ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣ 685

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣ 685 Διδάσκων/Υπεύθυνος : Τζιχάντ Μούσα Γραφείο: B244, Πτέρυγα Ε, 2 Όροφος, Τμήμα Φυσικής, Νέα Πανεπιστημιούπολη Τηλ: 2289 2844 E-mail: mousa@ucy.ac.cy Ώρες Εργαστηρίου: Δευτέρα 19:0 0-21:00 Πέμπτη 19:0 0-21:00 Ώρες Γραφείου: Δευτέρα 1500-1700 www2.ucy.ac.cy/~mjehad01/phy685_2017.html

Ύλη Μαθήματος Εισαγωγή Πειραματικές Μέθοδοι Ανάλυση Δεδομένων, Σφαλμάτων Φυσική της Καθημερινότητας 1. Διακρότημα, καμπύλες Lissajous, ανάλυση φωνής με παλμογράφο 2. ΓΥΡΟΣΚΟΠΙΟ ΤΡΙΩΝ ΑΞΟΝΩΝ 3. ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΠΙΤΙΟΥ 4. ΔΙΑΔΟΣΗ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ 5. Φασματοσκόπιο από CD 6. Κατασκευή μπαταρίας από πατάτα Μοντέρνα Φυσική 7. ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ 8. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΗΛΙΑΚΟΥ ΦΩΤΟΚΥΤΤΑΡΟΥ

Αξιολόγηση 30% Εργαστηριακές Αναφορές Μέσος όρος από τις αναφορές όλων των εργαστηριακών ασκήσεων 20% Project 50% Τελική εξέταση Σχεδιασμός και διεκπεραίωση πειράματος, ανάλυση πειραματικών δεδομένων, απάντηση σε ερωτήσεις σχετικές με τις εργαστηριακές ασκήσεις

Βιβλιογραφία που μπορεί να φανεί χρήσιμη: 1. Σακκόπουλος, "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων - Θεωρία Σφαλμάτων", Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών 2. Taylοr, "An Intrοductiοn tο Errοr Analysis", Uniνersity Science Bοοks, 3. H.D. Young, Πανεπιστημιακή Φυσική, Εκδόσεις Παπαζήση 4. P. Hewitt, Οι Έννοιες της Φυσικής, Τόμος 1-3, Πανεπ. Εκδόσεις Κρήτης 5. B. Streetman, S. Banerjee, Solid State Electronic Devices, Prentice Hall 6. Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley Σκοπός Μαθήματος - Εξοικείωση με προχωρημένες πειραματικές μεθόδους, ανάλυση δεδομένων και θεωρία σφαλμάτων - Ανάπτυξη πειραματικής κριτικής σκέψης και αυτοσχεδιασμού. Πρακτική στο στήσιμο πειραμάτων - Εισαγωγή σε αυτοματοποίηση μετρήσεων και εφαρμογή σε πειράματα - Εξοικείωση με σύγχρονα θέματα στερεάς κατάστασης, οπτοηλεκτρονικής και επιστήμης υλικών.

Η παρουσία και συμμετοχή σας στα εργαστήρια είναι υποχρεωτική Δεν επιτρέπονται απουσίες πέρα από σοβαρούς λόγους και μετά από συνεννόηση μαζί μου. Οποιαδήποτε εργαστηριακή άσκηση δεν είστε σε θέση να συμμετάσχετε κάποια μέρα θα πρέπει να την αναπληρώσετε με την πρώτη ευκαιρία μετά από συνεννόηση μαζί μου. Πέρα της μιας αδικαιολόγητης απουσίας ισοδυναμεί με αυτόματη αποτυχία. Η προετοιμασία σας για κάθε άσκηση (θεωρία - διατάξεις όργανα που θα χρησιμοποιηθούν) πριν έρθετε στο εργαστήριο θεωρείται απαραίτητη Ο καθένας από σας θα πρέπει να έχει το προσωπικό του log-book στο οποίο θα πρέπει να σημειώνετε σχολαστικά οτιδήποτε μετρήσεις κάνετε καθώς και σχόλια για τις συνθήκες της εργαστηριακής άσκησης που εκτελείτε. Διαβάστε προσεκτικά τους κανόνες ασφαλείας του εργαστηρίου, οι οποίοι δίδονται στο εισαγωγικό μέρος των εργαστηριακών σημειώσεων

Η μεθοδολογία του πειράματος Πριν αρχίσετε την εκτέλεση της άσκησης μελετήστε τα όργανα που θα χρησιμοποιήσετε και προσπαθήστε να βρείτε την πιστότητά τους (το σφάλμα του κατασκευαστή) καθώς και τα πιθανά σφάλματα ανάγνωσης. Σε κάθε βήμα σας στην εκτέλεση του πειράματος σκεφθείτε αν υπάρχουν συστηματικά σφάλματα και πως αυτά μπορούν να εξουδετερωθούν (πειραματικά ή θεωρητικά). Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι κάθε πειραματικός χρησιμοποιώντας τις συσκευές που έχει στη διάθεσή του δεν προσπαθεί να μειώσει όσο το δυνατόν τα σφάλματά του χρησιμοποιώντας διάφορες εμπειρικές μεθόδους και αποφεύγοντας τα λάθη στην εκτέλεση του πειράματος. Όταν μεταβάλλουμε κάποιο μέγεθος (π.χ. την ένταση του ρεύματος) για να μετρήσουμε κάποιο άλλο (π.χ. την τάση) πρέπει να φροντίζουμε ώστε το αμπερόμετρό μας να δείχνει ακριβείς ενδείξεις κλπ.

Εργαστηριακές Αναφορές Το γράψιμο της αναφοράς απαιτεί συλλογική προσπάθεια από τα όλα τα άτομα της ομάδος. Ενθαρρύνεται το γράψιμο της αναφοράς σε Η/Υ. Η επεξεργασία των μετρήσεων και γραφικές παραστάσεις θα δύναται να γίνονται με γραφικό software. Η αναφορά σας θα πρέπει να έχει την παρακάτω δομή: (1) Σελίδα τίτλου (πρώτη σελίδα) (2) Περίληψη (3) Εισαγωγή Κύριο μέρος εργασίας (4) Εννοιολογικοί προσδιορισμοί (5) Θεωρητικό πλαίσιο (6) Ερευνητικά ερωτήματα (7) Μεθοδολογία (8) Ανάλυση, αποτελέσματα και συζήτηση (9) Συμπεράσματα (10) Προβλήματα και ανασταλτικοί παράγοντες κατά την εκπόνηση της εργασίας (11) Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα (12) Βιβλιογραφία (13) Παραρτήματα

1. Τίτλος πειράματος, ομάδα και ονόματα μελών, ημερομηνία διεκπεραίωσης άσκησης (1 η σελίδα) 2. Περίληψη Μετά την πρώτη σελίδα της εργασίας ακολουθεί μια σύντομη περίληψη, η έκταση της οποίας εξαρτάται από την έκταση της εργασίας. Σ αυτή γίνεται μια προσπάθεια να περιγραφεί η εργασία σε όλη της την έκταση σύντομα και μεστά, καθώς και να παρουσιαστούν σύντομα τα αποτελέσματα (συμπεράσματα) που προέκυψαν από αυτήν. 3. Εισαγωγή Στην εισαγωγή τίθεται το πλαίσιο στο οποίο εντάσσεται η εργασία, αναλύεται το θέμα της εργασίας, αναλύεται επίσης πολύ σύντομα η σημαντικότητά της και τονίζονται οι διαφορές της σε σχέση με άλλες παρεμφερείς εργασίες. Καταγράφονται επίσης, ο σκοπός και οι στόχοι της. Στο τέλος της ενότητας αναφέρεται σύντομα ο τρόπος διάρθρωσης της εργασίας. 4. Εννοιολογικοί προσδιορισμοί Στο τμήμα αυτό καταγράφονται οι ορισμοί των εννοιών που θα χρησιμοποιηθούν στην εργασία, ώστε να ενημερώνεται ο αναγνώστης για τον κάθε όρο που χρησιμοποιεί ο συγγραφέας.

5. Θεωρητικό πλαίσιο Στην ενότητα αυτή γίνεται παρουσίαση των ευρημάτων και των συμπερασμάτων παρεμφερών ή συναφών ερευνών με το θέμα της εργασίας. Ουσιαστικά, ο συγγραφέας μέσα από την υφιστάμενη βιβλιογραφία αναζητά και καταγράφει τα ερευνητικά αποτελέσματα των συναφών με την εργασία του ερευνών, μέσα από τις οποίες καθορίζονται οι επιδρώντες παράγοντες στο υπό μελέτη θέμα του. 6. Ερευνητικά Ερωτήματα Στη σύντομη αυτή ενότητα γίνεται παράθεση των ερευνητικών ερωτημάτων της εργασίας, στα οποία θα δοθεί απάντηση μέσα από την ανάλυση των ευρημάτων της. Τα ερευνητικά ερωτήματα μπορούν απλά να τεθούν ως ερωτήματα στα οποία η εργασία οφείλει να δώσει απάντηση ή να διατυπωθούν με τη μορφή υποθέσεων (μηδενικής - εναλλακτικής). 7. Μεθοδολογία Στο τμήμα της μεθοδολογίας παρουσιάζεται ο τρόπος με τον οποίο διεξήχθη η έρευνα που παρουσιάζεται στην εργασία. 8. Ανάλυση, αποτελέσματα και συζήτηση Ακολουθεί η παράθεση των ευρημάτων που προέκυψαν από τη στατιστική ανάλυση ή γενικότερα από την ανάλυση των δεδομένων που ελήφθησαν με το μέσο συλλογής. Τα σημαντικότερα ευρήματα θα πρέπει να τονίζονται ώστε να τα προσέχει ο αναγνώστης. Τα ευρήματα αλλά και τα αποτελέσματα από την ανάλυσή τους, θα πρέπει να εμφανίζονται στο κείμενο γραμμένα με συνεκτικό τρόπο και όχι ως παράγραφοι χωρίς συνοχή.

Πίνακες παρουσίασης των μετρήσεων και Γραφικές Παραστάσεις Αναλυτικοί πίνακες των μετρήσεων σας με μονάδες, σημαντικά ψηφία, σφάλματα κλπ. Παραστατικές, ευκρινείς γραφικές παραστάσεις με τις μετρήσεις, σφάλματα και καμπύλες προσαρμογής. Οι πίνακες θα να έχουν ένα τίτλο περιγραφής και θα πρέπει κάθε στήλη (ή/και γραμμή) του πίνακα να είναι επιγραμματικές. Μη ξεχνάτε να δίνετε ονομασίες στους άξονες ανάλογα με τα φυσικά μεγέθη που αντιστοιχείτε καθώς επίσης το σύμβολο του μεγέθους και τις μονάδες μέτρησης. 9. Συμπεράσματα Στο τμήμα των συμπερασμάτων διατυπώνονται συμπερασματικά και συνοπτικά τα ευρήματα της εργασίας, τα οποία έχουν προκύψει μετά την ανάλυση που έχει γίνει στο προηγούμενο τμήμα της εργασίας. Αυτά συγκρίνονται σύντομα επίσης, με ευρήματα άλλων ερευνών και η εγκυρότητα της έρευνάς μας ενισχύεται εάν διαπιστωθεί ότι κάποια από τα ευρήματά μας αποτελούν ευρήματα και άλλων ερευνών. 10. Προβλήματα και ανασταλτικοί παράγοντες κατά τη εκπόνηση της εργασίας Εδώ αναφέρονται τα προβλήματα, τα εμπόδια και οι ανασταλτικοί παράγοντες που συνάντησε ο ερευνητής κατά τη διάρκεια εκπόνησης της μελέτης του, τη διεξαγωγή της έρευνας και τη συγγραφή της. 11. Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα Στην ενότητα αυτή ο συγγραφέας της εργασίας θα αναφερθεί σε ερευνητικές προτάσεις που αναδύθηκαν μέσα από τη μελέτη του και την έρευνά του. 12. Βιβλιογραφία Στη βιβλιογραφία καταγράφονται μόνο και αποκλειστικά οι πηγές που χρησιμοποιήθηκαν στο κείμενο μέσα από τις παραπομπές.

Εισαγωγή -Η Φυσική είναι η κατ εξοχή πειραματική επιστήμη πείραμα ανάλυση δεδομένων θεωρία ή θεωρία πρόβλεψη πείραμα επαλήθευση θεωρίας Οι θεωρίες στη φυσική αναπτύσσονται είτε με πειραματικές παρατηρήσεις ή επαληθεύονται με σύγκριση των προβλέψεων τους με πειραματικές μετρήσεις. Κάθε φυσικό μέγεθος το οποίο μετράμε ή αναφερόμαστε σε αυτό συνοδεύεται από κάποιες μονάδες μέτρησης οι οποίες το προσδιορίζουν πλήρως (Δεν έχει κανένα νόημα να πούμε ότι μετρήσαμε την απόσταση που κάλυψε ένα κινούμενο σώμα και βρήκαμε ότι είναι s = 10 10 τι? cm, mm, μέτρα, Κm?) Το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται κατά κόρον από επιστήμονες διεθνώς είναι γνωστό (από το 1960) ως Διεθνές Σύστημα Μονάδων ή SI. Αυτό το σύστημα θα χρησιμοποιήσουμε από εδώ και στο εξής.

-Χρησιμοποιώντας τις μονάδες μέτρησης σε μια μαθηματική σχέση που συνδέει φυσικά μεγέθη μπορούμε να: (α) ελέγξουμε αν το αποτέλεσμα που έχουμε είναι σωστό και ενδεχομένως (β) να «μαντέψουμε» την λύση χωρίς καν λύσουμε το πρόβλημα - Γράφοντας τις διαστάσεις κάθε μεγέθους, καταλήγουμε σε ένα σύστημα εξισώσεων η λύση του οποίου δίνει τον τρόπο που συνδέονται οι ποσότητες μεταξύ τους. Σα κανόνας, (ιδιαίτερα σε πολύπλοκες καταστάσεις) μπορεί να χρειαστεί να γράψουμε ένα γενικό γινόμενο των δεδομένων ποσοτήτων υψωμένες σε τυχαίους εκθέτες (π.χ. m a, l b, g c ) και μετά να γράψουμε τις μονάδες αυτού του γινομένου σα συνάρτηση των εκθετών a,b,c

Σφάλματα μετρήσεων Το να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε και να πραγματοποιήσουμε κάποιο πείραμα και να κατανοήσουμε τους περιορισμούς που επιβάλει ο σχεδιασμός του και οι συσκευές που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση διαφόρων φυσικών μεγεθών είναι σημαντικό για οποιαδήποτε πειραματική επιστήμη και όχι μόνο για τη φυσική. Η μεθοδολογία, τα όργανα που χρησιμοποιούνται αλλά και εμείς οι ίδιοι δεν είμαστε αλάνθαστοι με αποτέλεσμα οι μετρήσεις που παίρνουμε συνοδεύονται πάντοτε με κάποια αβεβαιότητα που ονομάζεται πειραματικό σφάλμα της μέτρησης Το σφάλμα αντιπροσωπεύει την διαφορά της μετρούμενης ή υπολογιζόμενης τιμής ενός μεγέθους από την αληθινή τιμή του μεγέθους αυτού Το να καταλάβουμε τα πειραματικά σφάλματα και πως μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε είναι απαραίτητο αν θέλουμε να συγκρίνουμε θεωρητικά και πειραματικά αποτελέσματα και να εξάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα

Θεωρητικά μια μπάλα 5 gr που αφήνεται ελεύθερη να πέσει υπό την επίδραση της βαρύτητας μόνο από ύψος 1 m πέφτει με σταθερή επιτάχυνση g = 9.81 m/s 2

Κατηγορίες σφαλμάτων 1. Συστηματικά Σφάλματα Εμφανίζονται όταν μέτρηση δίνει αποτελέσματα συστηματικά μεγαλύτερα (ή μικρότερα) από την πραγματική (αληθινή) τιμή του μετρούμενου μεγέθους. Πιθανές Πηγές Συστηματικών Σφαλμάτων: -Όργανα Μέτρησης (π.χ. κακή βαθμονόμηση οργάνου) -Συνθήκες Περιβάλλοντος (Θερμοκρασία, Πίεση, Μαγνητικό Πεδίο Γης ) -Σφάλματα Θεωρητικής Φύσης (Μη ακριβές Μοντέλο, Προσέγγιση) - Σφάλματα Παρατήρησης Τα συστηματικά σφάλματα σε ένα πείραμα δεν αναγνωρίζονται γενικά εύκολα και ο προσδιορισμός τους είναι πολλές φορές επίπονος Τα συστηματικά σφάλματα επηρεάζουν κυρίως πιστότητα ή ακρίβεια; ΠΡΟΣΟΧΗ: Υπάρχει η σύγχυση να αποδίδεται κάθε σφάλμα οργάνου ως συστηματικό. Αυτό είναι λάθος. Ο χαρακτηρισμός συστηματικό αναφέρεται στο γεγονός ότι το σφάλμα εκτρέπει συστηματικά προς την ίδια φορά ένα αποτέλεσμα και δεν αφορά την πηγή του. Γενικά ένα συστηματικό σφάλμα μπορεί να μην είναι σταθερό αλλά έχει την «ίδια φορά» πάντα.

Τυχαία ή Στατιστικά Σφάλματα Σφάλματα που επιδρούν σε μέτρηση με τυχαίο τρόπο: Mπορεί η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους να δώσει τιμή μεγαλύτερη της αναμενόμενης ενώ η επανάληψη της μέτρησης να δώσει τιμή μικρότερη της αναμενόμενης Τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα και μπορούν να ληφθούν υπόψη μόνο στατιστικά. Εμφανίζονται και όταν έχουν απαλειφτεί τα συστηματικά. Παράδειγμα τυχαίων σφαλμάτων σε πείραμα δειγματοληψίας: Έστω ότι μελετάμε ραδιενεργό διάσπαση σε δείγμα με 1000 ραδιενεργές διασπάσεις/sec τότε ο αναμενόμενος αριθμός διασπάσεων σε 5sec είναι 5000. Αν πάρουμε μια μέτρηση σε 5sec, οι τιμές των διασπάσεων που θα μετρήσουμε πιθανότατα θα διαφέρει από την αναμενόμενη τιμή 5000 κατά το τυχαίο σφάλμα της μέτρησης (μετρούμενη τιμή διασπάσεων μεγαλύτερη ή μικρότερη του 5000) Ερώτηση: Τα τυχαία σφάλματα επηρεάζουν κυρίως την πιστότητα ή την ακρίβεια ενός πειράματος;

Παράδειγμα 1 Έστω ότι πραγματοποιούμε πείραμα προσδιορισμού της επιτάχυνσης της βαρύτητας g με μαθηματικό εκκρεμές με μήκος σχοινιού l, μικρή σφαίρα μάζας m και περιόδου Τ. Μετρούμε την Τ και το l και υπολογίζουμε το g από την σχέση Ποια τα πιθανά συστηματικά και τυχαία σφάλματα της μέτρησης; T 2 l g (1) 1. To χρονόμετρο δεν είναι ψηφιακό και ο δείκτης του χρονομέτρου βρίσκεται ανάμεσα σε δύο μικρότερες υποδιαιρέσεις του 2. Ο χρόνος αντίδρασης του παρατηρητή. 3. Μη-μηδενική μάζα σχοινιού 4. Μη σημειακή μάζα (φυσικό αντί για μαθηματικό εκκρεμές) 5. Τριβή 6. Αντίσταση αέρα Άλλα σφάλματα; T 2 I mgl

Σφάλματα θεωρ. φύσης: 1. Στην πραγματικότητα ο τύπος προκύπτει από την προσέγγιση ημθ θ. Ο αναλυτικός τύπος προκύπτει από την λύση T 2 l g ολοκλήρωση αντιστροφή ολοκλήρωση το οποίο προσδιορίζεται με τη βοήθεια ελλειπτικών συναρτήσεων ως: T 2 l g ή T 2 l g A (2) π.χ. για θ=10, Α = 1.001907. Έστω μετράμε Τ= 2 s και l = 1m, τότε g = 9.77 m/s 2 με τον τύπο (1) και g = 9.81 m/s 2 με τον (2) Τι σφάλμα είναι αυτό;

Παράδειγμα 2 Ποιες οι πιθανές πηγές σφαλμάτων στην μέτρηση του μήκους ενός αντικειμένου με έναν χάρακα; (θεωρήστε ότι ο ίδιος παρατηρητής κάνει την μέτρηση) 1. Μη σύμπτωση του μηδενός της κλίμακας με το ένα άκρο του αντικειμένου 2. Μη σύμπτωση υποδιαίρεσης της κλίμακας με το άλλο άκρο του αντικειμένου 3. Μη-παραλληλία χάρακα-αντικειμένου 4. Παράλλαξη: Ο παρατηρητής βλέπει την κλίμακα του χάρακα υπό γωνία 5. Η κλίμακα του χάρακα δεν είναι σωστά βαθμονομημένη Ποια είναι τυχαία και ποια συστηματικά Ποια νομίζεται ότι είναι η σημαντικότερη; Ποια καθορίζει/ζουν κατά κύριο λόγο το σφάλμα της μέτρησης; Δεν υπάρχει κάποιος κανόνας που να καθορίζει το σφάλμα! Η σωστή εκτίμησή του επαφίεται στην ακριβή μεθοδολογία και κρίση του πειραματιστή

(το σφάλμα οργάνου όπως το ορίσαμε πριν)

Σημαντικά ψηφία Κάθε πείραμα όπως είδαμε περιέχει ένα βαθμό αβεβαιότητας. Ας υποθέσουμε ότι τρεις παρατηρητές μετρούν το μήκος ενός φύλου χαρτιού με ένα χάρακα με μικρότερη υποδιαίρεση το mm και βρίσκουν 27.92 cm, 27.96 cm και 27.90 cm Παρατηρήστε ότι όλοι συμφωνούν στα τρία πρώτα ψηφία. Προφανώς το 4 ο ψηφίο (το οποίο υπολογίστηκε από τον καθένα) είναι ένα αβέβαιο ψηφίο. (Ακόμα και το 3 ο ψηφίο μπορεί να είναι αβέβαιο ανάλογα με τις συνθήκες) Ορισμός Τα ψηφία που θεωρούνται σωστά και το πρώτο αβέβαιο ψηφίο ονομάζονται σημαντικά ψηφία Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων σε μια μέτρηση εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου της μέτρησης και σε ένα βαθμό από την ικανότητα του παρατηρητή και θα πρέπει να προσπαθούμε να πάρουμε τόσα ψηφία όσα μας επιτρέπει το όργανο μέτρησης. Ανάλογα θα πρέπει να καταγράφουμε μετρήσεις μόνο με τα σωστά σημαντικά ψηφία και όχι με περισσότερα ψηφία που υποδηλώνουν μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτή που καθορίζεται από το όργανο ή τη μέθοδο μέτρησης

Ας ξαναεπισκεφτούμε τον τρόπο υπολογισμού της αβεβαιότητας σε μέγεθος γ, το οποίο προκύπτει μετρώντας τα μεγέθη α, β, με: γ = α + β. Τα α και β προσδιορίζονται α = α 0 ± δα και β = β 0 ± δβ. Η μεγαλύτερη πιθανή τιμή είναι γmax = α 0 +β 0 + (δα + δβ) ενώ η η μικρότερη πιθανή τιμή είναι γmin = α 0 +β 0 - (δα + δβ) Για να συμπέσει ωστόσο η τιμή του γ με την γmax θα πρέπει η μέτρησή μας να έχει υπερεκτιμήσει τόσο το α όσο και το β κατά τα μέγιστα επιτρεπόμενα σφάλματα δα και δβ αντίστοιχα. Είναι πιθανό να συμβεί αυτό αν τα α και β μετρούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο; Αν τα σφάλματα είναι τυχαία υπάρχει 50% πιθανότητα μια υπερεκτίμηση του α να συνοδεύεται από μια υποεκτίμηση του β και αντίστροφα. Επομένως η πιθανότητα να υπερεκτιμήσουμε ταυτόχρονα το α και β είναι ελάχιστη και αν δεχόμασταν ως σφάλμα της μέτρησης το δα + δβ θα υπερεκτιμούσαμε το δγ. Πως θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε μια καλύτερη τιμή του δγ; Αν γνωρίζαμε την πιθανότητα μια τιμής του α να βρίσκεται ανάμεσα σε α 0 ± δα και αντίστοιχα μιας τιμής του β να βρίσκεται ανάμεσα σε β 0 ± δβ Για μια μέτρηση που βαρύνεται μόνο με τυχαία σφάλματα των οποίων το πλήθος είναι μεγάλο αλλά το μέγεθος μικρό θα δούμε ότι οι μετρήσεις ακολουθούν την Κανονική Κατανομή (Gauss)

Σε αυτή την περίπτωση το σφάλμα του γ δίνεται από 2 2 ( ) ( ) Προσέξτε ότι πάντα ισχύει δγ < δα + δβ με την προϋπόθεση ότι τα α και β έχουν μετρηθεί το ένα ανεξάρτητα από το άλλο και τα σφάλματα είναι τυχαία Γενικά αν έχουμε μια συνάρτηση γ = γ (x): γ(x) Αν θεωρήσουμε ότι η καμπύλη μεταξύ x 0 -δx και x 0 +δx προσεγγίζει ευθύγραμμο τμήμα (δx μικρό), τότε ισχύει γ max γ 0 γ min x ( x 0 x) x ( x 0 ) d ( lim) dx x 0 x 0 -δx x 0 x 0 +δx x Επομένως το σφάλμα μπορεί να προσεγγιστεί με d x dx Δηλαδή το σφάλμα δγ εξαρτάται τόσο από το σφάλμα στην μεταβλητή x όσο και από το πόσο μεταβάλλεται η τιμή της συνάρτησης γ(x) γύρω από την τιμή γ 0