ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 07-1-014 Ονοματεπώνυμο: Θέμα 1ο Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής πλευράς στην υποτείνουσα. (Μονάδες 10) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α.Ισχύει : β < α + γ. β. Αν ΑΔ η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β σε ΑΒΓ τρίγωνο με πλευρές α,β,γ και ισχύουν ταυτόχρονα α = β + γ β ΑΔ και α = β + γ + β ΑΔ τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α. γ. Το ο θεώρημα διαμέσων έχει εφαρμογή σε ισοσκελή τρίγωνα. δ. Αν αυξήσουμε τις πλευρές α,β,γ οξυγωνίου τριγώνου κατά μια μονάδα την κάθε μια,τότε το τρίγωνο που προκύπτει είναι κι αυτό οξυγώνιο. ε. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο.ισχύει α > β + γ. (Μονάδες 10) Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης Β, έτσι ώστε να προκύπτει ισότητα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = υποτείνουσα. 90 ) και ΑΔ το ύψος που αντιστοιχεί στην Τηλ:10775360 www.methodikal.gr e-mail:contact@methodikal.gr Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ
Στήλη Α α. ΑΒ Στήλη Β ΒΔ 1. ΓΔ β. ΑΓ. ΓΔ ΔΒ γ. δ. ΓΔ 3. ΒΔ 4. ΒΓ ΒΔ ε. ΑΒ ΑΓ 5. 6. 7. ΒΓ ΑΔ Θέμα ο Στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν ΑΒ//ΔΓ, ΑΕ=6, ΑΒ=8, ΓΕ=15 και ΔΕ=10. Α 8 Β 6 Ε 10 15 Δ α) Να βρείτε δυο ζεύγη ίσων γωνιών των τριγώνων ΑΕΒ και ΔΕΓ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΕΓ είναι όμοια και να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τα τμήματα ΒΕ και ΔΓ. (Μονάδες 8) Γ Τηλ:10775360 www.methodikal.gr e-mail:contact@methodikal.gr Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ
Θέμα 3ο 0 Α. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) με ΑΓ=4 και ύψος ΑΔ 1. 5 α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΔΓ. 9 β) Να αποδείξετε ότι. 5 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Β. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και διάμεσο ΑΜ =.Αν ισχύει η σχέση, α)να αποδείξετε ότι, β)να υπολογίσετε τη γωνία ˆ. Θέμα 4ο Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με α = 4, β = 1 και γ = 16. α. Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου. β. Να υπολογισθεί το μέτρο της προβολής της πλευράς ΑΒ στην ΒΓ και της ΑΓ στην ΑΒ. γ. Να υπολογισθεί το μέτρο της διαμέσου μ α. δ. Να υπολογισθεί το μέτρο της προβολής της διαμέσου μ α στην πλευρά ΒΓ. (Μονάδες 10) Τηλ:10775360 www.methodikal.gr e-mail:contact@methodikal.gr Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ
Απαντήσεις Θέμα 1ο Α. Σχολικό σελ. 184 Β. α. Σ β. Σ γ. Σ δ. Σ ε. Λ Γ. α 4 β 5 γ 1 δ ε 7 Θέμα ο α) Ισχύει και ως εντός εναλλάξ των. β) Αφού τα τρίγωνα και έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, από το προηγούμενο ερώτημα, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια και η ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών τους είναι:. 6 γ) 15 60 4. 10 15 8 6 6 10 0. 15 Τηλ:10775360 www.methodikal.gr e-mail:contact@methodikal.gr Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ
Θέμα 3ο Α. B Δ A Γ α) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε: 1 144 4 16 5 5 56 16. 5 5 β) Για το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου ξέρουμε ότι ισχύει: 1 16 5 5 144 144 16 5 9. 5 5 16 5 5 γ) 9 16 5 5. 5 5 5 1 1 1 Άρα 5 6τ.μ 5 Β. α)για την διάμεσο μ α ισχύει σχέση οπότε,θα έχουμε: 4. Αντικαθιστούμε στην δοθείσα 4 4 4 4 β) Από τον νόμο των συνημιτόνων ισχύει :. Ακόμα από το (α) ερώτημα έχουμε.οι δύο σχέσεις έχουν τα πρώτα μέλη ίσα άρα θα έχουν και τα δεύτερα. Οπότε : Τηλ:10775360 www.methodikal.gr e-mail:contact@methodikal.gr Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ
1 Οπότε ˆ 60. Θέμα 4ο α. Επειδή α > γ > β είναι Α > Γ > Β.Αρκεί δηλαδή να βρεθεί το είδος της γωνίας Α. Θα έχω :α = 576, β + γ = 144 + 56 = 400. Οπότε ισχύει : α > β + γ άρα η γωνία Α είναι αμβλεία και το τρίγωνο αμβλυγώνιο. β. Αν ΒΕ η προβολή της ΑΒ στην ΒΓ από την γενίκευση του Π.Θ. (θ.οξείας γωνίας) θα έχω : β = α + γ α ΒΕ. Με αντικατάσταση των α,β,γ βρίσκουμε ότι ΒΕ = 43 3. Αν ΑΔ η προβολή της ΑΓ στην ΑΒ από την γενίκευση του Π.Θ.(θ.αμβλείας γωνίας) θα έχω : α = β + γ + γ ΑΔ. Με αντικατάσταση των α,β,γ βρίσκουμε ότι ΑΔ = 11. γ. Είναι μ α = β +γ α 4, στην οποία με αντικατάσταση των α,β,γ βρίσκουμε : μ α = 56. δ. Έστω ΑΜ η διάμεσος μ α του τριγώνου. Από το ο θ. διαμέσων θα έχω : β γ = α ΜΕ.Με αντικατάσταση των α,β,γ έχω : (ΜΕ) = 7 3. Τηλ:10775360 www.methodikal.gr e-mail:contact@methodikal.gr Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ