www2.ucy.ac.cy/~mjehad01/phy114_2017.html

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣ 114 Διδάσκων/Υπεύθυνος : Τζιχάντ Μούσα Γραφείο: B244, Πτέρυγα Ε, -2 Όροφος, Τμήμα Φυσικής, Νέα Πανεπιστημιούπολη Τηλ: mousa@ucy.ac.cy Τεχνικός Εργαστηρίου: Χαράλαμπος Νικολάου Γραφείο: Β212Α ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής nicolaou.c1@ucy.ac.cy Ώρες Εργαστηρίου: Χώρος Εργαστηρίου: Δευτέρα 14:00-18:00 ΘΕΕ02 Β212 Πέμπτη 14:00-18:00 Ώρες Γραφείου: Πέμπτη 11:00-14:00 www2.ucy.ac.cy/~mjehad01/phy114_2017.html 1

2 Ύλη Μαθήματος Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων-Θεωρία Σφαλμάτων Πειραματική μέτρηση, σημαντικά ψηφία, σφάλματα-μετάδοση σφαλμάτων, κατανομές, μέθοδοι προσαρμογής - ελάχιστα τετράγωνα, γραφικές παραστάσεις, (ημι)λογαριθμικό χαρτί, ιστογράμματα 1ος κύκλος ασκήσεων 1. Απλό εκκρεμές και υπολογισμός επιτάχυνσης βαρύτητας 2. Κρούσεις 3. Ελεύθερη πτώση και υπολογισμός επιτάχυνσης βαρύτητας 4. Πλάγια βολή 5. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση 2ος κύκλος ασκήσεων 6. Διατήρηση μηχανικής ενέργειας 7. Μελέτη κυκλικής κίνησης 8. Μελέτη ροπής αδράνειας στερεών σωμάτων 9. Το γυροσκόπιο και οι νόμοι του 10.Αεροδυναμική στερεών σωμάτων 2

3 Αξιολόγηση 20% Εργαστηριακές Αναφορές Μέσος όρος από τις αναφορές όλων των εργαστηριακών ασκήσεων 25% Quiz Γραπτά σύντομα (~30 λεπτά) Quiz στην αρχή κάθε Δευτέρα (5 Quiz) Τα Quiz θα περιέχουν ερωτήσεις σχετικές με την βασική θεωρία, την πειραματική διάταξη/μεθοδολογία, ανάλυση δεδομένων και σφαλμάτων του πειράματος 50% Τελική εξέταση Σχεδιασμός και διεκπεραίωση πειράματος, ανάλυση πειραματικών δεδομένων, απάντηση σε ερωτήσεις σχετικές με τις εργαστηριακές ασκήσεις. 3

4 Βιβλιογραφία Εργαστηριακές σημειώσεις: Θεωρητική εισαγωγή, περιγραφή της πειραματική διάταξης, πειραματική διαδικασία και ερωτήσεις για την επεξεργασία των μετρήσεων. Επιπρόσθετη Βιβλιογραφία: 1. H.D. Young and R.A. Freedman, Πανεπιστημιακή Φυσική με Σύγχρονη Φυσική: Μηχανική, Εκδόσεις Παπαζήση, Ελληνική μετάφραση 2. Haliday-Resnick-Walker,Φυσική: Μηχανική-Κυματική-Θερμοδυναμική, Εκδόσεις Gutenberg, Ελληνική μετάφραση 3. Χ. Παπαγεωργόπουλος, "Εισαγωγή στα πειράματα Φυσικής",Εκδόσεις Πανεπιστημίου Iωαννίνων 4. Σ. Σακκόπουλος, "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων -Θεωρία Σφαλμάτων", Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών 5. John R. Taylοr, "An Intrοductiοn tο Errοr Analysis", UniνersityScience Bοοks 4

5 Σκοπός Μαθήματος - Εξοικείωση με προχωρημένες πειραματικές μεθόδους, ανάλυση δεδομένων και θεωρία σφαλμάτων. - Ανάπτυξη πειραματικής κριτικής σκέψης και αυτοσχεδιασμού. Πρακτική στο στήσιμο πειραμάτων. - Εισαγωγή σε αυτοματοποίηση μετρήσεων και εφαρμογή σε πειράματα. 5

6 Η παρουσία και συμμετοχή σας στα εργαστήρια είναι υποχρεωτική Δεν επιτρέπονται απουσίες πέρα από σοβαρούς λόγους και μετά από συνεννόηση μαζί μου. Οποιαδήποτε εργαστηριακή άσκηση δεν είστε σε θέση να συμμετάσχετε κάποια μέρα θα πρέπει να την αναπληρώσετε με την πρώτη ευκαιρία μετά από συνεννόηση μαζί μου. Πέρα της μιας αδικαιολόγητης απουσίας ισοδυναμεί με αυτόματη αποτυχία. Η προετοιμασία σας για κάθε άσκηση (θεωρία - διατάξεις όργανα που θα χρησιμοποιηθούν) πριν έρθετε στο εργαστήριο θεωρείται απαραίτητη Ο καθένας από σας θα πρέπει να έχει το προσωπικό του log-book στο οποίο θα πρέπει να σημειώνετε σχολαστικά οτιδήποτε μετρήσεις κάνετε καθώς και σχόλια για τις συνθήκες της εργαστηριακής άσκησης που εκτελείτε. Διαβάστε προσεκτικά τους κανόνες ασφαλείας του εργαστηρίου, οι οποίοι δίδονται στο εισαγωγικό μέρος των εργαστηριακών σημειώσεων 6

7 Η μεθοδολογία του πειράματος Πριν αρχίσετε την εκτέλεση της άσκησης μελετήστε τα όργανα που θα χρησιμοποιήσετε και προσπαθήστε να βρείτε την πιστότητά τους (το σφάλμα του κατασκευαστή) καθώς και τα πιθανά σφάλματα ανάγνωσης. Σε κάθε βήμα σας στην εκτέλεση του πειράματος σκεφθείτε αν υπάρχουν συστηματικά σφάλματα και πως αυτά μπορούν να εξουδετερωθούν (πειραματικά ή θεωρητικά). Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι κάθε πειραματικός χρησιμοποιώντας τις συσκευές που έχει στη διάθεσή του δεν προσπαθεί να μειώσει όσο το δυνατόν τα σφάλματά του χρησιμοποιώντας διάφορες εμπειρικές μεθόδους και αποφεύγοντας τα λάθη στην εκτέλεση του πειράματος. Όταν μεταβάλλουμε κάποιο μέγεθος (π.χ. την ένταση του ρεύματος) για να μετρήσουμε κάποιο άλλο (π.χ. την τάση) πρέπει να φροντίζουμε ώστε το αμπερόμετρό μας να δείχνει ακριβείς ενδείξεις κλπ. 7

8 Εργαστηριακές Αναφορές Το γράψιμο της αναφοράς απαιτεί συλλογική προσπάθεια από τα όλα τα άτομα της ομάδος. Ενθαρρύνεται το γράψιμο της αναφοράς σε Η/Υ. Η επεξεργασία των μετρήσεων και γραφικές παραστάσεις θα δύναται να γίνονται με γραφικό software μόνο στο 2ο κύκλο. Η αναφορά σας θα πρέπει να έχει την παρακάτω δομή: Τα διακριτά τμήματα από τα οποία αποτελείται μία ακαδημαϊκή εργασία έχουν ακολουθιακά ως εξής: (1) Σελίδα τίτλου (πρώτη σελίδα) (2) Περίληψη (3) Εισαγωγή (4) Θεωρητικό πλαίσιο (5) Περιγραφή του πειράματος (6) Αποτελέσματα (6.1) Πειραματικές μετρήσεις (6.2) Υπολογισμοί (6.3) Ανάλυση Σφάλματος (7) Ανάλυση και Συζήτηση Αποτελεσμάτων (8) Συμπεράσματα (9) Προβλήματα και ανασταλτικοί παράγοντες κατά τη εκπόνηση της εργασίας (10) Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα (11) Βιβλιογραφία (12) Παραρτήματα 8

9 1. Τίτλος πειράματος, ομάδα και ονόματα μελών, ημερομηνία διεκπεραίωσης άσκησης (1 η σελίδα) 2. Περίληψη Η περίληψη της άσκησης πρέπει να είναι σύντομη και περιεκτική. Ειδικότερα, με λίγες προτάσεις συνοψίζεται ο κύριος στόχος της άσκησης, αναφέρεται η πειραματική μέθοδος με την οποία έγινε μελέτη, και σημειώνονται τα βασικά πειραματικά αποτελέσματα και η σημασία τους. Διερευνήσαμε τη σχέση μεταξύ των φάσεων της σελήνης και του μήκους μιας σανίδας οξιάς. Μετρήσαμε το μήκος της σανίδας κατά τη διάρκεια ενός πλήρους σεληνιακού μήνα. Μέσα στα όρια των αβεβαιοτήτων, η μέτρησή μας έδειξε ότι το μήκος της σανίδας είναι σταθερό και ότι δεν υπάρχει συσχετισμός μεταξύ των φάσεων της σελήνης και του 2 μήκους της σανίδας. Προσδιορίσαμε με βάση τη μέση τιμή των μετρήσεών μας, ότι το μήκος της σανίδας είναι (12.4 ± 0.6) cm. 3. Εισαγωγή Η ενότητα Εισαγωγή της έκθεσής σας δίνει την βασική ιδέα της πειραματικής σας άσκησης ή διερεύνησης. Θα πρέπει να περιέχει όλες τις πληροφορίες σχετικά με τη θεωρία και ίσως της ιστορικό χρονικό που σχετίζεται με τη μέτρηση που προσπαθείτε να κάνετε και επίσης το λόγο που η μέτρηση είναι σημαντική για τη Φυσική. 9

10 4. Θεωρητικό πλαίσιο Ο σκοπός της ενότητας είναι να προετοιμάσει τον αναγνώστη της έκθεσής σας για το πείραμα το οποίο θα περιγράψετε. Στην ενότητα αυτή γίνεται παρουσίαση των ευρημάτων και των συμπερασμάτων παρεμφερών ή συναφών ερευνών με το θέμα της εργασίας. Ουσιαστικά, ο συγγραφέας μέσα από την υφιστάμενη βιβλιογραφία αναζητά και καταγράφει τα ερευνητικά αποτελέσματα των συναφών με την εργασία του ερευνών. Με το τρόπο αυτό δίνονται όλες οι πληροφορίες για τη θεωρητική υποστήριξη της μέτρησής αλλά και της σημασίας της. Αν χρησιμοποιείτε μια τεχνική μέτρησης η οποία είναι γνωστή και αποδεκτή τότε θα πρέπει να δώσετε αναφορά στο άτομο το οποίο εισήγαγε και ανέπτυξε τη μέθοδο. 5. Περιγραφή του πειράματος Στην ενότητα αυτή δίδεται λεπτομερής περιγραφή του πειράματος και της πειραματικής διάταξης με αντίστοιχη αναφορά στη βιβλιογραφία. Είναι σημαντικό να σημειωθεί με ακρίβεια ο τρόπος με τον οποίο πραγματοποιούνται οι μετρήσεις, ο αριθμός των επαναλήψων, οι συνθήκες υπό τις οποίες έγινε το πείραμα και να αναφερθούν λεπτομερώς τυχόν αλλαγές ή απόκλιση από τη πορεία που περιγράφεται στο εγχειρίδιο. 10

11 6. Αποτελέσματα 6.1 Πειραματικές μετρήσεις Ακολουθεί η παράθεση των ευρημάτων που προέκυψαν από τη στατιστική ανάλυση ή γενικότερα από την ανάλυση των δεδομένων που ελήφθησαν με το μέσο συλλογής. Τα σημαντικότερα ευρήματα θα πρέπει να τονίζονται ώστε να τα προσέχει ο αναγνώστης. Τα ευρήματα αλλά και τα αποτελέσματα από την ανάλυσή τους, θα πρέπει να εμφανίζονται στο κείμενο γραμμένα με συνεκτικό τρόπο και όχι ως παράγραφοι χωρίς συνοχή. Όλες οι μετρήσεις (μη επεξεργασμένα δεδομένα) και υπολογιζόμενα αποτελέσματα θα πρέπει να συγκεντρώνονται σε πίνακες. Οι πίνακες θα πρέπει να έχουν ένα τίτλο περιγραφής και θα πρέπει κάθε στήλη (ή/και γραμμή) του πίνακα να είναι επιγραμματικές. Όλες οι μετρούμενες και υπολογιζόμενες ποσότητες θα πρέπει να αναφέρονται με τις μονάδες μέτρησής τους. Πίνακας 1: Μέγεθος δείγματος ανά Νομό και συνολικά Νομός Μέσος όρος ηλικίας (σε χρόνια) Τυπική απόκλιση (σε χρόνια) Αχαΐας 33,4 0,3 Ηλείας 24,3 0,5 Αργολίδας 22,1 0,6 11

12 Στα γραφήματα, στις εικόνες, στα σχήματα και στις γραφικές παραστάσεις θα πρέπει επίσης, να υπάρχει αρίθμηση και η παράθεση της λεζάντας να γίνεται στο κάτω μέρος τους, κεντραρισμένη και γραμμένη με πλάγια γραφή. Η μορφοποίηση στην παρουσίαση των στοιχείων ενός γραφήματος ή εικόνας έχει ως ακολούθως: Σχήμα 1. Κατανομή της αναλλοίωτης μάζας δι-φωτονίων (γγ) από τα δεδομένα του Πειράματος CMS (2011 και 2012, μαύρα σημεία με σφάλματα). Τα δεδομένα σταθμίζονται με το λόγο σήματος προς υπόβαθρο για κάθε υποκατηγορία γεγονότων. Η συμπαγής κόκκινη γραμμή δείχνει το προσαρμοσμένο αποτέλεσμα για σήμα και υπόβαθρο - η διακεκομμένη κόκκινη γραμμή δείχνει μόνο το υπόβαθρο [1]. 12

13 6.2 Υπολογισμοί Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται οι υπολογισμοί μέσω τον οποίων εξάγονται οι διάφορες φυσικές ποσότητες και παράμετροι από τα πειραματικά δεδομένα. Παρουσιάζονται επιπλέον οι αποδείξεις των σχετικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς ή δίδεται τεκμηριωμένη αναφορά στη βιβλιογραφία. Οι εξισώσεις πρέπει να είναι αριθμημένες σε αύξουσα σειρά, ενώ όλα τα σύμβολα πρέπει να επεξηγούνται όταν παρουσιάζονται για πρώτη φορά. 6.3 Ανάλυση Σφάλματος Η ενότητα αυτή είναι από τις σημαντικότερες της εργαστηριακής αναφοράς καθώς μεσω της ανάλυσης των πειραματικών σφαλμάτων διαπιστώνεται και τεκμηριώνεται η αξιοπιστία των μετρήσεων και των υπολογισμών. 13

14 7. Ανάλυση και Συζήτηση Αποτελεσμάτων Στο τμήμα αυτό της αναφοράς παρουσιάζονται καθαρά και με σαφήνεια τα αποτελέσματα, τα οποία και σχολιάζονται κατάλληλα όσον αφορά στη φυσική τους σημασία, τη σπουδαιότητα και χρησιμότητα τους. Πρέπει να γίνεται σύγκριση μεταξύ των πειραματικών αποτελεσμάτων και θεωρητικών προβλέψεων και να σχολιάζεται η τυχόν συμφωνία ή απόκλιση του αποτελέσματος σε σχέση με τις αποδεκτές τιμές. Επίσης συγκρίνονται τα αποτελέσματα με αυτά άλλων ερευνητών. Αναλύονται τα πιθανά συστηματικά ή στατιστικά σφάλματα και προτείνονται βελτιώσεις ή εναλλακτικές πειραματικές μέθοδοι. 14

15 8. Συμπεράσματα Στο τμήμα των συμπερασμάτων διατυπώνονται συμπερασματικά και συνοπτικά τα ευρήματα της εργασίας, τα οποία έχουν προκύψει μετά την ανάλυση που έχει γίνει στο προηγούμενο τμήμα της εργασίας. Αυτά συγκρίνονται σύντομα επίσης, με ευρήματα άλλων ερευνών και η εγκυρότητα της έρευνάς μας ενισχύεται εάν διαπιστωθεί ότι κάποια από τα ευρήματά μας αποτελούν ευρήματα και άλλων ερευνών. Τα συμπεράσματά σας θα πρέπει να περιέχουν πληροφορίες όπως τι γνώσεις αποκομίσατε από την πραγματοποίηση του συγκεκριμένου πειράματος, τι συμπεράσματα εξάγατε σχετικά με το φυσικό μέγεθος ή ποσότητα που μετρήσατε, και τις πηγές της αβεβαιότητας στη μέτρησή σας. Χρησιμοποιήστε ποσοτικά σχόλια (π.χ. % απόκλιση), λογική και βιβλιογραφικές παραπομπές. Αποφύγετε ανυπόστατες γενικεύσεις και υποθέσεις του τύπου: Οι τιμές μας ήταν καλές. Οι μετρήσεις ήταν κοντά στις αναμενόμενες. Τα σημεία φαίνεται να πέφτουν σε ευθεία επιβεβαιώνοντας την γραμμική σχέση. Το πείραμα είναι πιστό (χωρίς σύγκριση απόκλισης αναμενόμενης τιμής με σφάλμα) Το πείραμα είναι ακριβές (χωρίς αναφορά στην διασπορά των μετρήσεων) Το σφάλμα στην μέτρηση του χρόνου είναι 1 ms (χωρίς δικαιολόγηση) 15

16 9. Προβλήματα και ανασταλτικοί παράγοντες κατά τη εκπόνηση της εργασίας Εδώ αναφέρονται τα προβλήματα, τα εμπόδια και οι ανασταλτικοί παράγοντες που συνάντησε ο ερευνητής κατά τη διάρκεια εκπόνησης της μελέτης του, τη διεξαγωγή της έρευνας και τη συγγραφή της. 10. Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα Στην ενότητα αυτή ο συγγραφέας της εργασίας θα αναφερθεί σε ερευνητικές προτάσεις που αναδύθηκαν μέσα από τη μελέτη του και την έρευνά του. 11. Βιβλιογραφία Στη βιβλιογραφία καταγράφονται μόνο και αποκλειστικά οι πηγές που χρησιμοποιήθηκαν στο κείμενο μέσα από τις παραπομπές. Οι βιβλιογραφικές αναφορές παρατίθενται συνολικά στο τέλος της αναφοράς, άρθρα σε επιστημονικά περιοδικά και ιστοσελίδες (αναφέρονται οι συγγραφείς, εκδοτικός οίκος όταν πρόκειται για βιβλίο, ο τόμος, η σελίδα και το έτος δημοσίευσης). ο τίτλος περιοδικού ή βιβλίου, ο Βιβλιογραφική αναφορά [1] Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC CMS Collaboration, Jul pp. Published in Phys. Lett. B716 (2012)

17 Εισαγωγή -Η Φυσική είναι η κατ εξοχή πειραματική επιστήμη πείραμα ανάλυση δεδομένων θεωρία ή θεωρία πρόβλεψη πείραμα επαλήθευση θεωρίας Οι θεωρίες στη φυσική αναπτύσσονται είτε με πειραματικές παρατηρήσεις ή επαληθεύονται με σύγκριση των προβλέψεων τους με πειραματικές μετρήσεις. Κάθε φυσικό μέγεθος το οποίο μετράμε ή αναφερόμαστε σε αυτό συνοδεύεται από κάποιες μονάδες μέτρησης οι οποίες το προσδιορίζουν πλήρως (Δεν έχει κανένα νόημα να πούμε ότι μετρήσαμε την απόσταση που κάλυψε ένα κινούμενο σώμα και βρήκαμε ότι είναι s = τι? cm, mm, μέτρα, Κm?) Το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται κατά κόρον από επιστήμονες διεθνώς είναι γνωστό (από το 1960) ως Διεθνές Σύστημα Μονάδων ή SI. Αυτό το σύστημα θα χρησιμοποιήσουμε από εδώ και στο εξής. 17

18 18

19 - Χρησιμοποιώντας τις μονάδες μέτρησης σε μια μαθηματική σχέση που συνδέει φυσικά μεγέθη μπορούμε να: (α) ελέγξουμε αν το αποτέλεσμα που έχουμε είναι σωστό και ενδεχομένως (β) να «μαντέψουμε» την λύση χωρίς καν λύσουμε το πρόβλημα - Γράφοντας τις διαστάσεις κάθε μεγέθους, καταλήγουμε σε ένα σύστημα εξισώσεων η λύση του οποίου δίνει τον τρόπο που συνδέονται οι ποσότητες μεταξύ τους. x = 1 2 at 2 x: απόσταση m [L] α: επιτάχυνση m/s 2 [L]/[T] 2 t: χρόνος s [T] [ L] = L T [ ] [ [ ] T ] 2 2 l Περίοδος εκκρεμούς: T 2 ή T 2 g Σωστό [ ] 1 2 [ ] 1 2 [ T ] = L L [ T ] [ T ] = Σα κανόνας, (ιδιαίτερα σε πολύπλοκες καταστάσεις) μπορεί να χρειαστεί να γράψουμε ένα γενικό γινόμενο των δεδομένων ποσοτήτων υψωμένες σε τυχαίους εκθέτες (π.χ. m a, l b, g c ) και μετά να γράψουμε τις μονάδες αυτού του γινομένου σα συνάρτηση των εκθετών a,b,c g l [ L] 1 2 [ L] 1 2 [ T ] g επιτάχυνση Λάθος 19

20 Παράδειγμα διαστασιακής ανάλυσης θ l g m Ποια είναι η συχνότητα του εκκρεμούς ω=2πν=2π/τ Οι διαστασιακές ποσότητες που δίνονται: (α) η μάζα m = [M] (β) το μήκος l = [L] (γ) η επιτάχυνση g = [L/T 2 ] Χρειαζόμαστε μια σχέση που να έχει διάσταση 1/χρόνου ή 1/Τ Γράφουμε: Αντικαθιστώντας τις μονάδες a b m l g T c 1 t M L T 1 a b L 2 c a 0 b c 0 2c 1 a b c 0 1/ 2 1/ 2 Άρα η συχνότητα του εκκρεμούς είναι f g l Σταθερά αναλογίας 20

21 Σφάλματα μετρήσεων Το να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε και να πραγματοποιήσουμε κάποιο πείραμα και να κατανοήσουμε τους περιορισμούς που επιβάλει ο σχεδιασμός του και οι συσκευές που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση διαφόρων φυσικών μεγεθών είναι σημαντικό για οποιαδήποτε πειραματική επιστήμη και όχι μόνο για τη φυσική. Η μεθοδολογία, τα όργανα που χρησιμοποιούνται αλλά και εμείς οι ίδιοι δεν είμαστε αλάνθαστοι με αποτέλεσμα οι μετρήσεις που παίρνουμε συνοδεύονται πάντοτε με κάποια αβεβαιότητα που ονομάζεται πειραματικό σφάλμα της μέτρησης Το σφάλμα αντιπροσωπεύει την διαφορά της μετρούμενης ή υπολογιζόμενης τιμής ενός μεγέθους από την αληθινή τιμή του μεγέθους αυτού Το να καταλάβουμε τα πειραματικά σφάλματα και πως μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε είναι απαραίτητο αν θέλουμε να συγκρίνουμε θεωρητικά και πειραματικά αποτελέσματα και να εξάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα 21

22 Θεωρητικά μια μπάλα 5 gr που αφήνεται ελεύθερη να πέσει υπό την επίδραση της βαρύτητας μόνο από ύψος 1 m πέφτει με σταθερή επιτάχυνση g = 9.81 m/s 2 22

23 Πιστότητα (high accuracy): Οι μετρήσεις ενός δείγματος χαρακτηρίζονται από μεγάλη πιστότητα αν η μέση τιμή του δείγματος x είναι πολύ κοντά στη μέση τιμή μ του πληθυσμού Ακρίβεια (high precision): Οι μετρήσεις ενός δείγματος χαρακτηρίζονται από μεγάλη ακρίβεια όταν το s είναι πολύ μικρό. (β) κάποιο συστηματικό σφάλμα επηρεάζει τις μετρήσεις και το ίδιο ισχύει στην περίπτωση (δ). Στην περίπτωση (δ) όπως και στη (γ) η σχετικά μεγάλη διασπορά των σημείων δείχνει ότι οι μετρήσεις έγιναν με όργανα ή με μέθοδο μικρής επαναληψιμότητας ή σε πειραματικές συνθήκες μη ελεγχόμενες. Στις περισσότερες περιπτώσεις δε γνωρίζουμε τη μέση τιμή μ του πληθυσμού, οι περιπτώσεις (β) και (α) ουσιαστικά δεν ξεχωρίζουν. Έτσι αν έχουμε μόνο τα αποτελέσματα του δείγματος (β) είναι πολύ πιθανό να θεωρήσουμε (λανθασμένα), λόγω της πολύ καλής επαναληψιμότητας των μετρήσεων, ότι η μέση τιμή x του δείγματος είναι κοντά στη μέση τιμή μ του πληθυσμού. Αυτό δείχνει παραστατικά πόσο επικίνδυνα είναι τα συστηματικά σφάλματα όταν δεν γνωρίζουμε τις παραμέτρους του πληθυσμού. 23

24 Κατηγορίες σφαλμάτων 1. Συστηματικά Σφάλματα Εμφανίζονται όταν η μέτρηση δίνει αποτελέσματα συστηματικά μεγαλύτερα (ή μικρότερα) από την πραγματική (αληθινή) τιμή του μετρούμενου μεγέθους. Πιθανές Πηγές Συστηματικών Σφαλμάτων: -Όργανα Μέτρησης (π.χ. κακή βαθμονόμηση οργάνου) -Συνθήκες Περιβάλλοντος (Θερμοκρασία, Πίεση, Μαγνητικό Πεδίο Γης ) -Σφάλματα Θεωρητικής Φύσης (Μη ακριβές Μοντέλο, Προσέγγιση) - Σφάλματα Παρατήρησης Τα συστηματικά σφάλματα σε ένα πείραμα δεν αναγνωρίζονται γενικά εύκολα και ο προσδιορισμός τους είναι πολύ δύσκολος. Τα συστηματικά σφάλματα επηρεάζουν κυρίως πιστότητα ή ακρίβεια; ΠΡΟΣΟΧΗ: Υπάρχει η σύγχυση να αποδίδεται κάθε σφάλμα οργάνου ως συστηματικό. Αυτό είναι λάθος. Ο χαρακτηρισμός συστηματικό αναφέρεται στο γεγονός ότι το σφάλμα εκτρέπει συστηματικά προς την ίδια φορά ένα αποτέλεσμα και δεν αφορά την πηγή του. Γενικά ένα συστηματικό σφάλμα μπορεί να μην είναι σταθερό αλλά έχει την «ίδια φορά» πάντα. 24

25 Τυχαία ή Στατιστικά Σφάλματα Σφάλματα που επιδρούν σε μέτρηση με τυχαίο τρόπο: Mπορεί η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους να δώσει τιμή μεγαλύτερη της αναμενόμενης ενώ η επανάληψη της μέτρησης να δώσει τιμή μικρότερη της αναμενόμενης Τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα και μπορούν να ληφθούν υπόψη μόνο στατιστικά. Εμφανίζονται και όταν έχουν απαλειφτεί τα συστηματικά. Παράδειγμα τυχαίων σφαλμάτων σε πείραμα δειγματοληψίας: Έστω ότι μελετάμε ραδιενεργό διάσπαση σε δείγμα με 1000 ραδιενεργές διασπάσεις/sec τότε ο αναμενόμενος αριθμός διασπάσεων σε 5sec είναι Αν πάρουμε μια μέτρηση σε 5sec, οι τιμές των διασπάσεων που θα μετρήσουμε πιθανότατα θα διαφέρει από την αναμενόμενη τιμή 5000 κατά το τυχαίο σφάλμα της μέτρησης (μετρούμενη τιμή διασπάσεων μεγαλύτερη ή μικρότερη του 5000) Ερώτηση: Τα τυχαία σφάλματα επηρεάζουν κυρίως την πιστότητα ή την ακρίβεια ενός πειράματος; 25

26 Παράδειγμα 1 Έστω ότι πραγματοποιούμε πείραμα προσδιορισμού της επιτάχυνσης της βαρύτητας g με μαθηματικό εκκρεμές με μήκος σχοινιού l, μικρή σφαίρα μάζας m και περιόδου Τ. Μετρούμε την Τ και το και υπολογίζουμε το g από την σχέση l Ποια τα πιθανά συστηματικά και τυχαία σφάλματα της μέτρησης; T 2 l g (1) 1. To χρονόμετρο δεν είναι ψηφιακό και ο δείκτης του χρονομέτρου βρίσκεται ανάμεσα σε δύο μικρότερες υποδιαιρέσεις του 2. Ο χρόνος αντίδρασης του παρατηρητή. 3. Μη-μηδενική μάζα σχοινιού 4. Μη σημειακή μάζα (φυσικό αντί για μαθηματικό εκκρεμές) 5. Τριβή 6. Αντίσταση αέρα Άλλα σφάλματα; T 2 I mgl 26

27 Σφάλματα θεωρ. φύσης: 1. Στην πραγματικότητα ο τύπος προκύπτει από την προσέγγιση ημθ θ. Ο αναλυτικός τύπος προκύπτει από την λύση T 2 l g ολοκλήρωση αντιστροφή ολοκλήρωση το οποίο προσδιορίζεται με τη βοήθεια ελλειπτικών συναρτήσεων ως: T 2 l g A ή (2) π.χ. για θ=10, Α = Έστω μετράμε Τ= 2 s και l = 1m τότε g = 9.77 m/s 2 με τον τύπο (1) και g = 9.81 m/s 2 με τον (2) Τι σφάλμα είναι αυτό; T 2 l g 27

28 Παράδειγμα 2 Ποιες οι πιθανές πηγές σφαλμάτων στην μέτρηση του μήκους ενός αντικειμένου με έναν χάρακα; (θεωρήστε ότι ο ίδιος παρατηρητής κάνει την μέτρηση) 1. Μη σύμπτωση του μηδενός της κλίμακας με το ένα άκρο του αντικειμένου 2. Μη σύμπτωση υποδιαίρεσης της κλίμακας με το άλλο άκρο του αντικειμένου 3. Μη-παραλληλία χάρακα-αντικειμένου 4. Παράλλαξη: Ο παρατηρητής βλέπει την κλίμακα του χάρακα υπό γωνία 5. Η κλίμακα του χάρακα δεν είναι σωστά βαθμονομημένη Ποια είναι τυχαία και ποια συστηματικά Ποια νομίζεται ότι είναι η σημαντικότερη; Ποια καθορίζει/ζουν κατά κύριο λόγο το σφάλμα της μέτρησης; Δεν υπάρχει κάποιος κανόνας που να καθορίζει το σφάλμα! Η σωστή εκτίμησή του επαφίεται στην ακριβή μεθοδολογία και κρίση του πειραματιστή 28

29 Σφάλμα α νάγνωσης οργάνου Μέτρηση διαφοράς ηλεκτρικού δυναμικού στο άκρα μιας αντίστασης Οι υποδιαιρέσεις στην περίπτωση αυτή έχουν μεγαλύτερη απόσταση. Μπορούμε ωστόσο να υπολογίσουμε τη θέση του δείκτη μεταξύ δυο υποδιαιρέσεων. Μια πιθανή (λογική) τιμή για την τάση θα ήταν 5.3V με πιθανό εύρος V. Για άλλους παρατηρητές το σφάλμα να ήταν ±0.2V ή μικρότερο π.χ. 0.05V αλλά κανείς δεν θα αμφισβητούσε ότι το εύρος που δόθηκε αρχικά (0.1V) δεν αποτελεί μια λογική εκτίμηση του σφάλματος. Συχνά αναφέρεται στην βιβλιογραφία ότι το σφάλμα ανάγνωσης είναι ± μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης. Αυτό είναι λάθος! Το σφάλμα ανάγνωσης τέτοιων οργάνων μπορούν να προσδιοριστούν μόνο από το παρατηρητή που διαβάζει την ένδειξη του οργάνου και μπορεί να είναι διαφορετική για διαφορετικά άτομα. 29

30 Σφάλμα α νάγνωσης οργάνου Για ένα ψηφιακό όργανο το σφάλμα ανάγνωσης είναι συνήθως είναι ± το μισό του τελευταίου ψηφίου. Η έκφραση ± το μισό του τελευταίου ψηφίου είναι η γλώσσα που χρησιμοποιείται στους οδηγούς των κατασκευαστών του οργάνου. Δεν σημαίνει το μισό της τιμής του τελευταίου ψηφίου ( 0.8 στη περίπτωσή μας) αλλά το μισό της δύναμης του 10 που αντιπροσωπεύει το τελευταίο ψηφίο. Δηλαδή για την περίπτωσή μας: 1 X 0.1 = Είναι σα να λέμε ότι η τιμή είναι πιο κοντά στο 12.8 από το 12.7 ή Η τελική μας απάντηση επομένως θα ήταν ± C Προσοχή: Το σφάλμα του οργάνου καθορίζεται από τους κατασκευαστές και θα πρέπει να ανατρέχουμε στο αντίστοιχο οδηγό χρήσης του οργάνου. 30

31 Σφάλμα σε επαναλβανόμενες μετρήσεις Έστω ότι μετρούμε σε ένα πείραμα το χρόνο που χρειάζεται μια μπάλα να φθάσει στο έδαφος όταν την αφήσουμε από ένα συγκεκριμένο ύψος. Οι μετρήσεις μας εξαρτώνται από τις διαφοροποιήσεις στο χρόνο αντίδρασής μας για να ξεκινήσουμε ή να σταματήσουμε το χρονόμετρο, τυχαίες διακυμάνσεις της κίνησης του αέρα, διακυμάνσεις στις αρχικές συνθήκες. Όλες αυτές οι διακυμάνσεις οδηγούν σε μια σειρά μετρήσεων που μπορεί να παρουσιάζουν σημαντική διασπορά. Η αληθινή τιμή βρίσκεται κάπου μεταξύ της μικρότερης και μεγαλύτερης τιμής που έχουμε μετρήσει ενώ η διασπορά (το διάστημα που βρίσκονται οι τιμές) δίνει το πιο πιθανό διάστημα τιμών. Υποθέτουμε ότι η καλύτερη εκτίμηση των μετρήσεών μας δίνεται από την αριθμητική μέση τιμή των μετρήσεων αυτών. Πάντοτε ζητούμε και μια μέτρηση της διασποράς των τιμών x i Η διασπορά σχετίζεται με την αβεβαιότητα της υπολόγιζόμενης τιμής από την αληθινή τιμή του μεγέθους x. Ο καλύτερος υπολογισμός της διασποράς δίνεται από την τυπική απόκλιση, σ, του x και δίνεται από τη σχέση: 31

32 Η τυπική απόκλιση σχετίζεται με το σφάλμα κάθε ξεχωριστής μέτρησης x i. Ωστόσο αυτό που συνήθως θέλουμε είναι το σφάλμα στη καλύτερη εκτίμηση της τιμής του x, που είναι η μέση τιμή Τυπικό σφάλμα ή σφάλμα μέσης τιμής x Το σφάλμα αυτό είναι μικρότερο από την τυπική απόκλιση, σ, γιατί διαφορετικά θα μπορούσαμε να υπολογήσουμε την αληθινή τιμή του x το ίδιο καλά με μια και μόνο μέτρηση όπως θα κάναμε με πολλές μετρήσεις. Το σφάλμα της μέσης τιμής ή τυπικό σφάλμα ορίζεται σαν η τυπική απόκλιση, σ, όλων των μετρήσεων διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των μετρήσεων Επομένως η απάντησή μας στην ερώτηση ποια είναι η αληθινή μετρούμενη τιμή της φυσικής ποσότητας x? είναι: Τ ο σφάλμα έχει τις ίδιες διαστάσεις με τη μετρούμενη ποσότητα Θα πρέπει επομένως να πάρουμε αρκετές μετρήσεις ώστε να ελαττώσουμε το σφάλμα αλλά όχι περισσότερες από όσες οδηγούν σε σφάλμα μικρότερο από το σφάλμα ανάγνωσης του οργάνου. 32

33 (το σφάλμα οργάνου όπως το ορίσαμε πριν) 33

34 34

35 Σημαντικά ψηφία Κάθε πείραμα όπως είδαμε περιέχει ένα βαθμό αβεβαιότητας. Ας υποθέσουμε ότι τρεις παρατηρητές μετρούν το μήκος ενός φύλου χαρτιού με ένα χάρακα με μικρότερη υποδιαίρεση το mm και βρίσκουν cm, cm και cm Παρατηρήστε ότι όλοι συμφωνούν στα τρία πρώτα ψηφία. Προφανώς το 4 ο ψηφίο (το οποίο υπολογίστηκε από τον καθένα) είναι ένα αβέβαιο ψηφίο. (Ακόμα και το 3 ο ψηφίο μπορεί να είναι αβέβαιο ανάλογα με τις συνθήκες) Ορισμός Τα ψηφία που θεωρούνται σωστά και το πρώτο αβέβαιο ψηφίο ονομάζονται σημαντικά ψηφία Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων σε μια μέτρηση εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου της μέτρησης και σε ένα βαθμό από την ικανότητα του παρατηρητή και θα πρέπει να προσπαθούμε να πάρουμε τόσα ψηφία όσα μας επιτρέπει το όργανο μέτρησης. Ανάλογα θα πρέπει να καταγράφουμε μετρήσεις μόνο με τα σωστά σημαντικά ψηφία και όχι με περισσότερα ψηφία που υποδηλώνουν μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτή που καθορίζεται από το όργανο ή τη μέθοδο μέτρησης 35

36 Σημαντικά ψηφία Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε τη μάζα ενός σώματος να είναι Kgr και προσδιορίσαμε την αβεβαιότητα της μέτρησης σαν ± 0.3. Ο αριθμός αποτελείται από 8 σημαντικά ψηφία ενώ η αβεβαιότητα μας λέει ότι τα 5 τελευταία ψηφία (43509) δεν έχουν καμιά σημαντική βαρύτητα μια και αντιπροσωπεύουν ποσότητα μικρότερη από την αβεβαιότητα. Τα ψηφία αυτά ονομάζονται μή σημαντικά. Οι υπολογιστικές μηχανές δείχνουν μη σημαντικά ψηφία και μπορούμε να πάρουμε μη σημαντικά ψηφία απλά και μόνο από απλές υπολογιστικές πράξεις. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε το μήκος μιας ράβδου και το βρήκαμε είναι 2.54cm και επομένως το μήκος της ράβδου θα είναι l = 12 x 2.54 = 30.48cm. 12 ίντσες. Μια ίντσα Ξεκινώντας δηλαδή από μια μέτρηση με 2 σημαντικά ψηφία (12) καταλήξαμε στο προσδιορισμό του μήκους με 4 σημαντικά ψηφία (μεγαλύτερη ακρίβεια) που δεν μπορεί να ισχύει. Επομένως θα έπρεπε να γράψουμε ότι το ύψος είναι 30.cm και όχι 30.48cm. 36

37 Σημαντικά ψηφ ία - Κανόνες γραφής - μέτρησης (1.α) Γράφουμε τις τιμές των φυσικών μεγεθών ώστε το τελευταίο μετρούμενο ψηφίο πέφτει στα δεξιά της υποδιαστολής. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε είτε χρησιμοποιώντας επιστημονική σήμανση (π.χ = x 10 1 ) ή χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες μονάδες. (1.β) Το ψηφίο που αντιπροσωπεύει την μικρότερη μετρούμενη υποδιαίρεση κλίμακος πρέπει να γραφεί ακριβώς ακόμα και αν είναι μηδέν (π.χ m με κλίμακα mm) (1.γ) Στρογγυλοποίηση. Όταν διώχνουμε τα μη σημαντικά ψηφία συνήθως αν το πρώτο μη σημαντικό ψηφίο είναι 5 τότε το στρογγυλοποιούμε το τελευταίο σημαντικό ψηφίο προς τα πάνω ένω αν είναι το πρώτο σημαντικό ψηφίο < 5 η στρογγυλοποίηση γίνεται προς τα κάτω. (π.χ > 4.77 ενώ > 4.76 (2) Αν το πρώτο μη σημαντικό ψηφίο είναι 5 τότε μπορείτε να το στρογγυλοποιήσετε όπως επιθυμήτε προς τα πάνω ή κάτω αλλά θα πρέπει να χρησιμοποείται πάντα το ίδιο τρόπο. (3) Ακέραιοι αριθμοί (1 9) είναι πάντοτε σημαντικοί. Ψηφία που βρίσκονται στα δεξιά της υποδιαστολής είναι σημαντικά. π.χ έχει 5 σημαντικά ψηφία. Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία. 37

38 Σημαντικά ψηφ ία - κανόνες μέτρησης (4) Προσοχή χρειάζεται στα μηδενικά: (α) Μηδενικά αμέσως μετά την υποδιαστολή δεν υπολογίζονται στα σημαντικά ψηφία αν μετά ακολουθεί στα δεξιά τους κάποιος ακέραιος και δεν υπάρχει ακέραιος στα αριστερά της υποδιαστολή. Ο αριθμός έχει 1 σημαντικό ψηφίο. Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία. (β) Μηδενικά που ακολουθούν την υποδιαστολή και δεν έχουν κάποιο ψηφίο στα δεξιά τους θεωρούνται σημαντικά ψηφία. Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία. (γ) Μηδενικά που ακολουθούν ακέραιους αριθμός και δεν έχουν υποδιαστολή στα δεξιά τους δεν θεωρούνται σημαντικά. Ο αριθμός έχει 3 σημαντικά ψηφία. 38

39 Σημαντικά ψηφ ία - Πράξ εις Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πειραματικών δεδομένων είναι ότι τα σφάλματα συνδυάζονται στους υπολογισμούς και παράγουν νέα σφάλματα στα υπολογιζόμενα αποτελέσματα. Επομένως υπολογισμοί μεταξύ αριθμών με διαφορετικά σημαντικά ψηφία οδηγούν σε αποτελέσματα με διαφορετικά σημαντικά σημεία Οι κανόνες είναι: Για πολλαπλασιασμό και διαίρεση: Τα αποτελέσματα πολ/σμού και διαίρεσης στρογγυλοποιούνται στο ίδιο αριθμό σημαντικών ψηφίων με αυτό του αριθμού με την χειρότερη ακρίβεια. Για πρόσθεση και αφαίρεση: Βρίσκουμε τον αριθμό του οποίου το τελευταίο σημαντικό ψηφίο καταλαμβάνει τη θέση πιο κοντά στην υποδιαστολή. Αυτή είναι η θέση του τελευταίου σημαντικού ψηφίου του αποτελέσματος. 39

40 40

41 Σημαντικά ψηφ ία - Παραδείγματα Είδαμε ότι για μια αριθμητική ποσότητα η οποία μετράται πειραματικά, τα σημαντικά ψηφία είναι τα ψηφία της ποσότητας τα οποία καθορίζονται από την πειραματική μέτρηση. Μερικά παραδείγματα/ερωτήσεις: Προσδιορίστε τον αριθμό σημαντικών ψηφίων για τα ακόλουθα: Παραδείγματα στρογγυλοποίησης: Στρογγυλοποιήστε τα ακόλουθα, κρατώντας μόνο τον αριθμό σημαντικών ψηφίων που δείχνει η παρένθεση. 41

42 Σημαντικά ψηφ ία - παραδείγματα Πράξεις με σημαντικά ψηφία - ερωτήσεις Έστω ότι δίνονται τα ακόλουθα: A = , B = , C= κ αι D=1/3. Υπολογήστε τα ακόλουθα απoτελέσματα: 42

43 Ας ξαναεπισκεφτούμε τον τρόπο υπολογισμού της αβεβαιότητας σε μέγεθος γ, το οποίο προκύπτει μετρώντας τα μεγέθη α, β, με: γ = α + β. Τα α και β προσδιορίζονται α = α 0 ± δα και β = β 0 ± δβ. Η μεγαλύτερη πιθανή τιμή είναι γmax = α 0 +β 0 + (δα + δβ) ενώ η η μικρότερη πιθανή τιμή είναι γmin = α 0 +β 0 - (δα + δβ) Για να συμπέσει ωστόσο η τιμή του γ με την γmax θα πρέπει η μέτρησή μας να έχει υπερεκτιμήσει τόσο το α όσο και το β κατά τα μέγιστα επιτρεπόμενα σφάλματα δα και δβ αντίστοιχα. Είναι πιθανό να συμβεί αυτό αν τα α και β μετρούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο; Αν τα σφάλματα είναι τυχαία υπάρχει 50% πιθανότητα μια υπερεκτίμηση του α να συνοδεύεται από μια υποεκτίμηση του β και αντίστροφα. Επομένως η πιθανότητα να υπερεκτιμήσουμε ταυτόχρονα το α και β είναι ελάχιστη και αν δεχόμασταν ως σφάλμα της μέτρησης το δα + δβ θα υπερεκτιμούσαμε το δγ. Πως θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε μια καλύτερη τιμή του δγ; Αν γνωρίζαμε την πιθανότητα μια τιμής του α να βρίσκεται ανάμεσα σε α 0 ± δα και αντίστοιχα μιας τιμής του β να βρίσκεται ανάμεσα σε β 0 ± δβ Για μια μέτρηση που βαρύνεται μόνο με τυχαία σφάλματα των οποίων το πλήθος είναι μεγάλο αλλά το μέγεθος μικρό θα δούμε ότι οι μετρήσεις ακολουθούν την Κανονική Κατανομή (Gauss) 43

44 Σε αυτή την περίπτωση το σφάλμα του γ δίνεται από 2 2 ( ) ( ) Προσέξτε ότι πάντα ισχύει δγ < δα + δβ με την προϋπόθεση ότι τα α και β έχουν μετρηθεί το ένα ανεξάρτητα από το άλλο και τα σφάλματα είναι τυχαία Γενικά αν έχουμε μια συνάρτηση γ = γ (x): γ(x) Αν θεωρήσουμε ότι η καμπύλη μεταξύ x 0 -δx και x 0 +δx προσεγγίζει ευθύγραμμο τμήμα (δx μικρό), τότε ισχύει γ max γ 0 γ min x ( x 0 x) x ( x 0 ) d ( lim) dx x 0 x 0 -δx x 0 x 0 +δx Επομένως το σφάλμα μπορεί να προσεγγιστεί με x d x dx Δηλαδή το σφάλμα δγ εξαρτάται τόσο από το σφάλμα στην μεταβλητή x όσο και από το πόσο μεταβάλλεται η τιμή της συνάρτησης γ(x) γύρω από την τιμή γ 0 44

45 Μετάδοση σφαλμάτων - Στατιστικά σφάλματα 45

46 Παράδειγμα υπολογισμού σφάλματος 46

47 47