1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Transcript

1

2

3 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ) σφ Γ= ( ΑΒ ) Αυτοί είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της οξείας γωνίας Γ. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι καθαροί αριθμοί, δηλαδή δεν έχουν μονάδες μέτρησης και βοηθούν στην εύρεση της γωνίας. Μονάδες μέτρησης γωνιών: Οι γωνίες μετρώνται σε μοίρες και σε ακτίνια (rad). 1 μοίρα (1 ο ): 1 μοίρα είναι η γωνία που όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (0,R), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με το 1/360 του κύκλου. 1 ακτίνιο (1rad): 1 rad είναι η γωνία που όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (ο,r), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα R του κύκλου. Αν α είναι τα ακτίνια και μ οι μοίρες μιας γωνίας, τότε η σχέση που συνδέει το α και το μ, είναι a µ π = 180 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών γίνεται με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου. Κατασκευή: Με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1 κατασκευάζουμε έναν κύκλο.

4 Θετική-Αρνητική γωνία: Αν ο άξονας Ox κινείται προς την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού τότε η γωνία που κατασκευάζετε είναι θετική. Ενώ αν κινείται προς την φορά των δεικτών του ρολογιού τότε η γωνία είναι αρνητική. Γεωμετρική ερμηνεία ημιτόνου-συνημιτόνου: Γεωμετρικά το ημίτονο μιας γωνίας αντιστοιχίζεται στον άξονα yy, ενώ το συνημίτονο στον άξονα xx. Σύνολο τιμών: Επειδή η ακτίνα του κύκλου είναι R=1, τότε θα ισχύει -1 ημω 1 και -1 συνω 1. Γεωμετρική ερμηνεία εφαπτομένης-συνεφαπτομένης : Αν στον κύκλο την κατακόρυφη εφαπτομένη που είναι παράλληλη στον yy, τότε αυτή η ευθεία ονομάζεται ευθεία των εφαπτόμενων. Αντίστοιχα αν φέρουμε την οριζόντια εφαπτομένη του κύκλου που είναι παράλληλη στον xx, τότε αυτή η ευθεία ονομάζεται ευθεία των συνεφαπτομένων. ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 1 ο ο 3 ο 4 ο ηµω συνω εφω σφω Όλοι θετικοί Ημίτονο θετικό Εφαπτόμενη θετική Συνημίτονο θετικό ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ενώ το ημω και το συνω μπορούν να πάρουν τιμές στο διάστημα [-1,1], αντίθετα η εφω και η σφω παίρνουν τιμές σε όλο το R. Μοίρες Ακτίνια ηµω συνω εφω σφω 0 ο

5 30 ο π/6 1/ 3/ 3/ ο π/4 / / ο π/3 3/ 1/ 3 3/3 90 ο π/ ο π ο 3π/

6 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Γωνίες που διαφέρουν κατά κ στροφές ηµ κπ + φ = ηµφ, συν κπ + φ = συνφ, εφ κπ + φ = εφφ, σφ κπ + φ = σφφ, κ ( ) ( ) ( ) ( ) Συμπληρωματικές π ηµ φ συνφ συν φ ηµφ εφ φ σφφ, σφ π = = = φ = εφφ π Γωνίες που διαφέρουν κατά π ηµ φ συνφ συν φ ηµφ εφ φ σφφ, σφ π + = + = + = + φ = εφφ Παραπληρωματικές ηµ π φ = ηµφ, συν π φ = συνφ, εφ π φ = εφφ, σφ π φ = σφφ ( ) ( ) ( ) ( ) Γωνίες που διαφέρουν κατά π ηµ π + φ = ηµφ, συν π + φ = συνφ, εφ π + φ = εφφ, σφ π + φ = σφφ ( ) ( ) ( ) ( ) Αντίθετες γωνίες ηµ φ = ηµφ, συν φ = συνφ, εφ φ = εφφ, σφ φ = σφφ ( ) ( ) ( ) ( ) Επίσης ισχύουν ηµ κπ φ = ηµφ, συν κπ φ = συνφ, εφ κπ φ = εφφ, σφ κπ φ = σφφ, κ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 π ηµ φ συνφ συν φ ηµφ εφ φ σφφ, σφ π = = = φ = εφφ 3 π ηµ φ συνφ συν φ ηµφ εφ φ σφφ, σφ π + = + = + = + φ = εφφ Μνημονικός κανόνας για ανάγωγη στο 1 ο τεταρτημόριο Αν η γωνία έχει τη μορφή κπ ± φ, κ, τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει. κπ Αν η γωνία έχει τη μορφή ± φ, όπου κ περιττός ακέραιος, τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός αλλάζει, δηλαδή εναλλάσσουμε το ημ με συν και εφ με σφ. π Για το πρόσημο, αν υποθέσουμε ότι 0 < φ < βρίσκουμε σε ποιο τεταρτημόριο καταλήγει η κπ γωνία ( κπ ± φ ) ή ± φ, και βάζουμε το πρόσημο που έχει ο τριγωνομετρικός αριθμός σε αυτό το τεταρτημόριο.

7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ηµ ω + συν ω = 1 ηµω συνω. εφω =, σφω = συνω ηµω 3. εφω σφω = 1 ηµ ω συν ω ηµ ω + συν ω = 1 + = εφ ω + 1 = συν ω = συν ω συν ω συν ω συν ω εφ ω + 1 εφ ω ηµ ω = εφ ω + 1 ηµ ω συν ω ηµ ω + συν ω = 1 + = 1+ σφ ω = ηµ ω = ηµ ω ηµ ω ηµ ω ηµ ω σφ ω + 1 συν ω = σφ ω σφ ω + ν Προσοχή! ( ) ν 1 ηµ ω = ηµω και ν ν ηµω = ηµ ( ω )

8 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α.ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Παράδειγμα 1 ο Έστω γωνία φ (π/3,π/) με συνφ= - 1.Να υπολογίσετε 13 τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ. Ισχύει ημ φ+συν φ=1 άρα ημ φ=1-144 = άρα ημ φ= 5 ή ημφ= - 5, όμως ημφ< ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Χρησιμοποιούμε τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. άρα ημ φ= οπότε εφ φ= ηηηηηη σσσσσσσσ = 5 1 και σφφ= Παράδειγμα ο Αν εφω= - με ω ( 3ππ,π).Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. εφω= - άρα σφω= -1/ Ισχύει ημ ω= εεεε ωω = 4 = 4 άρα 1+εεεε ωω ημω = = 5 και συν 1 ω= 5 5 συνω = 1 = εεεε ωω = 1 5 άρα Β. ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγμα 3 ο Να αποδείξετε ότι 1. ημ θ (1+σφ θ) = 1. εεεεεε+σσσσσσ = εεεεεε εεεεεε+σσσσσσ εεεεεε 3. (1-συνφ)(1+ 1 ) = ηηηηxxεεεεxx σσσσσσxx 1. ημ θ (1+ σσσσσσ θθ ) = ηηηη θθ ηηηη φφ ηηηη θθ (ημ θ+συν θ)=1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Χρησιμοποιούμε τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες και τριγωνομετρικό πίνακα. Η συνθήκη μπορεί να δειχθεί με ισοδυναμίες παίρνοντας και τα δύο μέλη ταυτόχρονα.. εεεεεε+ 1 εεεεεε εεεεεε+ 1 = εεεεεε εεεεεεεεεεεε+1 εεεεεε εεεεεεεεεεεε+1 = εεεεεε εεεεεε εεεεεε 3. (1-συνx)( σσσσσσxx+1 xx σσσσσσxx )=1 σσσσσσ = ηηηη xx ηηηηxx = ηηηηxx = σσσσσσxx σσσσσσxx σσσσσσxx

9 = ηηηηxxεεεεxx Παράδειγμα 4 ο Να αποδειχθεί ότι 1. ημ 6 ω+συν 6 ω=1-3ημ ω συν ω. 1+ηηηηxx 1 ηηηηxx 1 ηηηηxx = εεεεxx αν x (-π/,π/) 1+ηηηηxx ηµ ω + συν ω = ηµ ω + συν ω 3 = 1. ( ) ( ) ( ηµ ω 4 συν ω)( ηµ ω συν ω ηµ ω 4 συν ω) 4 4 = 1 ( ηµ ω + συν ω συν ω ηµ ω) = ( ) = ( 1 3συν ω ηµ ω) = + + = ( ηµ ω συν ω συν ω ηµ ω συν ω ηµ ω) = + =. 1+ηµx 1+ηµx 1+ηµx 1 ηµ x 1 ηµx 1 ηµx = ( 1+ηµx) ( 1 ηµx) 1+ηµx (1 ηµx)(1+ηµx) = = ηµx συν x = ηµx συνx = εφx Παράδειγμα 5 ο Να αποδείξετε ότι ηµθ + συνθ. ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ ( ) ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ ηµ θ + συν θ + ηµθ συνθ ηµθ συνθ 1 0 ηµ θ + συν θ ηµθ συνθ 0 ( ηµθ συνθ ) 0 Ισχύει για κάθεθ. Γ.ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΝΩΣΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ (ΑΝΑΓΩΓΕΣ ΣΤΑ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ) = Παράδειγμα 6 ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

10 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ο ο ππrrrrrr Διαιρούμε την γνωστή γωνία με το 360 ο αν είναι μοίρες Γράφουμε τις γωνίες ως πολ/σια του π αν είναι rad ο =3 360 ο +10 ο άρα ημ100 ο = ημ(3 360 ο +10 ο )= ημ10 ο = ημ(180 ο -60 ο ) = ημ60 ο = 3 συν100 ο = συν10 ο = - ½ εφ100 ο = εφ10 ο = - 3 σφ100 ο = σφ10 ο = = ημ (-850 ο )= - ημ(850 ο )= - ημ(330 ο )= - ημ(360 ο -30 ο ) = =ημ30 ο =1/ συν(-850 ο )=συν(850 ο )= συν(330 ο ) = συν30 ο = 3 εφ(-850 ο ) = - εφ(850 ο )= - εφ(330 ο ) = εφ30 0 = 3 3 σφ( )= ππ = 187. ππ, με 187= άρα 187ππ = ππ=15 ππ + 7ππ ημ 187ππ = ηηηη 6 7ππ = ηηηη ππ + ππ = ηηηη ππ = συν( 187ππ 6 ) = σσσσσσ ππ + ππ 6 = σσσσσσ ππ 6 = 3 εφ( 187ππ ) = σφ=( 187ππ ) = 3 6 Δ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ (ΑΝΑΓΩΓΕΣ ΣΤΑ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ) Παράδειγμα 7 ο Να αποδείξετε ότι εφ(π x)συν(π + x)συν 9π + x ηηηη(13ππ + xx)σσσσσσ( xx)σσσσ 1ππ = 1 xx Ισχύουν: εφ (π-x)= - εφx ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Χρησιμοποιούμε την μεθοδολογία της κατηγορίας Γ και στη συνέχεια Τους τύπους που υπάρχουν για τις αναγωγές στα τεταρτημόρια.

11 συν(π+x)= συνx συν( 9ππ + xx) = σσσσσσ 4ππ + ππ + xx = σσσσσσ ππ + xx = ηηηηxx ημ(13π+x)= ημ(π+x)= - ημx συν(-x) = συνx σφ( 1ππ xx) = σσσσ 10ππ + ππ xx = σσσσ ππ xx = εεεεxx άρα Α= ( εεεεxx) σσσσσσxx( ηηηηxx) = 1 ( ηηηηxx) σσσσσσxxεεεεxx Παράδειγμα 8 ο Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Β= ηηηη495οο σσσσσσ10 οο +σσσσσσ495 οο σσσσσσ( 10 οο ) εεεε( 10 οο )+εεεε495 οο ημ(495 ο )=ημ(360 ο +135 ο )=ημ(135 ο )=ημ(180 ο -45 ο )= ημ45 ο = συν10 ο =συν(180 ο -60 ο )= - συν60 ο = - 1 συν(495 ο )=συν(180 ο -45 ο )= - συν45 ο = συν(-10 ο )=συν10 ο = - 1 εφ(-10 ο )= - εφ10 ο = εφ60 ο = 3 εφ(495 ο )=εφ(180 ο -45 ο )= - εφ45 ο = -1 Β= 1 +( 1 )( 1 ) = Παράδειγμα 9 ο Αν εφ( ππ xx) + 3 εεεε(ππ + xx) = 5 6 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ= εφ ( ππ 3 xx)+εφ ( ππ + xx) 6 Ισχύει ( ππ xx) + ( ππ + xx) = ππ 3 6 Άρα ππ + 6 xx=ππ (ππ xx) 3 Οπότε εφ ( ππ + xx)= σφ 6 (ππ xx) 3 Οπότε εφ( ππ xx) + 3 εεεε(ππ + xx) = 5 τότε 6 [εφ( ππ xx) + 3 εεεε(ππ + 6 xx)] =5 εφ ( ππ 3 xx)+εφ ( ππ + 6 xx)+εφ(ππ xx) 3 εεεε(ππ + xx) = 5 6 εφ ( ππ 3 xx)+εφ ( ππ + 6 xx)+εφ(ππ 3 xx) σφ(ππ xx) = 5 3 άρα εφ ( ππ 3 xx)+εφ ( ππ + xx) = 3. 6 Όταν έχουμε συνθήκη τριγωνομετρικών αριθμών με άγνωστες γωνίες εξετάζουμε αν οι γωνίες έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους. π.χ. Συμπληρωματικές, παραπληρωματικές, διαφέρουν κατά ππ, ππ, 3ππ, κκκκ κ.οκ.

12 Εξασκηση Α. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ π 1.1) Αν φ, π και 4 ηµφ =, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 5 φ. 8 π 1.) Αν σφφ = με φ 0, 15 γωνίας φ συνφ =, εφφ =, σφφ = 5 3 4, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της 1.3) Αν π 6ηµ x+ ηµ x 1 = 0, x π, εφx = ηµφ =, συνφ =, εφφ = , να υπολογίσετε την εφx. 1.4) Αν ηµ x= συν x, να βρείτε την εφx. [ εφ x = 1] 1.5) Αν5συν x+ ηµ x= 3, να υπολογίσετε τηνσφ x. σφ x = 1 Β. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1.6) Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: 3 x συν x 1 = εφ 3 ( εφθ ηµθ ) + ( συνθ ) = ηµ x ηµ x συνθ συν i) x ii) 1 1 εφθ σφθ ιιi) + = 1 + iv) = εφ θ + εφ θ 4 1 συνθ 1 εφθ ηµθ συνθ συν θ συν θ

13 v συν θ + ηµ θ ηµ θ = 4 4 ) 1 1.7) Να αποδείξετε ότι είναι ανεξάρτητες του θ, οι παραστάσεις: Α= ηµ θ + συ θ 3ηµ θ 3συν θ και Β= 4 4 ηµ θ + ηµ θ συν θ συν θ 3ηµ θ 1 1.8) Να αποδείξετε ότι: π i) ηµ θ + συν θ ii) ηµθ + συνθ > 1, 0 < θ < 3 ηµω iii) συνω Γ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1.9) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών o 11π 11π 1 i)765 ηµ ( 765 ) = ii) ηµ 6 = 6 1π 1π o iii) ηµ = 1 iv) 450 ηµ ( 450 ) = 1 Δ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1.10) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης [ Α= 5] ο ο ο ηµ συν690 εφ( 60 ) A = ο ο 3συν40 + ηµ ( 450 ) 1.11) Να απλοποιήσετε την παράσταση [ Π= 1] π εφ( θ π ) συν ( π + θ ) συν + θ Π= 3π ηµ (7 π + θ ) συν ( π θ ) σφ θ ο ο ο ο 1.1) Να αποδείξετε ότι συν + ηµ 47 + ηµ συν 300 = ) Αν f( x) = ηµ x+ συν x, να αποδείξετε ότι f( x) + f( x) + f( π x) + f( π + x) = 0.

14 π 3π 5π 1.14) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης A = συν + συν + συν Α= 1.15) Να αποδείξετε ότι ( x) 7π 3π 3π ηµ 7π + + ηµ + x + εφ σφ = ) Να αποδείξετε ότι ο ( x) o ( x) o ( x) o ( x) ηµ 70 + ηµ =. 1+ συν 90 + συν 180 π π ) Αν ηµ x + ηµ + x =, να βρείτε την τιμή της παράστασης π π B= ηµ x ηµ + x Β= ) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι : A B+Γ i) συν A B 1 ii) εφ εφ 1 ηµ B ηµ A B ( + + Γ ) = = ( +Γ ) = ( ) 1.19) Να αποδείξετε ότι: 35 5 i) π π ii) π συν = συν ηµ x = συν 3π + x 6 6 ( ) 1.0) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο λ, ώστε να έχουν νόημα οι παρακάτω ισότητες. ( Υπόδειξη 1 ηµθ ηµ θ 1,0 1 συνθ συν θ ) [ ] i) συν x= 5 λ λ 3 λ 1 ii) ηµ x = 3λ + 1 [ λ ή λ 0] 3λ iii) συν x = λ + 0 λ 1ή λ [ ]