم فازی

مدري ي ت صنع ت ی دانشكدۀ مديريت دانشگاه تهران دورۀ 6 شمارۀ 4 زمستان 1393 ص. 709-724 مدلی برای حل مسائل برنامهریزی چندهدفه مبتنی بر تئوری امکان با متغیرهای تصمیم فازی مهناز 3 2 1 حسینزاده محمدباقر منهاج عالیه کاظمی چکیده: در اين پژوهش مدلی برای حل مسائل برنامهريزی چندهدفة فازی مبتنی بر تئوری امكان با منابع غیر دقیق و متغیرهای تصمیم فازی ارائه شده است. با توجه به ماهیت غیر دقیق میزان منابع در دسترس تعی نی يک جواب قطعی برای مدل غیر منطقی بهنظر میرسد. بدينمنظور مدل پیشنهادی بهگونهای طراحی شده که تصمیمها را بهصورت فازی تعی نی میکند. اين روش نقايص روشه یا پیشین ارائهشده در اين زمینه را برطرف کرده است و مهمترين مزيت آن سهولت در بهکارگیری است. مدل پیشنهادی در مسئلهای برای تخصیص سفارش به تأمینکنندگان بهکار گرفته شده و کارايی آن در عمل آزمايش شده است. با توجه به ماهیت فازی جوابه یا بهدستآمده از حل مدل تصمیمگیرنده با انعطاف بیشتری در تصمیمگیری مواجه خواهد بود. واژههاي كلیدي: برنامهریزي چندهدفه برنامهریزي فازي مبتنی برر ئور ري امکرا ئخصریص رئبهبندي فازي عدد فازي مثلثی متغیر ئصمیم فازي. 1. دکتری مديريت تحقیق در عملیات دانشكدۀ مديريت دانشگاه تهران تهران ايران 2. استاد دانشكدۀ مهندسی برق و الكترونیک دانشگاه امیرکبیر تهران ايران 3. استاديار دانشكدۀ مديريت دانشگاه تهران تهران ايران ئاریخ دریافت مقاله: 1392 08/08/ ئاریخ پذیرش نهایی مقاله: 1393 02/20/ ن یسندة كاظمی عالیه مقاله: مسو ل Email: aliyehkazemi@ut.ac.ir

710 رررررررررررررررررررررررررررررررررررر مدري ي ت صنع ت ی دورة 6 شمارة 4 زمستا 1393 مقدمه تصمیمگیری دربارۀ مسائل پیچیده در شرايط پیچیده و با چندين هدف و معیار متفاوت يكی از مهمترين فعالیتهای روزمرۀ انسانهاست. تاکنون روشهای بسیاری برای حل اينگونه مسائل پیشنهاد شدهاند که از جملة آنها تئوری مطلوبیت چندشاخصه )کینی و رايفا 1976 فرکوهر 1984( روشهای تئوری بايسین )شفر 1976( روشهای تحلیل سلسلهمراتبی )ساعتی 1986 هرکر و ورگز 1987( و روشهای برنامهريزی آرمانی )استیور 1986( است. بیشتر مسائل نیازمند تصمیمگیری در شرايط واقعی در محیطی نامطمئن اتفاق میافتند و بنابراين بسیاری از ضرايب اهداف و محدوديتها را نمیتوان بهصورت دقیق قطعی و بدون ابهام برآورد کرد. در عمل نبود دسترسی به نمونههای کافی يا دردستنداشتن يک مدل آماری زيربنايی موجب برآوردهای آماری ناکارآمد خواهد شد. درنتیجه استفاده از يک مدل تصمیم قطعی در اين شرايط به دستیابی به جوابهايی غیر واقعی منجر خواهد شد )مهدوی امیری و ناصری 2007(. در اين شرايط تئوری فازی چارچوبی تئوريک و مفهومی را برای اداره و مديريت چنین نبود اطمینانی فراهم میآورد. تئوری مجموعهه یا فازی را نخستینبار بلمن و زاده ( 1965( در فرايند تصمیمگیری بهکاار گرفتند. مفهوم برنامهريزی رياضی فازی بهصورت ک ی ل نخستینبار از ساوی تاناکاا و همكااران )1973( مطرح شد و برای بار اول زيمرمن )1978( مسئلة برنامهريازی خطای فاازی را فرمولاه کرد. از آن پس تكنیکه یا بسیاری برای حل مسائل برنامهريزی خطی فازی توسعه يافتند کاه در قالب دو دستة کلی برنامهريزی خطی فازی و برنامهريزی خطی مبتنی بر تئوری امكاان قارار گرفتهاند. ديسون معتقد است هنگامیکه توابع عضويت مسائل برنامهريازی خطای فاازی مانناد تئوری مطلوبیت براساس مفهوم ترجیحات تعیین میشود اين تابع عضاويت باا تاابع مطلوبیات تفاوتی ندارد اما اين گفته دربارۀ توزيعهای احتمال در برنامهريزی خطی احتمالی درست نیسات. در هر دسته از اين مدلها بعضی از قسمتهای مسئله بهصورت فاازی ياا غیار دقیاق در نظار گرفته شدهاند و راهكارهايی برای حل آنها ارائه شده اسات )الی و هوانا 1992(. بسایاری از مدلهای ارائهشده برای سادگی بیشتر جواب نهايی مسئله را بهصورت قطعی درنظر مایگیرناد )تاناکا و همكاران 2000( بدينمعنا که در يک محیط فازی تصمیمها بهصاورت قطعای اتخاا میشوند و بنابراين در اين فرايند تصمیمگیری جنبة فازی مسئله عمال ناديده گرفته میشاود. از آن پس چندين مدل برای حل مسائل برنامهريزی خطی فازی ياا مبتنای بار تئاوری امكاان باا متغیرهای تصمیم فازی ارائه شدند که هريک مزايا و معايبی دارند. عدهای نیاز مادلهاايی را باا عنوان مدلهای تمامفازی ارائه کردهاند )هاشمی و همكاران 2006 باوکلی و فیورينا 2000

711 مدلی براي حل مسائل برنامهریزي چندهدفه... ررررررررررررررررررررررررررررررررررررر الهويرانلو و همكااران 2008 دهقاان و همكااران 2006 ماالكی و همكااران 2000 لطفای و همكاران 2009 کومار و همكاران 2001( که در اين دسته از مدلها تمامی پارامترهای مسئله و متغیرهای تصمیم همزمان فازی فرض میشوند. با توجه باه ماوارد کرشاده در ايان تحقیاق تالش شده تا مدلی ارائه شود که با شمول بعضی پارامترهای فازی جاواب نهاايی را باهصاورت فازی و منطبق با شرايط تعیین کند. تعاریف مقدماتی اعداد فازی اعداد فازی تعمیم اعداد معمولی )قطعی( هستند و با استفاده از اصل گسترش میتوان عملگرهای جبری را برای آنها تعريف کرد. ئعریف 1-2: طبق تعريف عدد فازی A از نوع LR است اگر و فقط اگر: ma x L x ma wa Ax w A,wA 0 x ma R m A x wa )1 L0 و 1 بهطوریکه L و R توابع مرجعاند که چند خاصیت دارند: 1. متقارن هستند 2. R 0 و 3. توابعی هستند که در فاصلة ),0 [ غیر صعودی و در فاصلة [0, ( غیر 1 نزولیاند. A m مقدار میانگین عدد فازی A است و دو عددA,wA w میزان عرض باندهای چپ و راست A را اندازه میگیرند. اين يک فرم پارامتريک از عدد فازی A است و بههمین سبب میتوان A را با يک سهتايی به شكل زير نمايش داد: A m,wa, wa LR و میگويیم يک عدد فازی از نوع LR يک عدد فازی مثلثای اسات اگار تاابع عضاويت آن بهصورت تابع 2 باشد: m ) 2 A x 1 m A w A x ma wa x ma Ax 1 ma x ma wa wa در غیر اين صورت 0

712 رررررررررررررررررررررررررررررررررررر 1393 که نمايش آن بهصورت شكل 1 است: مدري ي ت صنع ت ی دورة 6 شمارة 4 زمستا شکل 1. نمایش عدد فازي مثلثی ئعریف 2-2: عملگرهای رياضی برای دو عدد فازی A و B که در فاصلة (,0] توابع L و R آنها کاهشی است عملگرهای اصلی بهصورت روابط 6 5 4 3 و 7 تعريف میشوند: A a,w,w A A, B b,w B,w LR B LR A B a b, wa w B,wA w B ) 3 LR w w,w ) 4 A B a b, w B A B A LR برای B 0 A 0 داريم: a,w,w. b,w, w a.b,aw bw, aw bw ) 5 A A LR B B LR B A B A LR A< 0 B 0 داريم: a,w,w. b,w,w a.b, aw bw, aw bw 6 A A LR B B LR B A B A LR و برای ) c داريم: و برای هر,w a,cw,cw c. a,w c ) 7 A A LR A A LR ئعریف 3-2: رتبهبندی فازی عدد فازی B از عدد فازی A کوچکتر است اگر و فقط اگر: B A 1) b a, 2 ) wb+ wb wa w ) 8 A )منهاج 2007(

713 مدلی براي حل مسائل برنامهریزي چندهدفه... ررررررررررررررررررررررررررررررررررررر مدل برنامهریزی چندهدفة مبتنی بر تئوری امکان با متغیرهای تصمیم فازی و منابع فازی فرم عمومی مسئلة برنامهريزی چندهدفه با اعداد سمت راست و متغیرهای تصمیم فازی بهصورت مسئلة 9 قابل تعريف است: Max Min Z Z,Z,,Zp ) 9 1 2 Z Z ( x j) 1 1 Z2 Z 2 ( x j) Zp Z p1 (x j) St : A x b i 12,,,m x i j j j 0 j 1, 2,,n در اين مدل ij) A a) نشاندهندۀ ماتريس ضرايب (j C c) بردار ضرايب متغیرها در bi b i,w bi,wbi و نشاندهندۀ بردار اعداد سمت راست است که b ( bi تابع هدف و ) x x) mj,w j,w j متغیرهای تصمیم فازی مسئلهاند که در آن اعداد فازی از نوع LR هستند ) و لزوما متقارن يا مثبت نیستند. با جايگذاری موارد کرشده میتوان مدل 9 را بهصورت مدل 10 نوشت: max Z c (x,w,w ) c (x,w,w ) c (x,w,w ) ) 10 1 11 1m 1 1 12 2m 2 2 1 n nm n n max Z c (x,w,w ) c (x,w,w ) c (x,w,w ) 2 21 1m 1 1 22 2m 2 2 2n nm n n max Zp c p1(x 1m,w 1,w 1 ) c p2(x 2m,w 2,w 2 ) c pn (x nm,w n,w n ) s.t. a (x,w,w ) a (x,w,w ) a (x,w,w ) [b,b,b ] 11 1m 1 1 12 2m 2 2 1n nm n n 1 1w 1w a M1(x Mm,w 1,w 1 ) a M2(x mm,w 2,w 2 ) a 1n(x nm,w n,w n ) [b M,b Mw,b Mw] (x jm,w j,w j ) 0 j 1,,n تاناکا و همكاران )2000( برای حل مسئلة فوق با متغیرهای تصمیم فازی مدلی را پیشنهاد کردند. آنها در اين مدل متغیرهای تصمیم را اعداد فازی مثلثی و تابع عضويت بردار فازی X را بهصورت رابطة 11 تعريف کردند.

714 رررررررررررررررررررررررررررررررررررر 1393 Π x Π x Π x Π x ) 11 مدري ي ت صنع ت ی دورة 6 شمارة 4 زمستا X X 1 1 X 2 2 X n n w w 1,,w n T و عدد سمت راست را a a 1,,a n T و X a,w و T بهطوریکه که با نمايش دادند يک عدد فازی مثلثی مثبت با تابع عضويت رابطة 12 تعريف کردند. ΠC 1 x C i r i i. ri تاناکا و همكاران ( 2000( تابع خطی 13 را 0 t Y a X a X a X Y 1 1 n t ( a X, a X ) t T n ci و 0 C ( c, r ) i i i T )12 C i بهطوریکه بهصورت رابطة 14 نشان دادند. و آنها با تعريف رتبهبندی دو عدد فازی Y i Y j بهصورت رابطة 15 و با توجه به رابطة 14 مدل برنامهريزی فازی زير را بهصورت مدل قطعی 16 تعريف کردند. 1 1 1 1 y h w y h w i i j j y h w y h w i i j j سطح امكان ازپیش تعیینشده است. )13 )14 )15 h 01 بهطوریکه, n max k p x k q w 1 j j 2 j j j1 j1 t t 1 t s.t. b a 1 h b w c ( 1 h) r n i i i i t b a 1 h b w c ( 1 h) r i i i i i 1,,m )16 همانطور که گفته شد اين مدل تنها برای زمانی قابل استفاده است که اعداد سمت راست اعداد فازی مثبت باشند و در صورت وجود اعداد منفی سمت راست قابل استفاده نیست. بهعالوه برای دستیابی به نتیجة مدل بايد برای مقادير مختلف p و q جوابهای مختلف را محاسبه کرد که زمان زيادی را بهخود اختصاص میدهد. مالكی و همكاران )2000( برای حل مدل برنامهريزی مبتنی بر تئوری امكان با متغیرها و منابع فازی تکهدفه پیشنهاد کردند که با حل ثانوية مدل که شامل مدل با تنها ضرايب تابع هدف فازی خواهد شد جواب مدل اولیه را مشخص کنند. بدينمنظور آنها مسئلة برنامهريزی خطی با متغیرهای تصمیم فازی را بهصورت مدل 17 تعريف کردند.

715 مدلی براي حل مسائل برنامهریزي چندهدفه... ررررررررررررررررررررررررررررررررررررر min Z by s. t. Y A C Y 0 )17 )18 m n m. Y F(R) و C F(R) AR بهطوریکه m n 0bR اين محققان مسئلة ثانوية مدل فوق را بهصورت مدل 18 تعريف کردند. max Z CX s.. t AX b X 0 همانطور که مشاهده میشود بهطور مستقیم با فرض مثبتبودن اعداد سمت راست و درنتیجه مثبتشدن متغیرهای تصمیم فازی قابل استفاده است. در غیر اينصورت مدل نشدنی میشود. از طرفی اين مدل با توجه به ساختار خود قابلیت تعمیم برای مسائل چندهدفه را ندارد. لطفی و همكاران )2009( نیز مدلی را برای حل مسائل با متغیرهای تصمیم فازی پیشنهاد کردند که اين مدل تنها برای مواردی قابل استفاده است که اعداد سمت راست و متغیرهای تصمیم اعداد فازی مثلثی متقارن باشند. در غیر اينصورت بايد مقدار اين پارامترها را با نزديکترين عدد فازی مثلثی متقارن تخمین زد و بنابراين جواب مسئله تقريبی است. آنها برای تقريبزدن هر عدد فازی مثلثی با نزديکترين عدد فازی متقارن بهصورت زير عمل میکنند: اگر ũ يک عدد فازی و u(r)) (u (r), فرم پارامتريک آن باشد برای تقريبزدن هريک از اعداد فازی مثلثی با نزديکترين عدد فازی متقارن به ũ بايد رابطة 19 را حداقل کرد: )19 2 1 1 2 D ( u, S x, σ u r S x, σ r dr u r S x, σ r dr 0 0 0 0 0 2 )20 که با حداقلکردن رابطة فوق برحسب (σ x) 0, به رابطة 20 میرسیم: بنابراين نزديکترين عدد فازی مثلثی متقارن به ũ ديفازیکنندههای ũ بهحساب میآيند. سپس آنها مسئله را به شكل مدل 21 تعريف کردند: 3 σ 1 u r u r 1 r dr 2 0 1 0 x 1 u r u r dr 0 x 0 با فازيت σ بهنوعی که است

مدري ي ت صنع ت ی دورة 6 شمارة 4 زمستا 1393 L R x, x, x L R L R MaxC C w w s. t. A C, w, w C, w, w C x x x x b b b w L x 716 رررررررررررررررررررررررررررررررررررر )21 0 بهطوریکه: X (C,w,w ),b (C,w,w ) L R L R x x x b b x که متغیرهای تصمیم و اعداد سمت راست با استفاده از تقريب گفتهشدۀ فوق برای اعداد مثلثی نامتقارن به نزديکترين اعداد فازی مثلثی نزديک به آنها تقريب زده میشوند و سپس مدل را ديفازی و حل میکنند. از مهمترين محدوديتهای اين مدل قابلیت کاربرد آن تنها برای اعداد فازی مثلثی متقارن است. همچنین اين مدل تنها برای اعداد فازی غیر منفی قابل استفاده است. بهعالوه حل مدل با استفاده از اين روش به زمان و محاسبههای بسیاری نیاز دارد. مدل پیشنهادی در اين قسمت تالش شده تا برای حل مدل برنامهريزی چندهدفه با متغیرهای تصمیم و منابع فازی روشی ارائه شود که ضمن برطرفکردن نقايص مدلهای پیشین از سادگی در محاسبهها نیز برخوردار باشد. اين مدل برای تمامی انواع حالتها برای اعداد سمت راست و متغیرها از اعداد قطعی گرفته تا اعداد فازی مثلثی متقارن نامتقارن و مثبت و منفی قابلیت استفاده دارد. در اين بخش برای حل مسئلة 10 گامهای زير را دنبال میکنیم: گام 1: هر تابع هدف را بهتنهايی و همراه با محدوديتهای کارکردی مسئلة اصلی در نظر میگیرد و بدينترتیب P مسئلة برنامهريزی خطی مبتنی بر تئوری امكان را با يک تابع هدف تعريف میکنیم. گام 2: با توجه به تعريف عملگرهای فازی هر مسئلة برنامهريزی فازی گام 1 به مسئلة 22 قابل تبديل است: n n n ) 22 max minz Pm,Z Pw,Z Pw c jx jm, c jw j, c jwj j1 j1 j1 P 1,,p n n n a ijx jm, a ijw j, a ijw j b im,b iw,biw j1 j1 j1 i 1,,M x (x,w,w ) is non negative j 1,,n jm j j

717 مدلی براي حل مسائل برنامهریزي چندهدفه... ررررررررررررررررررررررررررررررررررررر گام 3: با توجه به تعريف مربوط به رتبهبندی اعداد فازی مسئله به مدل قطعی 23 تبديل میشود. درواقع با توجه به اين پیشفرض که B<A اگر mean >B mean A و WB> WA برای تابع هدف حداکثرکردن از آنجا که حاصل عبارت Z يک عدد فازی از نوع LR است برای اينكه تا آنجا که ممكن است اين عدد فازی را بزرگتر سازيم مقدار mean Z را حداکثر و مقدار WZ را حداقل میکنیم. در مورد توابع حداقلسازی برعكس عمل میکنیم يعنی برای اينكه تا آنجا که ممكن است عدد فازی Z را حداقل کنیم مقدار mean Z را حداقل و مقدار WZ را حداکثر میکنیم. در مورد محدوديتها نیز بههمین صورت عمل میکنیم بنابراين خواهیم داشت: n )23 max min ZPm c jx jm j1 pw pw j j j j j1 n min max Z Z c w c w P 1,,p n s.t. aijx jm b im j1 i 1,,M n aij w j w j biw b iw j1 i 1,,M x w 0 j 1,,n jm j * (x p) مقدار گام 4: جواب بهینة P تابع هدف تکهدفه را با استفاده از مسئله محاسبه و سپس P 1,,p را برای Z Z,Z,Z محاسبه میکنیم. * * * * P Pm Pw Pw گام 5: يک مسئلة تکهدفة جديد همراه با محدوديتهای قطعی تعريفشده در گام 3 را بهصورت زير تعريف میکنیم : P p1 * * * min w Z,Z,Z Z,Z,Z P Pm Pw Pw Pm Pw Pw m n s.t. aijx jm bim i1 j1 m n a w w b b i1 j1 x w 0 jm ij j j iw iw j )24

مدري ي ت صنع ت ی دورة 6 شمارة 4 زمستا 718 رررررررررررررررررررررررررررررررررررر 1393 بهطوریکه w P که P =,1, p نشاندهندۀ وزن تابع هدف P ما است که از سوی تصمیمگیرنده تعیین میشود. گام 6: جواب بهینة مدل گام 6 را میيابیم که جوابی کارا برای مسئلة چندهدفة فازی اولیه است. مثال کاربردی شرکت مورد بررسی که يكی از گروههای صنعتی فعال در زمینة لوازم جانبی قطعهها و اتصاالت خودرو در سطح کشور است در زمینة تولید قطعههای پلیمری و پالستیكی خودرو فعال است و محصولهای خود را به سفارش شرکته یا تأمینکننده در صنعت خودرو )ساپكو ايران لوازم قطعه مهرکام پارس و سازهگستر و مگاموتور( برای استفاده در مونتاژ خودرو تولید میکند. اين شرکت برای تأمین يكی از قطعههای خود 10 گزينه )تأمینکننده( دارد و هدف آن انتخاب 4 تأمینکنندۀ اصلی از اين 10 شرکت بهگونهای است که زمان تولید و ضايعات آن حداقل و قابلیت اطمینان در زمان تحويل حداکثر شود. نكتهای که وجود دارد اين است که میزان نیاز شرکت به اين قطعه بهصورت دقیق مشخص نیست يعنی حدودا 240 000 قطعه در ماه است که بسته به میزان تولید محصول نهايی در هر ماه ممكن است کمتر يا بیشتر از اين مقدار باشد. البته تجربههای گذشته نشان داده است که اين تولرانس ممكن است به میزان حداکثر 20 000 کمتر يا بیشتر از میزان کرشده باشد که میتوان اين میزان تقاضا را با يک تابع توزيع مثلثی بهصورت ]2 400 000 200 000[ 200 000 نشان داد. همچنین شرکت مايل است که هزينة متغیر تولید هر قطعه بهطور متوسط حدود 5/5 تومان باشد که با توجه به مقدار متغیر تقاضا در هر ماه میزان کل هزينة متغیر قطعههای دريافتشده نیز دقیق نیست. شرکت مايل است که اين هزينة کل از عدد فازی بهصورت ]13 000 1000[- 1000 که برحسب 1000 ريال نشان داده شده است- بیشتر نشود. با توجه به غیر دقیقبودن میزان تقاضا و سقف هزينة متغیر مورد نظر شرکت اتخا يک تصمیم قطعی در مورد میزان قطعة سفارشدادهشده به هر تأمینکننده منطقی بهنظر نمیرسد و عمال غیر ممكن است. از اينرو مدل پیشنهادی در اين مسئله بهکار گرفته شده است. دادههای مربوط به 4 عامل زمان تولید هزينة متغیر ضايعات به ازای هر يک قطعه و درصد قابلیت اطمینان در زمان تحويل قطعهها در جدول 1 داده شده است:

719 مدلی براي حل مسائل برنامهریزي چندهدفه... ررررررررررررررررررررررررررررررررررررر جدول 1. دادههاي شركت م رد نظر در شاخصهاي مختلف شركت زما ئ لید هزینة متغیر ضایعات قابلیت اطمینا در زما ئح یل 0/9 0/333 6/009 239/16 1 0/6 0/166 5/57 282/14 2 0/5 0/166 5/853 224 3 0/9 0/416 5/152 221/25 4 1/3 0/5 5/985 231/25 5 /1 0/75 6/444 339/8 6 0/4 0/83 5/05 217/5 7 0/6 0/95 4/898 211/66 8 0/9 0/5 7/28 336/25 9 0/6 0/333 7/37 348 10 در اين مسئله تابع هدف اول برای حداقلکردن زمان تولید تابع هدف دوم برای حداقلکردن ضايعات و تابع هدف سوم برای حداکثرکردن قابلیت اطمینان در زمان تحويل نوشته شده است. محدوديت اول برای بیشترنشدن کل هزينة متغیر از سقف هزينة مورد نظر شرکت و محدوديت دوم برای برآوردهشدن تقاضای شرکت آورده شده است. محدوديتهای بعدی برای انتخاب حداقل 4 شرکت از کل 10 شرکت نوشته شدهاند. همچنین اين محدوديتها تضمین میکنند که میزان سفارشهای هر تأمینکننده غیر منفی خواهند بود. متغیرهای تصمیم در اين مسئله عبارتند از: y j انتخابکردن يا نكردن شرکت i ما بهعنوان تأمینکنندۀ شرکت ) i x) im,w i,w میزان سفارش اختصاصدادهشده به شرکت iام در صورت انتخابشدن بهعنوان تأمینکنندۀ شرکت. مدل برنامهريزی فازی چندهدفه برای مسئلة کرشده بهصورت مدل 25 قابل تعريف است:

1393 ) 25 MinZ 1 239 / 16(x 1m,w 1,w 1) 282 / 14(x 2m,w 2,w 2) 224(x 3m,w 3,w 3 ) 221/ 25(x 4m,w 4,w 4) 231/ 25(x 5m,w 5,w 5) 339 / 8(x 6m,w 6,w 6 ) 217 / 5(x 7m,w 7,w 7) 211/ 66(x 8m,w 8,w 8) 336 / 25(x 9m,w 9,w 9) 348(x 10m,w 10,w 10) MinZ 2 0/ 333(x 1m,w 1,w 1) 0/ 166(x 2m,w 2,w 2) 0/ 166(x 3m,w 3,w 3) 0/ 416(x 4m,w 4,w 4) 0/ 5(x 5m,w 5,w 5) 0/ 75(x 6m,w 6,w 6) 0/ 83(x 7m,w 7,w 7 ) 0/ 95(x 8m,w 8,w 8 ) 0/ 5(x 9m,w 9,w 9) 0/ 333(x 10m,w 10,w 10) MaxZ 3 0/ 9(x 1m,w 1,w 1) 0/ 6(x 2m,w 2,w 2) 0/ 5(x 3m,w 3,w 3) 0/ 9(x 4m,w 4,w 4) 1/ 3(x 5m,w 5,w 5) 1/ 1(x 6m,w 6,w 6) 0/ 4(x 7m,w 7,w 7 ) 0/ 6(x 8m,w 8,w 8) 0/ 9(x 9m,w 9,w 9) 0/ 6(x 10m,w 10,w 10) Subject to : 6 / 009(x 1m,w 1,w 1) 5 / 57(x 2m,w 2,w 2) 4 / 898(x 3m,w 3,w 3) 5 / 152(x 4m,w 4,w 4) 5 / 985(x 5m,w 5,w 5) 6 / 444(x 6m,w 6,w 6) 5 / 05(x 7m,w 7,w 7 ) 5 / 853(x 8m,w 8,w 8 ) 7 / 28(x 9m,w 9,w 9) 7 / 37(x,w,w ) 13000 1000 1000 10m 10 10 6m 6 6 7m 7 7 8m 8 8 9m 9 9 10m 10 10 2400 200 200 (x 1m,w 1,w 1) (x 2m,w 2,w 2) (x 3m,w 3,w 3) (x 4m,w 4,w 4) (x 5m,w 5,w 5) (x,w,w ) (x,w,w ) (x,w,w ) (x,w,w ) (x,w,w ) x jm w j 100y j j 1, 2,, 10 x jm w j 2600y j j 1, 2,, 10 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 5 x jm 0 and integer w j 0 and integer j 1,, 10 y, y, y, y, y, y, y, y, y, y 0 or 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 جواب بهینة مدل با تابع هدف اول بدون درنظرگرفتن ساير توابع هدف عبارت است از: 111 11 11 100 0 0 100 0 0 * 2089 189 189 510896 74 42467 74 42467 74 x,, x,, x,, 3 4 7 x,, Z /,,,, 8 1 جواب بهینة مدل با تابع هدف دوم بدون درنظرگرفتن ساير توابع هدف عبارت است از: 1607 5 5 593 195 195 100 0 0 100 0 0 691 45 81 95 81 95 x,, x,, x,, x,, 2 4 7 8 * Z 2 /, /, / جواب بهینة مدل با تابع هدف سوم بدون درنظرگرفتن ساير توابع هدف عبارت است از: 720 رررررررررررررررررررررررررررررررررررر مدري ي ت صنع ت ی دورة 6 شمارة 4 زمستا

721 مدلی براي حل مسائل برنامهریزي چندهدفه... ررررررررررررررررررررررررررررررررررررر 100 0 0 1505 21 21 649 149 149 101 0 0 2348 8 425 2 425 2 x,, x,, x,, x,, 1 4 5 8 * Z 3 /, /, / تابع تکهدفه براساس گام 5 بهصورت مدل 26 تعريف میشود: MinZ { 239 / 16(x 1m,w 1,w 1) 282 / 14(x 2m,w 2,w 2) 224(x 3m,w 3,w 3 ) 221 / 25(x 4m,w 4,w 4) 231/ 25(x 5m,w 5,w 5) 339 / 8(x 6m,w 6,w 6 ) 217 / 5(x 7m,w 7,w 7 ) 211/ 66(x 8m,w 8,w 8) 336 / 25(x 9m,w 9,w 9 ) 348(x 10m,w 10,w 10) 510896 / 74, 42467, 74, 42467, 74} 1000{ 0 / 333(x 1m,w 1,w 1) 0 / 166(x 2m,w 2,w 2) 0/ 166(x 3m,w 3,w 3 ) 0 / 416(x 4m,w 4,w 4 ) 0 / 5(x 5m,w 5,w 5) 0/ 75(x 6m,w 6,w 6) 0 / 83(x 7m,w 7,w 7 ) 0/ 95(x 8m,w 8,w 8 ) 0/ 5(x 9m,w 9,w 9) 0 / 333(x,w,w ) 691 / 45, 81 / 95, 81 / 95 } 10m 10 10 m 1000{ 2348 / 8, 425 / 2, 425 / 2 0 / 9(x 1,w 1,w 1) 0 / 6(x 2m,w 2,w 2) 0 / 5(x 3m,w 3,w 3 ) 0/ 9(x 4m,w 4,w 4) 1 / 3(x 5m,w 5,w 5) 1 / 1(x 6m,w 6,w 6 ) 0/ 4(x 7m,w 7,w 7 ) 0 / 6(x,w,w ) 0/ 9(x,w,w ) 0/ 6(x,w,w )} 8m 8 8 9m 9 9 10m 10 10 )26 که اين تابع هدف معادل است با مدل 27: )27 maxz 135 / 66 x 1m 185 / 14x2m 157x 3m 159 / 25x 4m 91 / 25x5m 384 / 8x 6m 512 / 25x 7m 506 / 66x 8m 316 / 25x 9m 334 / 5x10m minw 675 / 66w 1 545 / 14w2 457w 3 699 / 25w 4 871 / 25w 5 384 / 8w6 752 / 5w 7 866 / 66w 8 856 / 25w 9 694 / 5w10 s.t : 6 / 009x 1m 5 / 57x 2m 4 / 898x 3m 5 / 152x 4m 5 / 985x 5m 6 / 444x6m 5 / 05x 7m 5 / 853x 8m 7 / 28x9m 7 / 37x10m 13000 6 / 009w 1 5 / 57w 2 4 / 898w 3 5 / 152w 4 5 / 985w 5 6 / 444w 6 5 / 05w7 5 / 853w 7 / 28w 7 / 37w 1000 8 9 10 x x x x x x x x x x 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 2400 w w w w w w w w w w x jm w j 100y j j 1, 2,, 10 x w 2600y j 1, 2,, 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 200 jm j j y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 5 x 0 and integer w 0 and integer j 1,, 10 jm j

مدري ي ت صنع ت ی دورة 6 شمارة 4 زمستا 722 رررررررررررررررررررررررررررررررررررر 1393 جواب بهینة مدل عبارت است از: x 1 100, 0, 0 x 2 100, 0, 0 x 4 1587, 0, 0 x 5 613, 200, 200 * * Z 1 517078 / 14, 46250, 46250 Z 2 1016 / 592, 100, 100 * Z 3 2375 / 2, 260, 260 جواب بهینة حاصل از حل مدل در حالت قطعی و بدون درنظرگرفتن متغیرهای تصمیم بهصورت فازی عبارت است از: x 100 x 100 x 1587 x 613 * * * * 1 2 4 5 * * * Z 1 517078 / 14 Z 2 1016 / 592 Z 3 2375 / 2 همانطور که مشاهده میشود در اين مدل اعداد سمت راست و نتیجة حاصل برای متغیرهای تصمیم لزوما اعداد فازی مثلثی متقارن نیستند و مدل با توجه به متغیرها و محدوديتهای نسبتا زياد همچنان شدنی است و نتايج معقولی را به شكلی ساده و با محاسبههای نسبتا اندک و در زمانی کوتاه ارائه کرده است. نتیجهگیری در اين پژوهش مدلهای برنامهريزی خطی فازی و مبتنی بر تئوری امكان بررسی شده و درنهايت مدلی برای برای حل مسائل برنامهريزی چندهدفه مبتنی بر تئوری امكان با منابع غیر دقیق و متغیرهای تصمیم فازی ارائه شده است با اين فرض که با وجود منابع فازی تعیین تصمیمها بهصورت قطعی غیر منطقی بهنظر میرسد. از مهمترين مشكلهای موجود در مدلهای پیشین اين است که بعضی تنها برای اعداد فازی مثبت تعريف شدهاند بعضی تنها در صورت متقارنبودن اعداد فازی مثلثی برای پارامترها و متغیرها کاربرد دارند و بعضی قابلیت تعمیم به مسائل با چندين هدف را ندارند. مدل ارائهشده در پژوهش حاضر برای تمامی انواع پارامترها و متغیرهای فازی مثلثی مثبت يا منفی متقارن يا نامتقارن يکهدفه يا چندهدفه قابل استفاده است. اين مدل در يک مسئلة تخصیص خريد به تأمینکنندگان بهکار گرفته شد و نتايج بهدستآمده با نتايج حل مسئله- در حالتی که منابع و متغیرهای تصمیم آن بهصورت قطعی درنظر گرفته شوند- مقايسه شد. نكتة شايان توجه حاصل از نتايج اين مدل اين است که مديران شرکت با وجود نبود قطعیت منابع میدانستند که مقدار سفارشهای آنها به هر تأمینکننده تقريبی است اما تولرانس قابل قبول تغییرها از جواب بهینة حاصل از حل مدل قطعی برای آنها مشخص نبود و بنابراين با حل مدل قطعی آنها ناگزير به تحلیل حساسیت مدل بعد از حل مدل بودند اما مدل پیشنهادی از همان ابتدا با توجه به فازی درنظرگرفتن متغیرهای تصمیم

723 مدلی براي حل مسائل برنامهریزي چندهدفه... ررررررررررررررررررررررررررررررررررررر تصمیمها را بهصورت فازی معین و تولرانس بهینه )عرض باند( مشخص کرد بنابراين به تحلیل حساسیت مدل بعد از حل نیازی نیست. کاربرد مدل در يک مسئلة واقعی نشان داد که محاسبههای رياضی ساده و زمان محاسباتی بسیار اندک مزيت ديگری است که میتوان برای آن برشمرد. تقدیر و تشکر اين پژوهش با استفاده از اعتبارهای 03/01/4303030 انجام شده است. شورای پژوهشی دانشگاه تهران طرح شمارۀ به References Allahviranloo, T., Lotfi, F.H., Kiasary, M.K., Kiani, N.A. & Alizadeh, L., (2008). Solving full fuzzy linear programming problem by the ranking function. Applied Mathematical Science, 2, 19 32. (In Persian) Buckley, J.J. & Feuring, T. (2000). Evolutionary algorithm solution to fuzzy problems: fuzzy linear programming. Fuzzy Sets and Systems, 109, 35 53. Dehghan, M., Hashemi, B. & Ghatee, M. (2006). Computational methods for solving fully fuzzy linear systems. Applied Mathematics and Computations, 179: 328 343. (In Persian) Farquhar, P. (1984). Utility assessment methods. Management Science, 30: 1283 1300. Harker, P. & Vargas, L. (1987). The theory of ratio scale estimations: Saaty s analytic hierarchy process. Management Science, 33(11): 1383 1403. Hashemi, S.M., Modarres, M., Nasrabadi, E. & Nasrabadi, M. M. (2006). Fully fuzzified linear programming, solution and duality. Journal of Intelligent Fuzzy Systems, 17, 253 261. (In Persian) Keeney, R. & Raiffa, H. (1976). Decision with Multiple Objectives: Preference and Value Trade-off, John Wiley. New York. Kumar, A., Kaur, J. & Singh, P. (2011). A new method for solving fully fuzzy linear programming problems. Applied Mathematical Modeling. 35, 817 823. Lai, Y. J. & Hwang, C. L. (1992). Fuzzy Mathematical Programming: methods and applications, Springer. Berlin.

724 رررررررررررررررررررررررررررررررررررر مدري ي ت صنع ت ی دورة 6 شمارة 4 زمستا 1393 Lotfi, F. H., Allahviranloo, T., Jondabeha, M. A. & Alizadeh, L. (2009). Solving a fully fuzzy linear programming using lexicography method and fuzzy approximate solution. Applied Mathematical Modeling, 33, 3151 3156. (In Persian) Mahdavi Amiri, N. & Nasseri, S. H. (2007). Duality results and a dual simplex method for linear programming problems with trapezoidal fuzzy variables. Fuzzy Sets and Systems, 158: 1961 1978. (In Persian) Maleki, H. R., Tata, M. & Mashinchi, M. (2000). Linear programming with fuzzy variables. Fuzzy Sets and Systems, 109: 21 33. (In Persian) Menhaj, M. B., (2007). Fuzzy Computations. Daneshnegar Publication, Tehran, 324 329. (In Persian) Saaty, T. (1986). Axiomatic foundation of the analytic hierarchy process. Management Science, 32(7): 841 855. Shafer, G. A. (1976). Mathematical Theory of Evidence, Princeton University Press. Steuer, R. (1986). Multiple criteria optimization: Theory, Computation and Applications, John Wiley. New York. Tanaka, H., Guo, P. & Zimmermann, H.J. (2000). Possibility distributions of fuzzy decision variables obtained from possibilistic linear programming problems. Fuzzy Sets and Systems, 113: 323-332. Tanaka, H., Okuda, T. & Asai, K. (1973). On fuzzy mathematical programming. Journal of Cybernetics Systems, 3: 37 46. Zadeh, L.A. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8: 338 353. Zimmermann, H.J. (1978). Fuzzy programming and linear programming with several objective functions. Fuzzy Sets and Systems, 1: 45 55.