ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΘΕΜΑ Α A 1. Α 2. Α 3. Α 4. γ β γ γ Α 5. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β 1. Σωστή η απάντηση γ Αιτιολόγηση: Για την αρχική γωνία πρόσπτωσης ισχύει Snell για τη κρίσιμη γωνία παίρνουμε: και με εφαρμογή του νόμου
Όταν ρίξουμε το λάδι επειδή η ακτίνα εισέρχεται από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο υλικό έτσι αναγκαστικά θα υποστεί διάθλαση με εφαρμογή του νόμου Snell προκύπτει: στη συνέχεια η ακτίνα προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού αέρα με κρίσιμη γωνία λαδιού Από τη δεύτερη πρόσπτωση παρατηρούμε οτι, με τη βοήθεια των σχέσεων (1) και (2) και παίρνοντας το λόγο των ημιτόνων, προκύπτει επομένως η γωνία άρα η ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού αέρα.
Β 2. Σωστή η απάντηση α Αιτιολόγηση: Ο πρώτος δεσμός είναι στη θέση λ/4 οπότε οι θέσεις των δυο σημείων μετρημένες από την αρχή (σημείο Ο) είναι με πλάτος ταλάντωσης και Τα σημεία ταλαντώνονται με την ίδια γωνιακή συχνότητα ω επoμένως ο λόγος των μεγίστων ταχυτήτων είναι:
Β 3. Σωστή η απάντηση α Αιτιολόγηση: Α τρόπος. Η σφαίρα Σ 1 εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα υ, επομένως θα διανύσει το διάστημα (ΑΓ) σε χρόνο Η σφαίρα Σ 2 σε όλες τις διαδοχικές κρούσεις δέχεται δυνάμεις μόνο στον άξονα yy, κάθετες στα (ΑΓ) και (ΒΔ). (Βλέπε σχήμα). Έτσι στον άξονα xx που δεν δέχεται καμία δύναμη εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα επομένως θα διανύσει την απόσταση (ΑΓ) σε χρόνο Από την (1) προκύπτει
B τρόπος. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ΠΡΣ είναι ισόπλευρο, έτσι μεταξύ δυο διαδοχικών κρούσεων το σώμα Σ 2 διανύει την απόσταση ΠΡ + ΡΣ = 2ΠΣ, δηλαδή διανύει διπλάσια απόσταση από αυτή που θα διένυε αν κινούνταν ευθύγραμμα. Ετσι θα χρειαστεί το διπλάσιο χρόνο. (Η κρούση είναι ελαστική, επομένως το μέτρο της ταχύτητας υ δεν αλλάζει).
ΘΕΜΑ Γ Γ 1. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Steiner για τη ράβδο έχουμε Η ροπή αδράνειας του συστήματος δοκού σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής Ο είναι ( ) Γ 2. Για το έργο της δύναμης F ισχύει Γ 3. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Κ.Ε. από την κατακόρυφη, στην οριζόντια θέση έχουμε Γ 4. Επαναφέρουμε τη δοκό στην αρχική της θέση και εφαρμόζουμε νέα κάθετη δύναμη F. Η κινητική ενέργεια της δοκού γίνεται μέγιστη στη θέση όπου η συνισταμένη των ροπών είναι ίση με μηδέν (ή α γων = 0, θέση ισορροπίας δοκού ), καθώς σε αυτή τη θέση η δοκός από επιταχυνόμενη κίνηση αρχίζει και εκτελεί επιβραδυνόμενη στροφική.
Για την τυχαία θέση του συστήματος έχουμε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΚ προκύπτει: από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΣΣ προκύπτει: η σχέση (1) με τη βοήθεια των (2) και (3) μας γίνεται αντικαθιστώντας τις τιμές προκύπτει η ζητούμενη γωνία (μετρημένη από την κατακόρυφο) είναι Παρατήρηση: Με τη νέα δύναμη της F αποδεικνύεται ότι η ράβδος εκτελεί ανακύκλωση, οπότε σε κάθε στροφή η κινητική της ενέργεια αυξάνεται. Η λύση που παρουσιάζουμε αποτελεί την πρώτη μιας σειράς γωνιών για την οποία η κινητική ενέργεια της ράβδου αποκτά μέγιστη τιμή.
ΘΕΜΑ Δ Δ 1. Στη Θ.Ι. που απέχει L από τη Θ.Φ.Μ. έχουμε: Σε τυχαία θέση, που απέχει x από τη Θ.Ι. ισχύει : όπου μέσω της (1) προκύπτει η ικανή και αναγκαία συνθήκη για απλή αρμονική ταλάντωση με
Δ 2. Καθώς η κίνηση ξεκινά με μηδενική ταχύτητα η Θ.Φ.Μ. είναι η άνω ακραία θέση της Α.Α.Τ. που ακολουθεί. Έτσι Για είναι αρα και οπότε η εξίσωση απομάκρυνσης δίνεται από τη σχέση ( ) Δ 3. Μετά τη τοποθέτηση του σώματος Σ 2 επάνω στο Σ 1 μπορούμε να παρατηρήσουμε 3 Α.Α.Τ. του Σ 1 και του Σ 2, καθώς και κάθε μια ξεχωριστά. Όλες όμως γίνονται ταυτόχρονα άρα έχουν κοινή περίοδο Τ ενώ για το σύστημα Σ 1 και Σ 2 που ασκούνται μόνο δυνάμεις ελατηρίου και του βάρους όπως δείξαμε είναι Έτσι ισχύουν από τις παραπάνω σχέσεις εύκολα προκύπτει Δ 4. Στη νέα απλή αρμονική ταλάντωση του συστήματος Σ 1 και Σ 2 έχουμε: νέα γωνιακή συχνότητα αλλαγή της Θ.Ι. άρα και αλλαγή του πλάτους ταλάντωσης, για το οποίο ισχύει
από την οποία προκύπτει Βλέποντας μόνο την απλή αρμονική ταλάντωση του Σ 2 σε τυχαία θέση, η στατική τριβή Τ στ μάζι με το βάρος του σώματος W2 x παίζει το ρόλο της δύναμης επαναφοράς, οπότε έχουμε: παρατηρούμε πως για έχουμε
Επίσης η μέγιστη στατική τριβή δίνεται από τη σχέση Για να μη γλιστρά όμως το Σ 2 πάνω στο Σ 1 πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη από την οποία καταλήγουμε τελικά Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη