ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ 1 Μια κυλινδρική δεξαμενή ακτίνας 6m και ύψους h=5m είναι γεμάτη με νερό, βρίσκεται στην κορυφή ενός πύργου ύψους 45m και χρησιμοποιείται για το πότισμα ενός χωραφιού α Ποια η παροχή του νερού από ένα ποτιστικό διαμέτρου 2cm που βρίσκεται στο έδαφος του χωραφιού; β Αν θεωρήσουμε ότι η παροχή παραμένει σταθερή, μετά από πόση ώρα θα χρειαστεί η δεξαμενή και πάλι γέμισμα; Λύση 2 Υποθέστε ότι δύο δοχεία το καθένα με ένα μεγάλο άνοιγμα στην κορυφή περιέχουν διαφορετικά υγρά Μια μικρή τρύπα ανοίγεται στο πλευρό του καθενός δοχείου στην ίδια απόσταση h κάτω από την επιφάνεια του υγρού Η μία τρύπα όμως έχει διπλάσια διατομή από την άλλη (Α 1 = 2 Α 2 ) Α α Ποια η σχέση μεταξύ των παροχών όγκου β Ποιος ο λόγος των πυκνοτήτων των ρευστών αν παρατηρείται ότι η ροή μάζας είναι ίδια για κάθε τρύπα γ Τι πρέπει να κάνουμε για να γίνουν οι παροχές όγκου ίσες Β Αν για τις αρχικές διατομές όπου Α 1 =2 Α 2 μεταβάλλουμε την απόσταση h της μιας τρύπας από την επιφάνεια του υγρού (πχ προσθέτουμε ή αφαιρούμε υγρό) έτσι ώστε h 2 =4 h 1 τότε η σχέση για τις παροχές όγκου είναι: α =Π 2, β =2 Π 2, γ Π 2 =2 Να βρεθεί η σωστή επιλογή και να αιτιολογηθεί Λύση 3 Πίεση αέρα σε κλειστό δοχείο Ένα μανόμετρο υδραργύρου Hg τύπου U συνδέεται σε ένα κλειστό δοχείο με ανένδοτα τοιχώματα που περιέχει αέρα πίεσης P Η υψομετρική διαφορά h στο μανόμετρο είναι 20cm Να υπολογιστεί η πίεση του αέρα στο εσωτερικό του δοχείου Δίνονται g=10m/s², ρ Ηg =13,6 10³kg/m³ και P at =10 5 Pα (Ν/m²) Λύση 4 Ο πυροσβεστικός σωλήνας Μια πυροσβεστική μάνικα διαμέτρου 6,4cm καταλήγει σε ακροφύσιο διαμέτρου 2,5cm Αν η πίεση σ' ένα σημείο της μάνικας είναι Ρ=4,5 10 5 N/m² και η ταχύτητα ροής υ 1 =4m/s, να βρείτε: α Την ταχύτητα ροής υ 2 στο ακροφύσιο β Την πίεση του νερού στο ακροφύσιο γ Την ταχύτητα, του νερού ακριβώς έξω από το ακροφύσιο δ Τη δύναμη που πρέπει να ασκεί ο πυροσβέστης στη μάνικα ώστε αυτή να ισορροπεί Δίνεται Ρ at =10 5 N/m² και πυκνότητα του νερού ρ νερ =10³kg/m³ Λύση 5 Στο διπλανό σχήμα, ένας αντεστραμμένος σωλήνας με κλειστό το πάνω του άκρο, συγκρατείται σε κατακόρυφη θέση σε μια λεκάνη με νερό, με αποτέλεσμα, το νερό να έχει ανέλθει στο εσωτερικό του κατά h=5cm
i Να υπολογιστεί η πίεση του αέρα στο εσωτερικό του σωλήνα, πάνω από το νερό ii Ένας δεύτερο σωλήνας με ανοικτά τα δυο του άκρα, βυθίζεται στο νερό και δημιουργώντας ένα ρεύμα αέρα στο πάνω άκρο του, παρατηρούμε να «ανεβαίνει» ξανά το νερό στο εσωτερικό του, κατά h=5cm α α) Μπορείτε να ερμηνεύσετε την άνοδο του νερού στο εσωτερικό του σωλήνα; β β) Να βρεθεί η ταχύτητα του ρεύματος του αέρα, θεωρώντας τη ροή μόνιμη και στρωτή γ iii) Αν το μήκος του σωλήνα που προεξέχει του νερού είναι l=0,1m, ποια ταχύτητα πρέπει να έχει το ρεύμα του αέρα, ώστε το νερό να φτάσει στο πάνω άκρο του σωλήνα; δ iv) Αν το ρεύμα αέρα έχει ταχύτητα υ=45m/s, τι πρόκειται να συμβεί; ε Δίνονται η πυκνότητα του νερού ρ=1000kg/m 3, η πυκνότητα του αέρα ρ α =1,25kg/m 3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s 2 και η ατμοσφαιρική πίεση p ατ =10 5 Ν/m 2
ΕΡΩΤΗΣΗ 2 Μια οριζόντια σύριγγα περιέχει νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό Το έμβολο της σύριγγας μπορεί να κινείται χωρίς τριβές κι έχει εμβαδό, ενώ το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα από μια τρύπα εμβαδού Ασκούμε στο έμβολο της σύριγγας μια οριζόντια δύναμη μέτρου την τρύπα είναι ίσο με Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το νερό εξέρχεται από α) β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας ΕΡΩΤΗΣΗ 3 Ένα δοχείο περιέχει νερό πυκνότητας μέχρι ύψος από τον πυθμένα του Πάνω από το νερό υπάρχει στρώμα λαδιού πυκνότητας, μέχρι ύψος πάνω από τη στάθμη του νερού Σε ένα σημείο 1 του πυθμένα του δοχείου υπάρχει μια οπή Η ταχύτητα με την οποία το νερό εξέρχεται από την τρύπα έχει μέτρο: α) β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας ΕΡΩΤΗΣΗ 5 Το σχήμα δείχνει έναν οριζόντιο σωλήνα, μέσα στον οποίο ρέει νερό, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό, με μόνιμη και στρωτή ροή Στον οριζόντιο σωλήνα έχουμε προσαρμόσει έναν κατακόρυφο ανοικτό σωλήνα, μέσα στον οποίο το ύψος του νερού είναι ίσο με Η ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο αριστερό τμήμα του σωλήνα είναι ίση με και στο δεξιό ίση με Αν είναι γνωστά, η επιτάχυνση της βαρύτητας σημείο 2 του σχήματος, p 2 είναι ίση με, και η πυκνότητα του νερού ρ, τότε η πίεση στο
α) β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας ΕΡΩΤΗΣΗ 6 Ο σωλήνας του σχήματος είναι γεμάτος με ιδανικό υγρό Το οριζόντιο τμήμα ΚΛ του σωλήνα έχει σταθερή διατομή, ενώ το οριζόντιο τμήμα ΜΝ του σωλήνα έχει σταθερή διατομή Οι δύο οριζόντιοι σωλήνες απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφα κατά h και στο σημείο Ν υπάρχει στρόφιγγα Όταν η στρόφιγγα είναι κλειστή η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι ίση με Όταν η στρόφιγγα είναι ανοικτή και το υγρό ρέει με στρωτή και μόνιμη ροή από το σημείο Α προς το σημείο Γ, η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι ίση με Για τις δύο διαφορές πιέσεων ισχύει α) β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣ Η στέγη ενός μικρού σπιτιού αποτελείται από δύο επίπεδα κομμάτια εμβαδού 5 επί 4 τετραγωνικών μέτρων το καθένα τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους μικρή γωνία Όταν φυσάει οριζόντιος άνεμος, λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών πάνω από τη στέγη, έχουμε αύξηση της ταχύτητας του ανέμου κατά 20% Η μέγιστη επιτρεπόμενη κάθετη στη στέγη δύναμη που μπορεί να αναπτυχθεί σε κάθε τμήμα της στέγης, χωρίς αυτή να αποκολληθεί, είναι F max =18300N Επίσης, δεχόμαστε ότι πολύ μακριά από το σπίτι, λόγω της ταχύτητας του ανέμου η πίεση είναι λίγο μικρότερη της ατμοσφαιρικής και ίση με Α Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει τη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου Β Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος Α στην οποία να φαίνεται ένα ζεύγος τιμών Γ Να βρείτε τη μέγιστη οριζόντια ταχύτητα ανέμου για την οποία δεν έχουμε αναρπαγή της στέγης Δίνoνται: ρ αέρα =1,3 kg/m 3,
ΑΣΚΗΣΗ 3 Η δεξαμενή του σχήματος έχει σχήμα κυλίνδρου με εμβαδό βάσης Α=8m 2 και είναι γεμάτη με νερό ενώ η πάνω βάση της είναι ανοικτή επικοινωνώντας με την ατμόσφαιρα Στην κάτω βάση υπάρχει κατακόρυφος σωλήνας ο οποίος συνδέεται μέσω των οριζόντιων σωληνώσεων ΒΒ 1 και ΓΓ 1 με βρύσες Οι οριζόντιες σωληνώσεις απέχουν h 1 =0,3m και h 2 =1,5m αντίστοιχα από την κάτω βάση της δεξαμενής και έχουν διάμετρο Α Οι δύο βρύσες είναι κλειστές και η πίεση που επικρατεί στη βρύση Γ 1 είναι p Γ =1,2 10 5 Ν/m 2 Να βρείτε: i τη χωρητικότητα της δεξαμενής ii Την πίεση που επικρατεί στη βρύση Β 1 Β Οι δύο βρύσες είναι ανοικτές Να βρείτε: i την ταχύτητα εκροής του νερού από τη βρύση Γ 1 ii τον όγκο του νερού που φεύγει από τη βρύση Β 1 σε χρονικό διάστημα 1min Θεωρείστε ότι στη διάρκεια του 1 min η στάθμη του νερού στη δεξαμενή δεν έχει μεταβληθεί Δίνονται: g=10m/s 2, ρ ν =1000kg/m 3 και p ατμ =10 5 N/m 2 ΑΣΚΗΣΗ 4 Το σύστημα των σωλήνων του σχήματος ονομάζεται βεντουρίμετρο και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής ενός ρευστού σε ένα σωλήνα Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος ρέει φυσικό αέριο, η επιφάνεια Α 1 είναι διπλάσια της Α 2 με Α 1 =12cm 2 Στον υοειδή σωλήνα υπάρχει νερό και οι δύο στήλες έχουν διαφορά ύψους h=6,75 cm Nα βρείτε Α Τη διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων 1 και 2 που βρίσκονται στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού Β Την ταχύτητα του αερίου στο σημείο 1 Γ Την παροχή του αερίου στον οριζόντιο σωλήνα Δ τον όγκο του αερίου που διέρχεται από μια διατομή του σωλήνα σε χρόνο 1min Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s 2, η πυκνότητα του αερίου ρ a =0,5kg/m 3, η πυκνότητα του νερού ρ ν =1000kg/m 3
ΑΣΚΗΣΗ 5 Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό, περιέχει νερό και ο καμπυλωτός σωλήνας (σίφωνας) είναι σταθερής διατομής Για τις αποστάσεις του σχήματος ισχύουν h 1 =0,3m, h 2 =0,45m Να βρείτε: Α την ταχύτητα εκροής του νερού από το σημείο Γ β την πίεση στο σημείο Β γ το μέγιστο ύψος h 1 για το οποίο έχουμε ροή νερού μέσα από το σίφωνα αν το άκρο Γ βρίσκεται σε ύψος h 2 =0,45m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού του δοχείου Δίνονται: p atm =10 5 N/m 2, g=10m/s 2 και ρ ν =1000kg/m 3 ΑΣΚΗΣΗ 7 Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό και είναι κολλημένο σταθερά στο αμαξίδιο Η στάθμη του νερού φτάνει μέχρι ύψος h=0,5m και σε απόσταση h 1 =5cm από τη βάση του δοχείου υπάρχει οπή εμβαδού Α=40mm 2 η οποία φράσσεται με πώμα Τη χρονική στιγμή t=0 αφαιρούμε το πώμα και νερό εκρέει από την οπή Να βρείτε τη χρονική στιγμή t=0: Α την ταχύτητα εκροής Β τη μέση δύναμη που ασκεί μια στοιχειώδης εκρέουσα μάζα Δm του νερού στο δοχείο Γ την επιτάχυνση του συστήματος δοχείο -νερό- αμαξίδιο, αν η συνολική μάζα του είναι m=10kg Δίνονται g=10m/s 2, ρ ν =1000kg/m 3
Λύσεις 1 α Για τα σημεία (1) και (2) εφαρμόζουμε την εξίσωση της συνέχειας : Α 1 υ 1 = Α 2 υ 2 υ 1 = (Α 2 / Α 1 ) υ 2 Επειδή Α 2 / Α 1 << 1 τότε και υ 1 << υ 2, οπότε θεωρούμε το υ 1 = 0 Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για τα σημεία (1) και (2) : Ρ 1 + ½ ρ υ 1 ² + ρ g H = Ρ 2 + ½ ρ υ 2 ² + ρ g 0 όπου υ 1 = 0 και Ρ 1 = Ρ 2 = Ρ atm, υ 2 = [2 g (H + h)] υ 2 = (2 10 45) υ 2 =30m/s H παροχή του ποτιστικού είναι : Π 2 = Α 2 υ 2 Π 2 = π (δ / 2)² υ 2 Π 2 = π (2 10-2 / 2)² 30-3 Π2 = 3 π 10 m³/s β Υπολογίζουμε τον χρόνο για το άδειασμα της δεξαμενής : Π = dv / dt Π = V / t t = (A h) / Π2 Α = π R², t = [(π R²) h) / Π2 t = π 6² 5 / (3 π 10-3) t=60000s ή 16h και 40min 2 α Δοχείο (1) ρευστό πυκνότητας ρ 1, διατομής τρύπας Α 1, σε χρόνο dt εκρέει ρευστό μάζας dm 1 και όγκου dv 1 Δοχείο (2) ρευστό πυκνότητας ρ 2, διατομής τρύπας Α 2, σε χρόνο dt εκρέει ρευστό μάζας dm 2 και όγκου dv 2 Επίσης : Α 1 =2 Α 2, =dv 1 /dt και Π 2 =dv 2 /dt Από το θεώρημα του Torricelli: υ 1 =υ 2 = (2 g h) Ισχύει : = Α 1 υ 1 Π 2 =Α 2 υ 2 Διαιρούμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις : =(Α 1 υ 1 )/(Α 2 υ 2 ) (όπου υ1 =υ 2, Α 1 =2 Α 2 ) =(2 Α 2 )/Α 2 =2 β dm 1 /dt=ρ 1 (dv 1 / dt) dm 1 /dt=ρ 1 ροή μάζας (1) dm 2 /dt=ρ 2 (dv 2 /dt) dm 2 /dt=ρ 2 Π 2 ροή μάζας (2) dm 1 /dt=dm 2 /dt ρ 1 =ρ 2 Π 2 ρ 1 /ρ 2 =Π 2 / ρ 1 =ρ 2 /2 γ Για να γίνουν οι παροχές όγκου ίσες πρέπει Α 1 =Α 2, άρα πρέπει να ανοίξουμε περισσότερο την τρύπα (2) Β =Α 1 υ 1 και Π 2 =Α 2 υ 2 [υ 1 = (2 g h 1 ) και υ 2 = (2 g h 2 )] =Α 1 (2 g h 1 ) και Π 2 =Α 2 (2 g h 2 ), διαιρούμε κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις: =Α 1 (2 g h 1 ) /{Α 2 (2 g h 2 )} (ισχύει h 2 =4 h 1 και Α 1 =2 Α 2 ) =Α 1 (2 g h 1 ) /{Α 2 (2 g 4 h 1 )} =1 =Π 2, σωστή η επιλογή α
3 Το αέριο βρίσκεται σε ισορροπία σε κλειστό δοχείο, επομένως : Ρ = Ρ Α, επίσης, Ρ Α =Ρ Γ και Ρ Γ =Ρ at +ρ Ηg g h Άρα, Ρ Α =Ρ Ρ=Ρ at +ρ υγ g h Ρ=10 5 +13,6 10³ 10 2 10-2 Ρ=10 5 +27,2 10³ Ρ=1,272 10 5 (Ν/m²) 4 α Το εμβαδό Α Γ : Α Γ =π r Γ ² Α Γ = π (δ Γ / 2)² Α Γ = π δ Γ ² / 4 Το εμβαδό Α Δ : Α Δ = π r Δ ² Α Δ = π (δ Δ / 2)² Α Δ = π δ Δ ² / 4 Από την εξίσωση της συνέχειας: Α Γ υ 1 =Α Δ υ 2 (π δ Γ ² / 4) υ 1 = (π δ Δ ² / 4) υ 2 δ Γ ² υ 1 = δ Δ ² υ 2 υ 2 = (δ Γ ²/ δ Δ ²) υ 1 υ 2 = (δ Γ / δ Δ )² υ 1 υ 2 = (6,4 10-2 / 2,5 10-2 )² 4 υ 2 = 2,56² 4 υ 2 =26,21m/s β Ισχύει : ΔΡ =Ρ Γ Ρ at Ρ Γ =ΔΡ +Ρ at Ρ Γ =3,5 10 5 +1 10 5 Ρ Γ =4,5 10 5 Ν/m² Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για τα σημεία Γ και Δ : (Τα σημεία Γ και Δ βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία) Ρ Γ +½ ρ νερ υ 1 ² +ρ νερ g h Γ =Ρ Δ ² +ρ νερ g h Δ Αφού τα σημεία Γ και Δ βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ισχύει h Γ = h Δ, Ρ Γ +½ ρ νερ υ 1 ² =Ρ Δ ² Ρ Δ =Ρ Γ +½ ρ νερ υ 1 ² ½ ρ νερ υ 2 ² Ρ Δ =Ρ Γ +½ ρ νερ (υ 1 ² υ 2 ²) Ρ Δ =4,5 10 5 +½ 10³ (4² 26,21²) Ρ Δ =4,5 10 5 +½ 10³ (16 686,96) Ρ Δ =4,5 10 5 3,35 10 5 Ρ Δ =1,15 10 5 N/m² γ
Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για τα σημεία Δ και Ε : (Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία) Ρ Δ ² +ρ νερ g h Δ =Ρ Ε +½ ρ νερ ² +ρ νερ g h Ε Αφού τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ισχύει h Δ =h Ε, Ρ Δ ² =Ρ Ε +½ ρ νερ ² ισχύει Ρ Ε =Ρ at, Ρ Δ ² =Ρ at +½ ρ νερ ² ½ ρ νερ ² =½ ρ νερ υ 2 ² + (Ρ Δ Ρ at ) ²=υ 2 ²+[2 (Ρ Δ Ρ at )/ρ νερ ] = {υ 2 ² + [2 (Ρ Δ Ρ at )/ρ νερ ]} = {26,21² + [2 (1,15 10 5 1 10 5 ) /10³]} = {686,96 + 30} =26,77m/s = 716,96