1
ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΚΑΙ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ: ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΔΥΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Σοφία Νταλαπέρα, Κωνσταντίνα Παναγιωτοπούλου, Ελένη Ροδίτη... 569 ΤΟ ΤΕΝΤΩΝΩ ΚΑΙ ΒΛΕΠΩ ΠΟΣΟ ΨΗΛΟΣ ΕΙΜΑΙ! ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΑΝΑΠΑΡΙΣΤΟΥΝ ΓΡΑΦΙΚΑ ΤΙΣ ΙΔΕΕΣ ΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ Μαρία Παπανδρέου, Ιωάννα Σοφιανοπούλου, Αναστασία Καλογιαννίδου, Μαρία Μπιρμπίλη... 579 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ Έφη Παπαριστοδήμου, Μαρία Μελετίου-Μαυροθέρη, Anna Serrado Bayes... 589 Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΡΥΘΜΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΔΟΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μάριος Πιττάλης, Δήμητρα Πίττα-Πανταζή & Κωνσταντίνος Χρίστου... 598 ΕΥΧΑΡΙΣΤΗΣΗ, ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ, ΕΥΚΟΛΗ ΜΑΘΗΣΗ ΑΥΤΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο (ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ) ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ; Χρυσάνθη Σκουμπουρδή... 608 ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΜΕΙOΝOΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/-ΤΡΙΩΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Στυλιανίδου Αγγελική, Ειρήνη Μπιζά... 618 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΧΩΡΟ ΜΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΙΘΟΥΣΑΣ: ΝΟΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΚΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΓΙΑ ΧΩΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τριαντάφυλλος Α. Τριανταφυλλίδης... 628 ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΟΤΑΝ ΑΝΑΣΚΕΥΑΖΟΥΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ Χρυσαυγή Τριανταφύλλου & Βασιλική Σπηλιωτοπούλου... 638 ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΛΥΝΟΥΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Αγγελική Τσαμπουράκη, Σόνια Καφούση... 648 ΔΙΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΤΩΝ ΓΟΝΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΦΑΣΕΙΣ Δήμητρα Τσουρέλη, Μαρία Καλδρυμίδου... 658 ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ: Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥΣ Μαρία Χειμωνή και Δήμητρα Πίττα-Πανταζή... 668 ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ Ε' ΤΑΞΗ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Χιοκτουρίδη Κυριακή, Χατζηκυριάκου Κων/νος, Ασημόπουλος Στέφανος... 678 ΤΡΟΠΟΙ ΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΤΗΣ ΠΡΟΚΑΤΑΛΗΨΗΣ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΠΡΑΞΕΙΣ, ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ Kωνσταντίνος Π. Χρήστου... 688 ΡΕΑΛΙΣΤΙΚA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤA ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Χριστοδούλου Θεοδώρα, Νικολάου Στυλιάνα, Ηλία Ιλιάδα, Γαγάτσης Αθανάσιος... 698 Η ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΕ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μαριλένα Β. Χρυσοστόμου & Κωνσταντίνος Χρίστου... 708 16
ΤΡΟΠΟΙ ΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΤΗΣ ΠΡΟΚΑΤΑΛΗΨΗΣ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΠΡΑΞΕΙΣ, ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ Kωνσταντίνος Π. Χρήστου (kpchristou@gmail.com) Τμήμα Νηπιαγωγών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Η παρούσα μελέτη εστιάζει στις δυσκολίες των μαθητών με τους ρητούς αριθμούς και εξετάζει τον τρόπο με τον οποίο επιδρά η προκατάληψη του φυσικού αριθμού (δηλ. η τάση να εφαρμόζονται ιδιότητες των φυσικών αριθμών σε μη-φυσικούς) σε αριθμητικές πράξεις και στην κατανόηση της διάταξης και της πυκνής δομής των ρητών. Τα αποτελέσματα μελέτης σε 189 μαθητές Ε και Στ τάξης έδειξαν ότι η προκατάληψη του φυσικού αριθμού επηρεάζει τους μαθητές να θεωρούν ότι σε πράξεις ανάμεσα σε δοσμένους αριθμούς και αριθμούς που λείπουν (π.χ., γίνεται 8:_=5;) οι αριθμοί που λείπουν είναι φυσικοί και οι πράξεις δίνουν πάντα συγκεκριμένα αποτελέσματα (ο πολ/σμός μεγαλώνει κι η διαίρεση μικραίνει). Η τάση αυτή συσχετίζεται θετικά με την κατανόηση των ιδιοτήτων των ρητών. ΕΙΣΑΓΩΓH Η παρούσα μελέτη εστιάζει στο ευρύτερο ζήτημα των δυσκολιών των μαθητών με την κατανόηση του ρητού αριθμού και πιο συγκεκριμένα διερευνά το φαινόμενο της προκατάληψης του φυσικού αριθμού στον τρόπο κατανόησης των ρητών. Ο όρος προκατάληψη του φυσικού αριθμού χρησιμοποιείται στη διεθνή βιβλιογραφία για να χαρακτηρίσει την τάση των μαθητών να χρησιμοποιούν ιδιότητες των φυσικών αριθμών σε μη-φυσικούς αριθμούς (Ni & Zhou, 2005), μια τάση που συχνά οδηγεί σε λάθη και χαμηλές επιδόσεις λόγω των διαφορών ανάμεσα στους φυσικούς αριθμούς και τους μη-φυσικούς. Η προκατάληψη του φυσικού αριθμού φαίνεται να είναι το αποτέλεσμα μιας καλά εδραιωμένης γνώσης για τον αριθμό που έχει τις ρίζες της στην αρχική κατανόηση του αριθμού που οργανώνεται από πολύ πρώιμη ηλικία γύρω από τους φυσικούς αριθμούς και την διαδικασία της απαρίθμησης (Gelman, 2000). Μια τέτοια αρχική κατανόηση του αριθμού ενισχύεται τα πρώτα χρόνια της σχολικής εκπαίδευσης με τη συστηματική χρήση των φυσικών αριθμών (Vosniadou, Vamvakoussi, & Skopeliti, 2008) καταλήγοντας να αποτελεί μια καλά διαμορφωμένη γνώση για το πως πρέπει να μοιάζει ο αριθμός και ποιες να είναι οι ιδιότητές του (Vamvakoussi, Van Dooren, & Verschaffel, 2012). Έτσι, οι μαθητές εμφανίζουν την τάση να θεωρούν ότι δεν υπάρχει κανένας αριθμός ανάμεσα σε δύο ψευτο-διαδοχικούς ρητούς αριθμούς, για παράδειγμα ανάμεσα στο 0.5 και το 0.6, καθώς θεωρούν ότι οι αριθμοί γενικώς είναι διακριτοί, όπως οι φυσικοί αριθμοί (Vamvakoussi et 688
al., 2012). Επίσης, έχουν την τάση να διατάσσουν τους ρητούς χρησιμοποιώντας ιδιότητες των φυσικών αριθμών, θεωρώντας, για παράδειγμα, ότι οι δεκαδικοί αριθμοί με τα περισσότερα ψηφία είναι και μεγαλύτεροι (π.χ., 2,346>2,8) (Nesher & Peled, 1986), ή ότι μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει τους μεγαλύτερους όρους (Moss, 2005). Ένα άλλο πεδίο της μαθηματικής δραστηριότητας που θα μπορούσε να επηρεαστεί από την προκατάληψη του φυσικού αριθμού και το οποίο σχετικά πρόσφατα επανεξετάστηκε μέσα από αυτή την προσέγγιση είναι οι πράξεις ανάμεσα σε αριθμούς ή/και σύμβολα που αναπαριστούν αριθμούς και πιο συγκεκριμένα η τάση να θεωρείται ότι η πρόσθεση και ο πολ/σμός πάντα μεγαλώνουν τους αριθμούς ενώ η αφαίρεση κι η διαίρεση τους μικραίνουν. Πολλοί ερευνητές στο παρελθόν είχαν επισημάνει αυτές τις παρανοήσεις στον τρόπο με τον οποίο λύνουν οι μαθητές λεκτικά προβλήματα (βλ. για παράδειγμα (Bell, Swan, & Taylor, 1981), ενώ ο Fischbein (1987), που ήταν πιθανότατα ο πρώτος που παρατήρησε το συγκεκριμένο φαινόμενο, υποστήριξε ότι οι μαθητές συνδέουν κατά απόλυτο τρόπο τις αριθμητικές πράξεις με συγκεκριμένα αποτελέσματα λόγω της ύπαρξης άδηλων, πρωτόγονων μοντέλων για κάθε πράξη, όπως για παράδειγμα του πολλαπλασιασμού ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Άλλοι ερευνητές επεσήμαναν ότι αυτά τα άδηλα μοντέλα είναι συμβατά και υποστηρίζονται από την αρχική γνώση των μαθητών για τους φυσικούς αριθμούς και την εμπειρία με πράξεις αποκλειστικά με τέτοιους αριθμούς (Christou, 2015; Vamvakoussi et al., 2012). Πιο συγκεκριμένα, η πρόσθεση και ο πολ/σμός ανάμεσα σε φυσικούς αριθμούς δίνει πάντα ως αποτέλεσμα αριθμούς μεγαλύτερους από τους αρχικούς αριθμούς (εκτός βέβαια αν εμπλέκονται το 0 ή το 1 αντίστοιχα), ενώ η αφαίρεση κι η διαίρεση ανάμεσα σε φυσικούς αριθμούς έχει ως αποτέλεσμα αριθμούς μικρότερους των αρχικών. Αυτό όμως δεν συμβαίνει όταν στις πράξεις εμπλέκονται μη-φυσικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, ο πολ/σμός με αριθμούς μικρότερους της μονάδας έχει ως αποτέλεσμα αριθμούς μικρότερους του πολλαπλασιαστή (π.χ., 8 1/2=4) ενώ η διαίρεση με αριθμό μικρότερο της μονάδας μεγαλώνει τους διαιρετέους (π.χ., 3:1/3=9). Όταν μάλιστα οι μαθητές μάθουν τους αρνητικούς αριθμούς, τότε παύει να ισχύει ότι η πρόσθεση πάντα μεγαλώνει τους αριθμούς κι η αφαίρεση πάντα τους μικραίνει [π.χ., 3+(-2)=5]. Σε πρόσφατες μελέτες που εξέτασαν αυτό το φαινόμενο δόθηκαν σε μαθητές γυμνασίου (Van Hoof, Vandewalle, Verschaffel, & Van Dooren, 2015) αλλά και σε ενήλικες συμμετέχοντες (Vamvakoussi, Van Dooren, & Verschaffel, 2013) ερωτήσεις όπως το 5+2x είναι πάντα μεγαλύτερο από 5; Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι πράγματι οι συμμετέχοντες είχαν ισχυρές διαισθητικές πεποιθήσεις για τα αποτελέσματα των πράξεων, που έπαιρναν τη μορφή γενικών κανόνων όπως ότι η πρόσθεση και ο πολ/σμός πάντα 689
μεγαλώνουν τους αριθμούς, ενώ η αφαίρεση κι η διαίρεση πάντα τους μικραίνουν. Παρόλα αυτά, σε προηγούμενη μελέτη (Χρήστου, 2014) εκφράστηκε η κριτική ότι οι απαντήσεις στα συγκεκριμένα έργα των Vamvakoussi και συνεργατών της (2013) και της Van Hoof και των συνεργατών της (2015) θα μπορούσαν να οφείλονται όχι μόνο στη χρήση γενικών κανόνων για τα αποτελέσματα των πράξεων αλλά και σε μία στρατηγική δοκιμής με συγκεκριμένους αριθμούς που αποδίδονται στα σύμβολα που αναπαριστούν αριθμούς (π.χ., στο x στην παραπάνω περίπτωση). Μια τέτοια στρατηγική θα επηρεάζονταν επίσης από την προκατάληψη του φυσικού αριθμού, η οποία θα ωθούσε τους μαθητές να αποδίδουν μόνο φυσικούς αριθμούς στα γράμματα, βγάζοντας συνολικά συμπεράσματα για το αποτέλεσμα των πράξεων στη βάση των αποτελεσμάτων των συγκεκριμένων δοκιμών. Υπήρχαν σημαντικές ενδείξεις για την ύπαρξη μιας τέτοιας στρατηγικής από ποιοτικές μελέτες με ατομικές συνεντεύξεις σε μαθητές Α Λυκείου, με ερωτήσεις όπως «ποιο είναι μεγαλύτερο το 5δ ή το 4/δ», όπου στην πλειοψηφία τους οι μαθητές απαντούσαν ότι το 5δ είναι «πάντα μεγαλύτερο γιατί είναι πολλαπλασιασμός ενώ το 4/δ είναι διαίρεση» και δικαιολόγησαν την απάντησή τους δοκιμάζοντας με μια σειρά φυσικών αριθμών (όπως 1, 2, 3), και με τον τρόπο αυτόν δικαιολογούσαν την αρχική τους απάντηση [βλ. επίσης (Christou & Vosniadou, 2012) (Van Hoof et al., 2015)]. Η θέση αυτή υποστηρίζονταν επίσης από παλιότερες μελέτες που έδειχναν ότι μαθητές μέχρι και Α Λυκείου έχουν την τάση να αποδίδουν μόνο φυσικούς αριθμούς στα γράμματα δοσμένων αλγεβρικών παραστάσεων με αποτέλεσμα να θεωρούν ότι το 4γ αναπαριστά φυσικούς αριθμούς πολλαπλάσιους του 4, ενώ η παράσταση κ+3 αναπαριστά μόνο φυσικούς αριθμούς μεγαλύτερους του 3 (Christou & Vosniadou, 2012). Παρόλα αυτά έλειπαν δεδομένα από ποσοτικές μελέτες που να υποστηρίζουν αυτή τη διπλή επίδραση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού στις πράξεις με αριθμούς που λείπουν. Προηγούμενη μελέτη (Christou, 2015; Χρήστου, 2014) κάλυψε αυτό το κενό, καθώς με χρήση ερωτηματολόγιου σε δείγμα μαθητών Ε και Στ Δημοτικού, παρουσιάστηκαν ποσοτικά δεδομένα που υποστήριζαν την υπόθεση ότι η τάση των μαθητών να περιμένουν συγκεκριμένα αποτελέσματα από κάθε αριθμητική πράξη είναι αποτέλεσμα επίδρασης της προκατάληψης του φυσικού αριθμού, που επηρεάζει και τις δύο βασικές στρατηγικές που φαίνεται να χρησιμοποιούν για να απαντήσουν σε αυτές τις ερωτήσεις: α) τη στρατηγική να βασίζονται σε γενικούς κανόνες για το αποτέλεσμα κάθε πράξης, κανόνες που είναι επηρεασμένοι από διαισθητικές πεποιθήσεις για τα αποτελέσματα κάθε πράξης (δηλ. η πρόσθεση και ο πολ/σμός μεγαλώνουν, η αφαίρεση και η διαίρεση μικραίνουν), και β) τη στρατηγική να δοκιμάζουν συγκεκριμένους αριθμούς, η οποία επηρεάζεται από την τάση τους να θεωρούν ότι τα σύμβολα που αναπαριστούν αριθμούς μπορούν να αντικατασταθούν μόνο με φυσικούς αριθμούς. 690
Η παρούσα μελέτη χρησιμοποιεί την ίδια μεθοδολογία σε νέο και μεγαλύτερο δείγμα μαθητών για να τεκμηριώσει καλύτερα τα αποτελέσματα της προηγούμενης μελέτης όσον αφορά την επίδραση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού στις αριθμητικές πράξεις (Christou, 2015; Χρήστου, 2014). Ταυτόχρονα πάει ένα βήμα παραπέρα και εξετάζει τον τρόπο με τον οποίο συσχετίζεται η επίδραση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού στις αριθμητικές πράξεις με την επίδρασή της στην κατανόηση της έννοιας του ρητού αριθμού. Για το λόγο αυτό οι μαθητές κλήθηκαν να απαντήσουν όχι μόνο σε ερωτήσεις με αριθμητικές πράξεις αλλά και να διατάξουν μια σειρά από δεκαδικούς και κλάσματα και να απαντήσουν σε ερωτήσεις που αφορούσαν την πυκνότητα της δομής τους. ΜΕΘΟΔΟΣ Συμμετέχοντες Στην παρούσα μελέτη συμμετείχαν 189 μαθητές/τριες Ε και ΣΤ Δημοτικού 104 ήταν αγόρια και 85 κορίτσια 73 από την Ε και 116 από την ΣΤ τάξη Δημοτικού σχολείου της Ελλάδας. Ήδη από την Δ Δημοτικού οι μαθητές μαθαίνουν ιδιότητες των ρητών και πράξεις με ρητούς αριθμούς. Υλικά - Διαδικασία Στους συμμετέχοντες δόθηκε να συμπληρώσουν ένα έντυπο τεστ με 34 ερωτήσεις κλειστού τύπου, ένα μέρος του οποίου παρουσιάζεται εδώ. Οι πρώτες 28 ερωτήσεις/έργα αφορούσαν πράξεις ανάμεσα σε δοσμένους αριθμούς και κενά που συμβόλιζαν αριθμούς που λείπουν, όπου επίσης δίνονταν το αποτέλεσμα της κάθε πράξης (π.χ., 2:_=5). Ζητήθηκε από τους μαθητές να επιλέξουν αν «γίνεται» ή «δεν γίνεται» να ισχύει μια τέτοια ισότητα, δηλαδή αν γίνεται να βρεθεί τέτοιος αριθμός που θα έδινε στη συγκεκριμένη αναγραφόμενη πράξη το δοσμένο αποτέλεσμα, χωρίς απαραίτητα να πουν ποιος είναι αυτός ο αριθμός. Υπήρχαν τρεις κατηγορίες έργων: 4 έργα στα οποία η αναγραφόμενη πράξη και το αποτέλεσμα ήταν συμβατά με τις διαισθητικές πεποιθήσεις των μαθητών για τα αποτελέσματα των πράξεων (δηλαδή ο πολ/σμός μεγάλωνε, ενώ η διαίρεση μίκραινε) και όπου οι αριθμοί που έλειπαν ήταν φυσικοί αριθμοί (π.χ., 7 _=21) άλλα 4 έργα με αποτελέσματα συμβατά με τις διαισθητικές πεποιθήσεις των μαθητών για τα αποτελέσματα των πράξεων όπου οι αριθμοί που έλειπαν ήταν ρητοί (π.χ., 6 _=11) και 8 έργα στα οποία παραβιάζονταν οι διαισθητικές πεποιθήσεις των μαθητών για τα αποτελέσματα των αριθμητικών πράξεων (π.χ., 2:_=5). Στα αντίστοιχα έργα πρόσθεσης και αφαίρεσης (π.χ., 8+_=3) η σωστή απάντηση για τους μαθητές αυτής της ηλικίας είναι «δεν γίνεται» κι έτσι αυτές οι ερωτήσεις λειτουργούν ως εξουδετερωτές της συνεχόμενης απάντησης «γίνεται» που είναι και η μόνη σωστή στα έργα πολ/σμού και διαίρεσης. Αυτό συμβαίνει γιατί οι μαθητές αυτής της ηλικίας δεν έχουν ακόμα μάθει τους αρνητικούς 691
αριθμούς κι έτσι δεν έχει ακόμα παραβιαστεί η αρχική πεποίθησή τους ότι η πρόσθεση πάντα μεγαλώνει ενώ η αφαίρεση πάντα μικραίνει τους αριθμούς. Στο δεύτερο μέρος του ερωτηματολογίου δόθηκαν έξι ερωτήσεις κλειστού τύπου με την μορφή ανισωτικής σχέσης ανάμεσα στην πράξη δύο δοσμένων αριθμών, όπου το σύμβολο της πράξης έλειπε, και ένα δοσμένο αριθμητικό αποτέλεσμα (π.χ., 3_10>3) οι μαθητές καλούνταν να επιλέξουν ανάμεσα σε «πολλαπλασιασμό» ή «διαίρεση» την πράξη η οποία θα ικανοποιούσε τη σχέση. Δύο από αυτά τα έργα ήταν συμβατά με τις διαισθήσεις των μαθητών ότι ο πολ/σμός πάντα μεγαλώνει ενώ η διαίρεση μικραίνει, κι έτσι αν οι μαθητές τα απαντούσαν βασιζόμενοι σε αυτές τους τις πεποιθήσεις θα απαντούσαν σωστά (π.χ., 3_10>3), ενώ στα υπόλοιπα τέσσερα έργα με αυτόν τον τρόπο θα απαντούσαν λανθασμένα (π.χ., 6_0.2<6). Στο τρίτο μέρος του ερωτηματολόγιου δόθηκαν μια σειρά ερωτήσεων που αφορούσαν την κατανόηση των ρητών αριθμών. Ζητήθηκε από τους μαθητές να διατάξουν ένα σετ μοναδιαίων κλασμάτων (1/7, 1/5, 1/3, 1/11), ένα σετ κλασμάτων (1/2, 3/2, 1, 1/4) και ένα σετ δεκαδικών (0.12, 1.549, 0.4, 0.387), από το μικρότερο στο μεγαλύτερο,. Επίσης τους ζητήθηκε να απαντήσουν πόσοι αριθμοί θεωρούν ότι υπάρχουν ανάμεσα σε δύο αριθμούς που ορίζονταν από τα ζεύγη: 0 και 1, 0.005 και 0.006, 1/3 και 2/3, επιλέγοντας μία από τρεις δοσμένες απαντήσεις που δόθηκαν σε τυχαία σειρά: α) δεν υπάρχει κανείς, β) υπάρχουν κάποιοι αριθμοί που θα μπορούσαμε να τους ονομάσουμε όλους έναν προς έναν, και γ) υπάρχουν τόσοι πολλοί που δεν θα μπορούσαμε να τους ονομάσουμε έναν προς έναν. Οι τρεις εναλλακτικές απαντήσεις αντιστοιχούν στους τρεις πιο συνηθισμένους τρόπους απάντησης παρόμοιων ερωτήσεων, όπως έχουν εμφανιστεί στη βιβλιογραφία (βλ. Vamvakoussi & Vosniadou, 2010). Σε αυτές τις τρεις εναλλακτικές απαντήσεις αντανακλώνται τρία βασικά επίπεδα κατανόησης της δομής των ρητών: μια λανθασμένη κατανόηση όπου αποδίδεται στους ρητούς η ιδιότητα της διακριτότητας των φυσικών αριθμών (εναλλακτική α), η ορθή κατανόηση της πυκνότητας των ρητών (βλ. εναλλακτική γ) και ένα ενδιάμεσο επίπεδο ανάμεσα στα δύο προηγούμενα (βλ. εναλλακτική β) που χαρακτηρίζεται από μια εκλεπτυσμένη διακριτότητα (Vamvakoussi & Vosniadou, 2010). Οι μαθητές συμπλήρωσαν τα ερωτηματολόγια στην τάξη τους παρουσία του δασκάλου τους και του ερευνητή, σε 40 που ήταν επαρκής χρόνος για την πλήρη συμπλήρωση του ερωτηματολογίου. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οι λανθασμένες απαντήσεις των μαθητών βαθμολογήθηκαν με 0 ενώ οι σωστές με 1. Η αξιοπιστία του συνόλου του ερωτηματολογίου ήταν αρκετά υψηλή (Cronbach s Αlpha=.716). Ανάλυση διασποράς της συνολικής επίδοσης δεν έδειξε σημαντικές διαφορές που να οφείλονται στο φύλο [F(1, 692
181) = 0.027, p =.869, η p 2 =.000], ή την τάξη [F(1, 181) =.292, p =.590, η p 2 =.002], που δείχνει ότι αυτές οι δυσκολίες δεν είχαν ξεπεραστεί από τους μεγαλύτερους μαθητές. Για την ανάλυση των απαντήσεων στο πρώτο μέρος του ερωτηματολογίου υπολογίστηκαν οι μέσοι όροι επίδοσης στις τέσσερις κατηγορίες έργων με πράξεις ανάμεσα σε αριθμούς που λείπουν, όπως αυτές περιγράφονται παραπάνω τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Όπως ήταν αναμενόμενο, οι μαθητές έδειξαν την υψηλότερη επίδοση στα έργα που ήταν συμβατά με τις διαισθητικές τους πεποιθήσεις για τα αποτελέσματα των πράξεων και οι αριθμοί που έλειπαν ήταν φυσικοί. Τα ελάχιστα λάθη που εμφανίζονται σε αυτή την κατηγορία δείχνουν ότι τα έργα έγιναν κατανοητά από τους μαθητές και ήταν μέσα στο εύρος των δυνατοτήτων τους. Μεταβλητή N Min Max Μέσος Όρος Τυπική Απόκλιση Συμβατά με ΦΑ 189.14 1.844.188 Συμβατά με μη-φα 189 0 1.434.192 Μη-Συμβατά 189 0 1.196.211 Εξουδετερωτές 189 0 1.096.186 Πίνακας 1: Μέσες επιδόσεις των μαθητών στα έργα με αριθμητικές πράξεις Τα αποτελέσματα ελέγχου t-test υποστήριξαν τη βασική υπόθεση για την διπλή επίδραση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού στις πράξεις με αριθμούς που λείπουν, καθώς έδειξαν ότι η επίδοση των μαθητών στα έργα που ήταν συμβατά με τις διαισθητικές τους πεποιθήσεις για τα αποτελέσματα των πράξεων και που οι αριθμοί που έλειπαν ήταν φυσικοί ήταν σημαντικά υψηλότερη από τις επιδόσεις στα έργα που ήταν μεν συμβατά με τις πεποιθήσεις τους για τα αποτελέσματα των πράξεων αλλά οι αριθμοί που έλειπαν ήταν ρητοί t(188) = 28.412, p<.001. Επίσης, οι μαθητές σημείωσαν σημαντικά χαμηλότερες επιδόσεις στα έργα που ήταν συμβατά με τις διαισθητικές τους πεποιθήσεις για τις πράξεις και στις οποίες οι αριθμοί που έλειπαν ήταν ρητοί σε σχέση με τα έργα τα οποία παραβίαζαν τις διαισθητικές πεποιθήσεις τους για τα αποτελέσματα των αριθμητικών πράξεων t(188) = 14.08, p<.001. Οι μαθητές του δείγματος απάντησαν στα έργα που λειτουργούσαν ως εξουδετερωτές με αρνητικό τρόπο (δεν γίνεται) και η επίδοσή τους σε αυτά ήταν πολύ χαμηλή, σημαντικά χαμηλότερη ακόμα κι από τις επιδόσεις τους στα έργα που παραβίαζαν τις πεποιθήσεις τους για τα αποτελέσματα των πράξεων t(188) = 6.576, p<.001. Στο δεύτερο μέρος του ερωτηματολογίου, όπου οι μαθητές έπρεπε να επιλέξουν την πράξη (πολ/σμό ή διαίρεση) που θα έκανε τη δοσμένη 693
ανίσωση ορθή, τα αποτελέσματα έδειξαν επίσης σημαντικά καλύτερες επιδόσεις στα έργα που ήταν συμβατά με τις διαισθητικές τους πεποιθήσεις που αφορούν τα αποτελέσματα των πράξεων (M =.767, SD =.359), σε σχέση με τα υπόλοιπα έργα που τις παραβίαζαν (M =.416, SD =.427), t(188) = 8.454, p<.001. Όσον αφορά τις επιδόσεις στο τρίτο μέρος του ερωτηματολογίου, οι συχνότητες και τα ποσοστά των σωστών και λανθασμένων απαντήσεων στις ερωτήσεις διάταξης των ρητών αριθμών παρουσιάζονται στον Πίνακα 2 και οι απαντήσεις στις ερωτήσεις για την κατανόηση της πυκνής δομής των ρητών παρουσιάζονται στον Πίνακα 3. Οι χαμηλές επιδόσεις που εμφανίζονται στους Πίνακες 2 και 3, δείχνουν ότι οι μαθητές εμφανίζουν μεγάλες δυσκολίες και λάθη σε ερωτήσεις κατανόησης των ρητών αριθμών, που θα μπορούσαν να εξηγηθούν από το φαινόμενο της προκατάληψης του φυσικού αριθμού. Λάθος Σωστό Διάταξη μοναδιαίων κλασμάτων 106 (56.1%) 83 (43.9%) Διάταξη κλασμάτων 140 (74.1%) 49 (25.9%) Διάταξη δεκαδικών 120 (63.5%) 69 (36.5%) Πίνακας 2: Επιδόσεις στα έργα διάταξης ρητών αριθμών Λάθος (εναλ. α) Ενδιάμεσο (εναλ. β) Σωστό (εναλ. γ) Αριθμοί ανάμεσα στο 0 και 1 63 (33.3%) 69 (36.5%) 57 (30.2%) Αριθμοί ανάμεσα στο 0.005 και 0.006 112 (59.3%) 39 (20.6%) 38 (20.1%) Αριθμοί ανάμεσα στο 1/3 και 2/3 95 (50.3%) 55 (29.1%) 39 (20.6%) Πίνακας 3: Επιδόσεις στα έργα πυκνότητας των ρητών αριθμών Ανάλυση συσχέτισης κατά Pearson έδειξε ότι υπάρχει θετική συσχέτιση ανάμεσα στην επίδοση στα έργα αριθμητικών πράξεων με αριθμούς που λείπουν και στα έργα ανισώσεων όπου έλειπε το σύμβολο της πράξης r(189)=.172, p<.05. Επίσης, οι επιδόσεις των μαθητών στα έργα με αριθμητικές πράξεις ήταν θετικά συσχετιζόμενες με τις επιδόσεις τους στη διάταξη μοναδιαίων κλασμάτων r(189)=.146, p<.05, δεκαδικών r(189)=.163, p<.05 και κλασμάτων r(189)=.219, p<.001, όπως επίσης και με τα έργα που εξέταζαν τη κατανόηση της πυκνότητας των ρητών αριθμών: δηλαδή με τις επιδόσεις στην ερώτηση αν υπάρχουν αριθμοί ανάμεσα σε 0 και 1 [r(189)=.139, p<.05], ανάμεσα σε 0.005 και 0.006 [r(189)=.144, p<.05] και ανάμεσα σε 1/2 και 2/3 [r(189)=.148, p<.05]. Αντίθετα, οι επιδόσεις στις ανισώσεις όπου έλειπε το σύμβολο της πράξης δεν φάνηκε να 694
συσχετίζονται σημαντικά ούτε με τις επιδόσεις στις ερωτήσεις διάταξης, ούτε με τις επιδόσεις στις ερωτήσεις για την πυκνότητα των ρητών. ΣΥΖΗΤΗΣΗ Τα αποτελέσματα της μελέτης έδειξαν ότι ακόμη και στο τέλος της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης κι ενώ οι μαθητές έχουν διδαχθεί πράξεις με μηφυσικούς αριθμούς ήδη από την Δ Δημοτικού, παρόλα αυτά δείχνουν μια ισχυρή τάση να χρησιμοποιούν ιδιότητες των φυσικών αριθμών σε περιπτώσεις που εμπλέκονται μη-φυσικοί αριθμοί, κάτι που προκαλεί λάθη και χαμηλές επιδόσεις. Η τάση αυτή ονομάζεται συχνά προκατάληψη του φυσικού αριθμού (Ni & Zhou, 2005; Vamvakoussi & Vosniadou, 2010). Στην περίπτωση των αριθμητικών πράξεων ανάμεσα σε δοσμένους αριθμούς και αριθμούς που λείπουν η προκατάληψη αυτή επηρεάζει τους μαθητές με δύο τρόπους: α) επιδρά στη δημιουργία διαισθητικών πεποιθήσεων όσον αφορά τα αποτελέσματα των πράξεων, που παίρνουν τη μορφή γενικών κανόνων όπως ότι ο πολ/σμός πάντα μεγαλώνει τους αριθμούς ενώ η διαίρεση τους μικραίνει, και β) ωθεί τους μαθητές να σκέφτονται κατά προτεραιότητα με φυσικούς αριθμούς για τα σύμβολα που αναπαριστούν αριθμούς που λείπουν. Οι τάσεις αυτές εμφανίστηκαν να είναι αρκετά ισχυρές καθώς στα δύο πρώτα μέρη του ερωτηματολογίου οι επιδόσεις των μαθητών στα έργα που ήταν συμβατά με τις πεποιθήσεις αυτές ήταν σημαντικά υψηλότερες από τις επιδόσεις τους στα έργα τα οποία τις παραβίαζαν. Επίσης, οι επιδόσεις των μαθητών στα έργα όπου οι αριθμοί που έλειπαν ήταν φυσικοί ήταν σημαντικά καλύτερες απ ότι στα έργα όπου οι αριθμοί που έλειπαν ήταν ρητοί, όταν και στις δύο κατηγορίες οι διαισθητικές πεποιθήσεις των μαθητών για τα αποτελέσματα των πράξεων δεν παραβιάζονταν. Η τάση των μαθητών να απαντούν, για παράδειγμα, ότι γίνεται 7 _=21 αλλά δεν γίνεται 6 _=11, ενώ και στις δύο περιπτώσεις ο πολ/σμός μεγαλώνει, ερμηνεύτηκε ως δυσκολία να σκεφτούν ρητούς αριθμούς στη θέση των αριθμών που λείπουν. Τα αποτελέσματα αυτά είναι συμβατά με αυτά προηγούμενης μελέτης που χρησιμοποίησε τα ίδια έργα σε άλλο δείγμα μαθητών (Χρήστου, 2014) και ενισχύουν αντίστοιχα αποτελέσματα προηγούμενων μελετών για τις πεποιθήσεις σε σχέση με τα αποτελέσματα των πράξεων (Fischbein, 1987; Vamvakoussi et al., 2012; Van Hoof et al., 2015) καθώς και για την τάση των μαθητών να θεωρούν ότι κατά προτεραιότητα οι αριθμοί που λείπουν είναι φυσικοί αριθμοί (Christou & Vosniadou, 2012). Ένα επίσης σημαντικό εύρημα της παρούσας μελέτης είναι ότι οι δύο βασικές στρατηγικές για να γίνονται εκτιμήσεις για τα αποτελέσματα των πράξεων, δηλαδή η χρήση γενικών κανόνων όπως ο πολ/σμός πάντα μεγαλώνει ή η δοκιμή με συγκεκριμένους αριθμούς, συσχετίζονται μεταξύ τους με αρκετά πολύπλοκους τρόπους. Όπως φάνηκε από τα αποτελέσματα των ελέγχων 695
συσχετίσεων, η επίδοση των μαθητών στα έργα με αριθμητικές πράξεις συσχετίζεται θετικά με την επίδοση στα έργα επιλογής της κατάλληλης πράξης που θα έκανε μια ανίσωση σωστή. Επιπροσθέτως, θετική ήταν η συσχέτιση ανάμεσα στην επίδοση στις αριθμητικές πράξεις και στα άλλα έργα που αφορούν την κατανόηση των ιδιοτήτων των ρητών αριθμών, όπως η διάταξή τους και η πυκνότητα της δομής τους. Από την άλλη μεριά, η επίδοση των μαθητών στα έργα που αφορούσαν τις ιδιότητες των ρητών δεν συσχετίζονταν με τις επιδόσεις στα έργα επιλογής της σωστής πράξης στις ανισώσεις. Αυτά τα αποτελέσματα θα μπορούσαν να οφείλονται στο ότι, όπως φάνηκε από την ανάλυση των επιδόσεων στο πρώτο μέρος του ερωτηματολογίου, τα έργα με αριθμητικές πράξεις χρειάζονται σκέψη όχι μόνο πάνω στο τι κάνει κάθε πράξη αλλά και πάνω στους ίδιους τους αριθμούς που εμπλέκονται στις πράξεις, κάτι που επίσης συμβαίνει όταν οι μαθητές πρέπει να απαντήσουν στις ερωτήσεις που αφορούν τις ιδιότητες των ρητών. Αυτό όμως δεν συμβαίνει απαραίτητα στην περίπτωση των ερωτήσεων για τις ανισώσεις, καθώς αυτές θα μπορούσαν να απαντηθούν με επίκληση μόνο γενικών κανόνων που αφορούν τα αποτελέσματα των πράξεων (π.χ., ο πολ/σμός πάντα μεγαλώνει), χωρίς εστίαση στους αριθμούς που εμπλέκονται. Έτσι θα μπορούσε να εξηγηθεί και γιατί οι επιδόσεις σε αυτά τα έργα επιλογής πράξης δεν συσχετίζονταν με τις επιδόσεις στα έργα κατανόησης των ιδιοτήτων των ρητών αριθμών. Με άλλα λόγια, με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, θα μπορούσε να ισχυριστεί κανείς ότι για τους μαθητές είναι ένα πράγμα τι κάνουν οι αριθμοί (π.χ., πώς διατάσσονται, πόσο πυκνή είναι η δομή τους) και ένα άλλο τι κάνουν οι πράξεις (π.χ., η διαίρεση πάντα μικραίνει). Ως αποτέλεσμα, αυτές οι δύο στρατηγικές της εκτίμησης των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων, ενώ φαίνεται να διακρίνονται η μία από την άλλη, ταυτόχρονα και οι δύο επηρεάζονται από την προκατάληψη του φυσικού αριθμού, έστω και με διαφορετικούς τρόπους η καθεμιά, όπως αναφέρθηκε παραπάνω (βλ. επίσης Christou, 2015). Περαιτέρω μελέτη είναι βεβαίως απαραίτητη για να διερευνηθούν σε βάθος οι διαφορετικοί τρόποι προσέγγισης των αριθμητικών πράξεων και οι σχέσεις μεταξύ τους. Για να καταφέρουν οι μαθητές να δεχθούν ότι είναι δυνατόν ο πολ/σμός, για παράδειγμα, να μικρύνει τον αριθμό, θα πρέπει να απαλλαγούν από τις διαισθητικές τους πεποιθήσεις για τα αποτελέσματα των πράξεων και να καταφέρουν να αναπτύξουν την έννοια του αριθμού πέρα από τα όρια του φυσικού αριθμού αποκτώντας μια πιο μαθηματικώς εκλεπτυσμένη κατανόηση για τον αριθμό που να είναι πιο κοντά στην μαθηματική έννοια του πραγματικού αριθμού. Αυτού του τύπου η μάθηση απαιτεί αναδιοργάνωση της προϋπάρχουσας γνώσης για τους φυσικούς αριθμούς, ενέχει αυξημένες δυσκολίες και απαιτεί χρόνο (Vosniadou et al., 2008). Στα αποτελέσματα άλλωστε δεν εμφανίστηκαν σημαντικές διαφορές ανάμεσα στις επιδόσεις των μαθητών της Ε και ΣΤ τάξης, κάτι που δείχνει ότι οι μαθητές δεν αλλάζουν 696
εύκολα αυτές τους τις πεποιθήσεις. Για τον λόγο αυτόν χρειάζεται διαρκής υποστήριξη τόσο σε γνωστικό επίπεδο (π.χ., χρήση παραδειγμάτων όπου οι πράξεις δίνουν αποτελέσματα διαφορετικά από τις διαισθήσεις των μαθητών), όσο και σε συναισθηματικό επίπεδο (π.χ., ενίσχυση μεταγνωστικών δεξιοτήτων, παροχή κινήτρων για αλλαγή των λανθασμένων πεποιθήσεων). Βιβλιογραφία: Bell, A., Swan, M., & Taylor, G. (1981). Choice of operation in verbal problems with decimal numbers. Educational Studies in Mathematics, 12, 399-420. Christou, K. P. (2015). Natural number bias in operations with missing numbers. ZDM Mathematics Education, 47(5), 747-758. Christou, K. P., & Vosniadou, S. (2012). What kinds of numbers do students assign to literal symbols? Aspects of the transition from arithmetic to algebra. Mathematical Thinking and Learning, 14(1), 1-27. Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Press. Gelman, R. (2000). The epigenesis of mathematical thinking. Journal of Applied Developmental Psychology, 21, 27-37. Nesher, P., & Peled, I. (1986). Shifts in reasoning. Educational Studies in Mathematics, 17(1), 67-79. Ni, Y. J., & Zhou, Y.-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27-52. Vamvakoussi, X., Van Dooren, W., & Verschaffel, L. (2012). Naturally biased? In search for reaction time evidence for a natural number bias in adults. The Journal of Mathematical Behavior, 31, 344 355. Vamvakoussi, X., Van Dooren, W., & Verschaffel, L. (2013). Educated adults are still affected by intuitions about the effect of arithmetical operations: evidence from a reaction-time study. Educational Studies in Mathematics, 82(2), 323-330. Van Hoof, J., Vandewalle, J., Verschaffel, L., & Van Dooren, W. (2015). In search for the natural number bias in secondary school students' interpretation of the effect of arithmetical operations. Learning and Instruction, (37), 30-38 Vosniadou, S, Vamvakoussi, X, & Skopeliti, E. (2008). The framework theory approach to conceptual change. In S. Vosniadou (Ed.), Handbook of research on conceptual change (pp. 3-34). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Χρήστου, Κ. Χ. (2014). Η προκατάληψη του φυσικού αριθμού στις αριθμητικές πράξεις. Στο Μαθηματικά στο σχολείο και την καθημερινή ζωή - Πρακτικά του 5ου Συνεδρίου της Ένωσης Ερευνητών Διδακτικής των Μαθηματικών (ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ) (σελ. 1-10). Φλώρινα, Ελλάδα. 697