ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΟΙΛΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ Ω.Σ. ΜΕ ΑΜΙΓΩΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΔΙΑΤΟΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΠΙΚΟΥ ΛΥΓΙΣΜΟΥ Εμμανουήλ Γ. Τσιομπάνος a, Άννα A. Μαρινοπούλου, Δημήτριος Θ. Παχούμης, Ευάγγελος Γ. Γαλούσης, Χρίστος Ν. Κάλφας d a MS Πολιτικός Μηχανικός Υποψ. Διδ., MS Πολιτικός Μηχανικός Καθηγητής Δ.Π.Θ. d Επικ. Καθηγητής Δ.Π.Θ. Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Δ.Π.Θ Ξάνθη, Ελλάς e-mail : mslgroup@ivil.dut.gr 1. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή επιχειρείται η προσομοίωση διατομών Ω.Σ. με αμιγώς μεταλλικές ιδεατές διατομές για τη μελέτη φαινομένων τοπικών λυγισμών. Η ιδεατή διατομή, που επιλέγεται για την προσομοίωση, έχει το ίδιο ορθογωνικό σχήμα με την αρχική διατομή αλλά διαφορετικές διαστάσεις. Οι άγνωστες διαστάσεις της ιδεατής διατομής υπολογίζονται από το σύστημα των εξισώσεων, που προκύπτει από τις συνθήκες ισοδυναμίας των αξονικών και καμπτικών ακαμψιών της αρχικής και της ιδεατής διατομής. Η λύση του συστήματος είναι κλειστή και εκφράζεται συναρτήσει των γεωμετρικών και μηχανικών παραμέτρων της αρχικής διατομής. Για επιβεβαίωση της προτεινόμενης μεθοδολογίας, γίνονται αναλύσεις με πεπερασμένα στοιχεία τόσο της διατομής Ω.Σ. όσο και της ιδεατής διατομής, από τις οποίες υπολογίζονται οι τιμές της αξονικής και της εγκάρσιας παραμόρφωσης. Από τη σχετική σύγκλιση των τιμών αυτών ενισχύεται η αξιοπιστία της προτεινόμενης μεθοδολογίας προσομοίωσης. Έτσι, η εν λόγω μεθοδολογία μπορεί να αποτελέσει έναν εύχρηστο τρόπο αντικατάστασης των κοίλων διατομών Ω.Σ με αμιγώς ιδεατές χαλύβδινες, με σκοπό να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη φαινομένων τοπικών λυγισμών των κοίλων διατομών Ω.Σ. σύμφωνα με την μεθοδολογία που ακολουθείται για τις λεπτότοιχες χαλύβδινες διατομές.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε δομικά στοιχεία από ωπλισμένο σκυρόδεμα τα φαινόμενα τοπικών λυγισμών δεν έχουν διερευνηθεί επαρκώς λόγω της πολυπλοκότητας της συμπεριφοράς των δύο υλικών, σκυροδέματος και χάλυβα οπλισμού. Τα φαινόμενα αυτά καθίστανται ιδιαίτερα κρίσιμα σε υψηλά βάθρα γεφυρών, όπου οι διατομές είναι κοίλες ορθογωνικές, με παρειές σχετικά μικρού πάχους. Στην παρούσα εργασία γίνεται μια προσπάθεια προσομοίωσης των διατομών αυτών με ισοδύναμες αμιγώς χαλύβδινες διατομές, προκειμένου με τον τρόπο 38
αυτό το πρόβλημα του φαινομένου τοπικού λυγισμού των διατομών Ω.Σ. να μεταφερθεί και να αντιμετωπισθεί ως πρόβλημα λεπτότοιχων χαλύβδινων διατομών, για τις οποίες υπάρχει εκτεταμένη έρευνα των αντίστοιχων φαινομένων. Η προσομοίωση γίνεται με κατάλληλη προσαρμογή της μεθόδου που έχει αναπτυχθεί για την προσομοίωση σύμμικτων διατομών υποστυλωμάτων μερικώς εγκιβωτισμένων σε σκυρόδεμα με αμιγώς χαλύβδινες διατομές [1,]. Η ταυτόσημη συμπεριφορά της διατομής του Ω.Σ. και της ιδεατής απαιτεί την ικανοποίηση των ακολούθων συνθηκών ισοδυναμίας: 1. Η αξονική ακαμψία της ιδεατής διατομής να προσεγγίζει την αντίστοιχη ακαμψία της διατομής Ω.Σ... Οι καμπτικές ακαμψίες και ως προς τους δύο κεντροβαρικούς άξονες της ιδεατής διατομής να προσεγγίζουν τις αντίστοιχες ακαμψίες της διατομής Ω.Σ. 3. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΙΔΕΑΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Η ιδεατή χαλύβδινη διατομή που προσομοιώνει πλήρως την κοίλη διατομή Ω.Σ. είναι επίσης μία κοίλη διατομή του ιδίου σχήματος αλλά με διαφορετικές εσωτερικές και εξωτερικές διαστάσεις (Σχ. 1). Για την πλήρη και επακριβή περιγραφή της ιδεατής διατομής χρειάζεται να προσδιοριστούν τέσσερις γεωμετρικές διαστάσεις, οι δύο εξωτερικές 1 και 1 και οι δύο εσωτερικές και. Σημειώνεται ότι τα οριζόντια και τα κάθετα ελάσματα, που μορφώνουν την ιδεατή διατομή, δεν έχουν, κατ ανάγκη, το ίδιο πάχος. Οι άγνωστες αυτές διαστάσεις προσδιορίζονται από τις αλγεβρικές εξισώσεις, που προκύπτουν από τα τρία κριτήρια ισοδυναμίας των ακαμψιών τους, που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Δεδομένου ότι οι εξισώσεις αυτές είναι τρεις, ενώ οι άγνωστες γεωμετρικές διαστάσεις είναι τέσσερις, ως τέταρτη εξίσωση θεωρείται ο ακόλουθος γεωμετρικός περιορισμός: t t 1 α α< 1 (1) 1 1 1 1 z z t 1 t y y y 1 y z z σχ. 1. Προσομοίωση κοίλης διατομής Ο.Σ με ιδεατή χαλύβδινη διατομή 39
3.1 Αξονικές ακαμψίες Οι αξονικές ακαμψίες της διατομής Ο.Σ. και της ιδεατής διατομής είναι, αντίστοιχα: EA E A E A E A EA E A () s+ s s και a a όπου ο δείκτης α αντιστοιχεί στο δομικό χάλυβα, ο στο σκυρόδεμα και ο s στο χάλυβα οπλισμού. Από την απαίτηση ισοδυναμίας των ακαμψιών προκύπτει η εξίσωση: EaAa EA EAs+ EsAs (3) Με την εισαγωγή του λόγου ψ των μέτρων ελαστικότητας σκυροδέματος και χάλυβα λαμβάνεται: Aa ψa ψ As+ As (4) Από τις σχέσεις (1) και (4) προκύπτει: 1 α ψa ψ A + A (5) 1 1 s s Για την αδιαστατοποίηση της σχέσης (5) εισάγονται οι παράμετροι β και η, οι οποίες εκφράζουν τους λόγους των εξωτερικών διαστάσεων της αρχικής διατομής προς τις αντίστοιχες διαστάσεις της ιδεατής διατομής. Είναι δε: η η (6) 1 1 β 1 1 β (7) Από τις σχέσεις (5), (6) και (7) και λαμβάνοντας υπόψη και την (1), προκύπτει: ψa ψas As ( 1 α ) βη + (8) Η παράμετρος ρ s εκφράζει το ποσοστό του οπλισμού σε σχέση με τη διατομή του σκυροδέματος: A s A s ρs (9) A Από τις σχέσεις (8) και (9) προκύπτει: 1 α βηψ 1 ρ +ρ (10) ( s) s Το δεύτερο μέρος της εξίσωσης αυτής εξαρτάται μόνο από τα γεωμετρικά μεγέθη και από τις ιδιότητες των υλικών της διατομής Ω.Σ. και έτσι μπορεί να αντικατασταθεί από μία σταθερά. Επειδή δε, όπως φαίνεται από τον ορισμό της παραμέτρου ρ s με τη σχέση (9), η ρ s είναι πολύ μικρότερη της μονάδος, η σταθερά έχει πάντοτε θετική τιμή: d ψ 1 ρ +ρ (11) x,r s s Με τη θεώρηση αυτή από τη σχέση (11) προκύπτει η πρώτη εξίσωση μεταξύ των αγνώστων παραμέτρων β και η, που σχετίζονται άμεσα με τις διαστάσεις 1 και 1 της ιδεατής διατομής. Η εξίσωση αυτή εκφράζει σε αδιάστατη μορφή την ισοδυναμία των αξονικών ακαμψιών της αρχικής διατομής Ω.Σ. και της ιδεατής διατομής και είναι η ακόλουθη : 1 α βη d x,r (1) 3. Καμπτικές ακαμψίες Η ισοδυναμία των καμπτικών ακαμψιών ως προς τον ισχυρό άξονα y-y της αρχικής διατομής από Ω.Σ και της ιδεατής χαλύβδινης διατομής ορίζεται από την εξίσωση: E I E I E I + E I (13) a a,y,y s,y s s,y a 330
Η σχέση αυτή, αν εισαχθεί ο λόγος των μέτρων ελαστικότητας ψ, υπολογισθεί η ακαμψία της ιδεατής διατομής I a,y και ληφθούν υπόψη οι σχέσεις (1), γίνεται: 3 4 11 ( 1 α ) ψi,y ψ I,y+ I,y (14) 1 Με την εισαγωγή των αδιάστατων παραμέτρων η και β από τις σχέσεις (6) και (7), αντίστοιχα, προκύπτει: ψi,y ψi 4 3 s,y Is,y ( 1 α ) βη + (15) 3 3 3 1 1 1 Ο λόγος της ακαμψίας των ράβδων οπλισμού I s,y προς εκείνη της διατομής του σκυροδέματος I,y εκφράζεται από το αντίστοιχο μέγεθος θ (πολύ μικρότερο της μονάδος) ως εξής: Is,y Is,y θ (16) 3 I 1,y Με τη θεώρηση αυτή η σχέση (15) μετασχηματίζεται σε: 4 3 1 α βη ψ 1 θ +θ (17) Το δεύτερο μέρος της εξίσωσης αυτής εξαρτάται και πάλι μόνο από τις γεωμετρικές και μηχανικές παραμέτρους της αρχικής διατομής και αντικαθίσταται με τη θετική σταθερά: d ψ 1 θ +θ (18) y,r Από τη σχέση (17) προκύπτει η δεύτερη εξίσωση μεταξύ των αγνώστων παραμέτρων β και η, που σχετίζονται άμεσα με τις διαστάσεις 1 και 1 της ιδεατής διατομής. Η εξίσωση αυτή εκφράζει σε αδιάστατη μορφή την ισοδυναμία των καμπτικών ακαμψιών ως προς τον άξονα y-y και είναι: 4 3 1 α βη d y,r (19) Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει η εξίσωση: 4 3 ( 1 α ) β η d z,r (0) η οποία εκφράζει την ισοδυναμία των καμπτικών ακαμψιών ως προς τον άξονα z-z και όπου η ποσότητα d z,r είναι, επίσης, μία θετική ποσότητα, αντίστοιχη με την d y,r, η οποία ορίζεται από τη σχέση: d ψ 1 δ +δ (1) με z,r I I s,z s,z δ () 3 I,z 1 Από τις συνθήκες ισοδυναμίας των αξονικών και καμπτικών ακαμψιών προέκυψε το σύστημα των εξισώσεων (1), (19) και (0) με αγνώστους τις αδιάστατες παραμέτρους β, η και α. Το σύστημα αυτό επιδέχεται κλειστή λύση, από την οποία προκύπτουν οι ζητούμενες διαστάσεις 1, 1, και της ιδεατής διατομής [3]. Από την επίλυση του συστήματος λαμβάνεται: d y,r dx,r dz,r d d x,r y,rdz,r η, β και βη (3) ( α ) ( α ) d ( α ) και σε συνδυασμό με την εξίσωση (1) προκύπτει: 4 ( 1 α ) dx,r α d d y,r z,r x,r (4) 331
Οι παράμετροι d, d y, R και d z, R που έχουν ορισθεί με τις σχέσεις (11), (18) και (1), αντίστοιχα, είναι δοσμένες θετικές ποσότητες, που εξαρτώνται από τις γεωμετρικές και μηχανικές παραμέτρους της διατομής Ω.Σ.. Κατά συνέπεια το ίδιο ισχύει και για την ποσότητα στο δεύτερο μέλος της (4), η οποία μπορεί να αντικατασταθεί με τη δοσμένη θετική παράμετρο Κ που ορίζεται ως: 4 dx,r K (5) d d y,r z,r Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (5), η επίλυση της εξίσωσης (4) ως προς α δίνει: 1 K α (6) K Κατόπιν αυτού, από τις σχέσεις (3) προκύπτουν οι τιμές των η και β, αντίστοιχα, οι οποίες είναι: y,r η (7) d d x,r z,r β (8) x,r Οι σχέσεις (6), (7) και (8) αποτελούν τους αλγορίθμους υπολογισμού των αδιάστατων αγνώστων α, η και β, αντίστοιχα, οι οποίοι ελήφθησαν αντί των ζητούμενων διαστάσεων 1, 1, και της ιδεατής διατομής. Αν ληφθούν υπόψη οι σχέσεις (1), (6) και (7), με τις οποίες έχουν ορισθεί οι παράμετροι α, η και β, προκύπτουν οι σχέσεις του πιν.1, με τις οποίες είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι διαστάσεις 1, 1, και της ιδεατής διατομής. Ο υπολογισμός γίνεται με τη βοήθεια των σταθερών παραμέτρων d, d y, R, d z, R και Κ, οι οποίες έχουν συγκεκριμένες τιμές, εξαρτώμενες από τις γεωμετρικές ιδιότητες και τις μηχανικές σταθερές των υλικών της αρχικής διατομής. Στην ειδική περίπτωση που η διατομή του εξ ωπλισμένου σκυροδέματος υποστυλώματος είναι τετραγωνικού σχήματος, τετραγωνική θα είναι και η ιδεατή χαλύβδινη διατομή. Έτσι, οι άγνωστες διαστάσεις της ιδεατής διατομής περιορίζονται σε δύο, την εξωτερική και την εσωτερική διάσταση 1 και των πλευρών του τετραγώνου. Είναι προφανές επίσης ότι όλες οι παρειές του τετραγώνου θα έχουν το ίδιο πάχος. Το ενιαίο πάχος t των πλευρών της τετραγωνικής ιδεατής διατομής δίνεται απευθείας από την παρακάτω σχέση [3]: 1 K 1 K d y,r t (31) d x,r Εξωτερικό ύψος ιδεατής χαλύβδινης διατομής 1 1 d y, R Εξωτερικό πλάτος ιδεατής χαλύβδινης διατομής 1 1 d z, R Εσωτερικό πλάτος ιδεατής χαλύβδινης διατομής 1 d y, R πιν 1. Τύποι υπολογισμού διαστάσεων ιδεατής διατομής Εσωτερικό πλάτος ιδεατής χαλύβδινης διατομής 1 d z, R 33
4. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Για τον έλεγχο της αξιοπιστίας της μεθοδολογίας προσομοίωσης, που αναπτύχθηκε παραπάνω, έγινε ανάλυση με πεπερασμένα στοιχεία, με την χρήση του προγράμματος ABAQUS. Στον πιν. αναγράφονται οι διαστάσεις και οι ποιότητες των υλικών της αρχικής τετραγωνικής διατομής Ω.Σ., καθώς και οι διαστάσεις της ιδεατής διατομής που προκύπτουν με εφαρμογή των τύπων υπολογισμού του πιν. 1. Επίσης, παρουσιάζονται τα είδη των πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν για την ανάλυση. Σημειώνεται ότι η ανάλυση της προσομοιωμένης διατομής έγινε τόσο με sell όσο και με solid elements, προκειμένου να διαπιστωθεί το είδος του στοιχείου είναι πιο κατάλληλο για την περίπτωση. ΜΟΝΤΕΛΟ 1 Α Β ΥΛΙΚΟ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΧΑΛΥΒΑΣ ΧΑΛΥΒΑΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ (mm) 3000x3000x50 811x811x31 811x811x31 ΠΟΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ C40 / S500 / Φ0 S 35 S 35 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ solid elements sell elements C3D8R S4R πιν.. Μοντέλα FEM ανάλυσης solid elements C3D8R Από την ανάλυση ελήφθησαν οι τιμές αξονικής και εγκάρσιας παραμόρφωσης που παρουσιάζει το κάθε μοντέλο στο ίδιο κατακόρυφο θλιπτικό φορτίο και σχεδιάσθηκαν τα διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης που παρουσιάζονται στα σχ. και σχ. 3. Οπως φαίνεται από τα διαγράμματα αυτά, υπάρχει πρακτική ταύτιση των καμπύλων τους. Τούτο, άλλωστε, αποδεικνύεται και από τον υπολογισμό των αποκλίσεων που παρουσιάζεται στον πιν. 3. Η σύγκλιση αυτή των παραμορφώσεων αποδεικνύει ότι η αρχική διατομή Ω.Σ. και η ιδεατή χαλύβδινη διατομή παρουσιάζουν την ίδια συμπεριφορά, τουλάχιστον στον ελαστικό κλάδο, που είναι το ζητούμενο για τον τελικό στόχο της μελέτης φαινομένων τοπικού λυγισμού, δεδομένου ότι τα φαινόμενα αυτά αποτελούν πρώιμες μορφές αστοχίας. Επιπλέον από τον πίν. 3 προκύπτει ότι οι μικρότερες αποκλίσεις εμφανίζονται μεταξύ του 333
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΗΣ - ΑΞΟΝΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΗΣ - ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 70000 70000 60000 60000 50000 50000 ΔΥΝΑΜΗ (ΚΝ ) 40000 30000 ΔΥΝΑΜ Η (ΚΝ) 40000 30000 0000 0000 ΜΟΝΤΕΛΟ 1 10000 ΜΟΝΤΕΛΟ -Α ΜΟΝΤΕΛΟ -Β 0 0.00 0.50 1.00 1.50.00.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 ΑΞΟΝΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ (mm) σχ. Διάγραμμα αξονικών παραμορφώσεων ΜΟΝΤΕΛΟ 1 10000 ΜΟΝΤΕΛΟ -Α ΜΟΝΤΕΛΟ -Β 0 0 0.0001 0.000 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ (mm) σχ. 3 Διάγραμμα εγκάρσιων παραμορφώσεων ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΞΟΝΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ % ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ 1-(Α) 0.09 0.61 1-(Β) 1.87.54 πιν. 3. Αποκλίσεις μεταξύ των μοντέλων μοντέλου 1 (διατομή σκυροδέματος) και του μοντέλου -Α (μεταλλική διατομή με στοιχεία sell). Αυτό σημαίνει ότι, για τη διερεύνηση των φαινομένων τοπικών λυγισμών σε διατομές οπλισμένου σκυροδέματος, οι ισοδύναμες ιδεατές μεταλλικές διατομές είναι ορθότερο να προσομοιώνονται με στοιχεία κελύφους (sell elements). 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Με το παρόν άρθρο προτείνεται μία απλή και εύχρηστη μέθοδος προσομοίωσης κοίλων διατομών Ω.Σ με αμιγώς χαλύβδινες κοίλες ιδεατές διατομές. Δίνονται απλές εξισώσεις υπολογισμού των γεωμετρικών διαστάσεων της ιδεατής διατομής με βάση τις γεωμετρικές και μηχανικές παραμέτρους της διατομής Ω.Σ. Η προτεινόμενη μέθοδος φαίνεται να είναι αρκετά αξιόπιστη δεδομένου ότι οι αποκλίσεις των τιμών της αξονικής και της εγκάρσιας παραμόρφωσης από την ανάλυση με πεπερασμένα στοιχεία είναι μικρότερες του 1%, όταν για την ανάλυση της ιδεατής χαλύβδινης διατομής χρησιμοποιούνται sell elements. Με βάση τη μέθοδο αυτή είναι δυνατόν τα φαινόμενα τοπικών λυγισμών των διατομών Ω.Σ να μελετηθούν και να αντιμετωπισθούν με τις θεωρίες που εφαρμόζονται στις χαλύβδινες λεπτότοιχες διατομές. 6. ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ [1] Μarinopoulou A, Κalfas C., «Simulation of Composite Steel-Conrete Column wit Steel Column», Proeedings of 5 t National Conferene on Metal Strutures, volume I, p. 16-169, Xanti Greee 005 334
[] Μarinopoulou A, Balopoulos V, Κalfas C., «Simulation of Partially Enased Composite Steel-Conrete Columns wit Steel Columns», Journal of Construtional Steel Resear 007; 63:1058-65. [3] Τσιομπάνος Εμμανουήλ, «Προσομοίωση κοίλων διατομών Ο.Σ με αμιγώς μεταλλικές διατομές για την επίλυση προβλημάτων τοπικών λυγισμών» Μετ. Διατριβή Οκτώβριος 007. 335
0,6 0,5 0,4 K 0,3 SIMULATION OF RC COLUMN WITH PURE STEEL COLUMN OF FICTI- TIOUS CROSS-SECTION FOR CHECKING LOCAL BUCKLING OF R.C SECTION Emmanuel G. Tsiompanos a, Anna A. Μarinopoulou, Dimitrios T. Paoumis, Evangelos G. Galoussis, Cristos Ν. Κalfas d a MS Civil Engineer Pd. Cand., MS Civil Engineer Professor of DUTH d Assistant Professor of DUTH Steel Strutures Laoratory of DUTH Xanti, Greee e-mail : mslgroup@ivil.dut.gr 1. SUMMARY In tis paper, a metodology for simulating RC olumns wit pure steel olumns of fititious ross-setion for eking loal ukling of R.C setion is suggested. Te proposed metodology is ased on te equivalene of axial stiffness and prinipal entroidal flexural stiffnesses etween te two different types of setion onsidered erein. Te fititious setion is of te same sape as te atual setion ut of different dimensions, wi are otained in losed form. Te relations tat give te unknown dimensions of te fititious ross-setion are ased on te geometri and meanial parameters of te atual RC ross-setion. Parametri FEM analysis is arried out in order to estalis te reliaility of te proposed metodology of simulation. Te relative errors in te alulated results, su as axial and lateral deformation, do not exeed 4%, wi are witin te aeptale limits for pratial appliations. To onlude, te proposed metodology of simulation is inevitaly reliale and an e used for purposes of eking loal ukling of RC olumns. 336