Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Transcript

1

2 Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες των συναρτήσεων και των γραφικών τους παραστάσεων.. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μονοτονία συνάρτησης Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης T = f (t) που εκφράζει τη θερμοκρασία Τ ενός τόπου συναρτήσει του χρόνου t κατά το χρονικό διάστημα από τα μεσάνυχτα μιας ημέρας (t =0) μέχρι τα μεσάνυχτα της επόμενης μέρας (t =4). T(ºC) T=f(t) 5 Ο t(h) α) Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [4,6] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας ανέρχεται. T(ºC) T=f(t) 5 f(t) f(t) Ο 4 t t 6 4 t(h)

3 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αυτό σημαίνει ότι στο διάστημα αυτό, με την πάροδο του χρόνου, η θερμοκρασία αυξάνεται, δηλαδή για οποιαδήποτε t, t [ 46, ] με t < t ισχύει: f( t ) < f( t ) Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T = f (t ) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [4,6]. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f( ) < f( ) Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ γράφουμε f Δ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= είναι γνησίως αύξουσα στο. Πράγματι έστω,, με <. Τότε έχουμε: < < < f( ) < f( ) Γενικά: Η συνάρτηση f( )= α + β, με α > 0 είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Στο ίδιο σχήμα, παρατηρούμε επιπλέον ότι στο διάστημα [6,4] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας κατέρχεται. T(ºC) T=f(t) 5 f(t ) f(t ) Ο 4 6 t t 4 t(h)

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αυτό σημαίνει ότι στο διάστημα αυτό, με την πάροδο του χρόνου, η θερμοκρασία μειώνεται, δηλαδή για οποιαδήποτε t, t [ 6, 4] με t < t ισχύει: f( t) > f( t) Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T = f (t ) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [6,4]. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f ( ) > f ( ) Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ γράφουμε f Δ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= + 5 είναι γνησίως φθίνουσα στο. Πράγματι έστω,, με <. Τότε έχουμε: < > + 5> + 5 f( ) > f( ) Γενικά: Η συνάρτηση f( )= α + β, με α < 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο. Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ. Ελάχιστο και μέγιστο συνάρτησης Ας θεωρήσουμε και πάλι τη γραφική παράσταση της συνάρτησης T = f (t). T(ºC) T=f(t) 5 O t(h)

5 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατηρούμε ότι: α) Τη χρονική στιγμή t = 4 η θερμοκρασία του τόπου παίρνει την ελάχιστη τιμή της, που είναι η f( 4) = βαθμοί Κελσίου. Δηλαδή ισχύει: f() t f ( 4) =, για κάθε t [ 04, ] Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T = f (t) παρουσιάζει στο t = 4 ελάχιστο, το f( 4) =. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 A (ολικό) ελάχιστο όταν: f( ) f( 0 ), για κάθε A Το 0 A λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το f ( ) 0 ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με min f (). 4 Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= +. Επειδή 4 0, για κάθε, θα είναι 4 0, για κάθε, οπότε θα έχουμε 4 +, για κάθε. Επομένως: f( ) f ( 0 ), για κάθε. Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 = 0, το f( 0) = β) Τη χρονική στιγμή t = 6 η θερμοκρασία του τόπου παίρνει τη μέγιστη τιμή της, που είναι η T(6)= βαθμοί Κελσίου. Δηλαδή ισχύει: f() t f ( 6) =, για κάθε t [ 04, ] Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T = f (t) παρουσιάζει στο t =6 μέγιστο, το f (6)=. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 A (ολικό) μέγιστο όταν: f( ) f( ), για κάθε A 0

6 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Το 0 A λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f ( ) 0 ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της f και το συμβολίζουμε με ma f ( ). 4 Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= +. Επειδή θα είναι οπότε θα έχουμε Επομένως: 4 0, για κάθε, 4 0, για κάθε, 4 +, για κάθε. f( ) f ( 0 ), για κάθε Άρα, η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 = 0, το f( 0) =. Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής. ΣΧΟΛΙΟ Μια συνάρτηση ενδέχεται να έχει και μέγιστο και ελάχιστο (Σχ. α) ή μόνο ελάχιστο (Σχ. β ) ή μόνο μέγιστο (Σχ. γ ) ή να μην έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο (Σχ. δ ). =f() =f() Ο Ο Σχήμα α Σχήμα β =f() =f() Ο Ο Σχήμα γ Σχήμα δ

7 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Άρτια συνάρτηση α) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού όλο το. Παρατηρούμε ότι η C f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ', αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της C f ως προς τον άξονα ' ανήκει στη C f. Επειδή, όμως, το συμμετρικό του τυχαίου σημείου M(, ) της C f ως προς τον άξονα ' είναι το σημείο M'(, ) και επειδή τα σημεία M(, ) και M'(, ) ανήκουν στη C f, θα ισχύει = f () και = f ( ), οπότε θα έχουμε: f( ) = f( ) Η συνάρτηση f με την παραπάνω ιδιότητα λέγεται άρτια. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε A ισχύει: A και f( ) = f( ) Cf M M f( ) f() O Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα. 4 Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= + είναι άρτια συνάρτηση, αφού έχει πεδίο ορισμού όλο το και για κάθε ισχύει: f( ) = ( ) 4 ( ) + = 4 + = f( ) Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα '. Περιττή συνάρτηση β) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού όλο το. Παρατηρούμε ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της C f ως προς την αρχή των αξόνων ανήκει στη C f. f( ) M O Cf M f()

8 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Επειδή, όμως, το συμμετρικό του τυχαίου σημείου M(, ) της C f ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο M'(, ) και επειδή τα σημεία M(, ) και M'(, ) ανήκουν στη C f, θα ισχύει = f ( ) και = f( ), οπότε θα έχουμε: f( ) = f( ) Η συνάρτηση f με την παραπάνω ιδιότητα λέγεται περιττή. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε A ισχύει: A και f( ) = f( ) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= είναι περιττή συνάρτηση, διότι έχει πεδίο ορισμού όλο το και για κάθε ισχύει: f( ) = ( ) ( ) = + = f( ) Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο όρος άρτια προέκυψε αρχικά από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις =, = 4, = 6 κτλ., που έχουν άρτιο εκθέτη, έχουν άξονα συμμετρίας τον άξονα ', είναι δηλαδή άρτιες συναρτήσεις, ενώ ο όρος περιττή προέρχεται από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις =, =, = 5 κτλ., που έχουν περιττό εκθέτη, έχουν κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, είναι δηλαδή περιττές συναρτήσεις. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορισμένα τμήματα της γραφικής παράστασης μιας άρτιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ 6,6]. Να χαραχθούν και τα υπόλοιπα τμήματα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής: α) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f :

9 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 i) είναι γνησίως αύξουσα, ii) είναι γνησίως φθίνουσα, iii) είναι σταθερή. β) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f, καθώς επίσης οι θέσεις των ακροτάτων αυτών. Ο ΛΥΣΗ Επειδή η συνάρτηση f είναι άρτια, η γραφική της παράσταση θα έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα '. Επομένως, αν πάρουμε τα συμμετρικά ως προς τον άξονα ' των δοθέντων τμημάτων της γραφικής παράστασης της f, θα έχουμε ολόκληρη τη γραφική παράσταση της f, που είναι η πολυγωνική γραμμή Α Β Γ ΟΓΒΑ (Σχήμα). A 4 A B Γ Γ Β 6 5 Ο 5 6 Από την παραπάνω γραφική παράσταση προκύπτει ότι: α) Η συνάρτηση f : i) είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [0,] και [5,6], ii) είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [, 0 ] και [ 6, 5 ], τα οποία είναι συμμετρικά ως προς το Ο των διαστημάτων [0,] και [5,6] αντιστοίχως στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) είναι σταθερή σε καθένα από τα διαστήματα [ 5, ] και [,5] τα οποία είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς το Ο.

10 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με 4 και παρουσιάζεται όταν το πάρει τις τιμές 6 και 6. Δηλαδή ισχύει: ma f( ) = f( 6) = f( 6) = 4 Η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 0 και παρουσιάζεται όταν το πάρει την τιμή 0. Δηλαδή ισχύει: min f () = f (0) = 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι: α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα. Ο =f() Ο =g() Ο =h() ) Να προσδιορίσετε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων της προηγούμενης άσκησης, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών. ) Να δείξετε ότι: i) Η συνάρτηση f( )= 6+ 0 παρουσιάζει ελάχιστο για =. ii) Η συνάρτηση g ( )= παρουσιάζει μέγιστο για =. + 4) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές: 4 i) f ( )= + 5 ii) f( )= + iii) f ( )= + 5 iv) f4( )= v) f5( )= vi) f + 6( )= +.

11 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 5) Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) f( )= ii) f( )= iii) f( )= + iv) f + ( )= + 4 v) f5 ( )= vi) f6( )=. 6) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης. =f() =g() =h() Ο Ο Ο 7) Ομοίως για τις παρακάτω γραμμές =f() =g() =h() Ο Ο Ο 8) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνουν γραφικές παραστάσεις α) Άρτιας συνάρτησης και β) Περιττής συνάρτησης. C C C Ο Ο Ο

12 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= +. Επειδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( )= +, θα αποτελείται από τις ημιευθείες 9 = +, με 0 και 9 = +, με 0, που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών, f( ) = + αν < 0, +, αν 0 O ' ˆ και O ˆ από τις οποίες, όπως είναι γνωστό, αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = κατακόρυφα () και προς τα πάνω κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f( )= +. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: f( ) = ϕ( ) +, για κάθε, που σημαίνει ότι για κάθε το f () είναι κατά μονάδα μεγαλύτερο του φ(). Γενικά: ' Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f( ) = ϕ ( ) + c, όπου c > 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα α ) = + = O () Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα '.

13 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 4 c c c =φ()+c c c O =φ() Σχήμα α β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )=. Επειδή, f( ) = αν < 0,, αν 0 η γραφική παράσταση της f( )=, θα αποτελείται = από τις ημιευθείες 9 =, με 0 και 9 =, με 0, = O που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' O ˆ και Ô από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = κατακόρυφα και προς τα κάτω κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f( )=. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: f( ) = ϕ( ), για κάθε, που σημαίνει ότι για κάθε το f () είναι κατά μονάδα μικρότερο του φ(). Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f( ) = ϕ ( ) c, όπου c > 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω (Σχήμα β ) Σχήμα β

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ =φ() c c O c =φ() c c c Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )=. Επειδή η γραφική παράσταση της f( )=, θα αποτελείται από τις ημιευθείες 9 = +, με και 9 =, με, που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' O ˆ και O ˆ Σχήμα β, f( ) = + αν <,, αν από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = οριζόντια () και προς τα δεξιά κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f( )=. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει f( ) = ϕ( ), για κάθε, που σημαίνει ότι η τιμή της f( )= στη θέση είναι ίδια με την τιμή της ϕ( ) = στη θέση. = O = () Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα '.

15 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 4 Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με: f( ) = ϕ ( c), όπου c > 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά (Σχήμα γ ). Πράγματι επειδή f( ) = ϕ ( c), η τιμή της f στη θέση είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση c, που βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της θέσης. Άρα, η γραφική παράσταση της f θα βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα γ ). c C φ c C f φ(-c) f() c c c Σχήμα γ β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= +. Επειδή O η γραφική παράσταση της f( )= + θα αποτελείται από τις ημιευθείες = 9 =, με και 9 = +, με, = + που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' O ˆ και O ˆ O από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = οριζόντια και προς τα αριστερά κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική

16 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ παράσταση της f( )= +. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει f( ) = ϕ( + ), για κάθε, που σημαίνει ότι η τιμή της f( )= + στη θέση είναι ίδια με την τιμή της ϕ( ) = στη θέση +. Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f( ) = ϕ ( + c), όπου c > 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά (Σχήμα δ ). Πράγματι επειδή f( ) = ϕ ( + c), η τιμή της f στη θέση είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση + c, που βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της θέσης. Άρα, η γραφική παράσταση της f θα βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα δ ). c c C f c C φ f() φ=(+c) c O Σχήμα δ +c ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f( )= + +. ΛΥΣΗ Αρχικά χαράσσουμε την = +, που όπως είδαμε προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της = κατά μονάδες προς τα αριστερά. Στη συνέχεια χαράσσουμε την = + +,που όπως είδαμε προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της = + κατά μονάδες προς τα πάνω.

17 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 45 Επομένως, η γραφική παράσταση της f( )= + + προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της συνάρτησης =, μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα). = + + O = + = ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουμε για να παραστήσουμε γραφικά τις συναρτήσεις της μορφής: f( ) = ϕ ( ± c) ± d, με c,d > 0 Δηλαδή, αξιοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: ϕ( ) =, f( )= + και g ( )=.. Ομοίως για τις συναρτήσεις: ϕ( ) =, h ( )= + και q ( )=.. Ομοίως για τις συναρτήσεις: ϕ( ) =, F ( )= + + και G ( )=.

18 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. i) Να γράψετε τη συνάρτηση f( )= 4+ 5 στη μορφή f( ) = α( p) + q και στη συνέχεια να βρείτε με ποια οριζόντια και ποια κατακόρυφη μετατόπιση η γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( )= θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f. ii) Να κάνετε το ίδιο και για τη συνάρτηση f( )= + 8 9, θεωρώντας ως g την g ( )=. 5. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φ που αποτελείται από τη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων και από το ημικύκλιο που ανήκει στο ο τεταρτημόριο και έχει διάμετρο που ορίζουν τα σημεία O(0,0) και A(,0). Cφ O Α Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( ) = ϕ( ) + και g ( ) = ϕ( ) ii) h ( ) = ϕ( + ) και q ( ) = ϕ( ) iii) F ( ) = ϕ( + ) + και G ( ) = ϕ( ). 6. Δίνεται η συνάρτηση ϕ( ) =. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ: i) κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδα προς τα πάνω. ii) κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδες προς τα κάτω. iii) κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδα προς τα πάνω. iv) κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδες προς τα κάτω.

19 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. Α Ψ. Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα. Α Ψ. Υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση που διέρχεται από τα σημεία Α(,), Β(,) και Γ (,). Α Ψ 4. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και έχει ρίζα τον αριθμό, τότε θα ισχύει f (0) < 0. Α Ψ 5. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,5), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα. Α Ψ 6. Αν η μέγιστη τιμή μιας συνάρτησης f είναι ίση με, τότε η εξίσωση f () = είναι αδύνατη. Α Ψ 7. Η συνάρτηση f:[, ] με f( )= είναι άρτια. Α Ψ 8. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και έχει ρίζα τον αριθμό ρ, τότε θα έχει ρίζα και τον αριθμό ρ. Α Ψ 9. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Α Ψ 0. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή. Α Ψ II) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση για την παρακάτω συνάρτηση f. Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ϕ( ) = 4, μιας οριζόντιας κατά μονάδα προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω, έχει τύπο: 4 Α) f( ) = ( ) + 4 Γ) f( ) = ( + ) + 4 Β) f( ) = ( ) 4 Δ) f( ) = ( + )

20

21 Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις κάθετες MM και NN προς την άλλη πλευρά της γωνίας, τότε τα τρίγωνα OMM και ONN θα είναι όμοια, οπότε θα ισχύει: Ο ω Μ Μ Ν Ν Β Α ( MM) ( NN), ( OM) ( ON) = = και ( OM) ( ON) ( OM) ( ON) ( MM) ( NN) = ( OM ) ( ON ) Επομένως, για τη γωνία ω τα πηλίκα ( MM ), ( OM ) και ( MM) ( OM) ( OM) ( OM ) είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σημείου Μ πάνω στην πλευρά της γωνίας. Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο, ονομάζονται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζονται με ημω, συνω και εφω, αντιστοίχως. Δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο MOM, ισχύει: ( ) ηµω= ( MM ) απέναντι κάθετη ( OM) υποτείνουσα

22 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ συνω = ( ΟM ) ( OM) εϕω= ( MM ) ( OM ) Ορίζουμε ακόμα ως συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συμβολίζουμε με σφω, το σταθερό πηλίκο σϕω = ( ΟM ) προσκείμενη κάθετη ( MΜ ) απέναντι κάθετη Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0 ο ω 60 ο προσκείμενη κάθετη ( υποτείνουσα ) απέναντι κάθετη ( προσκείμενη κάθετη ) ( ) Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, Ot μία ημιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ημιάξονα O αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω από το Ο μέχρι να συμπέσει για πρώτη φορά με την ημιευθεία Ot (Σχ. α, β ). Ο θετικός ημιάξονας O λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω. Μ Ο ρ ω t Μ(,) Μ t Μ(,) ρ Μ Μ Ο ω Σχήμα α Σχήμα β Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ(, ) και φέρνουμε την κάθετη MΜ στον άξονα ' (Σχ. α και β ). Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ. α ), τότε, όπως είδαμε παραπάνω, ισχύουν οι ισότητες: ηµω= ( MM ), συνω = ( ΟM ), εϕω= ( MM ) και ( OM) ( OM) ( OM ) σϕω = ( ΟM ) ( MΜ ) Όμως ( ΟΜ ) =, ( Μ M) = και ( OM) = + = ρ > 0 οι παραπάνω ισότητες γράφονται:. Επομένως, ηµω =, συνω =, εϕω= και σϕω =, όπου ρ= + > 0. ρ ρ

23 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 5 Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουμε με τον ίδιο τρόπο τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήμα β ). Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουμε: ηµω =, ρ εϕω= (εφόσον ¹0) συνω = ρ, σϕω = (εφόσον ¹0), όπου ρ= + > 0 όπου (, ) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο) της τελικής πλευράς της γωνίας ω και ρ= + > 0 η απόσταση του Μ από το Ο. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 60 ο και αρνητικών γωνιών Ας υποθέσουμε ότι ο ημιάξονας O ενός συστήματος συντεταγμένων O περιστρέφεται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά. Αν πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία μέτρου 0 ο, τότε λέμε ότι ο O έχει διαγράψει γωνία ω= = 90. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που είναι μεγαλύτερες των 60, δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω= ν 60 + µ, όπου ν N * και 0 o μ < 60 o Αν τώρα ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία μέτρου 0, τότε λέμε ότι ο ημιάξονας O έχει διαγράψει αρνητική γωνία 60 ο + 0 ο = 90 ο ή αλλιώς γωνία: ω= ( ) = 90 Ο 0 Ο t t

24 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω= ( ν 60 + µ ), όπου ν N και 0 µ < 60 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 60 o, καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών από 0 μέχρι 60. Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε: ηµω =, εϕω= (εφόσον ¹0) ρ συνω =, σϕω = (εφόσον ¹0) ρ, όπου ρ= + > 0 όπου (, ) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και ρ= + > 0 η απόσταση του Μ από το Ο. Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία ω (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά τον ημιάξονα O. Αν ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 60 + ω, που έχει την ίδια τελική πλευρά με την ω. Αν όμως ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 60 + ω, που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά με την ω. Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής k 60 + ω, k, επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Επομένως, για κάθε k θα ισχύει: ηµ ( k 60 + ω) = ηµω, εϕ( k 60 + ω) = εϕω συν( k 60 + ω) = συνω, σϕ( k 60 + ω) = σϕω

25 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 5 Ο τριγωνομετρικός κύκλος Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντομο, υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, χρησιμοποιούμε το λεγόμενο τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομετρικός κύκλος θα μας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στις επόμενες παραγράφους. Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα ρ = γράφουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Έστω τώρα ότι η τελική πλευρά μιας γωνίας, π.χ. της γωνίας ω=5 τέμνει τον κύκλο αυτό στο σημείο Ν(α, β). β Επειδή ηµ 5 = και ρ= ρ θα ισχύει ηµ 5 = β 057, o o 60 o 50o 0 40o 40 N(α,β) 50o β 0o 60o 0o ω 70o 0o 0 0, 5 80o Ο 0, α 90o o 50 00o o 40 0o 0o 0o 0o 0o 0o Μ(,) 40o o 00 50o 90o 60o o 70 80o α Ομοίως, επειδή συν5 = και ρ =, θα ισχύει συν5 = α 08,. ρ Γενικότερα, αν η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(, ), τότε ισχύει: συνω = = τετμημένη του σημείου Μ ημω = = τεταγμένη του σημείου Μ o o o o o o Για το λόγο αυτό ο άξονας ' λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ ο άξονας ' λέγεται και άξονας των ημίτονων. Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής:. Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ απόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με. Δηλαδή ισχύει: συνω και ηµω

26 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας. 4 ημω + + συνω + + εφω + + σφω + + Ο άξονας των εφαπτομένων Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέμνει στο σημείο M(, ). Φέρνουμε την εφαπτομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Α. Αν η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο τεταρτημόριο και η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε στο Ε, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΕ θα έχουμε A B O B ω M ε E(, ) E A t ( ΑΕ) ( ΑΕ) εϕω= = = ( ΑΕ) ( ΟΑ) Αν με E παραστήσουμε την τεταγμένη του Ε, τότε θα ισχύει (AE)= E, οπότε θα είναι εφω = E. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: εφω = E = τεταγμένη του σημείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση =, λέγεται άξονας των εφαπτομένων.

27 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 55 Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Έχουμε γνωρίσει στο Γυμνάσιο το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων. Συγκεκριμένα, ένα τόξο AB ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή rad), αν το τόξο αυτό έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Επομένως, το τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α ρ. Ορίζουμε τώρα το ακτίνιο και ως μονάδα μέτρησης των γωνιών ως εξής: O ρ B rad ρ ρ A ΟΡΙΣΜΟΣ Ακτίνιο (ή rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή rad). Από τον ορισμό αυτό προκύπτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών, ως εξής: Έστω ότι μια γωνία ω είναι µ και α rad. Επειδή το μήκος ενός κύκλου α- κτίνας ρ είναι πρ, η γωνία 60 είναι ίση με π rad. οπότε, Επομένως, η γωνία rad είναι ίση με 60 π μοίρες, η γωνία α rad είναι ίση με α 80 μοίρες. π Επειδή όμως η γωνία ω είναι µ, θα ισχύει µ = α 80, οπότε θα έχουμε: π Για παράδειγμα: 9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 60 σε ακτίνια, θέτουμε στον τύπο όπου µ=60 και έχουμε α 60 = α = π π 80 Άρα είναι 60 = π rad.

28 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 5 π rad σε μοίρες, θέτουμε στον τύπο 6 α π µ = 80 όπου α π = 5 6 και έχουμε 5π 6 µ 5 µ = = µ = 50 π Άρα 5 π rad = Στον παρακάτω πίνακα επαναλαμβάνουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μερικών γωνιών που είχαμε υπολογίσει στο Γυμνάσιο και οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές. Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε rad ημω συνω εφω σφω Δεν ορίζεται 0 π 6 45 π 4 60 π 90 π 0 Δεν ορίζεται ΣΗΜΕΙΩΣΗ Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο rad έχει μήκος, αντί να γράφουμε ημ( rad), συν( rad), εφ( rad) και σφ( rad), θα γράφουμε απλά ημ, συν, εφ και σφ. Για παράδειγμα, αντί να γράφουμε π.χ. ηµ π rad θα γράφουμε απλά ηµ π και αντί ημ(00rad ) θα γράφουμε απλά ημ00. 0

29 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 57 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Οι μετρήσεις που έκανε ένας μηχανικός για να βρει το ύψος h ενός καμπαναριού ΓΚ φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογιστεί το ύψος του καμπαναριού σε μέτρα με προσέγγιση ακέραιας μονάδας. K h ΛΥΣΗ Από το σχήμα έχουμε: εϕ48 = h h, οπότε ΑΓ = ΑΓ εϕ48 Α 48 ο 0 m Β 70 ο Γ εϕ70 = h h, οπότε ΒΓ = ΒΓ εϕ70 AΓ ΒΓ = ΑΒ = 0m Επομένως h h 0εϕ70 εϕ48 = 0, οπότε h = εϕ48 εϕ70 εϕ70 εϕ48. Με τους τριγωνομετρικούς πίνακες ή με ένα κομπιουτεράκι βρίσκουμε ότι εϕ70 75, και εϕ48,. Αντικαθιστούμε στην () και έχουμε: 6, 05 h 7 64, Άρα το ύψος του καμπαναριού είναι περίπου 7m. η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 750. ΛΥΣΗ Αν διαιρέσουμε το 750 με το 60 βρίσκουμε πηλίκο και υπόλοιπο 0, έτσι έχουμε 750 = Επομένως ηµ 750 = ηµ ( ) = ηµ 0 = συν750 = συν0 = εϕ750 = εϕ0 = σϕ750 = σϕ0 =

30 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 79 π rad. ΛΥΣΗ Είναι 79 π 79 = 6 π. Αν τώρα διαιρέσουμε τον 79 με τον 6 βρίσκουμε πηλίκο 79π 79 και υπόλοιπο. Επομένως είναι 6 = π= + 6 π= π + π, οπότε θα έχουμε: π ηµ 79 π ηµ π ηµ π = + = = συν 79 π π = συν = εϕ 79π = εϕ π = σϕ 79π = σϕ π = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη, και τη γωνία ω.. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου του διπλανού σχήματος. B Γ. Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6cm. Να εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι: i) ρ = cm ii) ρ = cm iii) ρ = cm. 4. Να εκφράσετε σε rad γωνία i) 0 ii) 0 iii) 60 iv) Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία: i) π rad ii) 5 π 9π rad iii) rad iv) 00rad Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας i) 80 ii) 940 iii) 980 iv) 600. B 60 A Δ A 0 0 ω Γ 4

31 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 59 Β ΟΜΑΔΑΣ. Σε μικρά αεροδρόμια υπολογίζουν N (Nέφος) το ύψος των νεφών με τη βοήθεια μιας ισχυρής λάμπας εντός παραβολικού h κατόπτρου, η οποία βρίσκεται ω 70 0 σε απόσταση 000 πόδια ( πόδι 0, m) από το σημείο του παρατηρητή. Π (Παρατηρητής).000 πόδια Δ Λ(Λάμπα) Η λάμπα είναι τοποθετημένη υπό σταθερή γωνία και ο παρατηρητής στρέφει το όργανο παρατήρησης στο σημείο ανάκλασης του φωτός από τα νέφη. i) Να προσδιορίσετε το ύψος h για ω = και 60. ii) Πόση είναι η γωνία ω, αν h=000 πόδια;. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος: Ε i) Να δείξετε ότι: Γ (ΑΓ) = (ΒΓ) = ημ 45 =. ii) Να εξηγήσετε γιατί είναι Δ ( ΕΒ ) = 4 ηµ 5,. iii) Να υπολογίσετε το μήκος (ΓΕ). iv) Να δείξετε, χρησιμοποιώντας A,5 o Ο 45 o B το τρίγωνο ΒΕΓ, ότι ( ΕΒ ) =. v) Να υπολογίσετε το ηµ, 5. vi) Ποιων άλλων γωνιών μπορείτε να υπολογίσεται το ημίτονο και πώς πρέπει να συνεχιστεί η κατασκευή για το σκοπό αυτό;. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ του διπλανού σχήματος. A Η πιο αργή κίνηση που μπορεί να επισημάνει το ανθρώπινο μάτι είναι mm ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε πόσο μήκος πρέπει να έχει ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού για να μπορούμε να επισημάνουμε την κίνηση του άκρου του. B Δ 0 0 Γ

32 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩνομετρικεσ ταυτοτητεσ Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω προκύπτουν ορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Οι ταυτότητες αυτές είναι χρήσιμες στο λογισμό με παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα ισχύουν:. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν M (, ) είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε θα είναι: = συνω και = ημω Επειδή όμως, (OM) = και ( ) θα ισχύει: οπότε θα έχουμε: ΟΜ = + = + + =, A t Μ(,) Β O ω A συν ω+ ηµ ω = Β. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Στο ίδιο σχήμα έχουμε: ηµω εϕω = = συνω (εφόσον = συνω 0 ) σϕω = = συνω ηµω (εφόσον = ηµω 0 ).

33 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων () και (), θα αποδείξουμε δύο επιπλέον χρήσιμες ταυτότητες.. εφω. σφω = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι: εϕω = ηµω και σϕω = συνω (εφόσον συνω ¹ 0 και ημω ¹ 0) συνω ηµω Επομένως: εϕω σϕω = ηµω συνω συνω ηµω =. 4. εϕ ω συν ω= και ηµ ω =. + εϕ ω + εϕ ω ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας ηµ ω+ συν ω = με συν ω 0 και έχουμε: ηµ ω συν ω + = εϕ ω + = συν ω=. συν ω συν ω συν ω συν ω + εϕ ω Άρα συν ω=. + εϕ ω ii) Αν στην ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = θέσουμε συν ω=, + εϕ ω εϕ ω έχουμε: ηµ ω + = ηµ ω = ηµ ω =. + εϕ ω + εϕ ω + εϕ ω εϕ ω Άρα ηµ ω =. + εϕ ω

34 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Αν ηµω= 5 και 90 < ω < 80, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω. ΛΥΣΗ Από την ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = προκύπτει ότι συν ω= ηµ ω. Αντικαθιστούμε το ημω με 5 και έχουμε: συν ω= = 69 = = Επειδή 90 < ω < 80, είναι συνω < 0, οπότε έχουμε: 44 συνω = = 69 Από τις ταυτότητες τώρα εϕω = ηµω και σϕω = συνω, έχουμε: συνω ηµω 5 εϕω= 5 = και σϕω = = 5 5. η Να αποδειχθεί ότι i) ηµ ω+ συν ω= ηµωσυν ω ii) ηµ ω συν ω= ηµω ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Έχουμε διαδοχικά: ηµ ω+ συν ω= ( ηµω) + ( συν ω) 4 4 ii) Έχουμε διαδοχικά: = ( ηµ ω+ συν ω) ηµωσυν ω = ηµ ωσυν ω, 4 4 ηµ ω συν ω= ( ηµω) ( συν ω) = ( ηµ ω+ συν ω)( ηµω συν ω) = ηµ ω συν ω = ηµ ω ( ηµω ) = ηµ ω. (Επειδή ηµ ω+ συν ω = ) (Επειδή ηµ ω+ συν ω = )

35 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Αν ηµ = 5 και π < <π, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad.. Αν συν = και π π < <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad.. Αν εϕ = και π < < π, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. 4. Αν σϕ = 5 π και 0 < <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad Αν σϕ = και π < < π, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ηµ συν. + συν 6. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του για τις οποίες: i) Να ισχύει συγχρόνως ημ = 0 και συν = 0. ii) Να ισχύει συγχρόνως ημ = και συν =. iii) Να ισχύει συγχρόνως ηµ = και συν = Να αποδείξετε ότι τα σημεία M (, ) του επιπέδου με = συνθ και = ημθ είναι σημεία κύκλου O(0,0) κέντρου και ακτίνας ρ =. 8. Αν ισχύει = συνθ και = ημθ, να δείξετε ότι =6. 9. Αν είναι = r ημθσυνφ, = r ημθημφ και z = r συνθ, να δείξετε ότι + + z = r. 0. Να αποδείξετε ότι: ηµα συνα i) = 4 4 ii) συν α ηµ α= συν α. + συνα ηµα

36 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να αποδείξετε ότι: ηµθ συνθ i) + + = ii) + συνθ ηµθ ηµθ συν συν + =. ηµ + ηµ συν. Να αποδείξετε ότι: i) εϕα + σϕβ εϕα = ii) εϕ α ηµα= εϕ α ηµα. εϕβ + σϕα εϕβ. Να αποδείξετε ότι: i) συν ηµ + = ηµ + συν ii) ( ) + εϕ σϕ συν συν = ηµ εϕ iii) = ηµ συν εϕ+ σϕ iv) ηµ συν ηµ συν ηµ συν =. B ΟΜΑΔΑΣ. Αν ημ + συν = α, να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις: i) ηµ συν ii) + ηµ συν iii) εϕ+ σϕ iv) ηµ + συν.. Να αποδείξετε ότι: i) ηµ + συν = ηµ συν ii) ηµ + συν = ηµ συν. iii) Η παράσταση ( ηµ 6 + συν 6 ) ( ηµ 4 + συν 4 ) έχει τιμή ανεξάρτητη του, δηλαδή είναι σταθερή. π π. Αν < <, να αποδείξετε ότι + ηµ ηµ ηµ + ηµ = εϕ. 4. Αν 0 < π + συν + συν, να αποδείξετε ότι + συν συν = + ηµ συν = συν ηµ.

37 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 65. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να γίνει, όπως θα δούμε στη συνέχεια, με τη βοήθεια πινάκων που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών από 0 μέχρι 90. Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες ω και ω' που οι τελικές πλευρές τους τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ' αντιστοίχως. Γωνίες αντίθετες t Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, Β δηλαδή αν ω' = ω, τότε, όπως φαίνεται Μ(,) στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως προς τον A ω A άξονα '. Επομένως τα σημεία αυτά Ο ω έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: Β Μ (, ) t' Δηλαδή: Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για παράδειγμα: 9 Έχουμε: ηµ ( 0 ) = ηµ ( 0 ) = εϕ( 0 ) = εϕ( 0 ) = 9 Επίσης, έχουμε: συν( ω) = συνω ηµ ( ω) = ηµω εϕ( ω) = εϕω σϕ( ω) = σϕω συν( 0 ) = συν( 0 ) = σϕ( 0 ) = σϕ( 0 ) = π ηµ ηµ π π = = συν συν π = 4 = π εϕ εϕ π π = = σϕ = σϕ π =

38 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Γωνίες με άθροισμα 80 o Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 80, δηλαδή αν ω' = 80 ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα '. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: t B t Μ (,) 0 80 ω Μ(,) ω A Ο A B Δηλαδή: Οι γωνίες με άθροισμα 80 έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για παράδειγμα: 9 Επειδή 50 = 80 0, έχουμε: ηµ 50 = ηµ ( 80 0 ) = ηµ 0 = συν50 = συν( 80 0 ) = συν0 = εϕ50 = εϕ( 80 0 ) = εϕ0 = σϕ50 = σϕ( 80 0 ) = σϕ0 = 9 Επειδή π π = π, έχουμε: π ηµ ηµ π π ηµ π = = =

39 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 67 π συν συν π π συν π = = = εϕ π εϕ π π εϕ π = = = σϕ π σϕ π π σϕ π = = = Γωνίες που διαφέρουν κατά 80 o Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 80 δηλαδή αν ω' = 80 + ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: Μ (, ) t ω B A ω A Β t Μ(,) Δηλαδή: Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 80 έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Για παράδειγμα: 9 Επειδή 0 = , έχουμε: ηµ 0 = ηµ ( ) = ηµ 0 = συν0 = συν( ) = συν0 = εϕ0 = εϕ( ) = εϕ0 = σϕ0 = σϕ( ) = σϕ0 =

40 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 Επειδή 4 π π = π +, έχουμε: π ηµ 4 ηµ π π ηµ π = + = = π συν 4 συν π π συν π = + = = εϕ 4π εϕ π π εϕ π = + = = σϕ 4π σϕ π π σϕ π = + = = Γωνίες με άθροισμα 90 o Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 90, δηλαδή ω' = 90 ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της γωνίας O ˆ. Επομένως η τετμημένη του καθενός ισούται με την τεταγμένη του άλλου. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: A B O B t Μ (,) = t Μ(,) 0 ω 90 ω A ηµ ( 90 ω) = συνω συν( 90 ω) = ηµω εϕ( 90 ω) = σϕω σϕ( 90 ω) = εϕω Δηλαδή, Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90, τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης. Για παράδειγμα, επειδή 60 = 90 0, έχουμε: ηµ 60 = συν0 =, συν60 = ηµ 0 =, εϕ60 = σϕ0 = και σϕ60 = εϕ0 =

41 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 69 ΣΧΟΛΙΟ Από τα προηγούμενα καταλαβαίνουμε ότι δεν χρειάζεται να έχουμε πίνακες τριγωνομετρικών αριθμών όλων των γωνιών, αλλά μόνο των γωνιών από 0 μέχρι 90. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η 5 Δίνεται ότι συν6 = +. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ΛΥΣΗ Επειδή 54 = 90 6, έχουμε 5 ηµ 54 = συν6 = + 4 Σύμφωνα με την ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = ισχύει ηµ 54 + συν 54 =, οπότε: 5 συν 54 ηµ = = 4 = + =, 6 6 οπότε: 0 5 συν54 = 4 Επομένως είναι: ηµ 54 εϕ54 = = συν και σϕ54 συν54 = = ηµ η Να υπολογιστούν με τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 90 +ω, β) 70 ω και γ) 70 +ω ΛΥΣΗ i) Επειδή 90 + ω= 90 ( ω), έχουμε: ηµ ( 90 + ω) = ηµ ( 90 ( ω)) = συν( ω) = συνω. Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 90 +ω.

42 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ii) Επειδή 70 ω= 80 + ( 90 ω), έχουμε: ηµ ( 70 ω) = ηµ ( 80 + ( 90 ω)) = ηµ ( 90 ω) = συνω. Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 70 ω. iii) Επειδή 70 + ω= ω= 60 + ( ω 90 ), έχουμε: εϕ( 70 + ω) = εϕω ( 90 ) = εϕ( 90 ω) = σϕω. Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 70 +ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: i) 00 ii) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας i) 87 6 π π rad ii) rad. 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: i) ηµ Α= ηµ ( Β+ Γ) ii) συνα+ συν( Β+ Γ) = 0 iii) ηµ Α συν Β + = Γ 4. Να απλοποιήσετε την παράσταση iv) συν Α ηµ Β + = Γ. συν( α) συν( 80 + α). ηµ ( α) ηµ ( 90 + α) 9π εϕ( π ) συν( π+ ) συν + 5. Να αποδείξετε ότι: =. π ηµ ( π+ ) συν( ) σϕ 6. Να δείξετε ότι έχει σταθερή τιμή η παράσταση: ηµ π συν π συν π ηµ π ( ) + ( ) ( ) +.

43 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 7 Β ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:. Να αποδείξετε ότι: 5π 7π ηµ ( 5π+ ω) συν( 7π ω) ηµ ω συν ω + = ηµ ω. 5π 7π σϕ( 5π+ ω) ηµ ( 7π ω) συν ω σϕ ω +. Αν εϕ π εϕ π =, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: εϕ π εϕ π Να αποδείξετε ότι: ηµ 495 συν0 + συν495 συν( 0 ). εϕ( 0 ) + εϕ495 εϕ( π + ) 0< <. εϕ+ σϕ( π + ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Αν ημω =, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω = 0. Α Ψ. Αν συνω = 0, τότε υποχρεωτικά θα είναι ημω =. Α Ψ. Υπάρχει γωνία ω με ημω + συνω =. Α Ψ 4. Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω= συν ω Α Ψ 5. ηµ 0 + ηµ 70 = Α Ψ 6. Για κάθε ισχύει ηµ ( π) = ηµ Α Ψ 7. Για κάθε ισχύει ηµ = ηµ Α Ψ π 8. Αν συν ηµ 0, τότε ηµ = 0 Α Ψ π 9. Για κάθε ισχύει συν ηµ π Α Ψ

44 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ II. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της Α ομάδας με τον ίσο του από τη Β ομάδα. Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ ηµ0 Α συν50 Β ηµ0 Γ 4 συν00 Δ 5 εϕ0 Ε 6 σϕ00 Ζ 7 εϕ00 Η 8 σϕ0 Θ III. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (Α=90 ) και όχι ισοσκελές, τότε: Α) ηµ Β+ ηµ Γ=, Β) ηµ Β+ συν Γ=, Γ) εφβ=.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) συν(β + Γ) = συνα, Β) ημ(β + Γ) = ημα, Γ) εφ(β + Γ) = εφα.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Β+ Γ Α Α) Β) συν συν = Β+ Γ Α, Γ) εϕ εϕ =.

45 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδικές συναρτήσεις Έστω ότι ένα φέρι-μποτ πηγαινοέρχεται μεταξύ δύο λιμανιών Α και Β και η γραφική παράσταση της απόστασης του από το λιμάνι Α ως συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Παρατηρούμε ότι κάθε ώρα το φέρι-μποτ επαναλαμβάνει την ίδια ακρι- βώς κίνηση. Αυτό σημαίνει ότι σε όποια απόσταση βρίσκεται από το λιμάνι Α σε κάποια χρονική στιγμή t, στην ίδια απόσταση θα βρίσκεται και τη χρονική στιγμή t + ώρες και στην ίδια απόσταση βρισκόταν και τη χρονική στιγμή t ώρες. Επομένως η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του φέρι-μποτ από το λιμάνι Α, με τη βοήθεια του χρόνου t, έχει τις ίδιες τιμές τις χρονικές στιγμές t, t +, t. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο ώρες. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του ύψους μιας κούνιας ως συνάρτηση του χρόνου t. Παρατηρούμε ότι, όποιο ύψος έχει η κούνια σε κάποια χρονική στιγμή t, το ίδιο ύψος θα έχει και τη χρονική στιγμή t + sec και το ίδιο ύψος είχε και τη χρονική στιγμή t sec.

46 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Λέμε πάλι ότι η συνάρτηση (που εκφράζει το ύψος της κούνιας με τη βοήθεια του χρόνου t) είναι περιοδική με περίοδο sec. Γενικότερα: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε A να ισχύει: i) + T A, T A και ii) f( + T) = f( T) = f( ) Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με ηµω. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών. Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουν γωνίες, αλλά πραγματικούς αριθμούς, όπως, π.χ. ο τύπος της αρμονικής ταλάντωσης f() t = α ηµω t, στον οποίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι ένας πραγματικός αριθμός που παριστάνει το χρόνο. Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής. Συγκεκριμένα: Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχίζεται στο ημ ( rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ. Ορίζουμε δηλαδή ότι ηµ = ηµ ( rad) ο ο Επειδή ηµ ( ω+ 60 ) = ηµω ( 60 ) = ηµω, για κάθε θα ισχύει: ηµ ( + π) = ηµ ( π) = ηµ Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο π. Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο που συμβολίζεται με συν.

47 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 75 Ορίζουμε δηλαδή ότι συν = συν( rad). Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο π. Η συνάρτηση εφαπτομένη, που συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής: ηµ εϕ = συν Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο: { } = συν 0 Επειδή για κάθε ισχύει εϕ( + π) = εϕ( π) = εϕ, η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π. Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής: συν σϕ = ηµ Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο: { } = ηµ 0 Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π. Μελέτη της συνάρτησης f() = ημ Επειδή η συνάρτηση f() = ημ είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ το [0,π]. Έχουμε αναφέρει όμως ότι το ημ είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το Α. Παρατηρούμε ότι: Όταν το μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το B π, το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β. Άρα η M τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι γνησίως αύξουσα O A M rad π στο διάστημα 0,. Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι:

48 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ π γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π, γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π, π και π γνησίως αύξουσα στο διάστημα, π Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για = π, το ηµ π = και ελάχιστο για = π π, το ηµ =. Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται ως εξής: ημ 0 π Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών της. Κατά τα γνωστά έχουμε: π π π 5π π 7π 0 π π ημ 0 07, 0,7 0 0,7 0,7 0 Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μία συνεχή γραμμή. Έτσι προκύπτει η παρακάτω γραφική παράστασή της συνάρτησης ημίτονο στο διάστημα [0, π]: = ημ 0 π 5π π 7π π 4 4 π O 4 π π π 4 π π π μέγ. ελάχ.

49 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 77 Επειδή η συνάρτηση f() = ημ είναι περιοδική, με περίοδο π, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα [π, 4π], [4π, 6π] κτλ. καθώς και στα διαστήματα [ π, 0],[ 4π, π ] κτλ. Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο, η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη..5 = ημ π/ π π/ π π/ π/ π π/ π 5π/ π 7π/ 4π Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κάθε ισχύει ηµ ( ) = ηµ. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι περιττή και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0,0) των αξόνων. Μελέτη της συνάρτησης f() = συν Επειδή η συνάρτηση f() = συν είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το [0, π]. Από τη μελέτη αυτή προκύπτουν τα συμπεράσματα του επόμενου πίνακα: συν 0 π π π π 0 0 μέγ. ελάχ. μέγ. Συντάσσουμε τώρα κατά τα γνωστά και τον ακόλουθο πίνακα τιμών της συνάρτησης συνημίτονο: π π π 5π 0 π π 7π π συν 0,7 0 0,7 0,7 0 0,7

50 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της = συν για 0 π. o π 4 π = συν π 4 π 0 π Επειδή η συνάρτηση f() = συν είναι περιοδική με περίοδο π, η γραφική της παράσταση στο είναι η ακόλουθη: 5π 4 π 7π 4 π π π o π π π = συν π 5π π 7π 4π Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδιο συνημίτονο. Άρα για κάθε ισχύει συν( ) = συν. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = συν είναι άρτια και επομένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα '. Μελέτη της συνάρτησης f() = εφ Επειδή η συνάρτηση f() = εφ είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το π π,. (Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση εφ δεν ορίζεται στα π π, ). Ας υποθέσουμε ότι η τελική πλευρά της γωνίας rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο Μ και την ευθεία των εφαπτομένων στο σημείο Ε. Όπως έχουμε αναφέρει η εφ ισούται με την τεταγμένη του σημείου Ε. Επομένως: ε Όταν ο παίρνει τιμές από π προς το π το Μ κινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά από το Β' προς το Β, οπότε η τεταγμένη του σημείου Ε αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η f() = εφ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα π π,. Α Β O Μ Β Α Μ Ε Ε

51 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 79 Όταν ο «τείνει» στο π από μεγαλύτερες τιμές η εφ «τείνει» στο. Γι αυτό λέμε ότι η ευθεία = π είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Επίσης όταν ο «τείνει» στο π από μικρότερες τιμές η εφ τείνει στο +. Γι αυτό λέμε ότι και η ευθεία = π ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. είναι κατακόρυφη B A A O M B E B Ε Μ A A O B Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της f()=εφ συντάσσουμε, με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών πινάκων ή με επιστημονικό κομπιουτεράκι, έναν πίνακα τιμών της: εφ π Δεν ορίζεται π π 4 π 6 7, 06, 0 06, 7, Στη συνέχεια παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Η γραφική παράσταση της f()=εφ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 0 π 6 π 4 π π Δεν ορίζεται = εφ π π Ο π π π π π π Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση της f()=εφ έχει κέντρο συμμετρίας το Ο, αφού (.: εφ( ) = εφ είναι περιττή συνάρτηση).

52 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ. ΛΥΣΗ Οι τιμές της συνάρτησης f()=ημ είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης φ()=ημ. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο π, αφού ισχύει: f( + π) = ηµ ( + π) = ηµ = f( ), για κάθε. και f( π) = ηµ ( π) = ηµ = f( ), για κάθε. Έχοντας υπόψη τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f()=ημ. 0 π π π π ημ ημ ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ. ΛΥΣΗ = ημ = ημ π π Ο π π π 4π Κάθε τιμή της συνάρτησης f()=ημ επαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά π. Επομένως, η συνάρτηση f()=ημ είναι περιοδική με περίοδο π. Πράγματι: f ( + π) = ηµ ( + π) = ηµ ( + π) = ηµ = f( ), για κάθε και f ( π) = ηµ ( π) = ηµ ( π) = ηµ = f( ), για κάθε. Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f()=ημ. π π π 0 π 4 4 ημ = ημ π π Ο π π π π = ημ ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ. ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο, ελάχιστο και είναι περιοδική με περίοδο π.

53 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης f()=ημ είναι ο εξής: π π π 0 π 4 4 ημ Με τη βοήθεια του πίνακα αυτού σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. π π 0 π π π π π 4 4 = ημ π ΣΧΟΛΙΟ Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι σε μια συνάρτηση της μορφής f()=ρ ημω, όπου ρ,ω>0: (i) Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ. (ii) Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με π ω. Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής ΑΣΚΗΣΕΙΣ f()=ρ συνω, όπου ρ,ω>0 Α ΟΜΑΔΑΣ. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων i) f( ) = ηµ, g ( ) = 05, ηµ, h ( ) = ηµ, 0 π. ii) f( ) = συν, g ( ) = 05, συν, h ( ) = συν, 0 π.. Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( )=ηµ και στη συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g ( )= + ηµ και h ( )= + ηµ. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( )=ηµ και g ( ) =ηµ, 0 π. 4. Ομοίως των συναρτήσεων f( )=συν και g ( ) =συν, 0 π. 5. Έστω η συνάρτηση Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγω συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.

54 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Ομοίως για τη συνάρτηση f( )=. συν. 7. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων i) f( )=εϕ ii) g ( )= + εϕ και iii) h ( )= + εϕ στο ίδιο σύστημα αξόνων. 8. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f( ) =εϕ. 9. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f( ) =σϕ. B ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε τις εξισώσεις των ημιτονοειδών καμπυλών: i) π π π π π π π π π ii) π π π π π π 0.5 π π π.5 π π π. Η παλίρροια σε μια θαλάσσια περιοχή περιγράφεται κατά προσέγγιση με τη συνάρτηση = ηµ π t 6, όπου το ύψος της στάθμης των υδάτων σε μέτρα και t ο χρόνος σε ώρες. i) Να βρείτε την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ψηλότερη πλημμυρίδα και τη χαμηλότερη άμπωτη. ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 t.

55 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8. Ένα παιχνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι και απέχει από το πάτωμα m. Όταν το παιχνίδι ανεβοκατεβαίνει, το ύψος του από το πάτωμα σε μέτρα είναι h = + συν t, όπου t ταβάνι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. i) Να υπολογίσετε τη διαφορά ανάμεσα στο μέγιστο και στο ελάχιστο ύψος. ii) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 t π. 4. H απόσταση του πιστονιού σε μέτρα από το ένα άκρο του κυλίνδρου περιγράφεται με τη συνάρτηση (t) =0,+0,.ημt, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. i) Να υπολογίσετε το πλάτος της κίνησης του πιστονιού. πάτωμα m ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 t π. Ποιες στιγμές του χρονικού αυτού διαστήματος η απόσταση είναι 0,5m; Η εξίσωση ημ=α.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ηµ =. Είναι φανερό ότι ζητάμε να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης = ημ και της ευθείας =. = π O π 6 5π 6 π π =ημ Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα, για τα οποία η συνάρτηση f( )=ηµ παίρνει την τιμή. Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο π, για να βρούμε τα ζητούμενα, που είναι άπειρα σε πλήθος (βλ. σχήμα), αρκεί να βρούμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους π και σε καθένα να προσθέσουμε το κ. π, όπου κ ακέραιος.

56 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης ηµ = στο διάστημα [0, π], είναι οι π 6 και π π 5 = π 6 6, γιατί ηµ π 5 ηµ π = =. 6 6 Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης ηµ = δίνεται από τους τύπους M M 5π/6 π/6 = κπ + π O 6 κ ή, 5π = κπ + 6 Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωσης ημ = α, αν δηλαδή ισχύει ημθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους: A = κπ + θ ή, = κπ + ( π θ) κ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση ηµ = ΛΥΣΗ Επειδή ηµ π π =, ισχύει ηµ =. Επομένως η εξίσωση γράφεται π ηµ = ηµ, οπότε οι λύσεις της δίνονται από τους τύπους: = κπ π ή, κ = κπ + π + π π ο Να λυθεί η εξίσωση ηµ + 4 = ΛΥΣΗ Επειδή ηµ π π =, έχουμε ηµ + ηµ π 6 4 = 6, οπότε

57 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 85 Ισχύει όμως π + = κπ + π 4 6 ή, π + = κπ + π π 4 6 κ και π + = κπ + π = κπ + π π π = κπ π 7 + = κπ + π π 4 6 = κπ + π π 6 π 4 = + π κπ 4 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους π = κπ 4 ή, κ 7π = κπ + 4 Η εξίσωση συν = α Με ανάλογες σκέψεις, όπως προηγουμένως, εργαζόμαστε για να λύσουμε π.χ. την εξίσωση συν =. Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης συν = στο διάστημα [ π, π ] είναι οι π και π, γιατί συν π π = συν =. Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης συν = δίνεται από τους τύπους M = κπ + π ή, = κπ π κ Ο π π M Α

58 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωση συν = α, αν δηλαδή ισχύει συνθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση συν = ΛΥΣΗ κ Επειδή συν π 4 =, έχουμε συν = συν π, οπότε οι λύσεις της εξίσωσης 4 αυτής δίνονται από τους τύπους: = κπ + π 4 ή, = κπ π 4 = κπ + θ ή = κπ θ κ ο Να λυθεί η εξίσωση συν = ΛΥΣΗ Επειδή συν π =, ισχύει συν π π 6 6 = 5 Έχουμε επομένως συν = συν π, οπότε 6 δηλαδή συν 5π 6 =. = κπ + ή = κπ 5π 6 5π 6, κ ή ισοδύναμα 5π = κπ + ή, 5π = κπ κ

59 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 87 Η εξίσωση εφ = α Έστω η εξίσωση εϕ =. Όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση εφ είναι περιοδική με περίοδο π. Επομένως, για να λύσουμε την εξίσωση, αρκεί να βρούμε τις λύσεις της σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το π π, και να προσθέσουμε σε αυτές το κπ, κ. Όπως φαίνεται όμως και στο σχήμα, μια μόνο λύση της εξίσωσης εϕ = υπάρχει στο διάστημα αυτό. Η λύση αυτή είναι η π, γιατί εϕ π =. Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης εϕ = είναι: = κπ + π, κ. Γενικότερα, αν θ είναι μια λύση της εξίσωσης εφ = α, αν δηλαδή ισχύει εφ = εφθ, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι: π Ο π π π = κπ + θ, κ Ο ίδιος τύπος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση σφ = α. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση εϕ = ΛΥΣΗ Επειδή εϕ π 4 =, ισχύει εϕ π 4 = π. Έχουμε επομένως εϕ = εϕ 4, οπότε = κπ π 4, κ ο Να λυθεί η εξίσωση σϕ = ΛΥΣΗ Επειδή σϕ π =, έχουμε σϕ = σϕ π, οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι 6 6 = κπ + π 6, κ

60 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ = 0 ii) ηµ =. Να λύσετε τις εξισώσεις iii) συν = 0 iv) συν = i) ηµ = ii) ηµ = iii) συν = iv) συν =. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ = 0 ii) εϕ = iii) σϕ = iv) σϕ = 4. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ = ii) σϕ = 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( ηµ )( ηµ ) = 0 ii) ( ηµ + )( συν) = 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( + εϕ)( εϕ) = 0 ii) ( συν+ )( εϕ ) σϕ = 0 7. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς πίνακες ή επιστημονικό κομπιουτεράκι να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ = 0, 95 ii) συν = 0, 809 iii) εϕ = 8, Να λύσετε τις εξισώσεις i). ii) συν 5 + = 0 iii) εϕ = Να λύσετε τις εξισώσεις π i) ηµ + = π ii) συν 4 = iii) εϕ π 4 5 = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ ω+ ηµω = 0 ii) συν + συν = 0 iii) εϕ t = + εϕt. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ + 5συν = 4 ii) εϕ σϕ =. Να βρείτε για ποιες τιμές του, καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της: i). 0 < π, ii). 0 < π.

61 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 89. Οι μηνιαίες πωλήσεις ενός εποχιακού προϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια) t δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο S = ηµ π, όπου t o 6 χρόνος σε μήνες και με t = να αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. i) Να βρείτε ποιους μήνες οι πωλήσεις φτάνουν τις κομμάτια. ii) Να βρείτε ποιο μήνα έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό πωλήσεων και πόσες είναι αυτές. Β ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ + συν π 4 = 0 ii) εϕ σϕ π + = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ ηµ + = ηµ + εϕ ii).. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης εϕ = στο διάστημα (π,4π). * 4. Να λύσετε την εξίσωση +συν=ημ στο διάστημα [0,π). 5. Να λύσετε την εξίσωση: εϕ = σϕ π + στο διάστημα [0, π)..6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟι ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες α, β που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M, M αντιστοίχως (Σχ. ). Έστω επιπλέον και η γωνία α β, που η τελική της πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. ). M (συνα, ημα) M (συνβ, ημβ) M(συν(α β), ημ(α β)) O α β Α(,0) O α β Α(,0) Σχ. () Σχ. ()

62 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Όπως είναι γνωστό, τα σημεία M, M, Α και Μ έχουν συντεταγμένες: το Μ : τετμημένη συνα και τεταγμένη ημα το Μ : τετμημένη συνβ και τεταγμένη ημβ το Α: τετμημένη και τεταγμένη 0 το Μ: τετμημένη συν( α β) και τεταγμένη ηµ ( α β) Επειδή MOM ˆ = AOM ˆ = α β, θα είναι και ( MM ) = ( AM). Άρα: ( MM) = ( AM) Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε το γνωστό μας τύπο: ( PP ) = ( ) + ( ), που δίνει την απόσταση δύο σημείων P(, ) και P (, ), έχουμε: ( MM ) = ( συνα συνβ) + ( ηµα ηµβ) = ( συνασυνβ + ηµαηµβ) και = συν( α β). Έτσι η σχέση ( ΜΜ) = ( ΑΜ) γράφεται = συν α+ συν β συνασυνβ + ηµ α+ ηµβ ηµαηµβ ( ΑΜ) = [ συν( α β) ] + [ ηµα ( β) 0] = συν ( α β) + συν( α β) + ηµ ( α β) ( συνασυνβ + ηµαηµβ) = συν( α β) ή Επομένως: συνασυνβ + ηµαηµβ = συν( α β) συν(α β) = συνασυνβ + ημαημβ () Η ισότητα αυτή, που αποδείξαμε για γωνίες α, β με 0 β< α < 60 0, ισχύει και για οποιεσδήποτε γωνίες α, β. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β έχουμε: συν( α ( β)) = συνασυν( β) + ηµαηµ ( β) = συνασυνβ ηµαηµβ Επομένως: συν( α+ β) = συνασυνβ ηµαηµβ ()

63 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 Με τη βοήθεια των τύπων () και () μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο ορισμένων γωνιών, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικούς πίνακες ή υπολογιστικές μηχανές. Για παράδειγμα, έχουμε: συν5 = συν( 45 0 ) = συν45 συν0 + ηµ 45 ηµ 0 = + = ( + ) 4 συν75 = συν( ) = συν45 συν0 ηµ 45 ηµ 0 = = ( ) 4 Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια του τύπου (), που βρήκαμε προηγουμένως, θα υπολογίσουμε τώρα το ημίτονο του αθροίσματος δυο γωνιών. Επειδή συν π ηµ = και ηµ π συν =, έχουμε: συν π = α συνβ ηµ π + α ηµβ = ηµασυνβ+ συναηµβ Επομένως: ημ(α+β) = ημασυνβ + συναημβ () Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με β βρίσκουμε ότι: ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ (4) Σύμφωνα με τους τύπους αυτούς για παράδειγμα, έχουμε: ηµ 5 = ηµ ( 45 0 ) = ηµ 45 συν0 συν45 ηµ 0 = = ( ) 4 ηµ 75 = ηµ ( ) = ηµ 45 συν0 + συν45 ηµ 0 = + = ( +) 4

64 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια των προηγούμενων τύπων θα υπολογίσουμε την εφαπτομένη του αθροίσματος α+β δύο γωνιών α, β, αν γνωρίζουμε την εφαπτομένη καθεμιάς. Όπως ξέρουμε, για να ορίζονται οι: εϕ( α+ β), εϕα και εϕβ, πρέπει συν( α+ β) 0, συνα 0 και συνβ 0. Με την προϋπόθεση αυτή έχουμε: ηµ ( α+ β) ηµασυνβ+ συναηµβ Διαιρούμε με εϕ( α+ β) = = συν( α+ β) συνασυνβ ηµαηµβ [ συνασυνβ 0 ] ηµασυνβ συναηµβ + συνασυνβ συνασυνβ εϕα+ εϕβ = = συνασυνβ ηµαηµβ εϕαεϕβ συνασυνβ συνασυνβ Επομένως έχουμε: εϕα+ εϕβ εϕ( α+ β) = εϕαεϕβ (5) Αν τώρα στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β, βρίσκουμε ότι: εϕα εϕβ εϕ( α β) = + εϕαεϕβ Τέλος, με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι: (6) σϕασϕβ σϕ( α+ β) = σϕβ + σϕα (7) σϕασϕβ + σϕ( α β) = (8) σϕβ σϕα Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους για παράδειγμα, έχουμε: εϕ45 εϕ0 εϕ5 = εϕ( 45 0 ) = = + εϕ45 εϕ0 + = + ( )( ) 6 = = = ( + )( ) 6

65 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 + εϕ45 + εϕ0 εϕ75 = εϕ( ) = = εϕ45 εϕ0 = + ( + )( + ) + 6 = = = + ( )( + ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ο Αν ηµα= 5, με π < α< π και συνβ =, με π β π < <, να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β. ΛΥΣΗ Επειδή ημ(α+β) = ημασυνβ+συναημβ και συν( α+ β) = συνασυνβ ηµαηµβ αρκεί να υπολογίσουμε το συνα και το ημβ. Έχουμε λοιπόν: συν α = 9 6 ηµ α = 5 = 5, 6 4 π οπότε συνα = = αφού < α< π και 5 5, ηµ β = συν β = = 69, ηµβ= 5 69 = 5, π οπότε αφού π< β< Επομένως ηµ ( α+ β) = = συν( α+ β) =, = 6 65 οπότε: εϕ( α+ β) = 6 και σϕ( α+ β) = ο Να αποδειχθεί ότι: ηµ ( α+ β) ηµ ( α β) = ηµ α ηµβ αποδειξη ηµ ( α+ β) ηµ ( α β) = ( ηµασυνβ+ συναηµβ)( ηµασυνβ συναηµβ) = ηµ ασυν β συν αηµ β= ηµ α( ηµβ) ( ηµ αηµβ ) = ηµ α ηµαηµ β ηµβ+ ηµ αηµ β= ηµ α ηµβ

66 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο Να λυθεί η εξίσωση: π συν = ηµ + 6 ΛΥΣΗ π συν = ηµ + συν ηµσυν π συνηµ π συν = ηµ + συν 4συν = ηµ + συν συν = ηµ εϕ = εϕ = εϕ π [αφού συν 0] 4 ο Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ΑΠΟΔΕΙΞΗ = κπ + π κ, Z εϕα+ εϕβ+ εϕγ= εϕαεϕβεϕγ Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι εφα, εφβ, εφγ. Επειδή π επιπλέον Α+ Β= π Γ, ορίζεται η εϕ( Α+ Β) και έχουμε διαδοχικά: εϕ( Α+ Β) = εϕ( π Γ) εϕα+ εϕβ = εϕγ εϕαεϕβ εϕα+ εϕβ= εϕγ+ εϕαεϕβεϕγ εϕα+ εϕβ+ εϕγ= εϕαεϕβεϕγ 5 ο Θεωρούμε έναν αγωγό από τον οποίο διέρχονται τρία εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω με στιγμιαίες εντάσεις Ι =ηµωt, π 4π Ι = ηµ ( ωt + ) και Ι = ηµ ( ω + t ). Να αποδειχθεί ότι η ολική ένταση Ι= Ι+ Ι + Ι του ρεύματος που διέρχεται από τον αγωγό είναι μηδέν.

67 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 95 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) π 4π Ι= ηµωt+ ηµωt+ + ηµ ωt + = ηµω + ηµω συν π t t + συνωtηµ π 4 + ηµ ωσυν π 4 t + συνωtηµ π = ηµωt+ ηµωt συνωt ηµ + + ω t συνω t + = ηµωt ηµωt ηµωt = 0 Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, την τιμή των παραστάσεων: i) συν π συν π ηµ π ηµ π ii) συν70 συν50 + ηµ 70 ηµ iii) iv) συν 7π συν π 7 + ηµ π ηµ π ηµ 0 ηµ 70 συν0 συν70. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: π π i) συνσυν( ) ηµ ηµ ( ) ii) συν( + ) συν + ηµ ( + ) ηµ 4 4. Να αποδείξετε ότι: π π π π i)συν( + ) + συν( ) = συν ii) συν 4 4 ( συν ηµ συν 4) ( + ) = 4 4. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, την τιμή των παραστάσεων: 7 i) ηµ π 4 συν π 7π 4π συν ηµ ii) ηµ 70 συν0 + συν70 ηµ 0 7 εϕ π εϕ π iii) iv) εϕ π 4 εϕ65 + εϕ5 7 + εϕ π εϕ65 εϕ Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: i) ηµ συν+ συνηµ ii) π π ηµ + συν συν ηµ εϕ εϕ iii) εϕ π + εϕ π + εϕεϕ + 6 iv) εϕ π + εϕ π 6

68 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Να αποδείξετε ότι: π π i) ηµ + ηµ ηµ + = ii) ( ηµα+ συνα)( ηµβ + συνβ) = ηµ ( α+ β) + συν( α β) 7. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 05 και Να αποδείξετε ότι: ηµ ( α+ β) i) εϕα+ εϕβ = ii) συνασυνβ σϕα σϕβ ηµ ( α + + = β ) ηµαηµβ 9. Να αποδείξετε ότι για τις γωνίες α, β του διπλανού σχήματος ισχύει: i) ηµ ( α+ β) = ii) συν( α+ β) = 6 α β Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α+β, αν: i) ηµα= 5, συνβ = και 5, 0 < α < π π β π < < ii) συνα = και 5, ηµβ= 4 5, π α π < < π < β< π. Να λύσετε τις εξισώσεις: π i) ηµ = συν + ii) εϕ+ εϕ π = iii) εϕ( α) =, αν εϕα= B ΟΜΑΔΑΣ. Να αποδείξετε ότι: ηµ ( α β ) ηµ ( β γ ) ηµ ( γ α + + ) = 0 συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα. Αν συν( α+ β) =0, να αποδείξετε ότι: ηµ ( α+ β) = ηµα. Αν εϕα=, να λύσετε στο [0,π] την εξίσωση: ηµ α = ηµ + α ( ) ( ) 4. Αν α+ β= π, να αποδείξετε ότι: ( εϕα)( εϕβ ) =

69 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ = Α, να αποδείξετε ότι: εϕβ i) εϕω = όπου Β= ΑΒΓ ˆ + εϕ Β, ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β=60 Γ Δ 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι Α= π και αντιστρόφως. ω Α Β ηµ Α+ ηµ ( Β Γ) = εϕβ, να αποδείξετε συν( Β Γ) *7. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: συνα συν συν i) σϕασϕβ+ σϕβσϕγ+ σϕγσϕα=, ii) ηµ Βηµ Γ + Β ηµ Γηµ Α + Γ ηµ Αηµ Β = ( ) ( ) 8. Να λυθεί στο διάστημα [0,π] η εξίσωση: εϕ π + εϕ π = 4 4 π *9. Αν 0 < z,, < με εϕ =, εϕ = 5 και εϕz =, να αποδείξετε ότι: z = π 4.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟι τησ γωνιασ α Οι τύποι που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές περιπτώσεις των τύπων της προηγούμενης παραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύπους του ηµ ( α+ β), του συν( α+ β) και της εϕ( α+ β) αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε: ηµ α = ηµ ( α+ α) = ηµασυνα+ συναηµα = ημασυνα Επομένως: ημα = ημασυνα () συν α = συν( α+ α) = συνασυνα ηµαηµα =συν α ηµ α Επίσης συνα= συν α ηµ α = συν α ( συν α) = συν α = ( ηµ α) ηµα= ηµ α

70 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Επομένως: συνα= συν α ηµ α = συν α = ηµ α () εϕα+ εϕα εϕ α = = εϕαεϕα εϕα εϕ α Επομένως: εϕα εϕα = εϕ α () Από τους τύπους () μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συνα. Πράγματι, έχουμε: συνα= συν α + συνα= συν + συνα α συν α= συνα συνα= ηµ α ηµα= συνα ηµ α = συνα ηµ α εϕ α = = συνα = συν α + συνα + συνα Επομένως: συνα ηµ α = (4) συνα συν α= + (5) συν α εϕ α = + συνα (6)

71 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 99 Με τη βοήθεια των παραπάνω τύπων μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του μισού μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. Για παράδειγμα οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας, 5 = υπολογίζονται ως εξής: 45 συν45 ηµ 5, = = =, οπότε ηµ, 5 4 συν45 συν 5, = + + = = +, οπότε συν, 5 4 = = + Επομένως εϕ, 5 = + = και σϕ, 5 = + = + ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ o Να αποδειχθεί ότι: i) ηµ α = ηµα 4ηµ α ii) συνα= 4συν α συνα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: i) ηµ α = ηµ ( α+ α) = ηµ ασυνα+ συναηµα = ηµασυν α+ ( ηµαηµα ) = ηµα( ηµα) + ( ηµ αηµα ) = ηµα ηµ α+ ηµα ηµ α = ηµα 4ηµα ii) συν α= συν( α+ α) = συνασυνα ηµ αηµα = ( συν α ) συνα ηµ ασυνα = ( συν α ) συνα ( συν ασυνα ) = συν α συνα συνα + συν α= 4συν α συνα o Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα 0 ισχύει: εϕα εϕ α i) ηµ α = ii) συνα= + εϕ α + εϕ α

72 00 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν συνα 0, έχουμε: i).... συν α ηµ α συν α ηµ α ii) συνα= συν α ηµ α = = συν α συν α συν α+ ηµ α συν α ηµ α + συν α συν α π o Αν εϕα = και α π να βρεθεί η εφα. 4 < <, εϕ α = + εϕ α ΛΥΣΗ Από τον τύπο () έχουμε:. =.. 4 εϕ α 8 0 εϕα = ± 6 εϕα = ή εϕα= [αφού Δ=00] Από τις τιμές της εφα που βρήκαμε δεκτή είναι μόνο η, αφού π α π < <. 4 o Να αποδειχθεί ότι εϕ π ηµ 4 = + ηµ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ συνα Επειδή εϕ α =, έχουμε: + συνα εϕ π συν π ηµ αφού 4 = συν π = + ηµ, συν π ηµ + =

73 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 0 5 o Να λυθεί η εξίσωση: ηµ = συν ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε:. συν = 0 ή συν = = κπ ± π ή = κπ, κ 6 o Να εκφρασθεί το 8.συν 4 α ως συνάρτηση του συνα και του συν4α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε: ( συν ) = + συν συν συν = 0 συν( συν ) = 0 = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: i) ηµ π συν π ii) ηµ π iii) συν 5 εϕ75 iv) 4 4 εϕ 75. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: i). ii). π συν α iii) 4. εϕ α εϕ α. Να αποδείξετε ότι: ηµ α i) ηµ α+ συνα= συν α ii) = εϕα ηµ α iii) σϕα εϕα= σϕα iv) εϕα + σϕα = ηµ α 4. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α, αν: i) συνα = 4 π και π< α< π ii) ηµα= και α π 5 5 < < 5. Να υπολογίσετε την εφ(α+β), αν εϕα= 4 και εϕβ=

74 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Να αποδείξετε ότι: i) ηµ ασυνα+ συν αηµα = ηµ α ii) ηµ αεϕα + συν α= ηµ α iii) = iv) + συνα εϕα συνα+ ηµ α = + συνα+ ηµ α εϕα 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) συν ηµ = 0 ii) ηµ συν+ ηµ = 0 π 8. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. 9. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α 6,αν: i) συνα = 5 και 0 < ii) και α < π συνα = π < α< 5 π 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i). ii) συν ηµ = 0 iii). iv) συν = συν Β ΟΜΑΔΑΣ. Αν 0 α < π, να αποδείξετε ότι: συνα ηµα= ηµ α. 4 ηµ α+ συν α. Να αποδείξετε ότι: = εϕ α ηµα( + συνα). Να αποδείξετε ότι: ηµ π 4 π συν 8 8 = 8 4. Να αποδείξετε ότι: i) + εϕαεϕ α εϕ = α ii) 4 συν α+ συν 4 α 4 = εϕα + σϕα + 4 συνα+ συν4α εϕ α 5. Να αποδείξετε ότι: εϕ ( 45 συν α α ) = = ηµ α συνα εϕ α + και με τη βοήθεια αυτού του τύπου να υπολογίσετε την εφ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εϕ = συν ii) εϕ εϕ = 4 7. Να αποδείξετε ότι: συν4α= 8 συν α 8 συν α+

75 .8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 0 8. Να αποδείξετε ότι: i) συν π 4 4 π συν = 4 ii) ηµ π ηµ π = 4 iii) 8 ηµ ασυν α= συν4α α 9. Αν συν = β + γ συν = β γ + α και συν γ z =, να αποδείξετε ότι: α+ β z εϕ + εϕ + εϕ =..8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε αρκετές εφαρμογές της Τριγωνομετρίας χρειάζεται το γινόμενο τριγωνομετρικών αριθμών να μετασχηματισθεί σε άθροισμα ή αντιστρόφως το άθροισμα σε γινόμενο. Στην παράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τύπους με τους οποίους γίνονται οι παραπάνω μετασχηματισμοί. Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμα Από τις γνωστές μας ισότητες: ηµ ( α+ β) = ηµασυνβ+ συναηµβ ηµ ( α β) = ηµασυνβ συναηµβ με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: ηµ ( α+ β) + ηµ ( α β) =ηµασυνβ δηλαδή: ημασυνβ = ημ(α + β) + ημ(α β ) () ενώ από τις: συν( α β) = συνασυνβ+ ηµαηµβ συν( α+ β) = συνασυνβ ηµαηµβ με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: συνασυνβ = συν(α β) + συν(α + β) ημαημβ = συν(α β) συν(α + β) () ()

76 04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Μετασχηματισμός αθροίσματος σε γινόμενο Με τη βοήθεια των προηγούμενων τριών τύπων μπορούμε να μετασχηματίσουμε το άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών σε γινόμενο. Πράγματι, αν θέσουμε α + β = Α και α β=β, Α+ Β τότε έχουμε Α+ Β= α+ β+ α β= α, οπότε α= Α Β Α Β= α+ β α+ β=, β οπότε β= Α+ Β Α Β Έτσι ο παραπάνω τύπος () γράφεται ηµ συν = ηµ Α+ ηµ Β. Δηλαδή έχουμε: Α+ Β Α Β ηµ Α+ ηµ Β= ηµ συν (4) Αν τώρα στον τύπο (4) αντικαταστήσουμε το Β με Β, βρίσκουμε: Α Β Α+ Β ηµ Α ηµ Β= ηµ συν (5) Ομοίως, από τον τύπο (), βρίσκουμε: Α+ Β Α Β συνα+ συνβ= συν συν (6) Α+ Β Α Β ενώ από τον τύπο () βρίσκουμε ηµ ηµ = συνβ συνα, οπότε Α Β Α+ Β συνα συνβ= ηµ ηµ (7)

77 .8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 05 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να λυθεί η εξίσωση: ημ6συν=ημ5συν4 () ΛΥΣΗ Έχουμε: () ηµ 6συν = ηµ 5συν4 ηµ 9+ ηµ = ηµ 9+ ηµ ηµ = ηµ = κπ + ή, κ Z = κπ + π = κπ ή, κ Z κπ + π = 4 Να λυθεί η εξίσωση: συν+συν=ημ () ΛΥΣΗ Έχουμε: () + συν συν = ηµ συν συνσυν = ηµ συν συνσυν ηµ συν = 0 συν( συν ηµ ) = 0 συν = 0 ( ) ή συν = ηµ () Αλλά () συν = συν π = κπ ± π κ, κπ και ( ) συν ή π = κπ = κπ + π 4κπ + π = 6 ή, κ Z = κπ π ή = κπ π, κ Z, κ Z

78 06 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµ Α+ ηµ Β+ ηµ Γ =. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α+ Β Α Β Γ Γ ηµ Α+ ηµ Β+ ηµ Γ = ηµ συν + ηµ συν + = συν Γ συν Α Β + συν Α Β συν Γ γιατί Α+ Β Γ π + = Γ Α Β Α+ Β = συν συν + συν Γ = συν = Α Β Α Β Γ συν συν 4 συν σ υν συν ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τα γινόμενα: i) συν75 συν5 ii) ηµ 05 συν5 iii) ηµ π συν π iv) ηµ π 7 ηµ π. Να μετατρέψετε σε αθροίσματα τριγωνομετρικών αριθμών τα παρακάτω γινόμενα: i) ηµσυν ii) ηµ 4ηµ iii) συνσυν5 iv) συν6ηµ v) ηµ π ηµ π Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµ συν = ηµ 6συν ii) συνσυν = ηµ ηµ 4. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τα αθροίσματα: i) ηµ 75 + ηµ 5 ii) ηµ π 5 ηµ π iii) συν40 + συν80 + συν60 5. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τριγωνομετρικών αριθμών τα παρακάτω αθροίσματα: i) ηµ 4+ ηµ ii) συν5 συν iii) συν + συν iv) +ηµ v) +συν

79 .8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Αν Β και Γ είναι οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: Β Γ i) ηµ Β+ ηµ Γ= συν( Β Γ) ii) ηµ Β ηµ Γ= ηµ 7. Να αποδείξετε ότι: i) συνα συν5α = εϕα ii) ηµ α+ ηµα 5 ηµα+ ηµα + ηµ 5α = συνα + συν α+ συν α εϕ 5 α iii) ηµαηµ α+ ηµ αηµ 6α = ηµασυνα ηµασυν 6α εϕ 5 + α 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµ ηµ = συν ii) συν5 συν = ηµ iii) ηµ + ηµ 6+ ηµ 9 = 0 Β ΟΜΑΔΑΣ. Να αποδείξετε ότι: i) ηµ 50 συν0 = ii) ηµ 5 ηµ 68 ηµ 47 συν77 συν65 συν8 =. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει 4 ηµ ΒσυνΓ =, να αποδείξετε ότι Β = 0.. Να αποδείξετε ότι: i) ηµαηµβ ηµ α + β α+ β ii) συνασυνβ συν 4. Να αποδείξετε ότι: i) ηµα+ ηµβ ηµ α + β, για οποιαδήποτε αβ, [ 0, π] ii) συνα + συνβ συν α + β π π, για οποιαδήποτε αβ,, 5. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) ηµ Α+ ηµ ( Β Γ) = ηµ ΒσυνΓ ii) συν( Β Γ) συνα= συνβσυνγ

80 08 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Β Γ iii) συνα+ συνβ+ συνγ = + 4 ηµ ηµ ηµ 6. Να αποδείξετε ότι για τις οξείες γωνίες Β, Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: Β Γ = Β Γ συν συν συν 7. Αν για τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ηµ Α= συνβ+ συνγ, να αποδείξετε ότι Β=90 ή Γ=90 και αντιστρόφως..9 η συναρτηση f()=αημ+βσυν Στην προηγούμενη τάξη είδαμε ότι μια συνάρτηση της μορφής f()=ρημ, ρ > 0 είναι περιοδική με περίοδο π και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με ρ. Η γραφική της παράσταση είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Μια τέτοια συνάρτηση είναι, π.χ., και η f()=.ημ, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: = ημ = ημ π O π π π Η συνάρτηση f()=ρημ(+φ) π Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση f( ) = ηµ +. Παρατηρούμε 4 ότι η συνάρτηση αυτή προκύπτει από την g ( )= ηµ αν, όπου, θέσουμε + π, δηλαδή ισχύει f 4 ( )= g + π 4 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά π μονάδες, προς τα αριστερά. 4 Όμως η συνάρτηση g ( )= ηµ έχει περίοδο π, μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με.

81 .9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f()=αημ+βσυν 09 Επομένως η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο π και έχει μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με. Ο σταθερός αριθμός π λέγεται διαφορά φάσεως των καμπυλών 4 = + π ηµ 4 και = ημ. Οι καμπύλες αυτές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: ( ) = ημ + π 4 π 7π 4 4 5π π O π π π 4 4 π Γενικότερα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = ρημ(+φ), ρ>0 προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g ( )=ρηµ. Επομένως: Η συνάρτηση f()=ρημ(+φ) είναι περιοδική με περίοδο π και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με ρ. Η συνάρτηση f()=αημ+βσυν, α, β 0 = ημ Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση f()=ημ+συν. Για να τη μελετήσουμε θα προσπαθήσουμε να τη μετατρέψουμε σε άλλη συνάρτηση γνωστής μορφής. Έχουμε:. π Επομένως f( ) = ηµ +. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο π και έχει μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με 4.

82 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g ( )= ηµ κατά π μονάδες προς τα 4 αριστερά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 5π 4 π π 4 Ο π 4 π = ημ(+ 4 ) π 7π 4 π = ημ π Γενικότερα θα αποδείξουμε ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν αβ, 0, τότε για κάθε ισχύει: αηµ + βσυν = ρηµ ( + ϕ) όπου ρ= α + β και ϕ με συνϕ α = ρ ηµϕ = β ρ Έστω το σημείο Μ(α,β) και φ μια από τις γωνίες με αρχική πλευρά Ο και τελική πλευρά ΟΜ. Τότε έχουμε: ρ= ( ΟΜ) = α + β M(α,β) φ και συνϕ α = ρ ή α= ρσυνϕ ηµϕ = β ρ ή β= ρηµϕ O Επομένως αηµ + βσυν = ρσυνϕηµ + ρηµϕσυν = ρσυνϕηµ ( + ηµϕσυν) = ρηµ ( + ϕ) Η μελέτη λοιπόν της συνάρτησης f()=αημ+βσυν, αβ, 0 μπορεί να γίνει με τη μελέτη της συνάρτησης f( ) = ρηµ ( + ϕ).

83 .9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f()=αημ+βσυν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ i) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση. ηµ ii) Ομοίως η συνάρτηση f( ) ηµ.. ΛΥΣΗ π ( ) π i) Η συνάρτηση f γράφεται f( ) = ηµ. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή προκύπτει από τη συνάρτηση g ( )= ηµ αν, όπου 6 θέσουμε π 6. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά π 6 μονάδες προς τα δεξιά. Όμως η συνάρτηση g ( )= ηµ έχει περίοδο = π, μέγιστο και π ελάχιστο. Άρα και η f είναι περιοδική με περίοδο π, μέγιστο και ελάχιστο. Οι γραφικές παραστάσεις των f και g φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. π π Ο π 6 π π π π ( ) π = ημ = ημ ii) Η παράσταση ηµ συν είναι της μορφής αηµ t+ βσυνt με α=, β= και όπου t το. Επομένως παίρνει τη μορφή ρηµ ( + ϕ). συνϕ = π Έχουμε ρ= + ( ) = 4 = και, οπότε ένα ϕ = ηµϕ = π Άρα f( )= ηµ συν = ηµ Τη συνάρτηση αυτή όμως τη μελετήσαμε προηγουμένως.

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να λυθεί η εξίσωση. ηµ + συν4 = ΛΥΣΗ Το ο μέλος της εξίσωσης είναι της μορφής αηµ t+ βσυνt με α=, β= και όπου t το 4. Επομένως παίρνει τη μορφή ρημ(4+φ). συνϕ = Έχουμε ρ= ( ) + = 4 = και, οπότε ένα ηµϕ = π Άρα ηµ 4+ συν4 = ηµ 4 + και η εξίσωση γίνεται 6. π π ηµ + ηµ 4 6 = + 6 = Δυο ρεύματα με την ίδια κυκλική συχνότητα ω και με εντάσεις Ι = ηµωt π και Ι = ηµ ωt + διαρρέουν έναν αγωγό. Να δειχθεί ότι το άθροισμά τους έχει την ίδια κυκλική συχνότητα. ΛΥΣΗ π ηµ 4 + = ηµ π 6 4 π 4 + = κπ + π 6 4 ή, κ Z π 4 + = κπ + π π 6 4 = κ π + π 48 ή, κ Z 7 = κ π + π 48 ϕ = π. 6

85 .9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f()=αημ+βσυν που σημαίνει ότι το Ι ολ έχει την ίδια κυκλική συχνότητα ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη τιμή και την ελάχιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων και στη συνέχεια να τις παραστήσετε γραφικά: π π i) f( )= ηµ + ii) f( )= ηµ ( ). Να γράψετε στη μορφή f( )= ρηµ + ϕ τις συναρτήσεις: i) f( )= ηµ συν ii) f( )= ηµ + συν iii) f( )= ηµ συν iv) f( )= ηµ συν. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις της άσκησης. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµ συν =, ii) συν ηµ =, iii) ηµ + 6 συν+ = 0 B ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε τη γωνία ω του διπλανού σχήματος, έτσι ώστε να ισχύει: ( ΜΑ) + ( ΜΒ) = 6. Μια μπάρα ΑΒ μήκους m τοποθετείται οριζόντια μεταξύ δυο κάθετων τοίχων. Για μεγαλύτερη αντοχή πρέπει να τοποθετηθεί, έτσι ώστε το (ΟΑ)+(ΟΒ) να γίνει μέγιστο. i) Να εκφράσετε το (ΟΑ)+(ΟΒ) ως συνάρτηση του θ. ii) Να βρείτε την τιμή του θ για την οποία το (ΟΑ)+(ΟΒ) γίνεται μέγιστο και να προσδιορίσετε το μέγιστο αυτό. M A ω B 4 O B θ A m

86 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) f( ) = 5ηµ + συν +, ii) f( ) = 4συν( ηµ + συν) 4. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ ( συν ηµ ) = 5. Με συρματόπλεγμα μήκους 40m περιφράσσουμε τμήμα γης σχήματος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υποτείνουσα είναι h m και η μια οξεία γωνία θrad (Σχήμα). i) Να αποδείξετε ότι: 40 h = ηµθ+ συνθ + ii) Για ποια τιμή του θ το h παίρνει τη μικρότερη τιμή και ποια είναι αυτή; 6. Στο διπλανό σχήμα: i) Να δείξετε ότι η περίμετρος Ρ του τριγώνου ΜΚΟ ισούται με Ρ= + ηµ θ+ συνθ. ii) Για ποια τιμή του θ το Ρ παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή και ποια είναι αυτή; θ h.0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το κλασικό πρόβλημα της Τριγωνομετρίας, από το οποίο πήρε και το όνομά της, είναι η επίλυση τριγώνου, δηλαδή ο υπολογισμός των άγνωστων κύριων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται επαρκή στοιχεία του. Η επίλυση τριγώνου μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των παρακάτω δυο βασικών θεωρημάτων, που είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημιτόνων και το άλλο ως νόμος των συνημιτόνων. Νόμος των ημιτόνων ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α β γ ηµ Α = ηµ Β = ηµ Γ = R όπου R, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

87 .0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 5 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (Ο,R) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ. Αν φέρουμε τη διάμετρο ΒΔ και τη χορδή ΓΔ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΓΒΔ που είναι ορθογώνιο στο Γ. Επομένως έχουμε: ΒΓ α ηµ = ( ) ( Β ) =, R α οπότε ηµ = R () A A Δ Β α Γ Ο B α Γ Δ Σχήμα Σχήμα Είναι όμως Δ=Α (Σχ. ) ή + Α=80 (Σχ. ), οπότε ημδ = ημα. Επομένως η () γράφεται α ηµα = R A Αν A = 90 τότε έχουμε: ημα= και α=r (Σχ. ). Επομένως και στην περίπτωση αυτή ισχύει ισότητα α ηµα = R. B α Γ Ομοίως αποδεικνύεται ότι: β ηµβ = R και γ ηµγ = R Σχήμα Επομένως: α β γ ηµ Α = ηµ Β = ηµ Γ = R ΣΧΟΛΙΟ Με το νόμο των ημιτόνων μπορούμε εύκολα να επιλύσουμε ένα τρίγωνο, όταν δίνονται: i) Μια πλευρά και δυο γωνίες του ή ii) Δυο πλευρές και μια από τις μη περιεχόμενες γωνίες του.

88 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 5, Α = 4 και Β = 8. ΛΥΣΗ Επειδή A+ B+ Γ = 80, έχουμε: Γ= 80 A B= = 55 Έτσι, σύμφωνα με το νόμο των ημιτόνων έχουμε: Α 5 β γ = = ηµ4 ηµ 8 ηµ 55 γ 4 0 β οπότε: 5 ηµ 8 β = ηµ 4 5 ηµ 55 γ = ηµ 4 5 0, 990 0, , , 680 Β 8 0 α=5 Γ Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α =, β = και Β = 5 ΛΥΣΗ Σύμφωνα με το νόμο των ημιτόνων έχουμε: Α γ = = ηµ Α ηµ5 ηµ Γ () Κ γ β= ηµ 5 0, 576 οπότε ηµ Α= 0, Β 0 α= Γ Άρα Α 5 ή Α 55 Επειδή όμως α < β, θα είναι και Α < Β. Επομένως από τις παραπάνω τιμές της Α δεκτή είναι μόνο η Α 5. Έτσι έχουμε οπότε, λόγω της (), ισχύει Γ= 80 Α Β = 0 γ ηµ 0 0, 8660 = γ = 47 ηµ 5 ηµ 0 ηµ 5 0, 576

89 .0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 7 Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται τρεις δυνάμεις που έχουν μέτρα F, F και F αντιστοίχως και σχηματίζουν ανά δύο γωνίες ω, ω και ω, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν το υλικό σημείο ισορροπεί, να αποδειχθεί ότι: Α F ω Ο ω ω F F Γ Β F F F = = ηµω ηµω ηµω F ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή το σημείο Ο ισορροπεί, η συνισταμένη F των F και F θα έχει ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο με την F. Επομένως από το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε: ( ΒΓ) ( ΟΒ) ( ΟΓ) F F F = = = =, ηµ ΒÔΓ ηµ ΒΓΟ ηµ ΟΒΓ ηµω ηµω ηµω αφού ΒÔΓ = 80 ω, ΒΓΟ= ˆ 80 ω και ΟΒΓ ˆ = 80 ω. Νόμος των συνημιτόνων Όταν είναι γνωστές οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου ή οι δυο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία τους δεν μπορούμε εύκολα με μόνο το νόμο των ημιτόνων να υπολογίσουμε τα άλλα στοιχεία του. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε το παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως νόμος των συνημιτόνων. ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α = β + γ βγσυνα β = γ + α γασυνβ γ = α + β αβσυνγ

90 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ* Θα αποδείξουμε μόνο την πρώτη ισότητα. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες ισότητες. Στο επίπεδο του τριγώνου θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Α και θετικό ημιάξονα των την ημιευθεία ΑΒ. Έτσι οι συντεταγμένες του Β θα είναι (γ,0), ενώ για τις συντεταγμένες (, ) του Γ θα ισχύει ή ισοδύναμα Αν χρησιμοποιήσουμε τώρα τον τύπο της απόστασης για τα σημεία Β(γ,0) και Γ(,), βρίσκουμε ότι: οπότε, λόγω της (), έχουμε: συνα= και ηµ Α= β β Γ(, ) =βσυνα και =βηµα () α= ( ΒΓ) = ( γ) + ( 0) α = ( γ) + = ( βσυνα γ) + ( βηµ Α) = βσυν Α+ γ βγσυνα+ βηµ Α = β ( συν Α+ ηµ Α) + γ βγσυνα = β + γ βγσυνα. β α O=A γ B(γ, 0) ΣΧΟΛΙΟ Είναι φανερό ότι με το νόμο των συνημιτόνων μπορούμε αμέσως να υπολογίσουμε μια οποιαδήποτε πλευρά ενός τριγώνου, αρκεί να δοθούν οι άλλες δύο και η περιεχόμενή τους γωνία. Με τον ίδιο νόμο μπορούμε επιπλέον να υπολογίσουμε και τις γωνίες ενός τριγώνου, του οποίου είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές, αφού οι παραπάνω ισότητες γράφονται: β + γ α συνα= βγ γ + α β, συνβ= γα α + β γ, συνγ= αβ

91 .0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 5, β = 0 και γ = 4 ΛΥΣΗ Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: = συνΑ, οπότε συνα = 0 4 Άρα Α = συνβ, οπότε συνβ = 54 Άρα Β 8. Άρα Γ 96 Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με β= 0, γ = 4 και Α = 56 ΛΥΣΗ 0, , 8806 Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε α = συν56 5, οπότε α 5 Έτσι γνωρίζουμε και τις τρεις πλευρές του τριγώνου, οπότε αναγόμαστε στο προηγούμενο πρόβλημα. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδό Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: Ε= Α βγηµ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γ Γ β β A γ Β Κ Κ Αν φέρουμε το ύψος ΓΚ του τριγώνου, έχουμε: Α γ Β Ε= ( ΑΒ) ( ΓΚ) = ( ΑΒ) ( ΑΓ) ηµ Α ( γιατί ηµ Α ΓΚ ) = ( ΑΓ) = γ β ηµ Α Ο παραπάνω τύπος ισχύει προφανώς και στην περίπτωση που Α = Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται δύο δυνάμεις που έχουν μέτρα F και F αντίστοιχα και σχηματίζουν γωνία ω. Να αποδειχθεί ότι το μέτρο F της συνισταμένης τους δίνεται από τον τύπο: F = F + F + FF συνω Ο O F ω Β O F O F Α Γ

92 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή ( ΟΑ ) = F, ( ΑΓ ) = F και ( ΟΓ ) = F, στο τρίγωνο ΟΑΓ έχουμε: F = ( ΟΓ) = ( ΟΑ) + ( ΑΓ) ( ΟΑ)( ΑΓ) συνα = F + F F F συν( 80 ω) = F + F + F F συνω ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ. Δυο πύργοι Α και Β βρίσκονται εκατέρωθεν ενός ποταμού. Ένας παρατηρητής Π βρίσκεται προς το ίδιο μέρος του ποταμού με τον πύργο Α. Αν στο τρίγωνο ΠΑΒ είναι ΠΑ = 00m, Α = 6 και Π = 56, να βρείτε την απόσταση των πύργων Α και Β. A 00m Π. Ένας συλλέκτης ηλιακής ακτινοβολίας μήκους 5 m είναι τοποθετημένος στην οροφή ενός κτιρίου, όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε το μήκος του βραχίονα με τον οποίο στηρίζεται ο συλλέκτης. 5m Β στήριξη. Στο διπλανό σχήμα να αποδείξετε ότι: Γ dηµ i) Γ = ηµ( ), ii) dηµ ηµ Δ ΑΓ = Β Α ηµ( ) d o 4. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με α = 0, β=0 και B=. ˆ 5. Να υπολογίσετε τη γωνία θ του διπλανού σχήματος. θ 4,5

93 .0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 6. Να υπολογίσετε το μήκος του έλους του διπλανού σχήματος. A Β 4m 6 Π 0 55m 7. Να υπολογίσετε τη γωνία θ του ορθογώνιου κουτιού του διπλανού σχήματος: 0 cm θ 60 cm 40cm 8. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα συνα συνβ συνγ α + β + γ + + = α β γ αβγ 9. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: βσυνγ+ γσυνβ= α 0. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα βσυνγ = γσυνβ, να αποδείξετε ότι β=γ και αντιστρόφως.. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα α = βσυνγ, να αποδείξετε ότι β = γ και αντιστρόφως. B ΟΜΑΔΑΣ *. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα Β = Α, να αποδείξετε ότι: β Β i) συνα= ii) β α = αγ α α. Στο διπλανό σχήμα να αποδείξετε ότι: 45 A 0 Γ = ασυν ( ηµ ) Γ Δ. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει μια από τις ισότητες: i) β= αηµ Β, ii) αηµ Α= βηµ Β+ γηµ Γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα ασυνα = βσυνβ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές.

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Δ 5. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ABΓ ισχύει η ισότητα: α β εϕ εϕ α+ β = Α Β Γ 6. Στο διπλανό σχήμα να αποδείξετε ότι: 5 ( ΒΓ) = + συν θ Β Γ Μ θ Ο Α 7. Να αποδείξετε ότι για το διπλανό παραλληλόγραμμο ισχύουν οι ισότητες: i) + = α + β ii) ( ΑΒΓ ) = αβηµω A Δ α β Ο ω α β B Γ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ' ΟΜΑΔΑΣ) Δ. Σε τρίγωνο ABΓ το ύψος του ΑΔ είναι ίσο με το μισό της πλευράς ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ισχύει εϕβ+ εϕγ= εϕβεϕγ και σϕβ+ σϕγ=. Δ. Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ABΓ ισχύει εϕ Β ηµ Β =, να αποδείξετε εϕγ ηµ Γ ότι το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές.. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ (,) του επιπέδου με = + συν t, = + ημt βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(,) και ακτίνας ρ =. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + ηµ συν + = 4 συν + ηµ ii) συν σϕ = ηµ π 5. i) Αν 0 < <, να αποδείξετε ότι εϕ+ σϕ ii) Αν 0 α< β< π ηµα ηµβ, να αποδείξετε ότι εϕα < + < συνα + συνβ εϕβ 6. Να λύσετε την εξίσωση συν π = στο διάστημα (4π, 5π).

95 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γʹ ΟΜΑΔΑΣ) 7. Σε ένα λούνα-παρκ ο περιστρεφόμενος τροχός έχει ακτίνα 4m, τo κέντρο του απέχει από το έδαφος 0m και όταν αρχίζει να κινείται εκτελεί μια πλήρη περιστροφή σε 8 δευτερόλεπτα με σταθερή ταχύτητα. Να βρείτε το ύψος του βαγονιού Α από το έδαφος ύστερα από χρόνο sec, sec, 5sec και γενικότερα ύστερα από χρόνο t sec. Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα για το βαγόνι Β. 0m O 4m Β A 8. Να αποδείξετε ότι i) σϕ εϕ = σϕ ii) σϕ εϕ 4 εϕ 8 εϕ = εϕ 9. Με τη βοήθεια του τύπου ηµ α= ηµα 4 ηµ α να λύσετε τις εξισώσεις: i) 8 6+ = 0 ii) 8 6 = 0 0. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων M(,), με =συνθ και = συνθ+, όπου θ [ 0, π], είναι το τόξο της παραβολής =, με [, ]. εϕα εϕ α. Με τη βοήθεια των τύπων ηµ α = και συνα= + εϕ α + εϕ α + ηµ να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f( ) =, 5+ 4συν τιμές στο διάστημα [ 0, 0 ]. 9 ( ππ, ) παίρνει ηµ. Nα λύσετε την εξίσωση: ηµ + συν συν π + = 4. Ένα γκαράζ σχήματος ορθογωνίου έχει σχεδιασθεί, έτσι ώστε να αποτελείται από ένα τετρά- O γωνο ΑΒΓΔ και ένα ορθογώνιο ΟΑΔΕ με ΟΔ = 0m, όπως περιγράφει το διπλανό σχήμα. Για Α ποια τιμή της γωνίας θ rad το εμβαδό S m του γκαράζ γίνεται μέγιστο; Υπόδειξη i) Να δείξετε ότι S = 400συν θ+ 400ηµθσυνθ ii) Να εκφράσετε το S στη μορφή S= ρηµ ( θ + ϕ) + c Β θ 0m Ε Δ Γ

96 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ iii) Να βρείτε την τιμή του θ, για την οποία το S παίρνει τη μέγιστη τιμή, την οποία και να προσδιορίσετε. Δ Α 4. Δίνεται ένα τρίγωνο ABΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Αν MAB ˆ =, MAˆ Γ= και AΜΓ ˆ =ω, να αποδείξετε ότι: σϕω = σϕ σϕ ω Β Γ Μ 5. Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του διπλανού σχήματος, αν ισχύει Γ Β =. Α Β Δ Γ

97 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 00-6_update.indd 5 5 0/5/0 8:5: πμ

98 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 6 ΑΒ Γ + Α ΒΓ = ΑΓ Β ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ 00-6_update.indd 6 0/5/0 8:5: πμ

99

100 Κεφάλαιο 45 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δυνάμεις με ρητό εκθέτη Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της δύναμης με βάση έναν πραγματικό αριθμό και εκθέτη ακέραιο. Συγκεκριμένα: Στην αρχή ορίσαμε τη δύναμη ενός πραγματικού αριθμού με εκθέτη θετικό ακέραιο, ως εξής: Για παράδειγμα: = = 8 Στη συνέχεια με τη βοήθεια των ισοτήτων: ν α 0 ν = και α = = ν α, και α 0 α ν * επεκτείναμε την έννοια της δύναμης ενός πραγματικού αριθμού και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ακέραιος. Για παράδειγμα: = = 9 4 Στη συνέχεια θα ορίσουμε παραστάσεις της μορφής 4, 5 και γενικά της μορφής α ν µ, όπου α 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος. Τις παραστάσεις αυτές θα ονομάσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. O ορισμός θα γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων. Tι θα πρέπει να σημαίνει π.χ. το 5 p q pq ; Av απαιτήσουμε να ισχύει η ιδιότητα ( α ) = α και για τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη, τότε θα είναι: ( ) = = α και ν *

101 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 5 Αρα πρέπει ο να είναι λύση της εξίσωσης 5 =, δηλαδή ο αριθμός 5 5 Πρέπει δηλαδή να είναι =. Γενικά Av α>0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε: ν ν µ α = α µ Επιπλέον, αν μ, ν, θετικοί ακέραιοι, ορίζουμε 0 ν = 0. Έτσι π.χ. 8 = 8 = 64 = 4 µ = 7 = = = Αποδεικνύεται ότι, όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο ισχύουν και για τις δυνάμεις με εκθέτη ρητό. To γεγονός αυτό διευκολύνει το λογισμό με τα ριζικά. Έτσι είναι π.χ. 4 4 α α = α α = α = α = α 4 Οι δυνάμεις αυτές υπολογίζονται εύκολα με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης ως εξής: ΔΥΝΑΜΗ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ,4.4 =,4,.4. +/ = ( 7 ) Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Γεννιέται τώρα το ερώτημα: Μπορούμε να ορίσουμε δυνάμεις της μορφής α με άρρητο, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρούνται οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων με ρητό εκθέτη; Μπορούμε για παράδειγμα να ορίσουμε την ; Όπως είδαμε (βιβλίο B' Γυμνασίου σελ. 45) οι δεκαδικές προσεγγίσεις του κατά προσέγγιση ακέραιας μονάδας, δεκάτου, εκατοστού κτλ. είναι,,4,,4,,44,,44,,44,,44,... () =

102 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ας πάρουμε τώρα την ακολουθία αυτή των δεκαδικών προσεγγίσεων του και την αντίστοιχη ακολουθία των δυνάμεων του :,,4,,4,,44,,44,,44,,44, () Με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε ότι: = 4, 4, , 47, , 44 47, 76950, 44 4, 7879, 44 4, 78789, 44 4, Av παρατηρήσουμε τους αριθμούς αυτούς μας δίνεται η εξής εντύπωση: Όταν το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της ακολουθίας () αυξάνει, οι όροι της ακολουθίας () φαίνεται να προσεγγίζουν έναν ορισμένο αριθμό, που λέγεται οριακή τιμή ή όριο της ακολουθίας αυτής. Είναι επομένως λογικό να ορίσουμε τη δύναμη ως την πιο πάνω οριακή τιμή. Έτσι με προσέγγιση τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων είναι 4, 788. Γενικά αποδεικνύεται ότι: Av α >0, άρρητος και ρ ν η δεκαδική προσέγγιση του με ν δεκαδικά ψηφία, τότε καθώς το ν αυξάνει τείνοντας στο +, οι όροι της ακολουθίας ( α ρ ν ) «προσεγγίζουν» έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό, τον οποίο στο εξής θα ονομάζουμε όριο της ακολουθίας ( α ρ ν ). To όριο αυτό συμβολίζεται με α και λέγεται δύναμη του α με εκθέτη. Συμβολικά γράφουμε: α limα = ν ρ ν Επιπλέον, για κάθε > 0, ορίζουμε 0 = 0. O υπολογισμός δυνάμεων με άρρητο εκθέτη γίνεται με υπολογιστή τσέπης όπως στα παρακάτω παραδείγματα: ΔΥΝΑΜΗ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ = π ep =

103 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων, γνωστές από την Α Λυκείου, αποδεικνύεται ότι ισχύουν και για δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό αριθμό. Συγκεκριμένα: Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και,,, τότε: α α = α + ( αβ ) = α β Εκθετική συνάρτηση ( α ) = α α α : α = α α β = β Έστω α ένας θετικός αριθμός. Όπως είδαμε προηγουμένως για κάθε ορίζεται η δύναμη α. Επομένως αντιστοιχίζοντας κάθε στη δύναμη α, ορίζουμε τη συνάρτηση: f: με f( ) =α, η οποία, στην περίπτωση που είναι α, λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν είναι α =, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f() =. Έστω τώρα η εκθετική συνάρτηση f() =. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών: = Τοποθετώντας τα σημεία (, ) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη έχουμε το διπλανό σχήμα. Η συνάρτηση αυτή, καθώς και κάθε συνάρτηση της μορφής f( )=α με α >, αποδεικνύεται ότι: 0 =

104 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έχει πεδίο ορισμού το. Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (, 0 + ) των θετικών πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως αύξουσα στο. Δηλαδή για κάθε, ισχύει: αν <, τότε α < α Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των. α α A(0,) Ο =α, α> Έστω επιπλέον και η εκθετική συνάρτηση g ( ) =. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών: Τοποθετώντας τα σημεία (, ) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη έχουμε το διπλανό σχήμα. Η συνάρτηση αυτή, καθώς και κάθε συνάρτηση της μορφής f( )=α με 0<α<, αποδεικνύεται ότι: Έχει πεδίο ορισμού το. Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (, 0 + ) των θετικών πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως φθίνουσα στο. Δηλαδή για κάθε, ισχύει: Ο α = ( =α, 0<α< ( αν <, τότε α > α Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των. α A(0,) Ο

105 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 65 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για τις συναρτήσεις f() = και g ( )= παρατηρούμε ότι για κάθε ισχύει: g ( ) = f( ) = = = Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα '. = Ο = ΣΧΟΛΙΟ Από τη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης f()=α, με 0< α, προκύπτει ότι: αν, τότε α α οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι: Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία: αν α α = α, τότε =. = α = α α α α O O Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στον εκθέτη. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται εκθετικές εξισώσεις.

106 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = ii) 9 8 9= 0 64 ΛΥΣΗ i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: = = 64 = 6 = ii) Η εξίσωση γράφεται = 0 ( ) 8. 9 = 0 Επειδή η εκθετική [ συνάρτηση είναι ] Αν θέσουμε =, αυτή γίνεται 8 9 = 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς και 9. Επομένως η αρχική εξίσωση έχει ως λύσεις τις λύσεις των εξισώσεων: = και = 9 Απ' αυτές η πρώτη είναι αδύνατη, αφού > 0, ενώ η δεύτερη γράφεται = και έχει ρίζα το =, που είναι και μοναδική ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Να λυθεί το σύστημα: = 5 + = 9 (εκθετικό σύστημα) ΛΥΣΗ Αν θέσουμε =ω και = φ το σύστημα γίνεται: ω ϕ= 5ω+ ϕ= 9 Το γραμμικό αυτό σύστημα έχει λύση ω = και φ = 8, οπότε το αρχικό σύστημα γράφεται = ή ισοδύναμα = 8 από το οποίο παίρνουμε = 0 και =. = = 0

107 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 67 Να λυθούν οι ανισώσεις: + i) > ii) 9 < 4 ΛΥΣΗ i) Έχουμε > > 9 > + > 0 < ή > [ αφού > ] ii) Έχουμε + + < 4 < + > + > 0 < ή > [ αϕού ] < 4 Να γίνουν οι γραφικές πραστάσεις των συναρτήσεων: i) f( )= + ii) g( )= iii) h ( )= + ΛΥΣΗ i) Η γραφική πράσταση της f προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της φ() = κατά μονάδες προς τα πάνω. ii) Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της φ() = κατά μονάδες προς τα δεξιά. iii) Τέλος η γραφική παράσταση της h προκύπτει από δύο μετατοπίσεις της φ() = μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω. = + 4 O = = = O = O = + A(,)

108 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ο αριθμός e Μια Τράπεζα για να διαφημιστεί κάνει μια πολύ ειδική προσφορά. Όποιος καταθέσει την επόμενη μέρα ποσό εκατομμυρίου ευρώ, αυτό θα τοκιστεί με ετήσιο επιτόκιο 00% και με δυνατότητα ανατοκισμού του,,,... ή ν φορές το χρόνο, σε ίσα χρονικά διαστήματα, ανάλογα με την επιθυμία του καταθέτη. Έχει σημασία για τον καταθέτη το πόσες φορές το χρόνο θα ανατοκιστεί το κεφάλαιο: ν Από το γνωστό τύπο του ανατοκισμού α = α ( + τ ), όπου τ ε =. 00 για ν=, είναι τ= και α = ( + ) = εκατομμύρια ευρώ. για ν=, είναι τ= και α = + = 5, εκατομμύρια ευρώ. για ν=, είναι τ= και α = + 44 =, εκατομμύρια ευρώ.... για ν=ν, είναι τ= ν και α ν = + ν = + εκατομμύρια ευρώ. ν Αν χρησιμοποιήσουμε υπολογιστή τσέπης κατασκευάζουμε τον πίνακα: ν ν 0 ν ν + ν ν 4 5 ανά ανά ανά ανά ανά ( εξάμηνο ) ( εποχή) ( μήνα) εβδομάδα ( έτος ) ( ),5,44406,605, ,769,7845,7868,7880 Παρατηρούμε ότι, καθώς το ν αυξάνει, αυξάνει και το + και προσεγγίζει ν έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό. Ο αριθμός αυτός είναι άρρητος και συμβολίζεται με e. Ο συμβολισμός αυτός οφείλεται στο μεγάλο Ελβετό, μαθηματικό Leohard Euler (707-78). Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e =,788. ν Συμβολικά γράφουμε e = lim + ν ν ν

109 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 69 Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι οι τιμές του ν έχουν μεγάλη σημασία όσο αυτές παραμένουν «μικρές». Από μια τιμή όμως και μετά, όσο και αν αυξάνει το ν, το τελικό ποσό δεν μεταβάλλεται ουσιαστικά. Σε πολλές πραγματικές εφαρμογές εμφανίζονται εκθετικές συναρτήσεις με βάση τον αριθμό e. Η απλούστερη τέτοια συνάρτηση είναι η f() = e. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται απλώς εκθετική και η γραφική της παράσταση =e φαίνεται στο διπλανό σχήμα. O Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής Μία ακόμη εκθετική συνάρτηση με βάση το e είναι η Qt ()= Q0 e () Αυτή εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος, που μεταβάλλεται με το χρόνο t. To Q o είναι η αρχική τιμή του Q (για t = 0) και είναι Q 0 > 0, ενώ το c είναι μια σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως νόμος της εκθετικής μεταβολής. Αν c > 0 η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής αύξησης, ενώ αν c<0 η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής απόσβεσης. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής αποτελεί ένα ικανοποιητικό μοντέλο για πάρα πολλές εφαρμογές της Φυσικής, της Βιολογίας, της Στατιστικής και άλλων επιστημών. Για παράδειγμα ο αριθμός των γραμμαρίων μιας ραδιενεργού ουσίας κατά τη χρονική 0, t στιγμή t (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από τον τύπο Qt () = 00 e. Αυτό σημαίνει ότι η ουσία που παραμένει αδιάσπαστη μετά από 7 δευτερόλεπτα είναι: 07,, Q( 7) = 00e 00(, 78) 4, 5 γραμμάρια. Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού ουσίας. Στον πίνακα που ακολουθεί αναφέρεται η ημιζωή ορισμένων ραδιενεργών ισοτόπων: ΙΣΟΤΟΠΟ ΗΜΙΖΩΗ Άνθρακας (C 4 ) 570 έτη Ράδιο (Ra 6 ) 600 έτη Πολώνιο (Ρο 0 ) 8 ημέρες Φώσφορος (Ρ ) 4 ημέρες

110 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 5 χρόνια, να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση αυτού είναι Q()= t Q. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού η ημιζωή είναι 5 χρόνια, από το νόμο της εκθετικής απόσβεσης Qt ()= Q e c t 0 έχουμε: 0 t 5 t 5 Άρα Qt () = Q. 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( )= και f ( )= ii) f( ) =, f( )= + και f( )= iii) f( ) =, f4( )= και f5( )= + iv) f( )= και f6( )= + v) g ( )= e, g e ( ) = +, g ( )= e και g e ( )= +. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 64 ii) iii) iv) = 4 8 = 8 = v) 64 4 = 4 vi) 7 = 9 + vii) = 6 viii) = 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + 4 = 0 ii) = 0 iii) + 6 9= 0 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) < ii) 7 > 7 iii) < 5. Να λύσετε τα συστήματα: = 4 + = i) ii) + 55 = 5 = 7 + 4

111 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 7 6. Να λύσετε τα συστήματα: i) e : e = e e = e ii) = 8 + = 6 7. Να λύσετε την ανίσωση w 0w+ 00 < 0 και στη συνέχεια την ανίσωση Β ΟΜΑΔΑΣ < 0.. Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες ορίζεται σε όλο το η συνάρτηση: f( ) =. Για ποιες από αυτές τις τιμές η συνάρτηση είναι: α α i) γνησίως φθίνουσα ii) γνησίως αύξουσα. Να λύσετε τις εξισώσεις: 45 7 i) = 0 ii) + = iii) + 5 = + 5 iv) + 9 = v) 4 = +. Να λύσετε τα συστήματα = 5 = 50 i) ii) + 6 = 5 = Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( )= ii) f( )= 5. Αν f( ) = ( + ) α α και g ( ) = ( α α ), να αποδείξετε ότι [()] f [ g ( )] = 6. Αν αφήσουμε το καπάκι ενός πεντάλιτρου δοχείου με βενζίνη ανοικτό, η βενζίνη εξατμίζεται με ρυθμό 0% ανά εβδομάδα. i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της βενζίνης στο δοχείο μετά από t εβδομάδες. ii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση iii) Με τη χρήση υπολογιστή τσέπης να διαπιστώσετε ότι μετά 40 εβδομάδες μόνο η μυρωδιά της βενζίνης θα υπάρχει στο δοχείο.

112 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 7. Το ραδιενεργό Ράδιο έχει χρόνο υποδιπλασιασμού 600 χρόνια. Αν η αρχική ποσότητα είναι 5 γραμμάρια, i) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, η οποία δίνει την ποσότητα του Ραδίου μετά t χρόνια είναι Qt () = 505 (,) 600 ii) να υπολογίσετε την ποσότητα που θα έχει απομείνει μετά 600 χρόνια με προσέγγιση δεκαδικών ψηφίων. iii) να αποδείξετε ότι μετά 0000 χρόνια μόλις 0,00 γραμμάρια θα έχουν απομείνει. 8. Ένας πωλητής αυτοκινήτων βεβαιώνει τους πελάτες του ότι η αξία ενός αυτοκινήτου ευρώ ελαττώνεται κατά 5% το χρόνο στα πρώτα 6 χρόνια από την πώλησή του. i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την τιμή του αυτοκινήτου μέσα στα 6 χρόνια. ii) Να υπολογίσετε την τιμή του αυτοκινήτου στο τέλος του έκτου χρόνου. 9. Η ένταση του ηλιακού φωτός σε βάθος μέτρα μιας θολής λίμνης, ελαττώνεται εκθετικά ως προς το, σύμφωνα με τον τύπο 05, I ( ) = I0 e ( 0), όπου I 0 είναι η ένταση στην επιφάνεια του νερού. i) Να υπολογίσετε το e -0,5 για = 0,,,, 4, 5. ii) Να βρείτε την τιμή του, στον πλησιέστερο ακέραιο, για την οποία I ( ) ο λόγος είναι είναι I0 (α) (β) 0,. iii) Να επιβεβαιώσετε και γραφικά την τιμή που θα βρείτε. 0. Η θερμοκρασία T(t) (σε C) ενός βραστήρα, κατέρχεται μέχρι να φτάσει την θερμοκρασία Τ 0 του δωματίου, σύμφωνα με τον τύπο Tt () = T ( + e t ) ( t 0) i) Να υπολογίσετε το e -t για t = 0,,, ii) Να βρείτε την τιμή του t, στον πλησιέστερο ακέραιο, για την οποία ο λόγος Tt () είναι T0 ( α ), (β). 0 t

113 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 7. Πυκνωτής χωρητικότητας C (σε F) έχει φορτίο q 0 (σε Cb). Αν συνδέσουμε τον πυκνωτή με αντίσταση R (σε ohm), το φορτίο του πυκνωτή ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο. qt ()= qe t RC 0 (t σε δευτερόλεπτα) i) Με μια «πρόχειρη» γραφική παράσταση να δείξετε πώς μεταβάλλεται το φορτίο q ως προς το χρόνο t. ii) Να βρείτε τις τιμές του t της μορφής krc (k ακέραιος) μετά τις οποίες το φορτίο γίνεται μικρότερο από: α) q β) q R c Η έννοια του λογάριθμου 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός της γης αυξάνει με ετήσιο ρυθμό,7%. Το 987 ήταν 5 δισεκατομμύρια κάτοικοι. Αν συνεχίζει να αυξάνει με τον ίδιο ρυθμό, πότε θα διπλασιαστεί; ΛΥΣΗ ν ε Σύμφωνα με τον τύπο αν = α + 00 (βλ. ανατοκισμός βιβλίο Άλγεβρας Α' Λυκείου σ. 4) ο πληθυσμός της γης μετά από t χρόνια θα είναι: 9 t Nt () = 50 07, κάτοικοι Σύμφωνα με το πρόβλημα ζητάμε εκείνη την τιμή του t για την οποία ισχύει Nt ()= 50 9 κάτοικοι, ζητάμε δηλαδή τη λύση της εξίσωσης t 50 07, = ή ισοδύναμα της: t, 07 = () Την εξίσωση αυτή, με τις γνώσεις που έχουμε μέχρι τώρα, μόνο με τη βοήθεια της γραφι- =,07 t κής παράστασης της συνάρτησης f(t) =,07 t μπορούμε να τη λύσουμε. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι t 4. Επομένως ο πληθυσμός της γης θα διπλασιαστεί σε 4 περίπου χρόνια από το 987, δηλαδή το 08. O

114 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Με ανάλογο τρόπο, όπως στο παραπάνω πρόβλημα, μπορούμε να βρούμε κατά προσέγγιση τη λύση της εξίσωσης: α = θ, όπου α > 0 με α και θ > 0 Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση, αφού η εκθετική συνάρτηση f() = α είναι γνησίως μονότονη και ο θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. Τη μοναδική αυτή λύση τη συμβολίζουμε με log α θ και την ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α. Ώστε, αν α > 0 με α και θ > 0, τότε: α = θ = log θ Ισοδύναμα αυτό διατυπώνεται ως εξής: α O log α θ είναι o εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ Για παράδειγμα: log 8=, γιατί 8= log 4 =, γιατί = 4 ½ log 0, =, γιατί 0, 00 = 0 log 05 05,, =, γιατί Από τον παραπάνω ορισμό του λογαρίθμου προκύπτει αμέσως ότι, αν α > 0 με α, τότε για κάθε και για κάθε θ > 0 ισχύει: log α α = και α log α θ = θ Εξάλλου, επειδή = α 0 και α = α, ισχύει: log α = 0 και log α α = 05, = 0, 5 Ιδιότητες των λογαρίθμων Οι ιδιότητες που ακολουθούν και είναι γνωστές ως ιδιότητες των λογαρίθμων, είναι πολύ σημαντικές για το λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών. Οι ιδιότητες αυτές, όπως θα δούμε, προκύπτουν από αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων, πράγμα φυσικό άλλωστε, αφού και οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται ως εκθέτες δυνάμεων.

115 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 75 Αν α>0 με α, τότε για οποιαδήποτε θ, θ, θ > 0 και k ισχύουν:. log α( θθ ) = logαθ+ logα θ θ. logα = logαθ logα θ θ k. log θ = k log θ α α ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Εστω ότι είναι: log α θ = και log α θ = () Τότε έχουμε α = θ και α = θ οπότε + α α = θθ, και α = θθ Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την log ( θθ ) = + α από την οποία, λόγω των (), έχουμε τελικά: log ( θθ ) = log θ + log θ α α α. Εργαζόμασθε με τον ίδιο τρόπο.. Έστω ότι είναι: log α θ= () Τότε έχουμε α =θ οπότε: k k α = θ Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την log α θ k = k από την οποία, λόγω της (), προκύπτει ότι: k log θ = k log θ α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ν ν Επειδή για κάθε θ > 0 ισχύει θ = θ, έχουμε ν ν logα θ = logα θ = logα θ ν Ας δούμε τώρα με ένα παράδειγμα πώς οι παραπάνω ιδιότητες μας διευκολύνουν στο λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών. α

116 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την τιμή της παράστασης: A = log56 + log log8 Έχουμε διαδοχικά: A = log56 + log log8 = log 56 + log log 8 = log 6 + log 9 log 8 = log [Ιδιότητα ] [Ιδιότητες,] = log 8= log = Δεκαδικοί λογάριθμοι Πριν από την εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, για πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν λογάριθμους με βάση το 0. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι. Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται απλά με logθ και όχι με log 0 θ. Επομένως: logθ= 0 = θ Οι δεκαδικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν: ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ log log = log 0,5 0.5 log = Φυσικοί λογάριθμοι Γνωρίσαμε σε προηγούμενες παραγράφους τον αριθμό e και είδαμε τη σημασία του στην περιγραφή διαφόρων φαινομένων. Στα μαθηματικά είναι πολύ χρήσιμοι και οι λογάριθμοι με βάση τον αριθμό e. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ συμβολίζεται με lnθ και όχι με log e θ. Επομένως: ln θ= e = θ

117 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 77 Οι φυσικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν: ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ln5 5 In = ln0,7 0.7 In = Αλλαγή βάσης Αν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το 0 και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων. Αν α,β>0 με αβ,, τότε για κάθε θ>0 ισχύει: log β log θ = log α α θ β ΑΠΟΔΕΙΞΗ* Έστω ότι είναι log β θ=. Τότε θ = β, οπότε: log θ= log β = log β= log θ log β (επειδή = log β θ ) Άρα έχουμε: α α α β α log θ log β= log θ, οπότε log β α α ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τον τύπο αυτό έχουμε: β log θ = log α α θ β log log θ θ ln β = και log logβ θ θ β = lnβ Επομένως ο υπολογισμός του log β θ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών λογαρίθμων logθ και logβ, ή των φυσικών λογαρίθμων lnθ και lnβ. Για παράδειγμα είναι: log log 7 7 = = 4, log! ΠΡΟΣΟΧΗ Επειδή το σύμβολο log α θ ορίσθηκε μόνο όταν α > 0 με α και θ > 0, όπου στο εξής το συναντάμε, θα εννοείται ότι α > 0 με α και θ > 0 χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα.

118 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Σύμφωνα με την κλίμακα Richter το μέγεθος R ενός σεισμού εντάσεως I δίνεται από τον τύπο I R = log I0 όπου I 0 μια ορισμένη ελάχιστη ένταση. i) Να βρεθεί το μέγεθος R ενός σεισμού που έχει ένταση I=000I 0 ii) Να εκφρασθεί το I ως συνάρτηση του R και του I 0 iii) Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η ένταση ενός σεισμού από την ένταση ενός άλλου σεισμού που είναι μικρότερος κατά μονάδα Richter. ΛΥΣΗ i) Επειδή Ι=000Ι 0, από τον τύπο R I = log I 0 βρίσκουμε ότι: 000I0 R = log = log000 = I0 ii) Από τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου προκύπτει ότι I I R R R = log = 0 I= I0 0 I I 0 0 () iii) Έστω δυο σεισμοί με εντάσεις I, I' και μεγέθη R, R' αντίστοιχα. Αν R' = R+, τότε λόγω του τύπου () έχουμε: I' I0 0 = I I 0 0 R ' R R+ 0 = = 0, R 0 οπότε I' = 0 I Επομένως η ένταση I' ενός σεισμού είναι 0πλάσια της έντασης I ενός άλλου σεισμού μικρότερου κατά μονάδα Richter. Οι χημικοί χρησιμοποιούν έναν αριθμό που συμβολίζεται με pη για να περιγράψουν την οξύτητα ενός διαλύματος. Εξ ορισμού είναι ph = log[ H ], όπου + [ H + ] είναι η συγκέντρωση των H + σε γραμμοϊόντα ανά λίτρο. i) Να υπολογίσετε το ph των εξής ουσιών: του ξιδιού: [ H + ] 60, του νερού της θάλασσας: [ H + ] 500, 9 ii) Να υπολογίσετε τη συγκέντρωση γραμμοϊόντων υδρογόνου [ H + ] στις εξής ουσίες: Μπύρα: ph 4, Γάλα: ph 66,

119 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 79 ΛΥΣΗ i) Το ph του ξιδιού είναι ίσο με log( 60, ), 9 Το ph του νερού της θάλασσας είναι ίσο με log( 500, ) 8, ii) Επειδή για την μπύρα είναι ph 4,, έχουμε + + +, + 4, = log[ H ] log[ H ] = 4, [ H ] = 0 [ H ] = 60, ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογισθούν, χωρίς τη χρήση υπολογιστή τσέπης, οι λογάριθμοι: i) log 0 0, 00 ii) log 0 iii) log iv) log 9 v) log 6 vi) log 7. Για ποια τιμή του ισχύει: i) log 0 = ii) log 4 = iii) log =. Για ποια τιμή του α ισχύει: i) log α 6 = 4 ii) log α 8 = iii) log α, 0= 4. Να αποδείξετε ότι: i) log + log 4 log = ii) log + log 5 log 4= 4 5 Επειδή για το γάλα είναι ph 66,, έχουμε 66, = log[ H ] log[ H ] = 66, [ H ] = 0, [ H ] = 50, Αν η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση του φωσφόρου Ρ 0, 0495t είναι N() t = N0 e, όπου t ο χρόνος σε ημέρες, να βρεθεί η ημιζωή του φωσφόρου Ρ. N Αν t είναι η ζητούμενη ημιζωή, τότε θα είναι Nt () = 0. Επομένως έχουμε: t N t N0 e, = e, = 0, 0495t = ln 0, 0495t = 069, 478 t = 4 ημέρες iii) 5 8 log log0 + log0 log0 = log0 iv) 6 log = 5

120 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ v) log ( + ) + log ( 6 4 ) = 5. Ο αριθμός των βακτηριδίων που εμφανίζονται σε μια καλλιέργεια μετά από t, t ώρες δίνεται από τον τύπο Qt () = Qe 04 0, όπου Q 0 είναι ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων. Πόσος χρόνος θα περάσει ώστε ο αριθμός των βακτηριδίων να δεκαπλασιασθεί; 6. Κάτω από σταθερή θερμοκρασία, η ατμοσφαιρική πίεση p (σε Pascals), σε ύψος h (σε μέτρα) δίνεται από τον τύπο p= 000 e kh i) Να βρείτε την τιμή του k, αν σε ύψος 050m η ατμοσφαιρική πίεση είναι Pascals. ii) Ποια είναι η ατμοσφαιρική πίεση σε ύψος 000m; 7. Οι αστέρες ταξινομούνται ανάλογα με τη (φαινόμενη) λαμπρότητά τους σε κατηγορίες που καλούνται μεγέθη. Οι ασθενέστεροι αστέρες με λαμπρότητα L 0 λέμε ότι έχουν μέγεθος 6. Κάθε άλλος αστέρας λαμπρότητας L έχει μέγεθος m που καθορίζεται από τον τύπο: L m = 6, 5 log L0 i) Να βρείτε το μέγεθος m του αστέρα που έχει λαμπρότητα L= 5 00 L. 0 ii) Πόσες φορές λαμπρότερος είναι ένας αστέρας ου μεγέθους από έναν αστέρα 6 ου μεγέθους; 8. Οι πωλήσεις S(t) (σε χιλιάδες μονάδες) ενός προϊόντος σε διάστημα t χρόνων μετά την εισαγωγή του στην αγορά δίνονται από τον τύπο St () = 00( e kt ). i) Να υπολογίσετε το k, αν οι πωλήσεις κατά το πρώτο έτος ανήλθαν σε 5000 μονάδες. ii) Πόσες θα είναι οι πωλήσεις στα 5 πρώτα χρόνια; Β ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: i) 4 log log ii) 9 8. Αν οι θετικοί αριθμοί θ, θ, θ,... είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι logθ, logθ, logθ,... είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και αντιστρόφως.. Μιας αριθμητικής προόδου ο πρώτος όρος είναι ίσος με log και ο δεύτερος όρος με log8. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα Σ ν των ν-πρώτων όρων της δίνεται από τον τύπο. = ν log 4. Να αποδείξετε ότι: Σ ν log log ν ριζικά ν =

121 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 5. Να αποδείξετε ότι: * 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει: logα = log α *7. Να αποδείξετε ότι: i) log β log α= ii) log β log α =6 α iii) log β log γ log α = β α β γ *8. Να αποδείξετε ότι: i) log θ+ log θ= α 0 α ii) log ( αβ) + log ( αβ) = log ( αβ) log ( αβ) α β α β α β Η λογαριθμική συνάρτηση 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω α ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας. Όπως είδαμε στην παράγραφο 4., για κάθε >0 ορίζεται ο log α. Επομένως, αντιστοιχίζοντας κάθε (, 0 + ) στο log, ορίζουμε τη συνάρτηση α f:(, 0 + ) με f( ) log = α Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α. Ας θεωρήσουμε, τώρα, τη λογαριθμική συνάρτηση f( ) = log α. Επειδή log α = α =, αν το Μ(ξ,η) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης = log α, τότε το Ν(η,ξ) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης = α και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, Μ(ξ,η) και Ν(η,ξ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Ô και Ô. ' ' Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων = log και = α α είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Ô και ' Ô. '

122 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ν(η,ξ) = =α Μ(ξ,η) =α Ο Μ(ξ,η) α> =log α = Ο =log α 0<α< Ν(η,ξ) Αν λάβουμε τώρα υπόψη μας την παραπάνω συμμετρία και όσα μάθαμε για την εκθετική συνάρτηση f( )=α καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: Αν α >, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g ( ) log : Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (, 0 + ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως αύξουσα, που σημαίνει ότι αν <, τότε log < log α α απ' όπου προκύπτει ότι: ( log α < 0, αν 0<<) και ( log > 0 α, = α αν >) Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα O'. Αν 0 < α <, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g ( ) log : = α Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (, 0 + ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως φθίνουσα, που σημαίνει ότι: αν <, τότε log απ' όπου προκύπτει ότι: α > log α Ο log α log α A(,0) =log, 0<α< α ( log α > 0, αν 0<<) και ( log α < 0, αν >) Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα O. Τέλος, από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει ότι: αν, τότε log log α α log α log α A(,0) Ο =log, α> α

123 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι: αν logα = log α, τότε = Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία: log = log = α α Η τελευταία ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για επίλυση εξισώσεων όπως π.χ. η log ( ) =, που λύνεται ως εξής: log ( ) = log ( ) = log log ( ) = log 8 = 8 =9 = ή = Εξισώσεις όπως η προηγούμενη, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στο λογάριθμο λέγονται λογαριθμικές εξισώσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις i) ϕ( ) = ln ii) f( ) = ln + iii) g( ) = ln( ) ΛΥΣΗ Για τη γραφική παράσταση της φ() = ln κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών: 0, 0, 0,5 0,7 4 5 =ln,6, 0,7 0,4 0 0,7,,4,6 Τοποθετώντας τα σημεία (, ) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη βρίσκουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης φ()=ln. Η γραφική παράσταση της f()=ln+ προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ()=ln κατά μονάδα προς τα πάνω, ενώ της g ( ) = ln( ) από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ()=ln κατά μονάδες προς τα δεξιά. O =+In =In =In(-)

124 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Να βρεθεί το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς: Από την ανισότητα > log 0, 5> log 05, παίρνουμε διαδοχικά: log 05, > log 05, log 05, > log 0, 5 05, > 0, 5, που είναι άτοπο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πολλαπλασιάσαμε και τα δύο μέλη της ανισότητας > με log0,5<0 και δεν αλλάξαμε φορά. Να λυθεί η εξίσωση: ΛΥΣΗ log ( ) = + log ( ) Η εξίσωση αυτή ορίζεται εφόσον > 0 και > 0. Με αυτούς τους περιορισμούς η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: log ( ) = log+ log ( ) log ( ) = log [ ( )] = ( ) = ή = Από τις τιμές αυτές του μόνο η = ικανοποιεί τους περιορισμούς. Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, τη =. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f( ) log και g ( ) log = = Τι παρατηρείτε; Να δικαιολογήσετε την απάντηση.. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f( ) = log, g ( ) = log και h ( ) = log( ). Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f( )=α και τη λογαριθμική συνάρτηση g ( ) = logα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο: i) Α(,4) ii) B(, 4 ) iii) Γ(, 4) iν) (, 4) 4. Η ευαισθησία ενός φωτογραφικού φιλμ μετριέται σε μονάδες ASA ή σε μονάδες DIN. Αν μονάδες ASA συνδέονται με μονάδες DIN με τον τύπο = +0og, να φτιάξετε έναν πίνακα τιμών της παραπάνω συνάρτησης για = 50, 00, 00, 400, 800, 600 ASA. Τι παρατηρείτε; (Δίνεται ότι log = 0,).

125 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) log( + ) + log( ) = log ii) log( ) + log = log5 iii) log = (log ) iv) log( + ) log = log 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 5 = ii) = + 7. Να συγκριθούν οι αριθμοί: i) log και log 5 ii) log 0, 5 και log 0, 7 iii) log( + ) και log 8. Ένα διάλυμα θεωρείται όξινο αν [ H + ] >0 7 και βασικό αν [ H + ] <0 7. Να βρείτε τις αντίστοιχες ανισότητες για το pη. Β ΟΜΑΔΑΣ. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( ) = ln ii) f( ) = ln iv) f( ) = log( 0 0). Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές: i) f( ) = ln( + + ) ii) f( ) = ln +. Για ποιες τιμές του οι αριθμοί log 8( + ), log iii) f( ) = ln με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; * 4. Αν logαβ= logβγ logγ α, να αποδείξετε ότι α = β ή α = β 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) log = log ii) ln 4 5ln + 4= 0 6. Να αποδείξετε ότι log 5 = 5 log και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση log log5 5 = Να λύσετε τα συστήματα: log( ) = 4log i) ii) = 8 = iii) log log = (log ) log= log log= log + log 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) log > (log ) ii) log( 4) < log iii) log >0 * 9. Να αποδείξετε ότι log> log69 0. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε α,β > 0 με α β ισχύει: α β β α α β > α β

126 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ ΟΜΑΔΑΣ). Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 i) ( + ) = ii) + + =. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α να αποδείξετε ότι: log γ+ log γ= log γ log γ ( α+ β, α β ) α+ β α β α+ β α β logα. Αν ( αγ) β = γ, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί log θ α, log θ και log θ β γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 4. Αν αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι: logαθ logβθ logα θ 0< αβγθ,,, = logβθ logγθ logγ θ β γ 5. Να αποδείξετε ότι log5= log και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση log( ) = 5 6. Να λύσετε στο 0, π την εξίσωση: log + log + log log = 0 ηµ συν ηµ συν 7. Να λύσετε στο 0, π την εξίσωση: ( ) ( ) εϕ = σϕ 8. Να λύσετε την ανίσωση: > 0 ηµ συν

127 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 87 *Το ιστορικό σημείωμα έγραψε ο Μαθηματικός Γιάννης Θωμαΐδης 7-08_update.indd 87 0/5/0 8:54:9 πμ

128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 88 α 0 = αν α ν + = α ν ν α ν = , 0 α 0 = = β0 α = = β α = = β... ν α ν = α 07 = _update.indd 88 0ν = βν 0.70 = β07 0/5/0 8:54: πμ

129 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ = = = = = = _update.indd 89 0/5/0 8:54: πμ

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 90 α ν = ν 8 0 α ν = ν 0 04 = = ν 0 05 = βν _update.indd 90 =, /5/0 8:54:5 πμ

131 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 9 = Α H Ο Γ 7-08_update.indd 9 Θ Ε Ζ Β Δ 0/5/0 8:54:7 πμ