ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) i Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 iv) Να παραγοντοποιήσετε το P( x ) P x για x = ) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = 1 ( 1)( 1) P x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = x + 3x Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) i Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 iv) Να παραγοντοποιήσετε το P( x ) 3) Δίνεται το πολυώνυμο i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = x 3x + 1 P x για x = ( ) = ( 1)( 3 ) ( 1) P x x x x Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του P( x ) για i Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 iv) Να παραγοντοποιήσετε το P( x ) 1 x =
4) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( 3 + ) ( 3 + )( + 1) P x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 3x + 5x + Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του P( x ) για i Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 iv) Να παραγοντοποιήσετε το P( x ) x = 3 5) Δίνονται τα παρακάτω πολυώνυμα i) P ( x) = x 5x + ( x 5)( x + 5) P( x) = ( x 1) ( x + ) i P( x) x ( x ) x ( x ) = + 1 1 3 iv) ( ) 3 P x = x( x 5 x) x + 4x + 0 v) P ( x) = x ( x + 1) ( x + 1) vi) ( ) ( ) P x = x x 1 4( x 1) 3 v ( ) ( ) ( ) P x = x + x x + + x + vi P( x) = ( x 1)( 4 x) ( x 4)( 3x 1) Να εκτελέσετε τις απαραίτητες πράξεις και να γράψετε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή 1 P Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 Να παραγοντοποιήσετε το P( x ) 6) Δίνονται οι ευθείες ε 1 : x+3y=6, ε : 3x -5y -8=0 και ε 3 : 4x+6y=1. i) Να προσδιορίσετε τέσσερα σημεία της ευθείας ε 1. Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής, έστω Β και Γ, της ευθείας ε 1 με τους άξονες x' x και y' y αντίστοιχα. i Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΟΓ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. iv) Να προσδιορίσετε το κοινό σημείο των ευθειών ε 1 και ε. v) Να εξετάσετε αν το σημείο Α(-3, 4) ανήκει στην ευθεία ε 1. vi) Να λύσετε το σύστημα των ε 1 και ε 3. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος. 7) Να λύσετε τα συστήματα: i) 5x y = 6 3x + y = 3x + 5y = 1 x + 7y = 8
i 3x + y = 11 4 x 3y = 6 8) Να λύσετε τα συστήματα i) x + 1 y 1 = 3 3 3 1 + = + 3 ( x ) y ( y ) 3y x = 1 3x + y + 5 = 1 4 6 iv) 3x 7y= 7 x+ 3y= 5 (Λύσεις: α) (-, 8) β) (-3, ) γ) (3, ) δ) (-7,3 ) i iv) x + y x y 1 + = 3 3 x + y = 1 3( x + 1) ( y 1) = 1 x + y + 1 3 = 3 1 1 Λύσεις: α) (,-3) β) (, 1) γ)(, 3 3 9) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x = 1 + 3 x 9 x 3 x + 3 8 x + x 1 3x 1 + = x x x x 1 i x + 5 3 8 + x = x x x + 4 x 10) Δίνεται η παράσταση: ( x) x x x x Α = ( + 3) ( 1)( + 1) ( 4) 7 δ) ( 1, -) α) Να εκτελέσετε τις πράξεις και να δείξετε ότι : ( ) β) Να λύσετε την εξίσωση: Α ( x ) = 0 Α x = x + 14x 1 γ) Να παραγοντοποιήσετε πλήρως το τριώνυμο x + 14x 1 αν είναι γνωστό ότι ρίζες του είναι οι αριθμοί 1 και 6. 11) Δίνονται τα παρακάτω συστήματα (Σ1) και (Σ) : (Σ1) x y = 6 x + y = 9 (Σ) αy β = x α βy = 3x Α. Να λυθεί το σύστημα (Σ1). Β. Αν η λύση του συστήματος (Σ1): (, ) = ( 4,1) χ ψ είναι και λύση του συστήματος (Σ), να δημιουργήσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους α, β. Γ. Να βρεθεί η λύση (α, β) του παραπάνω συστήματος που δημιουργήσατε Λύση: (α, β)=(, 10) 1) Να λυθεί η εξίσωση : (3x ) (3 x) = 9( x 1) 3 Λύση: χ= 1 και -7
13) Να λυθεί η εξίσωση: ( χ 1) + 7 = ( χ + ) ( χ 4)( χ + 4) x + 4x + 4 x + 14) Δίνονται οι παραστάσεις: Α = και Β = 3x + 6x x 4 Λύση: χ= 3 και -1 i) Να παραγοντοποιήσετε τους παρονομαστές να θέσετε τους κατάλληλους περιορισμούς i Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις και να δείξετε ότι: Να λύσετε την εξίσωση Α = Β 15) Αν P( x) = ( x + 1) 4( x + 1) + 4x, i) να αποδείξετε ότι P( x) = ( x 1)( x + 3) Να λύσετε η εξίσωση: x + 4 8 x + = 1 x + 3 P( x) x 1 Α = x + 1 3 x και Β = x Λύση: 4 και -1 16) Δίνεται το πολυώνυμο : P( x) = ( x + 1)( x 1) ( x + 1)( 5x + 7) Λύση: 5 17) Αν ( x) i) Να αποδείξετε ότι: P( x) = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του P(x) για i Να λυθεί η εξίσωση P( x ) = 0 iv) Να παραγοντοποιήσετε το P( x ) x x + 1 x + x Α = 3x + 6 x 1 1 x = 7 i) να θέσετε τους κατάλληλους περιορισμούς της μεταβλητής να απλοποιήσετε την παράσταση Α( x ) i να λύσετε την εξίσωση Α ( x ) = 0 18) Να απλοποιήσετε το γινόμενο: 19) Να λυθούν οι εξισώσεις: α β α + αβ 4 α+8 β α + αβ+ β Λύση: ( Λύση: x ( x 1) 3 a ( a β) 4( a + β) x i) + 3 = 4 x- x x -x 1 1 x 1 + = x + 1 x + x x Σελίδα 4 από 1
Λύσεις: α) -5 β) x+1 + 1 0) Δίνεται η εξίσωση: x x = x x x 1 x + x i) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: x x, x 1, x + x και να θέσετε τους κατάλληλους περιορισμούς Αφού κάνετε όλες τις δυνατές πράξεις να καταλήξετε στην εξίσωση x + 3x + = 0 i Να λύσετε την εξίσωση x + 3x + = 0 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( x) ( x ) ( x )( x ) ( x ) P = + 3 1 + 1 4 7 Λύση: 1 και i) Να δείξετε ότι ( ) P x = x + 14x 1 Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 Λύση: 1 και 6 ) Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων: 3( x + y) = ( x y) 14 + 4( x y) = x + y 3) Αν Α ( x) = ( x + 1) ( x 1) + 3 και Β ( x) = (x + 1)(x ) + 5 i) Να αποδείξετε ότι Α ( x) = 4x + 3 και ( ) Να λύσετε την εξίσωση Β ( x) = A( x ) 4) Δίνεται το P( x) = x 3x + i) Να παραγοντοποιηθεί το P( x ) 1 x + x + 1 Να λυθεί η εξίσωση: = x x 1 x 3x + Β x = 4x x + 3 Σελίδα 5 από 1
Γεωμετρία (1) α) Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω= 1, να υπολογιστούν το συνω και η εφω. 13 β) Να υπολογιστεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: () Δίνεται η αμβλεία γωνία ω με ηµω = Α = 13 ηµω + 6 συνω εϕω 3 α) Να υπολογίσετε το συνω και την εφω. 5 Λύση: α) συνω= και εφω= 1 β) Α=36 13 5 β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3ηµω 1συνω Α = 3εϕω Λύση: α) συνω= 1 και εφω= 3 β) Α= -3 (3) Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΕ = 3χ, ΕΓ = χ, ΕΒ = 6 και Ε = 8. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΓΔΕ είναι όμοια και β) να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ και ΕΓ. Λύση: β) ΑΕ=1 και ΕΓ=4 (4) Στο διπλανό σχήμα είναι Β ˆ ˆ o ο A = 90, Δ = 90, ΑΒ = 1 cm, ΔΕ=4 cm α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ είναι όμοια. β) Να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. 1 γ) Αν το τρίγωνο ΔΕΓ έχει εμβαδόν 6 cm, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Λύση: β) λ=3 γ) (ΑΒΓ)=54 Α Ε 4 Δ Γ (5) Αν ημω= 3, 90<ω<180, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 5 5 16 Α = 5 συν ω εϕ ω εϕ ω ηµ ω 9 Σελίδα 6 από 1
Λύση: α) συνω= 4 και εφω= 3 β) Α= -1 5 4 (6) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ, ώστε ΒΔ=ΓΕ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. β) Αν ΔΚ ΑΒ και ΕΛ ΑΓ, να δείξετε ότι ΔΚ=ΕΛ. (7) Στις ίσες πλευρές, ΑΒ, ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, θεωρούμε τα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα,τέτοια ώστε ΑΔ=ΑΕ. Να δειχτεί ότι α) ΔΚ=ΕΛ β) ΒΕ=ΔΓ (8) Αν η γωνία ω είναι αμβλεία και α) Να βρείτε το ημθ και την εφθ 1 συνθ = 13 β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 5ηµθ 4 συνθ 6εϕθ (9) Στο διπλανό σχήμα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και ΑΔ είναι το ύψος του. Να δείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι όμοια και να γράψετε τους λόγους των ομόλογων πλευρών β) αν ΑΒ = 3 cm, ΑΓ = 4 cm, να υπολογίσετε τα τμήματα ΒΓ και ΑΔ. Λύση: β) ΒΓ=5 και ΑΔ= 1 5 Λύση: α) ημω= 5 13 και εφω= 5 β) 1 Γ Α Δ Β 146 65 (10) Να κάνετε τις πράξεις: ηµ 108 + συν77 ηµ 7 + συν 103 0 0 0 0 Σελίδα 7 από 1
(11) Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ ώστε για το εσωτερικό του σημείο Δ να ισχύουν αποδείξετε ότι: ^ ^ Β = Γ και 1 1 α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές β) Το σημείο Δ ισαπέχει από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ^ ^ =. Να 1 (1) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Να αποδείξετε ότι οι διάμεσοι ΒΔ και ΓΕ είναι ίσες. 1. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ=ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: i) Οι γωνίες ΒΑΔ και ΕΑΓ είναι ίσες Τα τρίγωνα ΒΑΔ και ΓΑΕ είναι ίσα i iv) Σωστό ή Λάθος; (αιτιολογήστε) ˆ ˆ Β = Γ ˆ ˆ Β = Ε v) ˆ ˆ = Ε. Στο διπλανό σχήμα η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας xˆο yαν ΟΑ=ΟΒ και Σ τυχαίο σημείο της διχοτόμου, να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΒΟΣ και ΑΟΣ είναι ίσα. ΒΣ=ΑΣ i ybˆ Σ = xa ˆΣ 3. Στη βάση ενός ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου να πάρετε σημεία Δ, Ε έτσι ώστε ΒΔ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. ΑΔ=ΑΕ i ˆ ˆ ΒΑ = ΓΑΕ iv) ˆ ˆ ΒΑΕ = ΓΑ Σελίδα 8 από 1
4. Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ=ΟΓ και ΟΒ=ΟΔ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ είναι ίσα. ΑΔ=ΒΓ i ΒΓ ˆ = ΑΒ ˆ 5. Κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι 8cm. Αν είναι ΑΖ=ΒΔ=ΓΕ=3cm, να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑZE και ΒΔΖ είναι ίσα. ΖΕ=ΔΖ i Το τρίγωνο ΖΔΕ είναι ισόπλευρο. 6. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως ίσα τμήματα ΒΔ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΕΒ είναι ίσα. i iv) ˆ ˆ = Ε ΔΓ=ΒΕ Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΕΓΒ είναι ίσα. 7. Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί τις γωνίες ˆΑ και ˆΓ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ίσα. i ΑΒ=ΑΔ ΒΓ=ΔΓ *Συμπληρωματικά: Να φέρετε το τμήμα ΒΔ και να αποδείξετε ότι Β ΑΓ. 8. Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και ΒΔ η διαγώνιός του. Να αποδείξετε ότι: i) ˆ ˆ Α Β = ΒΓ και i iv) ΑΒ ˆ = Β Γ ˆ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ίσα. Οι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι ίσες Οι απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου είναι ίσες. Σελίδα 9 από 1
9. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ του διπλανού σχήματος έχουν ίσες τις διχοτόμους ΑΔ και Α Δ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α Β Δ είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΔΓ και Α Δ Γ είναι ίσα i Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. *Συμπληρωματικά: Να φέρετε τα ύψη ΑΕ και Α Ε των δυο τριγώνων και να αποδείξετε ότι είναι ίσα. 10. Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ του διπλανού σχήματος έχουν κοινή βάση ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα. Η ΑΔ διχοτομεί τη γωνία ΒΑΓ. i H ΑΔ διχοτομεί τη γωνία ΒΔΓ. iv) Η ΑΔ είναι μεσοκάθετος του ΒΓ. 11. Στα δυο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ του διπλανού σχήματος, δίνεται ότι ΑΒ=Α Β, ΒΓ=Β Γ και οι διάμεσοι ΑΜ και Α Μ είναι ίσες. Να αποδείξετε: i) Ta τρίγωνα ΑΒΜ και Α Β Μ είναι ίσα. ˆ ˆ Β = Β. i Ta τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. 1. Το τρίγωνο ΑΒΓ στο διπλανό σχήμα είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Αν ΒΔ=ΓΕ και Μ μέσον του ΒΓ, να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα. i *H MA διχοτομεί τη γωνία ΔΜΕ. Σελίδα 10 από 1
15. Στο ισοσκελές ΑΒΓ του διπλανού σχήματος με ΑΒ=ΑΓ, να φέρετε Α ΑΒ, ΑΕ ΑΓ και ΑΔ=ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΓΕ είναι ίσα. Οι γωνίες ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσες. i Oι γωνίες ΔΒΓ και ΕΓΒ είναι ίσες. iv) Aν Μ είναι μέσον του ΒΓ, τότε ΑΜ ˆ = ΕΑΜ. ˆ 16. Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Β ˆ = ˆ = 90 ο και ΑΒ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ίσα. ΒΓ=ΔΓ i Η διαγώνιος ΑΓ είναι διχοτόμος των ˆΑ και ˆΓ iv) H διαγώνιος ΑΓ τέμνει κάθετα την ΒΔ. v) Η ΑΓ είναι μεσοκάθετος του ΒΔ. 17. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α ˆ = 90 ο ) να φέρετε τη διχοτόμο ΒΔ και την Ε ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ΑΒ=ΒΕ 18. Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το μέσον Μ ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Να φέρετε τις αποστάσεις ΑΔ και ΒΕ των σημείων Α και Β από την ευθεία και να αποδείξετε ότι είναι ίσες. Σελίδα 11 από 1
19.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ΕΔ και ΒΓ είναι παράλληλες. i) Να αποδείξετε ότι Ε ˆ = Γ ˆ και ΒΑΓ ˆ = ΕΑ ˆ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΑΔ είναι όμοια και να γράψετε τις σχετικές αναλογίες. Πόσο είναι ο λόγος ομοιότητας; i Υπολογίστε το μήκος ΕΔ 0.Στο διπλανό σχήμα οι γωνίες ˆΕ και ˆΓ είναι ίσες. i) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. Να γράψετε τις αναλογίες ομοιότητας. i Υπολογίστε το τμήμα ΔΕ iv) Αν ΑΕ=11cm, υπολογίστε το ΕΓ 1.Στο διπλανό σχήμα οι γωνίες ˆΕ και ˆΓ είναι ίσες. i. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια και να υπολογίσετε τον λόγο ομοιότητας. ii. Να συμπληρώσετε τα κενά στις Α...... αναλογίες ομοιότητας: = =... ΒΓ... iii. Υπολογίστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΔΒ. Α Ε =... iv. Συμπληρώστε την αναλογία ( ) ( ΑΒΓ) v. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΕ είναι ( Α Ε ) = 1cm, υπολογίστε το εμβαδόν του ΑΒΓ. vi. Υπολογίστε τον λόγο ( ΕΓΒ ) ( ΑΒΓ) Σελίδα 1 από 1