ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 21/01/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. (Τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού (Tipp-ex). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Πρόβλημα 1: Δίνονται πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι θετικός ακέραιος και να υπολογίσετε το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του. Γράφουμε γενικότερα Επειδή από την υπόθεση έχουμε, παίρνουμε Επομένως, Όμως, και από τα δεδομένα του προβλήματος, έχουμε Άρα η γίνεται Χρησιμοποιώντας την αναδρομική σχέση με, θα πάρουμε διαδοχικά Επομένως, ο αριθμός είναι ακέραιος με άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του να είναι
Πρόβλημα 2 : Δυο κυβικές δεξαμενές γεμάτες νερό έχουν ακμές τους ακέραιους αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε, όπου το είναι πρώτος αριθμός. Αν από κάθε δεξαμενή αφαιρέσουμε 2 κυβικές μονάδες νερού, η αριθμητική τιμή του όγκου του νερού που απομένει και στις δυο δεξαμενές διαιρείται με τον. Να βρείτε όλα τα δυνατά ζεύγη. Αν, τότε, δηλαδή Όμως τότε ο όγκος του νερού που θα απομείνει στις δύο δεξαμενές θα ήταν άτοπο. Επομένως από το οποίο παίρνουμε. Έχουμε [ ] [ ] [ ] [ ] [ ( )] Αφού από την υπόθεση έχουμε ότι η τελευταία εξίσωση γίνεται [ ( )] Παρατηρούμε όμως ότι ( ) Γνωρίζουμε όμως ότι, άρα η τελευταία ανισότητα γράφεται ( ) Δηλαδή ο αριθμός ( ) βρίσκεται μεταξύ του και του διπλασίου του, και άρα δεν διαιρείται με το Άρα από την έχουμε ότι Επομένως Οι μόνες δυνατές λύσεις της τελευταίας ανίσωσης είναι Όμως αφού υποθέσαμε ότι συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχουν ζεύγη που να ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος.
Πρόβλημα 3: Δίνεται το σύνολο { } πέντε πραγματικών αριθμών. Σχηματίζουμε όλα τα υποσύνολα { } του με τρία στοιχεία. Αν η διαφορά του αθροίσματος των στοιχείων κάθε υποσυνόλου πλην το άθροισμα των στοιχείων του που δεν ανήκουν στο υποσύνολο είναι θετικός αριθμός, α) να βρείτε την τιμή του και β) να αποδείξετε ότι το γινόμενο όλων των δυνατών διαφορών που σχηματίζονται είναι μικρότερο ή ίσον από το γινόμενο των τετραγώνων των πέντε στοιχείων του συνόλου. α) όλα τα δυνατά υποσύνολα με τρία στοιχεία του συνόλου { } είναι β) Για οι δέκα διαφορές που σχηματίζονται μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες με Επομένως, για κάθε παίρνουμε Άρα, Επειδή,, πολλαπλασιάζοντας τις πέντε ανισότητες για, παίρνουμε ή
Πρόβλημα 4: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με τα ύψη του ( τα σημεία είναι τα ίχνη των υψών πάνω στις πλευρές αντίστοιχα) και το σημείο τομής των υψών του τριγώνου. Φέρουμε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Πάνω στην παίρνουμε σημεία και τέτοια ώστε το ύψος να διέρχεται από το μέσον του τμήματος και το ύψος να διέρχεται από το μέσον του τμήματος Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και το σημείο τομής των ευθειών να αποδείξετε ότι: i. ii. Τα σημεία είναι ομοκυκλικά iii. Το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων είναι το σημείο i. Από το εγγράψιμο τετράπλευρο, παίρνουμε Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι Δηλαδή, αρκεί Έστω, τα μέσα των τμημάτων που βρίσκονται από την υπόθεση πάνω στα ύψη αντίστοιχα. Ξέρουμε όμως ότι τα ύψη του τριγώνου είναι και διχοτόμοι των γωνιών του ορθικού τριγώνου Επομένως στο τρίγωνο το είναι διάμεσος και διχοτόμος. Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με Όμοια Επομένως είναι ύψη του τριγώνου. Όμως τα βρίσκονται πάνω στις ευθείες που συντρέχουν στο Άρα και το τρίτο ύψος του, από την κορυφή διέρχεται από το Επομένως. Αφού όμως, συμπεραίνουμε ότι όπως θέλαμε. ii. Από το ισοσκελές τρίγωνο παίρνουμε Επίσης από την ισότητα των τριγώνων Από τις και έχουμε ότι εγγράψιμο, άρα ομοκυκλικά. Από το σχήμα έχουμε, έχουμε, επομένως το τετράπλευρο
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε Όμως, τα είναι μέσα των πλευρών αντίστοιχα του τριγώνου,άρα επομένως,. Συνεπώς, Δηλαδή το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, και επομένως Από την, παίρνουμε Επομένως τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Άρα συμπεραίνουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά. iii. Το σημείο είναι το περίκεντρο του Επομένως Επομένως, τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Επίσης τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του διέρχεται από το σημείο Επίσης από τα προηγούμενα, ο περιγεγραμμένος κύκλος του διέρχεται από το σημείο