- III - תקציר מבוא משוב יציאה שיטה משוב יציאה פיתוח המודל המתמטי סימולציות.

אוניברסיטת בןגוריון בנגב הפקולטה למדעי ההנדסה המחלקה להנדסת מכונות בקרת H למטוטלת הפוכה דופרקית : תיאוריה וניסויים חיבור זה מהווה חלק מהדרישות לקבלת התואר "מגיסטר" בהנדסה מאת: לוי יצחק 4 טבת תשס"ד ינואר

אוניברסיטת בןגוריון בנגב הפקולטה למדעי ההנדסה המחלקה להנדסת מכונות בקרת H למטוטלת הפוכה דופרקית : תיאוריה וניסויים חיבור זה מהווה חלק מהדרישות לקבלת תואר מגיסטר למדעים בהנדסת מכונות מאת: לוי יצחק מנחה: דר' נדב ברמן חתימת המחבר: אישור המנחה: אישור יו"ר ועדת מוסמכים מחלקתית: תאריך: תאריך: תאריך: טבת תשס"ד ינואר 4

תקציר המטרה העיקרית במחקר זה היא יישום אלגוריתמים של בקרת H בחומרה ושימושם במערכות מכאניות אמיתיות מוצע בקר בקרת H לייצוב מטוטלת הפוכה דופרקית על בסיס המודל הליניארי של מטוטלת הפוכה זו ומופעל על המערכת הלא ליניארית האמיתית עבודה זו מכילה שני פרקים הפרק הראשון הינו תיאורטי והחלק השני עוסק ביישום האלגוריתמים בחומרה החלק התיאורטי מכיל הצגה של המרכיבים הרלוונטיים של תיאורית בקרת H H לא ליניארית ובהצגת הקשר בין בקר לא ליניארי לבין הבקר הליניארי המתאים אשר מבטיח יציבות מקומית של המטוטלת ההפוכה כאשר משוב היציאה הליניארי מופעל על המערכת האמיתית הלא ליניארית כמו כן מוצגות תוצאות סימולציה אשר משמשות כמדד לטיב התכנון של אלגוריתמי הבקרה סימולציות אלו משמשות גם להשוואה בין התכנון התיאורטי לבין תוצאות הניסויים וכן על מנת לקבוע את מידת טיב התכנון התיאורטי החלק השני של העבודה מתאר בפירוט את תהליך המימוש בחומרה ודן בתוצאות הניסוי בהשוואה לתוצאות האנליטיות שנתקבלו

דף תודות ברצוני להודות לדר' נדב ברמן על הנחייתו המסורה ועל סבלנותו הרבה שליוו אותי במהלך המחקר כמוכן ברצוני להודות למר שי ארוגטי על שיתוף הפעולה ועל התמיכה במעבדה ואחרונה חביבה לאשתי היקרה על הבנתה התחשבותה ובזמן הרב שהפנתה לי למחקר

תוכן עניינים: V V 4 תקציר דף תודות תוכן עניינים רשימת סימנים רשימת איורים וטבלאות מבוא סקר ספרות H 3 ניסוח בעיית הבקרה H למערכות לא ליניאריות: ניסוח הבעיה 7 3 בקרת 6 משוב מצב 3 משוב יציאה 3 H 3 בקרת למערכות ליניאריות: מקרה פרטי של מערכות לא ליניאריות 3 משוב מצב 7 3 משוב יציאה H למטוטלת הפוכה דופרקית 4 בקרת 4 7 37 38 43 43 48 5 53 57 59 4 תיאור כללי של מערכת הבקרה עבור מטוטלת הפוכה דופרקית 4 פיתוח המודל המתמטי 5 סימולציות 5 נתוני המערכת מטוטלת הפוכה דופרקית 5 משוב מצב 53 משוב יציאה 53 משוב יציאה שיטה 53 משוב יציאה שיטה 6 חיבורים פיזיים והרצת הניסוי 7 השוואה בין תוצאות הסימולציה לתוצאות המעשיות 8 סיכום ומסקנות המחקר נספחים נספח A נורמת L 6 נספח B הוכחת משפט 3

V 64 63 66 78 84 86 נספח זיהוי מערכת המנוע D הוכחת השקילות בין ייצוגי ה LMs נספח E תוכניות ה MALAB נספח F דיאגראמות ה SMULNK נספח G חיבורים פיזיים נספח מקורות

רשימת סימנים: V L γ L gain ייצוג מערכת במרחב המצב קבוע סקלרי המציין ערך נורמה L S s u w תנאי התחלה של המערכת מרחב נורמה במרחב y z P( : R( Q R X פונקצית אחסון כללית קצב הספקה וקטור כניסות הבקר וקטור כניסות ההפרעה וקטור יציאות המדידה וקטור היציאות המבוקרות פונקצית אחסון של המערכת הלא ליניארית ייצוג משוב יציאה לא ליניארי במרחב המצב פונקצית אחסון של המשערך הלא ליניארי מטריצת משקל של וקטור המצבים המוגדרת חיובית למחצה מטריצת המשקל של וקטור הכניסות המוגדרת חיובי הנגזרת השנייה של פונקצית האחסון של המערכת הלא ליניארית ב המוגדרת חיובית למחצה אוסף כל הערכים העצמיים של A Q המטריצה ההופכית של X הנגזרת השנייה של פונקצית האחסון של המשערך הלא ליניארי ב σ ( A) W ~ UU המוגדרת חיובית למחצה סביבה מסוימת סביב הראשית ייצוג משוב יציאה ליניארי במרחב המצב משתני המצב המהירות הזוויתית והזווית של הזרוע האופקית l φ φ : φ φ

V המהירות הזוויתית והזווית של הזרוע האנכית התחתונה המהירות הזוויתית והזווית של הזרוע האנכית העליונה מסה הזרוע האופקית מסה זרוע אנכית תחתונה הכוללת גם את חיישן הזווית שעליה מסה זרוע אנכית עליונה אורך המוט האופקי אורכי המוטות האנכיים בהתאמה i מרחק מרכזי המסות מהקצה התחתון של כל אחת מהחוליות האנכיות בהתאמה מרחק מרכז המסה של החוליה האופקית מציר הסיבוב שלה מקדם החיכוך הויסקוזי המומנט שמפעיל המנוע מהירות קווית אופקית של המוטות האנכיים ו בהתאמה מהירויות קוויות אנכיות של המוטות האנכיים ו בהתאמה מומנט האנרציה סביב מרכז המסה של המוטות ו בהתאמה מסת האנקור מסת הזרוע האנכית התחתונה מומנט אנרציה סביב מרכז המסה המקורי של מוט אנרגיה קינטית אנרגיה פוטנציאלית כוחות מוכללים קואורדינאטות מוכללות לגראנג'יאן הפרש האנרגיות בין האנרגיה הקינטית לאנרגיה הפוטנציאלית קבוע המנוע מטריצות המרכיבות את המודל הדינאמי של המערכת מטוטלת הפוכה דופרקית מטריצת האנרציה ~ M L i f F v h vh v v vv c c c M e M v c U τ i q i L k M G M

V מטריצת כוחות צנטריפטליים וכוחות קוריוליס L שלה מינימאלית וקטור כוחות הגרביטציה רכיב ממשי של ערך λ כוח הגרביטציה קבוע סקלרי המציין ערך נורמה מינימאלי מטריצת קבועי הבקר מטריצת החסם על X מטריצת הגבר המשערך שנורמת i נורמה אוקלידית L נורמת Re G ( λ ) g γ in K H L i

V רשימת איורים וטבלאות: איור 3: דיאגרמת בלוקים של מערכת הבקרה איור 4: תיאור מערכת הבקרה איור 4: תיאור המערכת המעשית איור 43: תיאור המערכת באמצעות דיאגראמת בלוקים מופשטת איור 44: תיאור המערכת באמצעות דיאגראמת בלוקים מורחבת איור : 45 מודל מטוטלת הפוכה דופרקית γ in איור 5: מיקום החוליות במעלות עבור משוב מצב עם איורים: γ in איור 5: מהירות החוליות בסל"ד עבור משוב מצב עם γ feasp איור 53: אות הבקרה בוולטים עבור משוב מצב איור 54: כניסת ההפרעה w איור 55: מיקום החוליות במעלות עבור משוב מצב איור 56: מהירות החוליות בסל"ד עבור משוב מצב איור 57: אות הבקרה בוולטים עבור משוב מצב איור 58: מיקום החוליות במעלות עבור משוב יציאה עם γ feasp איור 59: אות הבקרה בוולטים עבור משוב מצב עם איור 5: מיקום החוליות במעלות עבור משוב יציאה שיטה איור 5: אות הבקרה בוולטים עבור משוב יציאה שיטה איור 5: מיקום החוליות במעלות עבור משוב יציאה שיטה איור 53: אות הבקרה בוולטים עבור משוב יציאה שיטה איור 54: התכנסות וקטור המצבים המשוערך לוקטור המצבים האמיתי שיטה איור 7: מיקום חוליה אופקית תוצאה מעשית איור 7: מיקום חוליה אנכית תחתונה תוצאה מעשית איור 73: מיקום חוליה אנכית עליונה תוצאה מעשית איור 74: מתח הכניסה למנוע תוצאה מעשית איור 75: תיאור פנל הבקרה בעת הרצת הניסוי באיור : מערכת הניסוי איור D: סימולציית משוב מצב איור D: סימולציית משוב יציאה שיטה איור 3D: סימולציית משוב יציאה שיטה

X איור 4D: מודל ליניארי כולל הפרעה איור 5D: מודל לא ליניארי כולל הפרעה איור 6D: סוג ההפרעה איור 7D: תתמערכת q איור 8D: תתמערכת מטריצה איור 9D: תתמערכת מטריצה M איור D: תתמערכת וקטור G איור D: תיאור הבקר לפי סעיף 63 כפי שהותקן ב DSPAE איור D: תיאור הבקר לפי סעיף 63 כפי שהותקן ב DSPAE איור G : קונקטור PB איור G : קונקטור P3A איור G3 : קונקטור P3B טבלאות: טבלה 7: השוואה בין תוצאות הסימולציות לבין התוצאות המעשיות טבלה : טבלת סיכום תוצאות הניסוי לזיהוי הפרמטרים של המנוע טבלה G: חיבורי הקונקטורים

מבוא מזה זמן רב חוקרים ומתכננים רבים עוסקים בתחום הבקרה ומנסים לתכנן ולפתח שיטות בקרה אשר תוכלנה להתמודד עם מערכות שונות ומגוונות המצויות בתעשייה כיום קיימות בתעשייה מערכות כגון: לוויינים נשק מונחה מזל"טים ועוד הדורשות שיטות בקרה מדויקות יותר בנוכחות אי וודאות והפרעות חיצוניות בקרת היא שיטת בקרה שפותחה בניסיון להתגבר על כמה מהמגרעות של שיטות הבקרה H H H הישנות ) המכונות "בקרה קלאסית") ושל שיטות הבקרה האופטימאלית ה"מודרנית" שפותחו בשנות ה 6 וה 7 ה"בקרה הקלאסית" חסרה את הבסיס המתמטי ולא כוללת אופטימיזציה תכנון הבקרים הללו היה בדרך כלל תכנון באמצעות חוקים אמפיריים וניסוי וטעייה ללא אופטימיזציה השיטה ה"קלאסית" מכוונת בעיקר לבעיות ( Single nput Single Output ) SSO וקשה להפעילן בבעיות MMO ) Output ) Multi nput Multi כמו שיטת הבקרה האופטימאלית שיטת הבקרה מיועדת להחליף את התכנון ההיוריסטי של הבקרה ה"קלאסית" בתיאורית אופטימיזציה מפורשת אלא שלבקרת (המבוססת על אופטימיזציה) יתרון על פני הבקרה האופטימאלית במובן שניתן באמצעותה להתמודד עם בעיות של אי וודאותמן הראוי לציין כי קיימות שיטות נוספות לתכנון מערכת בקרה בסביבה של אי ודאות (שאינן מבוססות על אופטימיזציה) שיטת האופטימיזציה: LQG ) LineaQuadaticGaussian מבוססות על ההנחות הבאות: המערכת ידועה במדויק ההפרעות והרעשים במערכת ידועים או שיש להן תכונות סטטיסטיות ידועות אם אחת משתי ההנחות הנ"ל לא מתקיימת התכנון איננו יעיל ובמקרים רבים בלתי אפשרי H התיאוריה של בקרת ניסתה להתמודד עם בעיית הבקרה ה"קלאסית" למשל בתחום התדר ע"י H H ניסוח הבעיה כבעיית אופטימיזציה מאולצת כאשר האילוץ הוא דרישת היציבות מהמערכת התיאוריה התפתחה תחילה במישור התדר בתחילת שנות ה 8 (ראה [] 98 Zaes G) והיא התבססה תחילה על מזעור פונקצית הרגישות של המערכת בסוף שנות ה 8 הורחבה התיאוריה לדיון במישור הזמן (ראה [] Khagoneka988 (PP מאוחר יותר בשנות ה 9 נתגלה הקשר בין תורת המשחקים לבין בקרת אפשר להכיל את התיאוריה של בקרת (ראה [3] (Basa99 שימוש בתיאוריה של משחקים דיפרנציאלים על מערכות התלויות בזמן ועל מערכות לא ליניאריות שיטת H הבקרה אינה דורשת מידע מראש של ההפרעות והרעשים במערכת ואף אינה צריכה לדעת מידע על

תכונות הסטטיסטיות שלהן בנוסף השיטה יכולה לטפל במקרים בהם המערכת אינה ידועה במדויק ובכך מאפשרת תכנון רובסטי לאחרונה פותחה גישה לטיפול בשיטת מנקודת מבט של מערכות דיסיפטיביות (ראה H [4] Schaft A J van de ו [5] Kene ( AJ המנסחים את הבעיה בצורה הניתנת לתיאור באמצעות שיקולים של אנרגיה עד כה שיטה זו הניבה תוצאות מרשימות עבור מערכות לא ליניאריות שאינן תלויות בזמן ואף עבור מערכות התלויות בזמן מחקרים רבים עוסקים כעת בשיטה זו בהיבטים שונים ומגוונים (ראה [6] 3 Shaked N Bean and U ו D (haalabous 3 [7] H במחקר זה תנוסח בעיית הבקרה בשיטת מנקודת מבט של מערכות דיסיפטיביות עבור מערכות לא ליניאריות שאינן תלויות בזמן ניסוח הבעיה בחיבור זה מתחלק לשני חלקים עיקריים: ניסוח לא ליניארי עבור משוב מצב במקרה זה ניתן למדוד את כל משתני המצב ניסוח לא ליניארי עבור משוב יציאה במקרה זה לא ניתן למדוד את כל משתני המצב את הניסוח הליניארי נקבל כמקרה פרטי של התיאוריה הלא ליניארית המטרה המרכזית של עבודה זו היא יישום של התיאוריה המבוססת על הגישה של H לבקרה מטוטלת הפוכה דופרקית למערכת המטוטלת ההפוכה הדופרקית הנ"ל קיימות שלוש דרגות חופש: כניסת בקרה אחת שהיא מתח למנוע ושלוש יציאות שהן הזוויות של כל אחת מהחוליות את מהירויות החוליות לא ניתן למדוד ולכן בעיה זו מוגדרת כבעיית בקרה של משוב יציאה מערכת זו מורכבת ואיננה יציבה ולכן קשה לבקרה מטרת הבקר היא רגולציה של משתני המצב: ייצוב המערכת בנקודת שיווי משקל עליונה (לא יציבה) המאופיינת ע"י זוויות אפס ומהירויות זוויתיות אפס לאחר מכן תבוצענה סימולציות נרחבות עבור התכנון הנ"ל ויוסברו השיקולים שבוצעו בעת התכנון כמוכן יוסברו כל החיבורים שבוצעו במערכת והחומרה שהוכנסה למחשב אשר אפשרו את תהליך הבקרה לבסוף ניתן יהיה להתרשם כי ייצוב מערכת מטוטלת הפוכה דופרקית ניתנת ליישום בפועל באמצעות תכנון בשיטת הבקרה תוצג השוואה בין התוצאות המעשיות לתוצאות הסימולציות ותוצגנה המסקנות כללית המתאים לכל סוגי המערכות הלא ליניאריות שאינן תלויות בזמן H לאחר כל אלה המחקר מנוסח בצורה H בהמשך: פרק עוסק בסקר ספרות הקשורה בנושא פרק 3 מביא ניסוח של בקרת עבור H מערכות לא ליניאריות שאינן תלויות בזמן כמו כן מכיל פרק זה דיון בבקרת למערכות ליניאריות כמקרה פרטי של התיאוריה עבור מערכות לא ליניאריות בפרק 4 יוצג רקע תיאורטי עבור המערכת המכאנית מטוטלת הפוכה דופרקית שבמהלכה תפותחנה משוואות התנועה של המערכת ותיושם השיטה על ניסוח בעיית הבקרה של המערכת הליניארית עבור משוב יציאה בפרק 5 תוצגנה סימולציות פרק 6

3 מתאר את החיבורים הפיזיים שבוצעו במערכת ועל אופן התהליך של הרצת הניסוי פרק 7 מציג השוואה בין התוצאות המעשיות שהתקבלו לבין הסימולציות ובפרק 8 תוצגנה המסקנות מהמחקר

4 סקר ספרות בקרת נוסחה לראשונה ע"י ([] 98 (Zaes ומאז הפכה לנושא בעל עניין וחשיבות H H רבים ומשמשות עד היום כר נרחב למחקר בשלביה הראשונים פותחה התיאוריה של בקרת עבור מערכות שאינן תלויות בזמן ובמישור H התדר [8]) 987 Fancis (B A פיתוח התיאוריה של בקרת במסגרת מרחב המצב נעשה לראשונה ע"י [9]) 989 Fancis ( Doyle K Glove PP Khagoneka and B A ההכרה שניתן לנסח את התורה של בקרת H במסגרת של משחקים דיפרנציאלים (ראה [3] Basa99 ) הביאה לידי הרחבת התיאוריה למערכות התלויות בזמן ולמערכות לא ליניאריות (ראה Schaft99 (A J van de H בעיה קריטית הקשורה בפתרון בעיית לא ליניארי נעוצה בקושי שבפתרון משוואת ) HJ ( Hailton jacobi שהיא משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר ראשון כיום אין גישה נומרית במציאת פתרון סימטרי למרות שבעבר היו ניסיונות בכיוון זה החל מעבודתו של ([] Lukes969 ו [] (Glad 987 אשר הציעו גישה פולינומיילית מקורבת לפתרון מחקרים רבים אחרים הציעו גישה דומה לפתרון הבעיה החיסרון העיקרי בגישות הנ"ל לפתרון HJ היה שהפתרונות לא היו מנוסחים בצורה סגורה והתכנסות של צרוף פתרונות לפתרון אנליטי לא יכולים להיות מובטחים כלומר הפתרונות לא הבטיחו יציבות אסימפטוטית גלובלית בשנת []) Voulgais (X hen PG מימשו אלגוריתם ב MALB לפתרון נומרי של HJ ע"י קרוב לטור טיילור אשר התבססה על פיתוח של ([3] Sedwick996 (Wise במאמר מוסבר האלגוריתם הנומרי למציאת פתרון של משוואת HJ ע"י קירוב המשוואה באמצעות טור טיילור ולבסוף מוצגים סימולציות של מערכות שונות שביניהם תוצאת הסימולציה של משוב מצב עבור מערכת מטוטלת הפוכה חסרונות השיטה כפי שהוצגו במאמר הם: חסר קריטריון לאומדן השגיאה וקצב ההתכנסות של הפתרון הנומרי הדוגמאות שהוצגו היו עבור משוב מצב בלבד לא נבחנה השיטה עבור משוב יציאה בשל מורכבות הפתרון שגדלה ביחס למשוב מצב

5 בשנת 98' ([4] 998 Lin (sidoi הראו כי אם מתחילים מפתרון של משוואת ריקטי אלגברית אשר משויכת לבעיית H המצב של הבקרה ניתן יהיה לבנות פתרון גלובלי ל של משוב מצב לאחרונה ליניארית אזי אם ניתן לבחור בחירה חופשית של משקל שתלוי במשתני (Aliyu 3 [5] ) (HJ) לקבוצה של מערכות לא ליניאריות במבנה הציע פתרון אנליטי HJ למשוואת [4] ובאמצעות שיטה הופכית כך שפתרונה של HJ בהתבסס על יהיה כמו משוואה אלגברית סקלרית ריבועית עם גרדיינט של פונקציה סקלרית חלקה שאינה ידועה עם מספר תנאי צד נוספים אשר יבטיחו מציאת פתרון סימטרי ומוגדר חיובי כפי שנדרש יחד עם זאת עדיין נשארו אתגרים רבים בעיקר כיצד לקבוע דרך לבחירת הפתרון מתוך כל הפתרונות הרבים של תנאי הסימטריות המתקבלים אשר מקשים מאוד על קבלת פתרון סופי ל HJ ובנוסף ככל שסדר המערכת גדל כך גדלה המורכבות במציאת הפתרון בשנת 96' ([6] 996 Ricado (hen תכננו בקר ליניארי למערכת מטוטלת הפוכה בשיטת הבקרה ה"קלאסית" והראו באמצעות סימולציות ואנימציה כי ניתן לתכנן בקר המייצב את מטוטלת הפוכה מסקנותיהם הוי כי באמצעות סימולציות ואנימציה של המחשבים המתקדמים ניתן לבדוק ביתר קלות מבעבר בקרים למערכות מורכבות לבקרה וכי בעתיד יתמקדו העבודות בתכנון בקרים למערכות מורכבות יותר (כגון מטוטלת הפוכה דופרקית) חסרון שיטה זו כפי שצוין בפתיחה דרש סימולציות רבות בשל שיטת התכנון כמו כן התכנון איננו מביא בחשיבות הפרעות חיצוניות כגון מכות רוח רעשי מדידה וכיו"ב התכנון בוצע באנימציה שלא כלל הפרעות בלתי נמנעות הקיימות בטבע H הבקרה בשנת 98' תכננו [7] Hu hin משוב מצב לא ליניארי למערכת מטוטלת הפוכה בשיטת זה הישג משמעותי בהתחשב בעובדה כי ניתן לבקר את המערכת בכל התחום למרבה הצער לא ניתן להשתמש בתכנון זה עבור משוב יציאה וכמובן שלא עבור מערכת מטוטלת הפוכה דו פרקית בשנת בוצע ניסוי באוניברסיטת ולנסיה [8] על מערכת מטוטלת הפוכה דופרקית במהלכה תוכנן ויושם בקר ליניארי בשיטה ה"קלאסית" אשר התקשה לייצב את המערכתלעומת זאת תכנון בקר למטוטלת הפוכה אכן הצליחו לייצב היתרון שבניסוי היה כרטיס הבקרה שבו השתמשו ליישום הבקר מסוג DSPAE שניתן לתכנות באופן נוח מאוד באמצעות ה SMULNK שב MALAB במקביל לכך החסרונות בשיטה זו הן: המערכות המכאניות שהושקעו לשם יישום הניסוי היו יקרות מאוד והקושי בייצוב המטוטלת ההפוכה הדופרקית שנבע מאופן התכנון

6 H בשיטת בשנת 99' ([9] 999 Pak (Yi ניסו למצוא אלגוריתם לתכנון משוב מצב רובסטי מודל לא ליניארי של רובוט באמצעות הנחת פתרון מסוים ל HJ החיסרון בשיטה זו היה ( LMs ) שההפרעה שנלקחה לא הייתה חסומה במרחב L כפי שנדרש כמו כן בוצע שימוש ב LineaMatinequalities על מנת לקבל פתרון עבור תחום מוגדר של משתני המצב ע"י פוליטופ אך שימוש זה מחייב תנאי קונבקסי על מנת שיהיה ניתן להשתמש ב LM עבור פוליטופ וזהו תנאי שלא נשמר בעת התכנון

7 H 3 ניסוח בעיית הבקרה פותחו לראשונה עבור מערכות ליניאריות סטציונריות מאוחר H הקדמה בקרה ושערוך במובן של יותר לאחר שהוכח כי ניתן להגיע לאותן תוצאות במסגרת של מה שנקרא משחקים דיפרנציאליים התברר כי השימוש בגישה של משחקים דיפרנציאליים לתכנון ואנליזה של בקרת של התיאוריה (בקרת H מאפשר הרחבה ( H למערכות לא ליניאריות כאמור נושא עבודה זו דן בתכנון מערכת בקרה עבור מערכות לא ליניאריות שאינן תלויות בזמן ולכן נביא בהמשך סקירה קצרה של התיאוריה הקשורה בבקרת למערכות לא ליניאריות נדון גם בתכנון בקרי H עבור מערכות ליניאריות כמקרה פרטי H של בקרת H לא ליניארית המסגרת לניתוח ותכנון בקרים תהיה מבוססת בעבודה זו על המושג מערכת דיסיפטיבית H למערכות לא ליניאריות: ניסוח הבעיה 3 בקרת ( 3 ) נתונה המערכת הלא ליניארית הבאה: a( g( w b( u R n u R w R : y c ( d ( w d ( u y R p z h( d ( w d ( u z R s כאשר: וקטור כניסות הבקר u וקטור כניסות ההפרעה w וקטור יציאות המדידה y וקטור היציאות המבוקרות z הגדרה :3 [4] γ כאשר > z L ( 3) אומרים כי למערכת קיים gain γ ל מ אם וקבוע (t) w(t) ( 3 ) עבור כל תנאי התחלה b( כך ש : b : R n R קיימת פונקציה חיובית: t z( t) dt γ w( t) dt b( ) t t t t t w [ ) L ו L נורמת (ראה: נספח A)

8 ( 3 3) ( ( 3) הגדרה :3 [4] מערכת דיסיפטיבית נתונה המערכת הבאה: (מקרה פרטי של : a( g( w R n w R z h( d ( w z R s [ ) ונניח כי קיים פתרון למערכת t ועבור כל w L (33 ( עבור כל תנאי התחלה לכל המערכת נקראת דיסיפטיבית ביחס לקצב אספקה ate) (supply : p ( w z) R R R s s : R אם קיימת פונקציה ( [ S : R n הנקראת פונקצית אחסון function) (stoage כך R ( 3 4) w t t שעבור כל וכל מתקיים: n R t ( dissipation inequality) S( ( t )) S( ( t )) s w() t z() t t dt הערה: המשמעות של אישוויון זה היא שהאנרגיה האגורה במערכת בכל רגע נתון האנרגיה ההתחלתית ברגע לא מייצרת אנרגיה) וסך כל האנרגיה שסופקה למערכת בפרק t שווה לכל היותר לסכום (כלומר המערכת [ t t הזמן ] t לקצב אספקה ( w z) γ w z משפט :3 [4] אם מערכת מקיימת gain γ היא דיסיפטיבית ביחס s אזי המערכת L הוכחה (ראה: נספח B) ( 5 3 ) t של t t כאשר (34 ( ( ניתן לקבל את: t הערה: [4] אם קיימת S inequality רציפה וגזירה אז ע"י חלוקה ב dissipation (אישוויון הדיסיפטיביות ( diffeential dissipation inequality) S ( s( w z)

9 כאשר: S S ( ( ( n S ( 3 6) z ומשתני ( 3) נתונה המערכת הלא ליניארית Σ מצב כמו כן נניח כי קיים פתרון למערכת כלומר יש לתכנן בקר כך שהחוג הסגור יקיים: עם שתי כניסות: u ו w שתי יציאות: y ו w L ועבור כל עבור כל תנאי התחלה לכל () t dt w() t dt S z γ t [ ) (3 ( ניתן לתאר כמוראה באיור הבא : את המערכת Σ w(t) z(t) u (t) y(t) k(y) איור 3: דיאגרמת בלוקים של מערכת הבקרה וקטור כניסות הבקר וקטור כניסות ההפרעה וקטור יציאות המדידה כאשר: u w y וקטור היציאות המבוקרות z k(y) ) u k(y) H המטרה בבעיית בקרת לא ליניארית היא למצוא בקר מהצורה כולל z(t) גם בקר דינמי) כך שההגבר w(t) ל מ של החוג הסגור יהיה מינימאלי וכך שהחוג הסגור L ( 36) יהיה יציב בעיה זו נקראת בעיית בקרת כתחליף לא ליניארית אופטימאלית והיא בדרך כלל קשה לפתרון יתקיים עבור γ H מקובל לנסח בעיה תתאופטימאלית: תכנון בקר k(y) u כך ש L נתון או במילים אחרות כך שלמערכת בחוג הסגור יהיה gain γ מינימאלי ושהחוג הסגור יהיה

יציב אופטימאלית) כמו גם במקרה הליניארי פתרון מקורב לבעיה האופטימאלית ניתן לקבל ע"י הקטנה של γ כל עוד קיים פתרן לבעיה (אחרי פתרון הבעיה התת (השימוש בשם כאן מבוסס על העובדה שעבור מערכות ליניאריות הגבר L של מערכת יציבה H שווה לנורמת ה ) הגדרה 3A A של פונקצית התמסורת שלה כפי שהוסבר בנספח H 3 משוב מצב ניתן להוכיח כי מערכות דיסיפטיביות בתנאים מסוימים הן יציבות אסימפטוטית בהגדרות ובמשפטים הבאים: נתונה המערכת הבאה: לצורך כך נשתמש a f ( g( w : z h( הגדרה :33 []) 999 Jaes (J W Helton and M R t) z( לכל t אזי ו t) ( לכל w( t) a היא obsevable zeostate אם t הגדרה :34 [] t לכל z( t) אזי t) ( לכל w( t) a היא detectable zeostate אם t a משפט :3 [] P פונקצית אחסון עבור מערכת תהי zeostate obsevable היא אם אזי לכל (לפי הגדרה P( a ( P P P( לכל > נניח כי P גזיר ורציף ו a היא ו P היא נקודת שיווי משקל יציבה אסימפטוטית מקומית של n { R : P( c} zeostate detectable אזי אם בנוסף הוא פרופר (כלומר הקבוצה הינה R P f ( קומפקטית ביחס לנורמה האוקלידית הסטנדרטית ב שיווי משקל יציבה אסימפטוטית של לכל > c ( אזי היא נקודת n f (

בבעיית הבקרה עבור משוב מצב (כמו גם במקרה הליניארי) כל משתני המצב ניתנים למדידה H כלומר y ( 3 7) המערכת בבעיה זו ניתנת [4] בצורה: : ( 3 8) a( b( u g( w h( z u z R s R n u R w R ( 37) Σ משפט :33 [4] נניח כי נתונה המערכת לאישוויון : HailtonJacobi תהי > γ נניח כי קיים פתרון P בעל נגזרת רציפה ב ( HJ ) P ( a( P ( γ g( g ( b( b ( P ( h ( h( R n ( 3 9) u b ( P ( אזי עם משוב מצב מהצורה: ( 3 ) : a( b( b h( z u ( P z R s ( g( w R n u R למערכת בחוג הסגור שהיא: w R קיים gain γ מ w ל z L רציפה למערכת בחוג הסגור ) ולהפך נניח כי קיים משוב מצב מהצורה : k( u כך שקיימת פונקצית אחסון P בעלת נגזרת ( w z) ( w z ) s γ k( ( u עם קצב אספקה ( 37) ( 38) אזי P הוא גם פתרון של הוכחה: ראה [4]

3 משוב יציאה הגישה המיושמת במחקר זה מתבססת על משוב יציאה לכן תתפרק זה מכיל משפטים והוכחות חיוניים לניסוח הבעיה שיעשה בהם שימוש בהמשך ( 3 ) נניח כי נתונה המערכת הלא ליניארית הבאה: a( b( u g( w : y c( w h( z u y R z R s p R n u R w R w w w H כאשר: בבעיית בקרת התתאופטימאלית של משוב יציאה דרוש לבנות בקר אם אפשר עבור ערך γ ( 3 ) : ξ k u ( ξ ) l( ξ ) y k() ( ξ ) () נתון מהצורה: כך שלמערכת בחוג הסגור יהיה gain γ מ w ל z L H הוכחת תנאים הכרחיים לפתרון בעיית בקרת התתאופטימאלית של משוב יציאה: לצורך פיתוח התנאים ההכרחיים נשתמש בהנחות הבאות כמו אחרות שנציג בהמשך כל המרכיבים הלא ליניאריים הן של המערכת (3 ( והן של הבקר ( ( 3 גזירים לפחות פעמיים ורציפים נניח כי הבקר פותר את בעיית התתאופטימאלית של משוב היציאה עבור המערכת ( 3) הניתנת ע"י (3 ( בהינתן γ בנוסף נניח כי קיימת פונקצית אחסון ξ S בעלת נגזרת ( 3 3) s ( w z) ( γ w z ) H שנייה רציפה עבור המערכת בחוג הסגור ביחס לקצב אספקה : Σ

3 ( 34) S ( ξ ) S ( ξ ) ξ ξ γ w ( z ) w כך ש: ( 35) S ( ξ ) γ w } u a( b( ( ξ ) g( w S ( h( ( ξ ) ) w ξ y 64748 ( ξ ) k( ξ ) l( ξ )( c( w ) ( 3 6) S ξ ( ξ ) ( F( )) P ( S ( S ξ ξ P ( S F( ξ F( 35) ( ) נבחין כי כעת נתייחס למשוואה: ונניח כי למשואה זו קיים פתרון ξ F( ל נגדיר: וע"י הצבה של ) ( מאחר ו P [ a( b( ( F( ) g( w ] γ w h( ( F( ) w נקבל: ~ u F( לפיכך משוב המצב k ( פותר את בעיית משוב המצב עבור שב 3) ( עם ) פונקצית אחסון P( ולכן P( הוא בדיוק פתרון של: ( 3 7) ( HJ ) P ( a( P ( g( g ( b( b ( P h h γ ולכן זהו תנאי הכרחי ראשון עבור פתרון של משוב יציאה תנאי הכרחי נוסף שיש להשיג הוא שהבקר יוציא אות u עבור מצב מדידות y או לפחות עבור k ( ) l α "תנאי התחלה אפס" כלומר:

4 ( 3 8) R ( S נגדיר: R ( 3 9) וע"י הצבה של התנאי ξ ו y לתוך 35) ( נקבל : [ a( g( w ] γ w h( w ( 3 ) R ( ( 3 ) [ a( g( w ] γ ( w w ) h( w w c( ( y )c יהיה אפס כלומר מקבלים כי ) w R ( a( γ w γ γ c ( c( g ( R ( 3 ) c( w נקבל : והצבת ) ( γ R ( g( g ( R לכל כך ש w w w וע"י השלמה לריבוע של ( h ( h( ( 3 ) * w γ g ( נקבל : R ועבור ההפרעה המזיקה ביותר: ( HJ ) R ( a( γ R ( g( g ( R ( h ( h( γ c ( c( ובכך מקבלים תחת ההנחות המסוימות את התנאים ההכרחיים עבור פתרון משוב היציאה שהם: קיום פתרון P עבור H התתאופטימאלי HJ) ( הניתן ע"י 37) ( וקיום פתרון R עבור ) ( HJ הניתן ע"י ( 3) כעת ברור מהדרך בה קיבלנו את התוצאות הנ "ל כי הפתרונות P ו R כי חייב להתקיים תנאי שלישי נוסף הנקרא תנאי הצימוד condition) (coupling אינם בלתי תלויים ולכן נראה

R ( S ( F 5 הדרך הפשוטה ובנוסף להניח כי ביותר להוכיח זאת היא ע"י התייחסות של בעלת נקודת מינימום ב P ( ו S ) ( כלומר: S S S( ξ ) ξ S S S ξ S ξ S S S ξξ S ξ S S ב ) ( : S ויתרה מכך מטריצת ה Hessian של S S ξξ מקיימת: > ומכאן מקבלים כי: P P () R() R () R ובנוסף מההגדרה של P ו (ובאמצעות שימוש ב (Shcu copleent ניתן ליראות כי: P ) S SS S R () ( S P R () n ( 3 cc) P ( R ( R אשר מניב את תנאי הצימוד החלש condition) (coupling : ( S כאשר ) < R () P ( ) או או לחילופין תנאי הצימוד החזק condition) (coupling : ( 3 ) ( 3) לסיכום: ניתן לומר כי עבור המערכת ל ומבנה בקר מהצורה למערכת בחוג הסגור קיים ( 3 3) ( HJ) ( HJ ) P ו R למערכת איהשוויונים : P ( a( P ( g( g γ R ( a( γ R ( g( g ( 3 c c) P ( R ( z אם קיים פתרון מ w L gain γ ( b( b ( P ( h ( h( ( R ( h ( h( γ c ( c( H זהו תנאי הכרחי לקיום פתרון בעיית בקרת התתאופטימאלית של משוב יציאה כך שהמערכת בחוג יהיה gain γ מ w ל z L ( 33) הסגור

6 ( 3 4) יתרה מכך משוב יציאה מהצורה של (3 ( ניתן ע"י : ξ a u b ( ξ ) b( ξ ) b ( ξ ) P ( ξ ) k l γ n ( ξ ) P ( ξ ) ξ R ξ ξ g( ξ ) g ( ξ ) P ( ξ ) γ R ( ξ ) P ( ξ ) ξ ξξ ξξ c [ ] ( ξ ) y( t) c( ξ ) ( ξ ) a( ξ ) b( ξ ) b ( ξ ) P ( ξ ) g( ξ ) g ( ξ ) P ( ξ ) γ R ( ξ ) P ( ξ ) c [ ] ( ξ ) ( ξ ) γ R ( ξ ) P ( ξ ) ξξ ( ξ ) b ( ξ ) P ( ξ ) ξ ξξ ξ ξ γ ξ ξ [ ] c [ ] ( ξ ) c( ξ ) ξξ ξξ ξ כלומר: (הוכחה ראה [] או [5]) H למערכות ליניאריות: מקרה פרטי של מערכות לא ליניאריות 3 בקרת H הליניארית ( 3) בסעיף זה ננסח את בעיית בקרת נניח כי נתונה המערכת הלא ליניארית כאשר: ( 3 5) a( A d ( D g( B d ( D b( B d ( D c ( d c ( D ( ( 3 6) מכאן מתקבל הייצוג במרחב המצב הליניארי הבא: : A B w B u y D z D w D w D u u R y R z R s n p u R w R z ומשתני מצב כפי שתואר קודם לכן באיור 3 עם שתי כניסות: u ו שתי יציאות: y ו w

בקר מהצורה 7 מטרת הבעיה הליניארית זהה לזו של הבעיה הלא ליניארית שהוזכרה בסעיף 3 והיא: למצוא k( y) k(y) ) u כולל גם בקר דינמי) כך שנורמת המערכת המעתיקה את w(t) H H ל z(t) של החוג הסגור תהיה מינימאלית והמערכת יציבה בעיה זו נקראת בעיית בקרת ליניארית אופטימאלית וכמו במקרה הלא ליניארי היא בדרך כלל קשה לפתרון במקומה פותרים בעיה תתאופטימאלית והיא תכנון בקר k(y) u כך שנורמת המערכת המעתיקה את ל w(t) H gain γ קטנה מערך נתון γ או במילים אחרות כך שהמערכת בחוג הסגור תקיים מינימאלי וכך שהמערכת בחוג הסגור תהייה יציבה תהייה z(t) עבור γ באופן עקרוני ניתן לקבל פתרון אופטימאלי ע"י שימוש בסדרה של פתרונות תתאופטימאליים כאשר כל פתרון כזה מבוסס על γ קטן מזה השייך לפתרון הקודם לו בסדרה 3 משוב מצב כפי שצוין קודם לכן בסעיף 3 בבעיית בקרת H עבור משוב מצב מניחים כי כל משתני ( 3 7) : A B w B u z D Q u y המערכת בבעיה זו ניתנת בצורה: R u המצב ניתנים למדידה כלומר R R (מוגדרת חיובית) הן מטריצות המשקל > לא שלילית) (מוגדרת Q Q כאשר z Q R u אך מטעמי תכנות נשתמש בייצוג שלעיל הערה: ניתן לרשום באופן כללי משפט :35 [4] הינו נניח כי הזוג A detectable Q ו > γ אזי קיים בקר : L כך שהמערכת בחוג הסגור מקיימת gain γ > X למשוואה: ( 8) 3 u K והיא יציבה אסימפטוטית אם ורק אם קיים פתרון

8 ( 3 9) XA A X X γ B B BR B X Q Q ( 3 3) AQ QA γ או לחילופין כאשר כופלים את (39 ( משני הצדדים ב : Q X B B BR B Q Q הערה 3: אי שוויון (37 ( (HJ) הופך ל (39 ( כאשר המערכת הינה ליניארית למעשה : ( 3 3) h( Q ( A g( B b( B z R u R u a 38) ( נקבל : ע"י הצבה ישירה לתוך HJ) ( ( 3 3) ( HJ ) P ( A P ( [ B B B R B ] P ( Q γ K מקיים את תנאי המשפט ( 3 9) B אז הבקר X כמו כן אם יש פתרון ל

9 w γ B P ( עם הבקר הטוב ביותר והפרעה המזיקה ביותר u k( R B P ( )P כאשר המטריצה וע"י בחירה של פונקצית אחסון יתקבל וההפרעה המזיקה ביותר יהיה: X R מוגדרת חיובית למחצה n n ( HJ) ולכן w γ B X X ( 38) XA X XA XA [ γ B B B R B ] XA X A X X [ γ B B B R B ] [ γ B B B R B ] X Q X Q X Q נזכור כי XA הוא סקלר ולכן XA A X : X ומכאן מקבלים את אישוויון ריקטי עבור ( 3 33) XA A X X γ B B BR B X Q ולכן למערכת הליניארית בחוג הסגור gain w z מ ל קיים γ L משפט :36 [4] אזי קיימת סביבה U ( 39) detectable וכי A נניח כי הזוג הינו X הוא פתרון ל Q U המוגדרת ב P של הראשית ופונקציה גזירה (לפחות פעמיים) ) ( כך ש P הוא פתרון של ורציפה עם U הוכחה ראה [] ( 3 8) הניתן ע י" ב ( HJ) P P ( HJ) הוא פתרון ל U המוגדר בסביבת P טענה :3 [4] נניח כי של אזי עם משוב מצב המוגדר ( 3 34) מקומית: u b ( P ( U וכל U כל U z עבור כל למערכת בחוג הסגור קיים gain γ מקומי מ w ל () ( ) w L כך שהמסלול של מרחב המצב המתחיל מ אינו עוזב את L

3 משוב יציאה ( 3 35) : A B w B u y w z D Q u R u המערכת בבעיה זו ניתנת בצורה: ( 3 36) l : ξ F ξ L y u R B Xξ המטרה למצוא בקר ליניארי מהצורה: הגדרה 35: מקיימת את תכונות ה stabilizability וה detectability אם A B אומרים כי השלישייה Q הינו detectable בהתאמה AQ ) A B ( הינו stabilizable והזוג הזוג stabilizability A B Q משפט :37 [4] נניח כי השלישיות ו אזי קיים משוב יציאה דינמי ליניארי מהצורה מקימות את תכונות ה כך שהמערכת וה בחוג הסגור X ו L מ detectability מקיימת gain γ ל קיימים פתרונות ( 336) ( A B ) z והיא יציבה אסימפטוטית אם ורק אם w ( 3 37) W למערכת האישוויונים הבאה: () () 3 XA A X X BB BR B X Q γ WA A W WBB W Q γ γ X W

( 3 38) שבנוסף מקיימים את: σ ( A γ W W Q) הערה 3: ניתן להבחין כי המודל הליניארי (335 ( הוא מקרה פרטי של המודל הלא ליניארי (3 ( כאשר : h( Q a( A g( B b( B c( z R u R u כפי שהוסבר קודם לכן בהערה 3 במשוב מצב ניתן לקבל את משוואת ריקטי מתקבל כי: 337) ( מ ( X P P( ובנוסף מהבחירה של פונקצית האחסון X 3 ( מ ) ( HJ בהצבה ישירה של המקרה הפרטי לתוך HJ 37) ( HJ) באופן דומה ניתן לקבל את נקבל: ( HJ ) R ( A γ R ( BB R ( Q γ ע"י בחירה של פונקצית אחסון מהצורה תקבל HJ את הצורה: כאשר המטריצה n n W R מוגדרת חיובית WA γ ( 337) () WB B W R( Q γ WA A W WBB W Q γ γ W ומכאן מקבלים את: ( 33)( 3c c ומכיוון שהבחירה של R אזי אישוויון ) ( W גוררת אחריה כי )R W ( 33)( 3 c c) P ( R ( ( 337)( 3) X W של המקרה הלא ליניארי מתקבל בהצבה פשוטה:

( 3 37) () () 3 XA A X X BB BR B X Q γ WA A W WBB W Q γ γ X W ( 33) ומכאן מקבלים את: שהוא מקרה פרטי של המקרה הלא ליניארי (338()337 ) אזי קיימת סביבה ~ U של הראשית ופונקציה גזירה משפט :38 [4] נניח כי > W הוא פתרון ל (לפחות פעמיים) ורציפה ~ > R המוגדרת ב U עם ) ( R R כך ש R הוא פתרון של 3) ( ב ~ U ( HJ ) הניתן ע "י אזי קיימת סביבה ~ U של טענה :3 [4] אם קיימים פתרונות X ו > W ל הראשית ופונקציות גזירות (לפחות פעמיים) ורציפות שהם פתרונות ל המקיימים את ~ P ו > R ב U עם P ו () X ( 338) ( 337) 33) ( ב ~ U R () W כאשר המערכת הליניארית המתאימה לה היא (335 ( ( 3) משפט :39 [4] נניח כי נתונה המערכת הלא הליניארית מקימות את תכונות ה stabilizability וה ( 337()3 337()38) ( בהתאמה 38) ו A B Q ונניח כי השלישיות X ו > W פתרונות ל אזי בהתאם לטענה 3 לפתרונות מקומיים ( 337(3) ) detectability יהיו אשר מקיימות את > R של ו P פותר מקומית את בעיית משוב היציאה הלא ליניארית עבור מערכת ופונקציה מוגדרת בו כך שלמערכת בחוג הסגור w L ( ) S ( () ξ ) כל וכל Uˆ ( A B ) z עבור כל U ˆ 3) ( 3 משוב היציאה 34) ( ( 3 ) במובן שקיימת סביבה ˆU של L קיים gain γ כך שהמסלול של ל אינו עוזב את מקומי מ w ( (t) ξ ( t) )

( 3 39) ξ 3 משוב יציאה ליניארי מהצורה של (336 ( ניתן ע"י: ( A γ B B Q B B Q ) ξ γ ( W Q ) W ( y ξ ) u B Q ξ L 64444 7 44448 ניתן לקבל את משוב יציאה זה באמצעות ליניאריזציה של (34 ( [4] שזהו בדיוק משוב היציאה המופיע ב

4 H למטוטלת הפוכה דופרקית 4 בקרת 4 תיאור כללי של מערכת הבקרה עבור מטוטלת הפוכה דופרקית פרק זה מתאר באופן כללי את מבנה מערכת הבקרה של מטוטלת הפוכה דופרקית הכולל ציון הכניסות והיציאות של המערכת והמרכיבים השונים של המערכת והבקר איור 4 למטה מתאר את מבנה מערכת הבקרה אנקודרים זרוע אנכית עליונה מחשב זרוע אנכית תחתונה φ כניסה ספק זרוע אופקית מנוע יצאות מבוקרות איור 4: תיאור מערכת הבקרה מטרת מערכת הבקרה היא רגולציה של משתני המצב φ כאשר הבקרה מתבצעת φ באמצעות מחשב כמוראה באיור מערכת הבקרה בנויה ממספר מכלולים עיקריים כדלקמן: המערכת המכאנית : מנוע זרוע אופקית זרוע אנכית תחתונה וזרוע אנכית עליונה כאשר לכל זרוע קיים חיישן זווית (אנקודר) משלו המערכת האלקטרונית : ספק מערכת הגנה אלקטרונית המשמשת להגנה על המנוע וקווי תקשורת/חיווי בין המחשב לרכיבי הקלט פלט 3 החומרה: מחשב הכולל את כרטיס הבקרה DSPAE המשמש כיחידת הבקרה

5 מטוטלת הפוכה דופרקית היא מערכת מכאנית הבנויה משלוש חוליות: חוליה אופקית המסוגלת לנוע בדרגת חופש אחת שהיא תנועה זוויתית במישור האופקי חוליה זו מונעת באמצעות מנוע חשמלי הכולל תמסורת גלגלי שיניים תנועה זו עוברת דרך חיישן זווית (אנקודר) המספק למחשב אינפורמציה שוטפת של זווית החוליה כפונקציה של הזמן חוליה אנכית תחתונה הנעה במישור האנכי חוליה זו מחוברת באמצעות ציר לחוליה האופקית זווית החוליה האנכית התחתונה נמדדת ע"י אנקודר ומספקת למחשב אינפורמציה באופן רציף חוליה אנכית עליונה מבצעת תנועה באותו מישור שבו נעה החוליה האנכית התחתונה ומחוברת לזו באמצעות ציר גם זווית חוליה זו נמדדת ע"י אנקודר ומוזנת למחשב על פי תיאור זה המערכת המכאנית הינה בעלת שלוש דרגות חופש קיימת כניסת בקרה אחת: מתח למנוע וכן קיימות שלוש יציאות: הזוויות של כל אחת מהחוליות אות הכניסה למערכת מגיע מהבקר שהוא כרטיס במחשב ועובר דרך הספק האלקטרוני אל המנוע המצוי במערכת המכאנית כרטיס ה DSPAE ניתן לתכנות באמצעות שפת או/ו באמצעות ה SMULNK שמצוי ב MALAB תוכנה זו מותקנת בתוך החומרה של הכרטיס על מנת שיהיה ניתן לבקר את המערכת בזמן אמת בנוסף ניתן לתכנת באמצעות הכרטיס לוח בקרה המשמש ממשק בין המשתמש לבין כרטיס הבקרה מרגע שהמערכת מופעלת עוברים הנתונים של המיקום הזוויתי של כל אחת מהחוליות (באמצעות האנקודרים) ישירות אל הבקר לצורך חישוב אותות הבקרה להלן האיור של המערכת המעשית: איור 4: תיאור המערכת המעשית

6 את מערכת הכוללת ניתן לתאר באמצעות דיאגראמת בלוקים באופן הבא: זוויות של החוליות המערכת המכאנית מתח מחשב איור 43: תיאור המערכת באמצעות דיאגראמת בלוקים מופשטת כפי שהוצג בפרק הקודם בקרת מבוססת על ייצוג במרחב המצב אשר דורש בין השאר שימוש H במשערך לצורך שערוך משתני המצב הערה: בפועל מדידת הזוויות מלוות ברעשי מדידה ולכן גזירה נומרית של האותות מניבה תוצאות גרועות עבור המהירות הזוויתית של החוליות ולכן דרוש משערך ניתן לתאר את איור 43 בפרוט יתרה באופן הבא: זוויות של החוליות המערכת המכאנית מתח מחשב אות יחוס משערך זוויות ומהירויות של החוליות בקר איור 44: תיאור המערכת באמצעות דיאגראמת בלוקים מורחבת לאור האמור לעיל מטרת חלק זה של העבודה היא תכנון בקר המבוסס על משוב יציאה עם משערך מצב לצורך תכנון הבקר נפתח תחילה את המודל הדינמי של מערכת זו

7 4 פיתוח המודל המתמטי מערכת מטוטלת הפוכה דופרקית היא מערכת בעלת שלוש דרגות חופש המורכבת משלוש זרועות: זרוע אופקית זרוע אנכית תחתונה וזרוע אנכית עליונה כמוראה באיור 45 למטה מערכת זו תתואר בהמשך כמערכת בעלת כניסה אחת: מומנט המנוע F ובעלת פלט תלת מימדי: φ (ראה איור 45) ציר המנוע l L v v h v v c fφ l F ~ M L v v h oc φ v v c ציר ציר איור : 45 מודל מטוטלת הפוכה דופרקית מסות הזרוע האופקית והזרועות אנכית תחתונה ואנכית עליונה בהתאמה ~ M i אורך המוט האופקי L i אורכי המוטות האנכיים בהתאמה מרחק מרכזי המסות מהקצה התחתון של כל אחת מהחוליות האנכיות בהתאמה מרחק מרכז המסה של החוליה האופקית מציר הסיבוב שלה הזוויות של המוטות ביחס לאנכים מקדם החיכוך הויסקוזי f F המומנט שמפעיל המנוע

8 מהירות קווית אופקית של המוטות ו בהתאמה יחסית למרכזי הכובד שלהן מהירויות קוויות אנכיות של המוטות ו בהתאמה יחסית למרכזי הכובד שלהן v h v h v v v v מומנט האינרציה סביב מרכז המסה של המוטות ו בהתאמה c c c המרחק הקצר ביותר מציר המנוע אל מרכזי המסות של המוטות ו בהתאמה l l האנקודר כמסה מכיוון שעל החוליה האנכית התחתונה קיים אנקודר אזי נתייחס לחוליה האנכית התחתונה כולל שטיינר באופן הבא: ולכן מרכז המסה של חוליה זו לא יהיה במרכזה כתוצאה מכך יש להפעיל את חוק ( 4 ) M e M v את מסת הזרוע האנכית תחתונה הכוללת כלומר כולל מסת האנקודר נגדיר: M v M e כאשר מסת האנקודר ו מסת הזרוע האנכית התחתונה ( 4 ) כעת מומנט האנרציה המקורי (כפי שהוגדר לעיל) הוא: c M v L ( 4 3) מומנט האנרציה של הזרוע האנכית התחתונה יהיה נתון ע"י: ( L ) M ( L ) M ( L ) c M v v e לעומת זאת מומנט האנרציה של החוליה האנכית העליונה יחסית למרכז המסה הוא: ( 44) c L נפתח עתה את משוואות התנועה לפי משוואות אויילרלגראנג' ונציג את המודל הדינמי המתקבל במרחב המצב כמו כן נציג את המודל הליניארי המתקבל הערה: על מנת לפתח את המודל המתמטי ניתן להשתמש בשיטת DenavitHatenbeg המיועדת לניתוח מערכת רובוטית אך בשל נוחות תכנות נשתמש במשוואות אויילרלגראנג'

9 פיתוח מודל מתמטי לפי שיטת לגראנג'יאן: כידוע L מייצג את הפרש בין האנרגיה הקינטית לאנרגיה הפוטנציאלית : ( 4 5) L U ומשוואות אויילרלגראנג' מתוארות בצורה: L t q i L q ( 46) τ i 3 { } i i כאשר: אנרגיה קינטית U אנרגיה פוטנציאלית כוחות מוכללים τ i qi קואורדינאטות מוכללות חישוב אנרגיה קינטית : ( 47) v h v v ( 48) ( 49) v h v v L L L ~ { M ( φ ) ( φ v ) v ( φ v ) v h v h v c c c φ } { l φ l φ } ולכן: ( L ) l l ( ) כאשר: ו c ( 4) M ( ) ~ M 4 נגדיר:

3 לש הבצהב ןכלו ךותל יכ םילבקמ : 9 4 4 { } { } { } ) ( 4 φ φ φ φ L L L M c c :רידגנ { } L :לבקנו [ ] [ ] [ ] ) ( 4 φ φ φ L L M c c [ ] [ ] [ ] [ ] φ φ φ φ φ φ φ 43 L L L L L M c c φ φ φ 44 L L L M c c תילאיצנטופ היגרנא בושיח : U 5 4 L g g U

3 :ןאי'גנארגלה בושיח ( [ ] φ φ φ 46 L g g L L L M U L c c ) 'גנארגלרלייוא תואוושמו :םה תולבקתמה () () 3 47 φ φ φ L L t L L t f F L L t () [ ] [ ] [ ] () [ ] [ ] 3 48 φ φ φ φ φ φ g L L t gl g L L L L L t f F L M t c c :רידגנ φ φφ L L L L L L

( 49) () ( M ) ( ) φφ φ ( L ) ( L ) F ( f ( ) 3 ( L ) ( L ) φ L ( ) c ( L ) φ L ( ) ( ) ( ) φ [( L ) φ L ( ) g gl ] () 3 ( ) φ L ( ) c φ L ( ) ( ) ( ) φ [ φ L ( ) g ] ( 4) () ( M ) ( ) φφ φ ( L ) ( L ) F ( f ( ) ( L ) φ ( L ) L ( ) ( ) φ L ( ) ( L ) () 3 φ L ( ) ( ) ( ) φ L ( ) g c c φ g φ φ φ את משוואה הגיר והמנוע (נילקח מ [] Bishop ) R Dof R H ניתן לרשום באופן הבא: ( 4 ) φ a φ K u u לבין a (כאשר קבועי המנוע שדרוש למצוא) המתאר את הקשר בין המתח הנכנס למנוע K ( 4) הכפלה של (קבוע ידוע) במשוואה היוצא מהמנוע אזי ע"י a φ f φ k f a a k זווית היציאה של המנוע φ ומכיוון שמתח המנוע פרופורציוני למומנט F u F K a 4) ( מקבלים : a כאשר: : a ( M ) או באופן שקול כאשר a 644 7 444 8 } F ( 43) ( M ) φ f φ ku / ( 44) ( M ) φ f φ k u F ( k ו כאשר f קבועי המנוע הניתנים למציאה ע"י ניסוי זיהוי מערכת(ראה נספח

33 לש הבצה תעכ F 44 האוושמ ךותל ( לש ) ריגה ללוכ תכרעמה תואוושמ תא בינמ :םהש עונמהו 4 () () 3 45 φ φ φ φ φ φφ g L L g L L L L L f u k L L M c c ב הלפכה י"ע לוקש ןפואב וא לש לבקנ : 45 () () 3 46 φ φ φ φ φ φφ g L L g L L L L L f u k L L M c c :רידגנ 7 4 g p g L p p L p L p p L p M M p c c 8 7 6 5 4 3

34 :לבקנו 8 4 8 7 5 5 3 6 5 3 5 4 3 φ φ φ φφ p p u k p p p p f p p p p p p p p p G M יטמתמה לדומה לש תוימנידה תואוושמה םהש בצמה בחרמב יטמתמה לדומה תא גציינ תעכ רדס תדרוה הליחת עצבנ ךכ םשל :רידגנ 9 4 [ ] 3 6 5 4 6 5 3 3 6 5 4 3 6 5 4 3 G u M φ φ φ שרופמב וגיצהלמ ענמא דואמ ךורא ל"נה לדומה לש שרופמה בצמה בחרמב גוצייהו רחאמ ןתינ םוקמבו תא גצייל לבקתהש יראיניל אלה לדומה :תלבוקמה הרוצב 3 4 ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 6 R R R R R s p nl n z u R h t z y c t y u w t u g w t g f t

35 g ( מתקבלים ישירות מפתוח המודל ושאר המרכיבים כגון: ) ( ( ( g יקבעו c כאשר ( f ו ) ( h ( בהתאם לדרישות התכנון בהמשך בהתאם לגורמים המאפיינים את המערכת ו R מאחר ובמחקר זה תיושם השיטה למציאת משוב יציאה ליניארי עבור מטוטלת הפוכה דו פרקית הרי שיש צורך בליניאריזציה של המודל הלא ליניארי אם קיים פתרון למערכת הליניארית אזי ע"י שימוש במשפט 38 וטענה 3 הפתרון הליניארי הוא גם הפתרון עבור המערכת הלא ליניארית בסביבה מסוימת U של כעת השאלה הנשאלת היא האם קיים פתרון מייצב למערכת הליניארית כך שלמערכת בחוג הסגור קיים ( A B ) W X ו ו A B Q L לשם כך נשתמש במשפט 37 כלומר אם השלישיות detectability מקימות את תכונות ה stabilizability למערכת האישוויונים וה שבנוסף מקיימים גם את ו וקיימים פתרונות (338 ( אזי קיים משוב יציאה דינמי ( 33) ליניארי מהצורה (339 ( אסימפטוטית כך שלמערכת בחוג הסגור קיים gain γ ל והיא יציבה ( 337) z w מ L W ( 337) gain γ כעת השאלה הנשאלת היא מתי קיימים פתרונות לשם כך נשתמש במשפט הבא: X ו למערכת האישוויונים unobsevable odes ( A) משפט :4 []) Geen995 (M stabilizable נניח כי הזוג הוא ולזוג אין שערכים A B עצמיים שלהם נמצאים על הציר המדומה אזי הנחות אלו מהוות תנאי מספיק והכרחי לקיום פתרון מייצב ( 4 3) למשוואת ריקטי: A P P A P BB P (M Geen995 משפט :4 []) ונניח גם כי קיים משוב מצב כך של 3) ( 4 נניח כי התנאי במשפט 4 מתקיים ו הוא פתרון שמערכת בחוג הסגור (39 ( יציבה ובעלת gain < γ אזי קיים פתרון למשוואת ריקטי (33 ( L P ( 3) ( 3 )( ) של 3 זהה למשוואת ריקטי 37 וגם () 337 ) ( בעלת אותו מבנה כעת נבחין כי (3 ( 3 W) ומגדירים > W אם מכפילים את ב ואחר כך ב משני הצדדים (כאשר γ ( 337) () ( 4 3) ( 3 ) כך שאת () 37 ניתן לרשום: Y γ W YA AY Y Q γ Y BB

36 ומכיוון שתכנון משוב היציאה מתבסס על עקרון ההפרדה אזי עבור מתקיים ובנוסף משוואות γ תנאי הצימוד 3cc) ( תמיד מקבלות מבנה זהה לזה של ומכאן שתנאי מספיק ( 337) ( 337()337() ) W והכרחי לקיום פתרונות משוואה והן על משוואה למערכת האישוויונים הוא קיום משפט 4 הן על ( A B ) ו A B Q כלומר: השלישיות ( 337) בהתאמה מקימות שניהם את תכונות ה stabilizability וה detectability בנוסף בהתאם למשפט ובהתאם למשפט 39 ( 3) ( 43) L ( 337) () X ו 38 המערכת הליניארית בחוג הסגור יציבה אסימפטוטית ובעלת gain γ הבקר הליניארי פותר מקומית את בעיית משוב היציאה הלא ליניארית עבור מערכת () משפט :43 ) [3] 996 Khalil (H K כאשר f ( נניח כי היא נקודת שיווי משקל של המערכת הלא ליניארית f A ( אזי : היא פונקציה רציפה וגזירה ו D היא סביבה של הראשית תהי n f : D R הראשית יציבה אסימפטוטית אם A של כל הערכים העצמיים של Re < λ i A עבור לפחות אחד או יותר מהערכים העצמיים של Re( λ ) > i הראשית אינה יציבה אם ( 4 33) ליניאריזציה: על מנת שיהיה ניתן לתכנן בקר ליניארי עבור המודל יש צורך בליניאריזציה של המודל באופן הבא: בהתאם לייצוג (43 ( נגדיר : f A c ( 4 34) B B g h H Q g ונקבל את הייצוג במרחב המצב הליניארי הבא: : ( t) A( t) B w( t) B u( t) y( t) Q z( t) ( t) ( t) R u( t) R y R z R n 6 s 4 w R p 3 u R

37 5 סימולציות 5 נתוני המערכת מטוטלת הפוכה דופרקית בשלב זה תבוצענה סימולציות על תכנון משוב מצב ועל תכנון משוב יציאה נתוני המערכת שנלקחו בניסוי הם: M L L c k c kg 48 kg 8 kg 9 79 N / Volt f 345 N / s g 98 /s 3 95467e 4 93333e 4 ( 4kg 8kg) encode kg kg vetical _ down _ link הערה: הליניארית כל הסימולציות תבוצענה על המודל הלא ליניארי בעוד שתכנון הבקר יבוצע על המודל ביצוע ליניאריזציה למערכת הלא ליניארית כפי שהוגדר ב (433 ( יניב את המערכת הליניארית הבאה : ( 4 34) : ( t) A( t) B w( t) B u( t) y( t) ( t) z( t) ( t) D Q u( t) ( t) u t R R y R z R n 6 p 3 s 4 w R u R

38 :םה ליעל וניוצש םיכרעה רובע ולבקתהש תוצירטמה 5 5 8896 7845 83 9554 5487 54979 56 9669 A ; 4 386 9588 B ; ; * 3 e B ; 5 9 D בצמ בושמ 5 רוכזכ וז היעבב הדידמל םינתינ םיבצמה לכ יכ םיחינמ :רמולכ y y :לוקש ןפואב וא 5

39 שעסק במציאת בקר ליניארי עם משוב מצב יש צורך בפתרון משוואת ( 3) את משוואת ריקטי 3 ( 38) כעת בהתאם לסעיף (3 ( ( 33) ריקטי על מנת לקבל את חוק הבקרה שקול באמצעות Schu copleent (ראה [4] 994 Boyd (S ע"י: ניתן לייצג באופן ( 5 3) () AQ QA Q > B R * * B B γ * Q < ( 5 4) או באופן שקול: AQ QA B Y Y () * γ < Q > * B B * ( 54) Q ( 53) Y D הוכחת השקילות בין ייצוגי ה LMs ל ראה נספח ( 5 5) כאשר חוק הבקרה הוא מהצורה u K כאשר: Q X Y KQ K YQ γ והמינימיזציה מתבצעת על γ ו Q Y כלומר יש לפתור שני LMs כאשר הנעלמים הם: ( 5 6) γ 5674e in 4 הערה: השימוש בשיטה זו בוצע משיקולים שמאפשרים תכנון רובסטי באמצעות תוכנית ב MALAB מקבלים את התוצאות הבאות: ( 5 7) K e 4 * [ 83 469 884 77 334 47]

4 ( 5 8) תוצאות הסימולציות שהתקבלו עבור המודל הלא ליניארי עם תנאי התחלה במעלות של : [ 33 ] הן: 6 4 he positions XXX3 Xphi HOR Xtheta VER down X3beta VER up R e s p o n s e ( Degees ) 4 6 8 3 4 5 6 tie [sec] γ in איור 5: מיקום החוליות במעלות עבור משוב מצב עם 3 5 he velocitys X4X5X6 X4dfi HOR X5dtheta VER down X6dbeta VER up R e s p o n s e ( p ) 5 5 5 5 3 4 5 6 tie [sec] γ in איור 5: מהירות החוליות בסל"ד עבור משוב מצב עם

4 4 u 35 3 R e s p o n s e ( volt ) 5 5 5 5 3 4 5 6 tie [sec] איור 53: אות הבקרה בוולטים עבור משוב מצב כאשר ההפרעה w מהצורה : Distubance velocity R e s p o n s e ( p ) 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 tie [sec] איור 54: כניסת ההפרעה w B w 3 p הערה : נזכור כי ההפרעה הכוללת היא:

4 γ in ומכיוון שהגברים כה גבוהים יכניסו את המערכת לרוויה (לפי גרף המתח) אזי פשוט נגדיל מעט את ( 5 9) K על מנת לקבל הגברים נמוכים יותר בחירה של 3 e γ מניבה את הבקר הבא: [ 5794 86 537 7535 337 545] תוצאות הסימולציות שהתקבלו עבור המודל הלא ליניארי עבור אותם תנאי התחלה הן: 4 he positions XXX3 Xphi HOR Xtheta VER down X3beta VER up R e s p o n s e ( Degees ) 4 6 8 4 6 4 6 8 4 6 8 tie [sec] איור 55: מיקום החוליות במעלות עבור משוב מצב 4 he velocitys X4X5X6 X4dfi HOR X5dtheta VER down X6dbeta VER up R e s p o n s e ( p ) 4 6 8 4 6 8 4 tie [sec] איור 56: מהירות החוליות בסל"ד עבור משוב מצב

43 5 u 5 R e s p o n s e ( volt ) 5 5 4 6 8 4 6 8 tie [sec] איור 57: אות הבקרה בוולטים עבור משוב מצב עבור אותה כניסת הפרעה w 53 משוב יציאה כזכור בבעיה זו מניחים כי לא ניתן למדוד את כל המצבים הזוויות של החוליות כלומר: במקרה הנדון ניתן למדוד רק את שלושת ( 5 ) 53 משוב יציאה שיטה : כעת בהתאם לסעיף האישוויונים (3 ) שעסק במציאת בקר ליניארי עם משוב יציאה יש צורך בפתרון מערכת (337 ( זהה לחלוטין ל( 39 ) ונזכור כי ניתן לייצגו כ( 3 ) 3 ולכן ניתן לייצג באופן שקול באמצעות Schu copleent 337) ( כעת את מערכת אישוויונים (337 ( ) [4] 994 Boyd (S ע"י:

44 ( 5 ) (337 ( ניתן לייצוג כפי שהוסבר לעיל ע"י : () AQ QA Q > B R * * B B γ * Q Y D < ( 5 ) ( 337) ) ניתן לייצוג ע"י : ) () 3 A ( 4) W > ( 5 3) W * W WA γ Q * * () 5 > * WB < γ (337 ( ניתן לייצוג ע"י : (3) ותנאי נוסף לא הכרחי שיש להוסיף הוא שנורמת של X L תהייה מינימאלית או לחילופין שיתקיים היא מטריצת החסם על X שנורמת L שלה תהייה מינימאלית וכתוצאה מכך גם כאשר H H > X ( 5 4) H * Q ( 6 ) > הנורמה של X תהייה מינימאלית ובאמצעות Schu copleent כלומר יש צורך בפתרון של שישה כאשר הנעלמים הם: נקבל: והמינימיזציה מתבצעת ( 5 5) ξ Q W Hγ LMs על H מבנה משוב היציאה במקרה זה יהיה: ( A γ B B Q B Q ) ξ γ ( W Q ) W ( y ξ ) u B Q ξ L 64444 7 44448 [ 3 3 ] תוצאות הסימולציות שהתקבלו עבור המודל הלא ליניארי עם תנאי התחלה במעלות של :

45 ( 5 6) γ feasp 53956e 3 הן: 5 he positions XXX3 Xphi HOR Xtheta VER down X3beta VER up R e s p o n s e ( Degees ) 5 5 3 4 5 6 tie [sec] γ feasp איור 58: מיקום החוליות במעלות עבור משוב יציאה עם 5 he positions XXX3 Xphi HOR Xtheta VER down X3beta VER up R e s p o n s e ( Degees ) 5 5 3 4 5 6 tie [sec] γ feasp איור 59: אות הבקרה בוולטים עבור משוב מצב עם עבור אותה כניסת הפרעה w שהוצגה בסעיף 5

46 התוצאה המתקבלת עבור תגובה זו היא בעלת תחום פעולה גדול יחסית של החוליות על מנת לקבל תחום פעולה נמוך יותר בחירה של ולכן נגדיל את 3 e γ מניבה את הבקר הבא : ( 7 5 ) γ feasp Ac e 5 * 93 64 64 3469 3 847 368 4354 99 64 3 3398 5 43 76 3 3 6 Bc e 5 * 93 64 846 4357 64 3469 3 445 98 53 3 3398 9 3 737 c Dc [ 945 8959 38 646 3376 34 ] [ ] הקטבים של המשערך בחוג הסגור המתקבלים הם: ( 5 8) eigenvalue s A c e 5* 9879 343499 33988 53 4 3

47 תוצאות הסימולציה על המודל הלא ליניארי בשיטה (המתקבלים עבור אותה כניסת הפרעה תנאי התחלה שהוצגו בסעיף 5) הם: w ואותם 6 4 he positions XXX3 Xphi HOR Xtheta VER down X3beta VER up R e s p o n s e ( Degees ) 4 6 8 4 4 6 8 4 tie [sec] איור 5: מיקום החוליות במעלות עבור משוב יציאה שיטה u 5 R e s p o n s e ( volt ) 5 5 4 6 8 4 tie [sec] איור 5: אות הבקרה בוולטים עבור משוב יציאה שיטה

48 53 משוב יציאה שיטה : כעת נתכנן משוב יציאה עלפי מיקום קטבים של המשערך הבעיה תהייה מנוסחת באופן זהה לזו שהוצגה קודם לכן כלומר נשתמש בעקרון ההפרדה על מנת לתכנן את הגבר הבקר כפי שתוכנן בסעיף בעוד שהפעם תכנון הגבר המשערך L יקבע בהתאם למיקום קטבים כך ששגיאת ( 59) 5 השערוך תתכנס לאפס מהר יותר מאשר וקטור המצבים אשר מהירותו נקבעת בהתאם לקטבים של הבקר ( 5 9) K בשלב הראשון תוכנן הבקר כפי שחושב בסעיף 5 והבקר שהתקבל עבור 3 e γ היה: [ 5794 86 537 7535 337 545] [ 3deg 3deg ] עבור תנאי ההתחלה: ( A ) eigenvalues L בשלב השני לאחר מציאת הבקר נדרוש כי הקטבים של המשערך בחוג הסגור שהם: ( A B K ) eigenvalues ( 5 ) eigenvalue s יהיו מהירים פי מהקטבים של המערכת הדינמית בחוג הסגור שהם: ובכך משיגים כי שגיאת השערוך מתכנסת מהר יותר לאפס מאשר וקטור המצבים ( A L ) * eigenvalues( A B ) K הקטבים של המשערך בחוג הסגור המתקבלים הם: 76977 578 564 3455 456 456 ( 5 ) L e 4* 4 7 7 884 34 53 99 946 8839 5 6 5883 והגבר המשערך הוא:

49 תוצאות הסימולציה על המודל הלא ליניארי בשיטה (המתקבלים עבור אותה כניסת הפרעה תנאי התחלה שהוצגו בסעיף 5) הם: w ואותם 8 6 he positions XXX3 Xphi HOR Xtheta VER down X3beta VER up R e s p o n s e ( Degees ) 4 4 6 8 4 6 8 4 6 tie [sec] איור 5: מיקום החוליות במעלות עבור משוב יציאה שיטה 8 u 6 R e s p o n s e ( volt ) 4 4 4 6 8 4 6 tie [sec] איור 53: אות הבקרה בוולטים עבור משוב יציאה שיטה

5 והתכנסות וקטור המצבים המשוערך לוקטור המצבים האמיתי הוא: R e s p o n s e ( p ) R e s p o n s e ( Degees ) 4 Xphi HOR Xgalphi HOR 4 4 6 8 tie [sec] 4 R e s p o n s e ( Degees )he state as : [ 3(deg) 3(deg) ] gal 3 X3beta VER up X3galbeta VER up 4 6 8 tie [sec] X5dtheta VER down X5galdtheta VER down 5 5 4 6 8 tie [sec] R e s p o n s e ( Degees ) R e s p o n s e ( p ) R e s p o n s e ( p ) 8 6 4 Xtheta VER down Xgaltheta VER down 4 6 8 tie [sec] 4 X4dfi HOR X4galdfi HOR 4 4 6 8 tie [sec] 6 4 X6dbeta VER up X6galdbeta VER up 4 6 8 tie [sec] איור 54: התכנסות וקטור המצבים המשוערך לוקטור המצבים האמיתי שיטה תוכניות ה MALAB (ראה בנספח E) דיאגראמות ה SMULNK (ראה בנספח F)

5 6 מערכת הניסוי פרק זה דן בחיבורים השונים שבוצעו בין המרכיבים העיקריים במערכת כפי שהוסבר בפרק 4 ניתן לתאר את המערכת הכללית בהתאם לאיור 4 ולחלק את המערכת לשלושה מכלולים עיקריים שהם: המחשב בו מותקן כרטיס ה DSPAE אשר מכיל: מעבד ממירים D/A ו A/D ממשק לשלושה אנקודרים ורכיבים אלקטרונים נוספים לכרטיס שישה יציאות של קבלים עם מחברים DB 5 יציאות אלו כוללות ערוצי קלט פלט שונים המשמשות להפעלת אלגוריתם של הבקרה ובמקביל משמש הגנה על הספק דרכו עובר אות הבקרה למנוע מכרטיס ה DSPAE המנוע 3 מערכת מטוטלת הפוכה דופרקית המכילה שלוש חוליות כאשר בכל ציר של חוליה קיים אנקודר משלה כלומר סה"כ שלושה אנקודרים ובנוסף מנוע אחד המצוי בחוליה האופקית כפי שהוסבר בפרק 5 מהמערכת מטוטלת הפוכה דופרקית יוצאים שלושה קבלים עם מחברים של DB 5 המתחברים לשלושה מתוך השישה של הקבלים היוצאים מכרטיס ה DSPAE האותות העוברים בקבלים ראה נספח G הם: אותות העוברים מכרטיס ה DSPAE אל המערכת מטוטלת הפוכה דופרקית מתח ואדמה למנוע כפי שמתואר בנספח איור G אותות העוברים מהמערכת מטוטלת הפוכה דופרקית אל כרטיס ה DSPAE שלושת אותות הזויות המגיעות מכל אחד מהאנקודרים של החוליות אותות אלו חוברו אל הערוץ הראשון (חוליה אופקית) הערוץ השני (חוליה אנכית תחתונה) והערוץ השלישי (חוליה אנכית עליונה) לכל אנקודר קיימים ארבעה חיבורים עיקריים שהם מתח אדמה פאזה אפס ופאזה 9 את החיבורים של האנקודרים ניתן לראות בנספח G איור G ואיור 3G שלבים בהרצת הניסוי: ניתן לחלק את אופן התכנון עד להרצת הניסוי למספר שלבים: בשלב הראשון תוכננו הבקרים באמצעות תוכנה מתאימה ב MALAB ולאחר מכן בוצעו סימולציות בעזרת ה SMULNK הן על המודל הליניארי והן על המודל הלא ליניארי נבנתה מערכת הבקרה בלבדללא המודל בסביבת ה SMULNK ) זוהי אותה מערכת הבקרה שעליה בוצעו הסימולציות) אשר במהלכה הוגדרו ערוצי הכניסה לכרטיס שהם האותות המגיעים מהאנקודרים השונים וערוץ היציאה מהכרטיס שהוא המתח למנוע ההגדרות הנ"ל התאפשרו הודות לתוכנת ה DSPAE

5 תוכנן פנל בקרה בצג המחשב המשמש ממשק בין המערכת למתכנן זוהי סביבת עבודה למתכנן המכילה גרפים שעונים ומכוונים שונים המודדים את מתח הכניסה למנוע ואת היציאות שהאנקודרים מודדים בשלב זה מבצעים קומפילציה בסביבת ה SMULNK על מערכת הבקרה בלבד שתוכננה בשלב במהלך הקומפילציה מומרת התוכנית לשפת ומותקנת ישירות לתוך המעבד שבכרטיס ה DSPAE לשם הרצת הניסוי בזמן אמת במקביל כרטיס ה DSPAE מקשר את הכניסות והיציאות מהמערכת לפנל הבקרה שתוכנן בשלב 3 בשלב זה מבוצעים החיבורים הפיזיים שהוזכרו בתחילת הפרק שהם: חיבור שלושת הקבלים המכילים את הכניסות והיציאות מהמחשב אל המערכת ולהפך בנוסף מפעילים את ספק המתח שלב הסופי הוא מעבר למוד הרצת הניסוי בפנל הבקרה החזקת מוטות המטוטלת במצב מאונך כלפי מעלה והפעלת המערכת מפנל הבקרה בו זמנית מניבה את תהליך הבקרה 3 4 5 6 בזמן שהמערכת מבוקרת זורמים הנתונים על המערכת בזמן אמת גבי המסך ישירות לפנל הבקרה המוצג על

53 7 השוואה בין תוצאות הסימולציה לתוצאות המעשיות בפרק זה נשווה את תוצאות הסימולציות שהתקבלו בפרק 5 לתוצאות המעשיות ונקבל אינדיקציה לגבי טיב התכנון נזכור כי לא ניתן למדוד בפועל את כל יציאות המערכת כלומר ניתן לקבל תוצאות מעשיות רק עבור משוב היציאה שבו דנו בסעיף 53 התוצאות המעשיות הטובות ביותר שהתקבלו עבור המערכת מטוטלת הפוכה דופרקית היו לפי תכנון שיטה והן: Hoizontal link 5 R e s p o n s e ( Degees ) 5 5 4 6 8 4 6 8 tie [sec] איור 7: מיקום חוליה אופקית תוצאה מעשית 4 Vetical down link 3 R e s p o n s e ( Degees ) 3 4 5 4 6 8 4 6 8 tie [sec] איור 7: מיקום חוליה אנכית תחתונה תוצאה מעשית

54 3 Vetical top link R e s p o n s e ( Degees ) 3 4 4 6 8 4 6 8 tie [sec] איור 73: מיקום חוליה אנכית עליונה תוצאה מעשית 3 Voltage R e s p o n s e ( v ) 3 4 6 8 4 6 8 tie [sec] איור 74: מתח הכניסה למנוע תוצאה מעשית

55 כאשר פנל הבקרה בעת התהליך הינו: איור 75: תיאור פנל הבקרה בעת הרצת הניסוי אם משווים בין התוצאות שהתקבלו בסימולציות לבין התוצאות המעשיות ניתן להבחין כי בקרוב טוב מאוד של תנאי התחלה דומים (בין הסימולציות לניסוי) מקבלים שהסימולציות מהוות מדד טוב מאוד עבור התוצאות המעשיות בנוסף ניתן להבחין כי ברוב המקרים הגדלים המקסימאליים (בערך מוחלט) של הסימולציות של כל אחד מהחוליות והמתח מהוות חסם עליון לתוצאות המעשיות בהתאמה לדוגמא: אם נתבונן בתוצאת החוליה האנכית התחתונה נבחין כי בסימולציה החסם המקסימאלי הוא: 8 מעלות ובמקרה המעשי החסם המקסימאלי הוא בערך: 4 מעלות

56 ניתן לסכם ולהבחין בחסמים השונים בטבלה הבאה: חסם מעשי חסם בסימולציה 6 מעלות מעלות חוליה אופקית: 4 מעלות 8 מעלות חוליה אנכית תחתונה: מעלות 3 מעלות חוליה אנכית עליונה: 3 וולט 7 וולט מתח כניסה למנוע: טבלה 7: השוואה בין תוצאות הסימולציות לבין התוצאות המעשיות

57 8 סיכום במחקר זה נוסחה בעיית הבקרה H עבור מערכות לא ליניאריות שאינן תלויות בזמן הן עבור משוב מצב והן עבור משוב יציאה כמו כן נוסחה בעיית הבקרה H עבור מערכות ליניאריות שנגזרה מתוך הניסוח הלא ליניארי בנוסף הודגמה השיטה של משוב היציאה ליניארי על מערכת מטוטלת הפוכה דופרקית שבמהלכה פותחו משוואות התנועה שלה ובוצעו סימולציות כמו כן ביצע הראה כי שיטת התכנון שהוצגה במחקר אכן יעילה ויישומית לבסוף בוצעה השוואה בין תוצאות הסימולציות לבין התוצאות מן הניסוי והיה ניתן לראות כי הסימולציות אכן מעניקות אינדיקציה טובה מאוד לגבי התנהגות המערכת במציאות

L 58 נספחים נספח A נורמת ההגדרות מתבססות על [5]) 97 Naylo (A W הגדרה A: L q [ ) { } L L הקבוצה q מרחבי לכל מכילה את כל הפונקציות ( A ) q [ ) q f : R ומקיימת את התנאי: R n ( R [ ) ) f q () t dt < ( A ) f q ( A 3) f () t q dt q } { q מוגדרת באופן הבא : L תהיה : הגדרה A: L כאשר q נורמת ולפיכך נורמת f () t f dt f R n כאשר (נורמה אוקלידית) ו f n ( t) f i i L מוגדרת: ונורמת f sup t [ ] f () t <