שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 18 ביוני 15 התרגום למושגים הפיזיקליים הוא חופשי שלי. אבשלום קור, מאחוריך. לא נתתי דוגמאות לשימושים שכן ראינו (גיאומטריים). אפשר למצוא דוגמאות בתרגולים. אינטגרל מסילתי: 1. ראינו שבעזרת אינטגרל מסילתי מסוג ראשון אפשר לחשב את אורכה של עקומה, ע"י הנוסחה: L(γ) = γ b ds = γ (t) dt a. כמו כן ראינו שאפשר, בעזרת אינטגרל מסילתי מסוג שני, לחשב את השטח הכלוא ע"י עקומה מישורית, ע"י: = xdy = ydx = 1 xdy ydx 3. חישוב נפח גוף סיבוב של עקומה מישורית: יהי R תחום בחצי המישור העליון ( y) הכלוא ע"י עקומה שכיוון ההתקדמות עליה הוא נגד כיוון השעון. נסמן ב Ω את הגוף הנוצר ע"י סיבוב R סביב ציר ה x. 1
V = π y dx = π אזי, הנפח של Ω ניתן לחישוב ע"י הנוסחה: xydy = π xydy + y dx לדוגמה: חשבו את נפח הגוף הנוצר ע"י סיבוב התחום הכלוא ע"י העקומה y = sin x והקווים סביב ציר ה x.,x =, x = π, y = פתרון: התחום שלנו הוא: V = π y dx והשטח נתון ע"י הנוסחה: ואת האינטגרל אפשר לפרק לארבעה אינטגרלים: y dx + y dy + y dy + y dy OA AB BD DO π y dx = dx = OA נחשב כל אחד מהם בנפרד:
AB π y dx = dx = BD π π y dx = ( sin x) dx = (4 4 sin x + sin x)dx = π = (4 4 sin x + ( 1 cos x )dx = 9 ) π sin x x 4 cos x + = 9π 4 DO π y dx = dx = ובסך הכל נקבל שהנפח הוא: V = π ( 9π) = 9π 4. מסה של חוט :(wire) נניח שחוט מתואר ע"י העקומה התלת מימדית, והמסה ליחידת אורך של החוט, הצפיפות, היא פונקציה רציפה ρ. אזי, אפשר לחשב את מסת החוט ע"י הנוסחה: m = ρds לדוגמה: מצאו את מסת החוט לאורך קשת המעגל = 1 x + y מהנקודה (,1)A לנקודה (1,)B, כאשר הצפיפות נתונה ע"י הפונקציה: ρ(x, y) = xy 3
פתרון: החוט שלנו הוא:.t [, π נקבל: פרמטריזציה מתאימה היא: t) γ(t) = (cos t, sin כאשר ] γ (t) = ( sin t, cos t) = sin t + cos t = 1 לכן המסה היא: m = ρds = π ρ(γ(t)) γ (t) dt = π cos t sin tdt = 1 π sin tdt = 1 4 cos t π = 1 5. מרכז המסה ומומנטי ההתמד (אינרציה) של חוט: נניח שחוט מתואר ע"י עקומה וצפיפותו היא פונקציה רציפה ρ. x = xρds m, ȳ = מרכז המסה של החוט נתון ע"י הנוסחה: yρds m, z = zρds m 4
מומנטי ההתמד לאורך הצירים נתונים ע"י הנוסחאות: I x = (y + z )ρds I y = (x + z )ρds I z = (x + y )ρds לדוגמה: מצאו את מרכז המסה של חוט שמונח לאורך הקרדיואדה θ) θ [, π],r = (1 + cos עם צפיפות = 1.ρ פתרון: החוט שלנו הוא: ברור ש = ȳ, משיקולי סימטריה. בשביל הקואורדינטה = x, מספיק להסתכל רק על החלק העליון של הקרדיואדה. m = π ρ(r, θ) r + ( ) r dθ = θ π נחשב את המסה. בקואורדינטות פולריות: 5 1 + cos θ + cos θ + sin θdθ =
= π π 1 + cos θdθ = cos θ dθ = 4 sin θ π = 4 xρds = π r cos θ r + ונחשב: ( ) r dθ = π (1 + cos θ) cos θ 1 + cos θdθ = 16 θ 5 + cos θ = cos θ.1 מכאן כדי לחשב את האינטגרל נשתמש בזהות של זווית כפולה אלו פונקציות טריגונומטריות במעלות גבוהות, ומשתמשים בזהויות כדי להוריד את המעלה (, 16 5 4 ) = (, 4 5 ) (קצת אינפי ). לכן, מרכז המסה הוא: לדוגמה: חשבו את מומנט ההתמד I x של חוט לאורך המעגל x + y = a עם צפיפות = 1.ρ פתרון: פרמטריזציה של המעגל היא: t) γ(t) = (a cos t, a sin כאשר π].t [, כלומר: γ (t) = ( a sin t, a cos t) = a sin t + a cos t = a I x = π y ds = (a sin t) adt = a 3 π 1 cos t ולכן: dt = a3 sin t (t ) π = πa 3 6. עבודה לאורך עקומה: העבודה הנעשית ע"י כוח F על אובייקט לאורך עקומה נתונה ע"י: W = F d r 6
אם השדה F משמר, העבודה נתונה ע"י: W = f(b) f(a) של F. כאשר העקומה מתחילה בנקודה a ומסתיימת בנקודה b, והפונקציה f היא הפוטנציאל אפשר להמחיש זאת ע"י: הוקטור d r הוא וקטור יחידה משיק. נשים לב שהכוח שמזיז את האובייקט לאורך העקומה הוא לאו דווקא הכוח שלנו, ולכן עבודה יכולה להיות שלילית.. זהו פשוט אינטגרל מסילתי מסוג שני. 7. חוק אמפר: קיים יחס ישיר בין הזרם החשמלי העובר דרך עקומה סגורה לבין השדה המגנטי המשיק לעקומה הנוצר כתוצאה מהזרם. B d r = µ I היחס נתון ע"י הנוסחה: 7
כאשר I הוא הזרם החשמלי, העקומה, B הוא השדה המגנטי, ו µ הוא קבוע החדירות בוואקום constant).(vacuum permeability אפשר להמחיש זאת ע"י: חוק אמפר, עם תיקון, הוא משוואת מקסוול הרביעית. 8. חוק פאראדיי: השתנות בזמן של השטף המגנטי דרך מוליך גורמת להשראת מתח חשמלי, כוח אלקטרו ε = E d r = dψ dt מניע, במוליך. ובנוסחה: כאשר ε הוא הכוח האלקטרו מניע, עקומה סגורה ו ψ השטף המגנטי. אפשר להמחיש זאת ע"י: 8
חוק פאראדיי הוא משוואת מקסוול השלישית. אינטגרל משטחי: 1. ראינו שאפשר לחשב שטח פנים של משטח ע"י: µ() = d = φ u φ v dudv D כאשר (v φ(u, פרמטריזציה של המשטח ו D התחום של,u. v. ראינו, בעזרת משפט הדיברגנץ, אפשר לחשב נפח של גוף ע"י הנוסחה: V = 1 3 xdydz + ydxdz + zdxdy 3. מסה של מעטפת: נניח ש מעטפת של גוף כלשהו, שצפיפותו נתונה ע"י פונקציה רציפה (z.µ(x,,y m = המסה של נתונה ע"י הנוסחה: µ(x, y, z)d 9
לדוגמה: מצאו את מסת הגליל הנתון ע"י הפרמטריזציה: φ(u, v) = (a cos u, a sin u, v) כאשר H],u [, π], v [, וצפיפותו נתונה ע"י: ).µ(x, y, z) = z (x + y פתרון: נחשב את אלמנט השטח. וקטורי הנגזרות הם: φ u = ( a sin u, a cos u, ), φ v = (,, 1) φ u φ v = i j k a sin u a cos u 1 = (a cos u, a sin u, ) לכן: φ u φ v = a cos u + a sin u = a ואם כן: כמו כן: µ(φ(u, v)) = v (a cos u + a sin u) = a v ולכן: m = µ(x, y, z)d = D a v advda = a 3 πh vdvdu = πa 3 v3 3 H = πa3 H 3 3 1
4. מרכז המסה ומומנטי ההתמד של משטח: יהי משטח שמסתו m צפופה לפי הפונקציה הרציפה µ. מרכז המסה נתון ע"י הנוסחה: x = xµd m, ȳ = yµd m, z = zµd m מומנטי ההתמד ביחס לצירים הם: I x = (y + z )µd I y = (x + z )µd I z = (x + y )µd מומנטי ההתמד ביחס למישורים הם: I xy = z µd I xz = y µd I yz = x µd לדוגמה: מצאו את מרכז המסה של הספירה x + y + z = a בתומן (אוקטנט) השמיני, אם הצפיפות היא µ קבועה. פתרון: אנחנו מסתכלים על: 11
m = 1 8 µ d = µ 8 d = µ 8 4πa = a µ π המסה היא: xµd = µ xd = µ x 1 + zx + zydxdy כעת: D מכיוון שהמשטח ניתן להטלה,.z = a x y אם כן: x z x = a x y, z y y = a x y µ D x 1 + zx + zydxdy = µ D x 1 + x + y a x y = µ D ולכן: ax a x y 1
התחום D הוא הטלה של המשטח אל מישור :xy ויהיה נוח לעבור לקואורדינטות קוטביות: x = r cos θ, y = r sin θ = µ π a כאשר r a, θ π. היעקוביאן הוא r ולכן: a ar cos θ a r rdrdθ = µ a = µ a ( a a r dr a r a + a a r ( sin θ) π θ= dr = a 1 a r dr). πa 4 את האינטגרל השמאלי אפשר לחשב בעזרת הצבה r. = a sin t מקבלים. π לכן: = µ a ( πa 4 a π ) = µ πa 3 4 13 האינטגרל הימני הוא ארקסינוס ומקבלים
לכן: x = µ πa 3 4 µ πa = a ומשיקולי סימטריה נקבל שמרכז המסה נמצא בנקודה: ( a, a, a ) לדוגמה: חשבו את מומנט ההתמד של ההמיספירה z x +y +z = 1, שלה צפיפות קבועה ביחס לציר ה z. µ פתרון: I z = (x + y )µd = µ המומנט נתון ע"י הנוסחה: (x + y )d המשטח שלנו ניתן להטלה: z = 1 x y ולכן אלמנט השטח הוא: 1 + zx + zy 1 = 1 x y I z = µ D x + y 1 x y dxdy ולכן: כאשר התחום D הוא עיגול היחידה. נעבור לקואורדינטות קוטביות: x = r cos θ, y = r sin θ 14
= µ π1 כאשר r 1, θ π. היעקוביאן הוא r ולכן: r 1 rdrdθ = πµ 1 r 1 r dr = 4πµ 3 את האינטגרל אפשר לחשב בעזרת ההצבה t. = 1 r 5. כוח כבידה: נניח שיש לנו מסה m בנקודה ) (x, y, z מחוץ למשטח : כוח המשיכה בין המסה m והמשטח נתון ע"י הנוסחה: F = Gm µ r d כאשר ) G, r = (x x, y y, z z הוא קבוע הגרביטציה ו µ פונקציית הצפיפות באינטגרל של וקטור הכוונה היא לאינטגרל רכיב רכיב. של. 15
לדוגמה: חשבו את כוח המשיכה בין המיספירה עם רדיוס r, מרכז בראשית וצפיפות קבועה µ לבין מסה m הממוקמת בראשית. פתרון: נתבונן במשטח: תהי (z M(x,,y נקודה על ההמיספירה, השייכת לאלמנט השטח.d אפשר להביע את כוח המשיכה (M) d F בין אלמנט השטח d לבין המסה m ע"י: d F (M) = Gmµ d r e(o, M) כאשר (M e(o, וקטור יחידה בין O ל M. מכיוון ש: e = ( x r, y r, z r ) d F (M) = Gmµ d 16 נקבל:
ולכן: F x = Gmµ xd, F y = Gmµ yd, F z = Gmµ zd נעבור לקואורדינטות ספריות : x = r cos ψ sin θ, y = r sin ψ sin θ, z = r cos θ כאשר π].(ψ, θ) [, π] [, היעקוביאן הוא,r sin θ ואם כן: F x = Gmµ xd = Gmµ ππ r cos ψ sin θr sin θdθdψ = = Gmµ π sin θ(sin ψ) π ψ=dθ = F y = Gmµ yd = Gmµ π π r sin ψ sin θr sin θdψdθ = = Gmµ π sin θ( cos ψ) π ψ=dθ = F z = Gmµ zd = Gmµ π π r cos θr sin θdψdθ = π Gmµ π sin θ dθ = πgmµ שימו לב שהתוצאה = y F x = F היא הגיונית מכיוון שהמשטח סימטרי ביחס לצירים.x, y 17
לאורך צירים אלו, המשטח מושך את המסה m לכיוונים ההפוכים באותו אופן (וכך גם המסה את המשטח), מין "משוך בחבל" של צדדים שקולים לחלוטין ולכן אין לאורך צירים אלו משיכה כלל. לכן המשיכה F היא לאורך ציר ה z. 6. כוח לחץ: נניח שהמשטח נתון ע"י פרמטריזציה φ ונלחץ ע"י כוח כלשהו (משטח כזה הוא למשל סכר, פקק בקבוק של משקה מוגז או כנף מטוס). F = הכוח F הנוצר ע"י הלחץ p(φ) נתון ע"י: p nd כאשר n נורמל יחידה למשטח. לדוגמה: נתבונן בסכר הבא: חשבו את כוח הלחץ הפועל על הסכר, שחוסם מאגר מים ברוחב W ובעומק H. תחת הנחה של שיווי משקל הידרו סטטי, הלחץ על משטח הסכר (תלוי ב z ) הוא: p(z) = ρg(h z) 18
כאשר ρ היא צפיפות המים ו g התאוצה הכבידתית. פתרון: אם כן, הלחץ הוא: F = p nd = W H ρg(h z)( 1,, )dydz = ( ρgw H,, ) הערך המוחלט הוא: F = ρgw H 7. שטף נוזל ושטף מסה: אם שדה וקטורי v( r) מתאר מהירות של נוזל, השטף לאורך משטח שווה לנפח הנוזל העובר דרך ביחידת זמן אחת, ונתון על ידי הנוסחה: Φ = v( r) d שטף זה נקרא שטף נוזל. באופן דומה, השטף של שדה וקטורי F = ρ v כאשר ρ מתאר את צפיפות הנוזל נתון על Φ = ρ v( r)d ידי הנוסחה: שטף זה נקרא שטף מסה. לדוגמה: נוזל צמיגי זורם לאורך צינור גלילי עם רדיוס R. מהירות הנוזל מתוארת ע"י: v = e r k 19
כאשר k הוא וקטור יחידה לאורך הצינור בכיוון הזרם, r הוא המרחק מהצינור ו הוא קבוע. חשבו את שטף הנוזל. פתרון: Φ = v( r) d עלינו לחשב את האינטגרל: Φ = e r d במקרה שלנו: מכיוון שלוקטורים k ו d אותו הכיוון. אנחנו נמצאים בגליל, ולכן אם נעבור לקואורדינטות קוטביות נקבל: Φ = πr R e r rdr = π e r rdr = π(1 (R + 1)e R ) ה r שנוסף הוא היעקוביאן. את האינטגרל קל לחשב באינטגרציה בחלקים. 8. מטען של משטח:
נניח ש ( y σ(x, מתארת צפיפות מטען על משטח. המטען על המשטח נתון על ידי Q = σ(x, y)d הנוסחה: 9. חוק גאוס: השטף החשמלי D דרך משטח סגור יחסי למטען Q הכלוא על ידי המשטח: Φ = D d = i Q i כאשר E. D = εε E הוא חוזק השדה החשמלי, ε הוא המקדם הדיאלקטרי, = ε.8.8541878 1 1 F m במקרה הבדיד המטען Q הוא סכום כל המטענים הכלואים. חוק גאוס הוא משוואת מקסוול הראשונה. 1. חוק גאוס למגנטיות: המתחיל במצווה אומרים לו גמור. חוק גאוס למגנטיות הוא משוואת מקסוול השנייה, Φ B = B d = והוא טוען: כאשר B מציין את השדה המגנטי ו הוא המשטח. החוק בעצם טוען שהשטף המגנטי דרך מעטפת סגורה הוא. 1