ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Διάρκεια ώρες. Θέμα. Θεωρηστε ενα συστημα δυο σωματων ισων μαζων (μαζας Μ το καθενα) και δυο ελατηριων (χωρις μαζα) με σταθερες ελατηριων Κ, Κ που κινουνται χωρις τριβες πανω σε ενα οριζοντιο τραπεζι, οπως δειχνει το διπλανο σχημα. Ο λογος των σταθερων Κ και Κ των ελατηριων ειναι Κ /Κ = 3/. Υπολογιστε το λογο των συχνοτητων των κανονικων τροπων ταλαντωσης του συστηματος. Θέμα. Ευκαμπτη χορδη με μηκος L και γραμμικη πυκνοτητα μ εχει σταθερα ακρα και τεινεται με ταση Τ. Διεγειρουμε τη χορδη τη χρονικη στιγμη t= χτυπωντας την ετσι, ωστε ολη η χορδη να εχει μηδενικη αρχικη απομακρυνση και μηδενικη ταχυτητα, εκτος απο το τμημα (L/ α/, L/ + α/ ) που αποκτα αμεσως αρχικη ταχυτητα υ. Υπολογιστε τα πλατη των αρμονικων συνιστωσων που συμβαλλουν στην κινηση της χορδης. Θέμα 3. Ηλεκτρομαγνητικο κυμα διαδιδεται σε μεσο με δεικτη διαθλασης n. Έστω οτι υ φ και υ g ειναι αντιστοιχα η ταχυτητα φασης και η ταχυτητα ομαδας του κυματος. (α) Αν η κυκλικη συχνοτητα ω του κυματος συνδεεται με τον αντιστοιχο κυματικο αριθμο k με τη σχεση ω = α + c k οπου α σταθερα και c η ταχυτητα του φωτος, δειξτε οτι υ φ > c, υ g > c και υ φ υ g = c. (β) Αν λ ειναι το μηκος κυματος στο κενο, δειξτε τη σχεση υ g = υ φ λ c dn dλ
ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Θέμα 4. Δυο συμφωνες σημειακες πηγες υδατινων κυματων Α και Β βρισκονται σε αποσταση d και διεγειρονται απο κοινη πηγη. Τα κυματα που παραγονται εχουν μηκος κυματος λ και συμβαλλουν. Έστω Ο το μεσω της ΑΒ. Θεωρηστε τη διευθυνση ΟΡ που σχηματιζει γωνια θ=45 ο με την ΑΒ. Έστω r η αποσταση ΟΡ τυχοντος σημειου P της ΟΡ απο το Ο και d η αποσταση των δυο πηγων. Για ποιες τιμες του d τα σημεια της ΟΡ με r >> d εχουν ελαχιστη απομακρυνση;
ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Τυπολόγιο: A( BC) B( C A) C ( A B), A( BC) ( AC) B ( A B) C, dx dx dy dt dy dt Νόμος Νεύτωνα: dp dr dv d r F, p mv, v, a dt dt dt dt Δυναμική/Κινητική Ενέργεια: F U, U ( A) U ( B) F dr, K m u, K U A σταθερή B Αρμονικός ταλαντωτής: d x dt x, T, x x sin( t ), U Cx, F kx. με απόσβεση: d x dt dx t/( r) x, x xe sin( t r dt Κυματική εξίσωση:, x u t διάνυσμα Ponynting: ( S) E B Ηλεκτρομαγνητικά κύματα: u c, στο κενό u c / n, n δείκτης διάθλασης μέσου διάδοσης. Ομαδική ταχύτητα: u g d( k), όπου ( k) η σχέση διασποράς. dk Διάδοση κύματος χωρίς παραμόρφωση: Η έκφραση f ( x ut) και g( x ut) παριστάνει κύμα (διαταραχή) που διαδίδεται σε μια διάσταση χωρίς παραμόρφωση με στιγμιαία απομάκρυνση f (αντίστοιχα g ) και ταχύτητα u προς τα δεξιά (αντίστοιχα προς τα αριστερά) και ικανοποιεί την κλασική κυματική εξίσωση. Οδεύον αρμονικό κύμα Βαθμωτό, σε μια διάσταση: ( x, t) Acos( t kx) Βαθμωτό, στο χώρο: ( r, t) cos( t k r) cos( t kxx k y y kzz) Διανυσματικό, στο χώρο: E( r, t) Ecos( t k r) Ecos( t kxx k y y kzz), όπου E E xˆ E yˆ E zˆ x y z Ταχύτητα φάσης: u ( k) / k
ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 όπου ( k) η σχέση διασποράς= κυκλική συχνότητα= / περίοδος Τ. k /(μήκος κύματος )= κυματαριθμός T Ιδανική χορδή: u ανεξάρτητη του k. T = τείνουσα δύναμη, = γραμμική πυκνότητα Εγκάρσια κύματα σε χορδή με σφαιρίδια μάζας M και απόστασης TU u( k) Ma sin( ka / ) k p cp Ηχητικά κύματα στον αέρα: u,, p p c πίεση, p = πυκνότητα v T 3 Υδάτινα κύματα στον αέρα: ( k) gk k tanh( kh) p g = επιτάχυνση βαρύτητα, ρ= πυκνότητα νερού, = συντελεστής επιφανειακής τάσης, h= βάθος νερού με απλοποιήσεις όταν h ή h. Συμβολή- Περίθλαση Εικόνα μακρινής συμβολής των κυμάτων δύο πηγών i = φάση κάθε πηγής i =, Δ /= μισή διαφορά φάσης λόγω διαφορά δρόμου d sin / I( ) Imax cos ( ) d = απόσταση των δύο πηγών = γωνία παρατήρησης ως προς τη μεσοκάθετο, σε απόσταση r d Συμβολή κυμάτων από N ισαπέχουσες σημειακές και σύμφωνες πηγές σε ευθύγραμμα διάταξη (ή στενές σχισμές) I( ) sin N( / ) I sin( / )
ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 d = απόσταση δύο διαδοχικών πηγών = γωνία παρατήρησης της συμβολής (σε μακρινό πέτασμα) ως προς την κάθετο στην ευθύγραμμη διάταξη των πηγών. I = ένταση κάθε πηγής, στο ίδιο μήκος κύματος εκπομπής,. / d = γωνιακή απόσταση δύο διαδοχικών κυρίων μεγίστων d sin / = Διαφορά φάσης λόγω διαφοράς δρόμου στο μακρινό σημείο συμβολής (παρατήρησης) των κυμάτων από δύο διαδοχικές πηγές. Γωνιακή απόσταση δύο διαδοχικών κύριων μεγίστων: / d Περίθλαση από μια πλατιά σχισμή: Ένταση του παρατηρούμενου κύματος σε μεγάλη απόσταση D = εύρος της πλατιάς σχισμής sin I( ) I, Dsin = γωνία παρατήρησης (σε μακρινή απόσταση) ως προς την κάθετο στη σχισμή Γωνιακό εύρος κεντρικού μεγίστου /D Κριτήριο Rayleigh διάκρισης δύο φωτεινών σημείων: Η γωνία που υποτείνουν τα δύο σημεία στη θέση του ματιού (διαμέτρου κόρης D ) ή στη θέση του οπτικού οργάνου (π.χ. φακού διαμέτρου D ) πρέπει να είναι, / D Άνοιγμα δέσμης σε απόσταση L : W D L / D D = αρχικό εύρος δέσμης W = εύρος σε απόσταση L Συμβολή- περίθλαση από N πλατιές σχισμές sin N( / ) sin I( ) Imax sin( / ), ά ή ά ί d sin Dsin, d = απόσταση διαδοχικών σχισμών D = εύρος πλατιάς σχισμής
ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Διακριτική ικανότητα οπτικού οργάνου Αν η d είναι η ελάχιστη διαφορά δύο μηκών κύματος και dπου μπορεί να διακρίνει ένα οπτικό όργανο, η διακριτική του ικανότητα ορίζεται ως R / d. Νόμος του Snell: sin sin Εξισώσεις του Maxwell: E B, B E t B J t h Σχέση του de Broglie για τον κυματοδωματιδιακό δυϊσμό:, p k p Σχέσεις αβεβαιότητας του Heisenberg: Εξίσωση του Schrödinger x p x, Et Χρονοεξαρτημένη: ( rt, ) ( r, t) U ( r) ( r) i m t d ( x) Χρονοανεξάρτητη (σε μια διάσταση): U ( x) ( x) E( x) m dx Χρονοεξαρτημένη λύση αν Ut () i t : ( x, t) ( x) e, E / t Πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο στο διάστημα [ a, b]: P ( x, t) dx Μέση τιμή φυσικού μεγέθους Ax ( ) με αντίστοιχο τελεστή Ax: ˆ( ) A (, ) ˆ x t A( x) ( x, t) dx ab b a Η εξέταση πραγματοποιείται με κλειστά βιβλία/σημειώσεις. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Καλή επιτυχία.