Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών. Τον τριγωνομετρικό κύκλο και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας στον τριγωνομετρικό κύκλο. Τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Τις σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών που έχουν άθροισμα ή διαφορά 0, 90, 180, 270, 360.
Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας Διερεύνηση Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_TrigArithmoi.ggb». Να μετακινήσετε τον δρομέα B, για να σχηματίσετε γωνία με μέτρο 32 και 0. Να μετακινήσετε το σημείο σε διαφορετικές θέσεις και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα όπως φαίνεται στο παράδειγμα. Να δώσετε και άλλες τιμές για την και να επαναλάβετε τη διαδικασία. 27, 2,77 6,11 0, 0,891 0, 1 32 32 32 32 0 0 0 0 Τι παρατηρείτε; 72 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
ΑΒ: Απέναντι κάθετη πλευρά της ΑΒ: Προσκείμενη κάθετη πλευρά της ω Μαθαίνω Η τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μέτρηση των στοιχείων του τριγώνου. Ονομασία πλευρών ορθογωνίου τριγώνου σε σχέση με μια οξεία γωνία του. ΑΓ: Υποτείνουσα ΒΓ: Προσκείμενη κάθετη πλευρά της ΒΓ: Απέναντι κάθετη πλευρά της ω Τριγωνομετρικός αριθμός οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του μήκους δυο πλευρών του τριγώνου. ημίτονο της = Λεκτικά Τύπος συνημίτονο της = εφαπτομένη της = Γ AΓ: Υποτείνουσα Απέναντι κάθετη BΓ: πλευρά της γωνίας Α. Α ΑΒ: Προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Α. Β ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 73
Στην υπολογιστική μηχανή οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας υπολογίζονται με τη βοήθεια των πιο κάτω εντολών: Εντολή Υπολογιστικής sin -1, cos -1, tan -1 Παραδείγματα: sin cos tan Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη Με την υπολογιστική μηχανή μπορούμε: Τριγωνομετρικός Αριθμός Δίνουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό και μας δίνει την αντίστοιχη γωνία. (α) να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: Πράξη Εντολές υπολογιστικής Στην οθόνη sin 3 0 = 30 2 cos 4 2 = 70 tan 7 0 = 0 7 31 82 0 2 7 7 77 19 Η Υπολογιστική μηχανή θα πρέπει να είναι ρυθμισμένη σε μοίρες, να φέρει την ένδειξη «DEG» ή «D». 30 0, 2 0,7 3 70 2,7 7 (β) να βρούμε την αντίστοιχη γωνία αν γνωρίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό: Πράξη Εντολές υπολογιστικής Στην οθόνη, 0 85 = 0 8 8 2116693829 8, 0 2 0 25 = 7 22 8781 0701 3 0777 = 3 0777 72 0000900719602 Η Υπολογιστική μηχανή θα πρέπει να είναι ρυθμισμένη σε μοίρες, να φέρει την ένδειξη «DEG» ή «D». 0,8 8,2116693829 8 8,21 0,2 7, 22 8781 0701 7, 2 3,0777 72,0000900719602 72 Μπορούμε, επίσης, να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας, αλλά και την αντίστοιχη γωνία αν γνωρίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό, χρησιμοποιώντας τον πίνακα που έχουμε στο τέλος του κεφαλαίου. 74 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Παραδείγματα 1. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας και της γωνίας. Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο η είναι η υποτείνουσα. Η είναι η απέναντι κάθετη της, αλλά είναι και η προσκείμενη κάθετη της, ενώ η είναι η προσκείμενη κάθετη της, αλλά και η απέναντι κάθετη της. 2. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής. Λύση: Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες του έχουν μέτρο ( ). Υπολογίζουμε την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου 1. Οι οξείες εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα: 2 2 1 1 2 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 75
3. Ο κύριος Αβραάμ θέλει να υπολογίσει το ύψος ενός δέντρου που είναι στον κήπο του. Τοποθέτησε ένα γωνιομετρικό όργανο (εξάντα) σε απόσταση 6 από τον κορμό του δέντρου, παρατήρησε την κορυφή του δέντρου και υπολόγισε ότι το μέτρο της γωνίας προς την κορυφή του δέντρου είναι 6 Να υπολογίσετε το ύψος του δέντρου με προσέγγιση ενός δεκαδικού ψηφίου. Ο εξάντας είναι ένα γωνιομετρικό όργανο που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση κατακόρυφων ή οριζόντιων γωνιών δύο σταθερών αντικειμένων από τη θέση του παρατηρητή. Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο που δημιουργείται είναι δεδομένη η γωνία των 6 και η προσκείμενη πλευρά της γωνίας αυτής με μήκος 6. Το ζητούμενο είναι το ύψος του δέντρου, δηλαδή η απέναντι πλευρά της γωνίας 6. Άρα, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της εφαπτομένης, δηλαδή: Β Α Γ 6 Με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής υπολογίζουμε ότι η 6 2,0 και αντικαθιστούμε στην πιο πάνω σχέση, 2,0 2,0 6 12,3 Το ύψος του δέντρου είναι περίπου 12,3. 76 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ), να εκφράσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και συναρτήσει των πλευρών,, του τριγώνου. 3. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρείτε: α) τον τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας που είναι ίσος με. β) τον τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας που είναι ίσος με. 4. Να υπολογίσετε το και την οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν γνωρίζουμε ότι το. 5. Στο ορθογώνιο τρίγωνο δίνεται 3, και 0. Να υπολογίσετε το μήκος των πλευρών και με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 77
6. Να υπολογίσετε τους άγνωστους και στις πιο κάτω περιπτώσεις: (α) (β) (γ) 8 cm y 92 cm 60 y x 16 cm x 38 30 x y x 7. Να υπολογίσετε τις τιμές του σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις. Οι απαντήσεις να δοθούν κατά προσέγγιση ακεραίου. (α) (β) 8. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που δημιουργεί ο πύργος της Πίζας με το έδαφος, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 9. Να κατασκευάσετε το τρίγωνο με κορυφές 2,1,,1 και, 3 σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Να υπολογίσετε τη γωνία του τριγώνου. 10. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 30 και 60, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής. (Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1 ). 78 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
11. Στο διπλανό σχήμα η γωνία είναι 30, το είναι ύψος του τριγώνου, 11 και 3. Να υπολογίσετε τα μήκη των και και το μέτρο της γωνίας. 12. Στο σχήμα δίνεται ότι (α) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και. (β) Να συγκρίνετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που βρήκατε και να τους διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 13. Δύο λαμπτήρες και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος μιας πολυκατοικίας, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε ύψος 1,7 από το έδαφος, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο φωτίζει την κορυφή της πολυκατοικίας υπό γωνία 22 και ο υπό γωνία 3. Αν το ύψος της πολυκατοικίας είναι 1, να βρείτε την απόσταση μεταξύ των και. 14. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) ισχύει η σχέση 1. 15. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το ημίτονο και το συνημίτονο κάθε οξείας γωνίας του είναι θετικό αλλά μικρότερο από 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 79
Γωνία σε Κανονική Θέση Το Ακτίνιο ως Μονάδα Μέτρησης Γωνιών Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας σε Κανονική Θέση Διερεύνηση (1) Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_Motorcycles.ggb». Οι μοτοσυκλετιστές και βρίσκονται σε διαφορετικά σημεία πάνω στον θετικό ημιάξονα και κινούνται κυκλικά γύρω από την αρχή των αξόνων. Τα κουμπιά ξεκινούν και σταματούν την κίνηση των μοτοσυκλετιστών. Να επιλέξετε τα πιο πάνω κουμπιά διαδοχικά και να περιγράψετε τη θέση του κάθε μοτοσυκλετιστή και τον τρόπο που κινείται. Διερεύνηση (2) Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_Rad.ggb». Να επιλέξετε τον δρομέα με την ένδειξη για να αλλάξετε την ακτίνα του κύκλου. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου για διάφορες τιμές της ακτίνας και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα., 2,3 2,3 Τι παρατηρείτε για το μήκος του τόξου; 80 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Μαθαίνω Μια γωνία λέγεται ότι είναι σε κανονική θέση, αν η αρχική της πλευρά συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα των τετμημένων. Αν μια γωνία στην κανονική της θέση δημιουργείται με στροφή αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού, λέμε ότι μετρούμε θετικά και η γωνία που δημιουργείται ονομάζεται θετική γωνία. Αν μια γωνία στην κανονική της θέση δημιουργείται με στροφή σύμφωνα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού, λέμε ότι μετρούμε αρνητικά και η γωνία που δημιουργείται ονομάζεται αρνητική γωνία. π.χ. Το μέτρο μιας γωνίας μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. π.χ. 72, 22,76, 399, 1028, Τόξο ενός ακτινίου λέγεται ένα τόξο ενός κύκλου με ακτίνα που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Ακτίνιο είναι η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 81
Από τον ορισμό προκύπτει η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών: Όπου είναι το μέτρο σε μοίρες και το μέτρο σε ακτίνια μιας γωνίας. Απόδειξη: Έστω ότι μια γωνία είναι και. Το μήκος ενός κύκλου ακτίνας είναι 2, οπότε η γωνία 360 είναι ίση με 2 Η γωνία 1 είναι ίση με μοίρες Επομένως η γωνία είναι ίση με μοίρες. Επειδή η γωνία είναι, ισχύει ότι, οπότε έχουμε: Η γωνία είναι σε κανονική θέση και το σημείο, είναι πάνω στην τελική της πλευρά το διαφέρει από την αρχή των αξόνων 0,0. Η απόσταση του σημείου, από την αρχή των αξόνων είναι ίση με, όπου, 0. Αν η γωνία είναι οξεία τότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας είναι: Π.χ. Στο σχήμα το σημείο,3 είναι πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας είναι:, και 82 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Οι ορισμοί για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας τους ορισμούς που έχουν δοθεί για την οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο. είναι συνεπείς με Γενικεύοντας τα πιο πάνω, ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας όπου, Παράδειγμα: Στο σχήμα το σημείο,3 είναι πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας είναι:, και Συνεφαπτομένη της γωνίας ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό, 0 και τον συμβολίζουμε με, δηλαδή: Τέμνουσα της γωνίας ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό, 0 και τον συμβολίζουμε με, δηλαδή: Συντέμνουσα της γωνίας ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό, 0 και τον συμβολίζουμε με, δηλαδή: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 83
Παραδείγματα 1. Να κατασκευάσετε δύο ζεύγη γωνιών στην κανονική τους θέση που να έχουν την ίδια τελική πλευρά. Λύση: Η γωνία 120 έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία 2 0. Η γωνία 31 έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία 67. 2. Να εκφράσετε την γωνία 60 σε ακτίνια. Λύση: Θέτουμε στον τύπο, όπου 60 και έχουμε. Άρα 60 3. 84 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
3. Να εκφράσετε τη γωνία σε μοίρες. Λύση: Θέτουμε στον τύπο, όπου και έχουμε 32. Άρα 32. 4. Στο πιο κάτω σχήμα να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. Λύση: Έχουμε το σημείο 3, με συντεταγμένες 3 και. Για να υπολογίσουμε το και το, υπολογίζουμε την απόσταση την αρχή των αξόνων: του σημείου από 3 2 Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών έχουμε: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 85
Δραστηριότητες 1. Να κατασκευάσετε τις πιο κάτω γωνίες σε κανονική θέση. (α) 100 (β) (γ) 0 (δ) 210 2. Να γράψετε δύο γωνίες που έχουν την ίδια τελική πλευρά με τις πιο κάτω γωνίες: (α) 13 (β) 20 (γ) 3. Να εκφράσετε τις γωνίες 30,, 90, 120 σε ακτίνια. 4. Να εκφράσετε τις γωνίες,,, σε μοίρες. 5. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται οι γωνίες και. (α) Να αντιστοιχίσετε ένα δεδομένο της στήλης με το αντίστοιχο της στήλης Στήλη Στήλη αρχική πλευρά της τελική πλευρά της (β) Να συμπληρώσετε την πρόταση: Αν τότε... (γ) Να βρείτε την αρχική και την τελική πλευρά της γωνίας 720 αν είναι σε κανονική θέση. (δ) Να βρείτε την αρχική και την τελική πλευρά της γωνίας 360 αν είναι σε κανονική θέση. 6. Στο πιο κάτω σχήμα να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. 86 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Τριγωνομετρικός Κύκλος Διερεύνηση Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_TrigKyklos.ggb». Δίνεται κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με μία ακεραία μονάδα. Να επιλέξετε τον δρομέα για να δώσετε διάφορες τιμές για τη γωνία. Να παρατηρήσετε τις τιμές των «,,» και να τις συνδέσετε με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 87
Μαθαίνω Τριγωνομετρικός κύκλος ονομάζεται ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με μία μονάδα. Οι άξονες, χωρίζουν τον κύκλο σε τέσσερα τεταρτημόρια: 1 ο τεταρτημόριο 0 90 2 ο τεταρτημόριο 90 180 3 ο τεταρτημόριο 180 270 4 ο τεταρτημόριο 270 360 Η τελική πλευρά μιας γωνίας τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο, ( 1, τότε ισχύει: τετμημένη του σημείου τεταγμένη του σημείου Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι: και Ο άξονας των τετμημένων ονομάζεται και άξονας των συνημιτόνων, ενώ ο άξονας των τεταγμένων ονομάζεται και άξονας των ημιτόνων. Απόδειξη: Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 88 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Η προέκταση της τελικής πλευράς μιας γωνίας η οποία τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο,, τέμνει και την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 1, 0, στο σημείο, τότε ισχύει: τεταγμένη του σημείου Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 1, 0 ονομάζεται και άξονας των εφαπτομένων. Απόδειξη: Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: Για να βρούμε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών, και, μελετούμε το πρόσημο των συντεταγμένων του σημείου τομής, της τελικής πλευράς της γωνίας με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Αν η γωνία έχει τελική πλευρά στο 1 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο, έχει 0 και 0. Συνεπώς,,, Αν η γωνία έχει τελική πλευρά στο 2 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο, έχει 0 και 0. Συνεπώς,,, Αν η γωνία έχει τελική πλευρά στο 3 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο, έχει 0 και 0. Συνεπώς,,, Αν η γωνία έχει τελική πλευρά στο 4 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο, έχει 0 και 0. Συνεπώς,,, Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί, και έχουν το ίδιο πρόσημο με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και, αντίστοιχα. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 89
Με βάση τα πιο πάνω η εύρεση του προσήμου των τριγωνομετρικών αριθμών συνοψίζεται στον πιο κάτω μνημονικό κανόνα όπου: Στο 1 ο τεταρτημόριο οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί. Στο 2 ο τεταρτημόριο θετικό είναι το ημίτονο και η συντέμνουσα. Στο 3 ο τεταρτημόριο θετική είναι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Στο 4 ο τεταρτημόριο θετικό είναι το συνημίτονο και η τέμνουσα. Παραδείγματα 1. Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των 0, 90, 180, 270, 360. Λύση: Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 0 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 1,0. Άρα: 0 0 (τεταγμένη του 1, 0 ) 0 1 (τετμημένη του 1, 0 ) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 90 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 0,1. Άρα: 90 1 (τεταγμένη του 0, 1 ) 90 0 (τετμημένη του 0, 1 ) 90 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 180 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 1,0. Άρα: 180 0 (τεταγμένη του 1,0 ) 180 1 (τετμημένη του 1,0 ) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 270 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 0, 1. Άρα: 270 1 (τεταγμένη του 0, 1 ) 270 0 (τετμημένη του 0, 1 ) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 360 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 1,0. Άρα: 360 0 (τεταγμένη του 1,0 ) 360 1 (τετμημένη του 1,0 ) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2. Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας με μέτρο 117. Λύση: Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 117 είναι στο 2 ο τεταρτημόριο. Άρα: 117 0 117 0 117 0 117 0 117 0 117 0 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 91
Δραστηριότητες 1. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω σχέσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Αν και είναι αρνητικοί αριθμοί, τότε και η είναι αρνητικός αριθμός ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (β) Δεν υπάρχει γωνία για την οποία να ισχύει και. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (γ) Αν,, τότε το. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (δ) Αν και, τότε η τελική πλευρά της γωνίας είναι στο 4 ο τεταρτημόριο. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2. Το ημίτονο μιας γωνίας δεν μπορεί να είναι ίσο με: (α) (β) (γ) 2 2 (δ) - 2 1 (ε) 3 2 3. Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών με μέτρο 236, 2,,. 4. Να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας, αν: (α) 0 και 0 (β) 0 και 0 (γ) 0 και 0 92 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Διερεύνηση Στο σχήμα δίνεται ο τριγωνομετρικός κύκλος. Η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει τον κύκλο στο σημείο,. (α) Να εκφράσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και, συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου. (β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και. (γ) Να ελέγξετε αν η σχέση που βρήκατε στο (β) μπορεί να γενικευθεί και στις περιπτώσεις όπου η γωνία ανήκει στο 2 ο, 3 ο και 4 ο τεταρτημόριο. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 93
Μαθαίνω Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας προκύπτουν ορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες (βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες). Οι σχέσεις αυτές ισχύουν για οποιαδήποτε τιμή της γωνιάς. Απόδειξη: Η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο,. 1 και 1 1, Απόδειξη: Η τελική πλευρά της γωνίας στο σημείο,. τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, Απόδειξη: Απόδειξη: 1 1 Απόδειξη: 1 1 94 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Παραδείγματα 1. Αν και 90 180, να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. Λύση: 1 1 1 ( ) Η τελική πλευρά της γωνίας ανήκει στο 2 ο τεταρτημόριο 90 180, άρα το 0. 2. Να αποδείξετε την ταυτότητα:. Λύση: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 95
Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας στις πιο κάτω περιπτώσεις: (α), 0 90 (β), 2 (γ), 180 270 2. Αν και 0 90, να εκφράσετε συναρτήσει του τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και. 3. Αν και 180 270, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης. 4. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: (α) (β) (γ) 1 (δ) (ε) 1 (στ) (ζ) 2 (η) (θ) 2 (ι) 5. Να εκφράσετε την συναρτήσει του 0 90 μόνο. 6. Αν 3 και 3, να δείξετε ότι 9. 96 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
7. Η βέλτιστη οπτική γωνία σε ένα θέατρο εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως το ύψος της οθόνης, η κλίση της αίθουσας, η θέση του καθίσματος, το ύψος του ματιού ενός καθήμενου θεατή. Για να επιλέξει ένας θεατής την «καλύτερη θέση» χρειάζεται να μετρήσουμε την απόσταση του ματιού από την κορυφή της σκηνής. Για το συγκεκριμένο θέατρο που φαίνεται στην εικόνα αυτή η απόσταση υπολογίζεται από τον τύπο 20 20, όπου είναι η διαγώνια απόσταση της θέσης ενός θεατή από το οριζόντιο δάπεδο. (α) Να αποδείξετε ότι ο πιο πάνω τύπος είναι ισοδύναμος με τον τύπο: 800 0 (β) Να υπολογίσετε την απόσταση, αν 18, ο θεατής κάθεται στην 8 η σειρά και η υψομετρική διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών σειρών είναι 0,91. 8. Να εξετάσετε κατά πόσο υπάρχουν τιμές του για τις οποίες: (α) Να ισχύει συγχρόνως 0 και 0 (β) Να ισχύει συγχρόνως 1 και 1 (γ) Να ισχύει συγχρόνως και (δ) Να ισχύει συγχρόνως και. 9. Αν και, να δείξετε ότι 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 97
Σχέσεις Μεταξύ των Τριγωνομετρικών Αριθμών που έχουν Άθροισμα ή Διαφορά,,,, Διερεύνηση Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών που δίνονται στους πιο κάτω πίνακες με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής ή με τη βοήθεια του εφαρμογιδίου «AlykEn04_SxesiTrigArith_Athr&Diafora.ggb» και να συμπληρώσετε τους πίνακες. 2 36 108 21 2 110 180 180 180 180 2 110 180 180 180 180 3 123 360 360 360 360 1 133 2 3 12 88 360 360 360 360 90 90 90 90 90 90 90 90 98 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
31 23 108 270 270 270 270 270 270 270 270 Τι παρατηρείτε σε κάθε περίπτωση; Μαθαίνω Γωνίες με άθροισμα (αντίθετες): Οι τελικές πλευρές δύο αντίθετων γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο σε σημεία και συμμετρικά ως προς τον άξονα των συνημιτόνων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Γωνίες με άθροισμα : Οι γωνίες είναι της μορφής και 90. Από τα ίσα τρίγωνα και έχουμε, και,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 99
Γωνίες με άθροισμα : Οι γωνίες είναι της μορφής και 180. Οι τελικές πλευρές των δύο γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία, και,. Τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα των ημιτόνων. Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι: Γωνίες με διαφορά : Οι γωνίες είναι της μορφής και 90. Από τα ίσα τρίγωνα και έχουμε, και,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Γωνίες με διαφορά : Οι γωνίες είναι της μορφής και 180. Οι τελικές πλευρές των δύο γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία, και,. Τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο του κύκλου. Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι: 100 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Γωνίες με άθροισμα : Οι γωνίες είναι της μορφής και 270. Από τα ίσα τρίγωνα και έχουμε, και,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Γωνίες με διαφορά : Οι γωνίες είναι της μορφής και 270. Από τα ίσα τρίγωνα και έχουμε, και,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Γωνίες με άθροισμα : Οι γωνίες είναι της μορφής και 360. Οι τελικές πλευρές των γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο σε σημεία, και, συμμετρικά ως προς τον άξονα των συνημιτόνων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Σημείωση: Με τους πιο πάνω τύπους μπορούμε να εκφράσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας με τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Η διαδικασία αυτή λέγεται αναγωγή στο α τεταρτημόριο. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 101
Παραδείγματα 1. Να γράψετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς ως τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας: (α) 187 (β) 29 (γ) 123 (δ) 120 Λύση: (α) 187 180 7 7 Η γωνία 187 έχει την τελική πλευρά της στο 3 ο τεταρτημόριο, άρα το 187 είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι 180. (β) (γ) (δ) Α τρόπος: 29 270 2 2 Η γωνία 29 έχει την τελική πλευρά της στο 4 ο τεταρτημόριο, άρα το 29 είναι θετικό και γνωρίζουμε ότι 270. Β τρόπος: 29 360 66 66 Η γωνία 29 έχει την τελική πλευρά της στο 4 ο τεταρτημόριο, άρα το 29 είναι θετικό και γνωρίζουμε ότι 360. Α τρόπος: 123 180 7 7 Η γωνία 123 έχει την τελική πλευρά της στο 2 ο τεταρτημόριο, άρα η 123 είναι αρνητική και γνωρίζουμε ότι 180. Β τρόπος: 123 90 33 33 Η γωνία 123 έχει την τελική πλευρά της στο 2 ο τεταρτημόριο, άρα η 123 είναι αρνητική και γνωρίζουμε ότι 90. Α τρόπος: 120 Γνωρίζουμε ότι Η γωνία 120 έχει την τελική πλευρά της στο 2 ο τεταρτημόριο, άρα το 120 είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι 90. 30 102 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Β τρόπος: 120 Γνωρίζουμε ότι 60 Η γωνία 120 έχει την τελική πλευρά της στο 2 ο τεταρτημόριο, άρα το 120 είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι 180. 2. Να δείξετε ότι. Λύση: 3. Να λύσετε την εξίσωση, αν 0 360. Λύση: 30 Γνωρίζουμε ότι 180, άρα ισχύει 180 30 30, άρα 30 ή 1 0. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 103
Δραστηριότητες 1. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Αν,, τότε, ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (β) Αν,, τότε ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ,. (γ) Αν,, τότε,. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (δ) Αν, τότε. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ισότητες: (α) (β) 3. Να απλοποιήσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: ( ) ( ) ( ) 4. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: (α) 1 [1 ( 2 )] (β) 1 1 2 2 5. Να αποδείξετε ότι: (α) ( ) ( ) 0 (β) ( ) ( ) 0 (γ) ( ) ( ) δ 90 180 270 0 6. Αν και 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 10 180 3 180. 104 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
7. Αν,, είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, να δείξετε ότι: (α) β (γ) 2 2 2 8. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις στο διάστημα 0 360: (α) 2 2 0 (β) 2 (γ) 3 (δ) 120 (ε) 2 0 (στ) 1 0 9. Να υπολογίσετε τη γωνία, αν 0 180 και. 10. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 105
Δραστηριότητες Ενότητας 1. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη και με προσέγγιση εκατοστού (χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής), χρησιμοποιώντας τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς: 30 0, 30 0,866 30 0, 77 60 0,866 60 0, 60 3 1,732 2. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το ύψος του σπιτιού, αν γνωρίζετε ότι: 2 0, 1 2 0,91 2 0, 3. Ο Λίνος ισχυρίζεται ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 30 η υποτείνουσα είναι διπλάσια από την πλευρά που βρίσκεται απέναντι της γωνίας των 30. Να εξετάσετε κατά πόσο ο ισχυρισμός αυτός είναι ορθός. 4. Να υπολογίσετε την τιμή του στο πιο κάτω σχήμα: 5. Με βάση το πιο κάτω σχήμα, να δείξετε ότι. 106 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
6. Να υπολογίσετε την απόσταση του πλοίου από τον πύργο, αν είναι γνωστό ότι 2 0, 2, 2 0,91, 2 0, 7. (Χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής). 7. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: (α) (β) 8. Στο σχήμα δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 1 και 1, με 0 90. Να εκφράσετε το και το συναρτήσει τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας και να δώσετε την απάντησή σας στην πιο απλή μορφή. 9. Να εκφράσετε τα μήκη των τμημάτων,, και, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα, συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας. 10. Αν 3 να αποδείξετε ότι. 11. Αν, να δείξετε ότι. 12. Να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παραστάσεων: (α) 3 3 (β) 3 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 107
13. Να αποδείξετε ότι: (α) 1 2 3 87 88 89 1 (β) 1 1 2 2 89 89 0 14. Να δείξετε ότι η πιο κάτω παράσταση έχει τιμή ανεξάρτητη του, 2 2 ( ). 15. Αν, (α) Να δείξετε ότι. (β) Με τη βοήθεια των πιο πάνω να υπολογίσετε συναρτήσει του παραστάσεις: (i) τις (ii) (iii) 16. Να αποδείξετε ότι: (α) 1 2 (β) 1 3 (γ) Η παράσταση 2 3 έχει τιμή ανεξάρτητη του, δηλαδή είναι σταθερή. 17. Να αποδείξετε ότι: 0 1 18. Αν ( ) ( ), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) ( ). 19. Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει η ισότητα, όταν 6 2. 108 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Η Σοφία προσπαθεί να υπολογίσει το ύψος του τοίχου. Πήρε ένα βιβλίο το τοποθέτησε κοντά στο μάτι της έτσι ώστε όταν κοιτάζει κατά μήκος της μιας πλευράς του βιβλίου να φαίνεται η συμβολή του τοίχου με την οροφή και όταν κοιτάζει κατά μήκος της άλλης πλευράς του βιβλίου να φαίνεται η συμβολή του τοίχου με το πάτωμα. Αν η απόσταση του ματιού της από το έδαφος είναι 16 και από τον τοίχο 2, να υπολογίσετε το ύψος του τοίχου. 2. Ο κύριος Ζήνωνας θέλει να σχεδιάσει μια γέφυρα για πεζούς η οποία θα περνά πάνω από το τρένο. Για να σχεδιάσει τη γέφυρα πρέπει να υπολογίσει το ύψος,, από το έδαφος μέχρι την κορυφή του τρένου. Να τον βοηθήσετε να υπολογίσει το ύψος αυτό. 3. Να κατασκευάσετε μια γωνία, γνωρίζοντας ότι ( ). 4. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο με ύψος έτσι ώστε και. Να περιγράψετε τον τρόπο που εργαστήκατε για να κατασκευάσετε το τρίγωνο και να υπολογίσετε το και το. 5. Αν, να αποδείξετε ότι 2. 6. Αν 0, να αποδείξετε ότι. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 109
7. Στο διπλανό σχήμα είναι 1 και ακτίνια. (α) Να υπολογίσετε το μήκος των και και στη συνέχεια να δείξετε ότι: ( ). (β) (γ) Να βρείτε το είδος του τριγώνου και στη συνέχεια να δείξετε ότι: ( ). Να αποδείξετε ότι: (i) (ii) 110 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 111
112 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία