מוצרים ציבוריים
דוגמה ראובןושמעוןשותפיםלדירה. הםשוקליםלקנותטלוויזיהלסלוןהמשותף. ראובןמוכןלשלםעד 00 עבורהטלוויזיה. שמעוןמוכןלשלםעד 50 עבורהטלוויזיה. אפשרלקנותטלוויזיהב- c. האם כדאי להם לקנות אותה?
תלוי אם אם c>50 c<50 אם לא כדאי להם לקנות את הטלוויזיה. ברור שכדאי להם לקנות את הטלוויזיה. שמעון אפילו מוכן לתרום את המכשיר לדירה. 50<c<00 אם שכדאי להם לקנות את הטלוויזיה. ברור ראובן אפילו מוכן לתרום את המכשיר לדירה. 00<c<50 כדאי להם לקנות את הטלוויזיה. אמנם הטלוויזיה עולה יותר ממה שכל אחד מוכן לשלם עבורה, אך היא עולה פחותמסכום השקלים ששניהם ביחד מוכנים לשלם. 3
דוגמה שולמית ואהרון שוקלים לרכוש מנוי לערוץ האופרה. הםאוהביםלראותאופרהביחדושונאיםלראות לחוד. אופרה שעת שידור אופרה עולה 89 אגורות. הרצון לשלם שלהם עבור שעת שידור נוספת מתואר בטבלה הבאה. 4
הרצון לשלם עבור שעת שידור נוספת סך הכל 0 4 08 0 96 90 84 78 7 שולמית 80 76 7 68 64 60 56 5 48 אהרון 40 38 36 34 3 30 8 6 4 שעות שידור 3 4 5 6 7 8 9 כמה שעות שידור כדאי להם לקנות? 5
כדאי לרכוש 6 שעות שידור. עבור השעה השביעית הם מוכנים לשלם ביחד פחות מאשר העלות שלה. עבור השעה השישית הם מוכנים לשלם קצת יותר מאשר העלות שלה. 6
מוצרים ציבוריים - הגדרות מוצר ציבורי טהור מאופיין על ידי: חוסרבלעדיותבצריכה חוסריריבותבצריכה דוגמאות (Non-excludability) (Non-rivalry) ביטחון שידוריטלוויזיה תאורתרחוב שידורטלוויזיהמעורבלהינודוגמהלבלעדיותוחוסריריבות. אוירלנשימההינודוגמהליריבותוחוסרבלעדיות. 7
פארטו יעילות בכלכלה עם מוצר ציבורי 8 Paul A. Samuelson, 95-009 "The Pure Theory of Public Expenditure", 954, REStat
תיאור כלכלה עם מוצר ציבורי (מישור עקומת התמורה) במשק מייצרים מוצר פרטי ומוצר ציבורי X.Y קבוצתאפשרויותהייצורמתוארתעל-ידיעקומת התמורה. H(X,Y)=0 עקומת התמורה יכולה להיכתב כ משוואת -300=0 X +Y למשל: ניתן גם להתחיל מנתונים על פונקציות ייצור וכמויות נתונות של גורמי ייצור ולהגיע מהם למשוואה של עקומת תמורה. 9
עקומת התמורה של המשק X Y 0
העדפות הפרטים העדפותהפרטיםניתנותעלידי:,Y) U (X ו-,Y).U (X כלומרכלפרטיכוללצרוךאותהכמותY, ששווהלמעשה לכמותY המיוצרת. שימולבכיבצריכתהמוצרהציבורילאמופיע שלפרט". "אינדקס
העדפות הפרטים X Y
הקצאות הקצאהבכלכלהמורכבתמרמתייצורשלמוצר הציבוריy, רמתייצורשלהמוצרהפרטיx וכמויות x ו- x שלהמוצרהפרטיהנצרכותעל-ידישני הפרטים. ההקצאהאפשריתאם x=x +x והסל y) (x +x, אפשרי, כלומרנמצאעלאומתחתלעקומת התמורה. שימו לב שמשוואת עקומת התמורה תהיה למעשה H(x +x,y)=0 3
הקצאה אפשרית הצגה גראפית X x +x x x y* האם הקצאה זו יעילה? Y 4
פארטו יעילות ברורשקיימתיעילותבייצור, מכיווןשהסלהמיוצר נמצאעלעקומתהתמורה. אךהאםהייצור "מותאםלצריכה"? על מנת לענות על שאלה זו ננסה לענות על שתי השאלותהבאות: מהיעלותהייצורשליחידהנוספתשלהמוצר הציבורי? כמהמוכןלשלםכלאחדמהפרטיםעבוריחידהנוספת שלהמוצרהציבורי? 5
מהי עלות הייצור של יחידה נוספת של המוצר הציבורי? X x +x RPT xy x x y* Y 6
כמה מוכן לשלם פרט עבור יחידה נוספת של המוצר הציבורי? X x +x x x MRS xy y* Y 7
כמה מוכן לשלם פרט עבור יחידה נוספת של המוצר הציבורי? X x +x x MRS xy x y* Y 8
RPT xy <MRS xy+mrs xy X x +x RPT xy x MRS xy x MRS xy y* Y 9
ההקצאה אינה יעילה אנורואיםשעלותהייצורשליחידהנוספתשל מוצרהציבורי (במונחיהמוצרהפרטי) קטנה מסכוםהכמויותשהפרטיםמוכניםלשלם (במונחי אותה יחידה. עבור הפרטי) המוצר מכאן שניתן לשפר את מצבם של שני הפרטים על ידי הגדלת הכמות המיוצרת מהמוצר הציבורי. 0
ומה היה קורה אם... RPT xy> MRS xy+mrs x במקרהכזהניתןלהשיגשיפור המיוצרתמהמוצרהציבורי. פארטו על ידי הקטנת הכמות כתוצאהמהקטנתהייצורשלהמוצרהציבוריניתןלייצריותר מהמוצרהפרטי. אתהכמותהנוספתמהמוצרהפרטיניתןאז לחלקביןהצרכניםבצורהשתפצהאותם "ממש" עלהירידה בכמותהמוצרהציבורי.
מסקנה על-מנתשהקצאהאפשרית (פנימית) תהיהפארטויעילה חייבלהתקייםשעלותהייצורשלהמוצרהציבוריתהיה שווהלסכוםהרצונותלשלםעבורושלהפרטים: RPT xy ( + x + x, y) = MRS xy( x, y) MRS xy( x, y)
אם פארטו יעילות תנאי סדר ראשון "חזרה" בכדישההקצאה פנימית X,X,Y תהיהפארטויעילה, לאיתכןלהשיגשיפורפארטוע"ישינויכמותהמוצרהציבורי וחלוקהמחדששלכמותהמוצרהפרטיהנותרת. נניחכימייצריםיחידהנוספת ("קטנה") שלהמוצרהציבורי Y. לצורךכךנדרשות RPT XY יחידותשלהמוצרהפרטי. עלמנת "לממן" אתיצורהיחידההנוספתשלהמוצרהציבורי, ניתן לקחתמפרט, מבלישהואיפגע, MRS XY יחידותשלהמוצר הפרטי,X וניתןלקחתמפרט XY יחידותשל.X MRS אםRPT <,MRS +MRS ההגדלההייתהכדאית.,MRS +MRS <RPT קיבלנו את כדאי להקטין את כמות המוצר הציבורי. כללסמואלסון לפארטו-יעילות: i MRS i =RPT 3
דוגמה נתונים u u ( x ( x, y) =, y) = Ln( x Ln( x ) + Ln( y) ) + Ln( y) העדפות הפרטים: y = x פונקצית הייצור:.X בכלכלה יש רכוש תחילי של 300 יחידות 4
y = 300 x עקומת התמורה: x = 300 y או dx RPT = = y xy dy מכאן ש- 5
אוה טרפ לש ילושה הפולחתה רועיש x y x u y x u y x MRS x y xy ), ( ), ( ), ( = 6 y x = אוה טרפ לש ילושה הפולחתה רועיש y x y x MRS xy ), ( =
לכן, הקצאה פארטו יעילה פנימית מקיימת x y + x y = y y = 300 ( x + x ) הפתרון למערכת משוואות זו הוא: y = 0 x + x = 00 7
דוגמה אוסף ההקצאות הפארטו יעילות אוסףההקצאות הפארטו יעילותהפנימיותניתןעלידי: ההקצאות,Y) (X,Y);(X המקיימות X +X =00, Y=0 אוסף ההקצאההמועדפתביותרעלפרט היאזובההואמקבלאתכל.X =0 המוצרהפרטיY=0,X =00, ההקצאההמועדפתביותרעלפרט היאזובההואמקבלאתכל המוצרהפרטי Y=0.X =00,X =0, אלושתיההקצאותהפינתיותהיחידותבדוגמהזו. 8
x 300 50 00 50 00 50 5 0 5 0 5 30 y 9
פארטו יעילות בהקצאה פינתית אםהקצאה פינתית X, X =0, Y הינהפארטויעילה, לאניתןלהשיגשיפורפארטוע"יהגדלתכמותהמוצרהציבורי עלחשבוןהקטנתכמותהמוצרהפרטי X שלפרט. אםRPT <,MRS ההגדלההייתהכדאית. לפארטו-יעילות, לכןתנאיההכרחי תנאי זה כמובן אינו תנאי מספיק. כזו, בפינה Y.MRS הוא: RPT תנאיזההכרחיעלמנתשלאנוכללהשיגשיפורפארטועלידי הגדלתהכמותהמיוצרתמהציבורי. התנאיRPT MRS +MRS הכרחיעלמנתשלאנוכללהשיגשיפור פארטועלידיהקטנתהמוצרהציבורי. 30
- נתונים דוגמה העדפות הפרטים: U =X +6Y 0.5, U =X +0Y 0.5 פונקצית הייצור: Y=3X P.X בכלכלה יש רכוש תחילי של 000 יחידות 3
דוגמא הקצאות פארטו יעילות פנימיות מציאת אוסף ההקצאות הפארטו יעילות הפנימיות: ה xy MRS שלפרט ניתןעלידי -0.5 3Y ה xy MRS שלפרט ניתןעלידי -0.5 5Y תנאי סמואלסון =/3-0.5 +5Y 3Y -0.5 ניתן על ידי:.YY יחידות פנימית מייצרים 576 יעילה פארטו מתקבל כי בהקצאה כך לאורזאת, תשומת X בייצורהינה =9 P,X ו =808.X +X פארטו דוגמאות להקצאות יעילות פנימיות: U =596 U =596 Y=576 X P =9 X =45 X =356 U =95 U =40 Y=576 X P =9 X =808 X =0 (הטובהביותרעבורפרט ) U =44 U =048 Y=576 X P =9 X =0 X =808 (הטובהביותרעבורפרט ) 3
דוגמא הקצאות יעילות פנימיות U B דוגמאותלהקצאותפארטויעילותפנימיות : U A =95 U B =40 Y=576 X P =9 X A =808 X B =0 (הטובהביותרעבורפרט ) U A =44 U B =048 Y=576 X P =9 X A =0 X B =808 (הטובה ביותר עבור פרט B) X P =9 X A =45 X B =356 U A =596 U B =596 Y=576 33 U A
דוגמא הקצאות פארטו יעילות פינתיות ההקצאה הפארטו יעילההטובהביותרעבורפרט הינה: U =07 U =90 Y=8 X P =7 X =973 X =0 (בהקצאהזו =RPT=/3.(MRS ההקצאה הפארטו יעילההטובהביותרעבורפרט הינה: U =90 U =075 Y=5 X P =75 X =0 X =95 (בהקצאהזו =RPT=/3.(MRS ב"דרך" ביןההקצאה הפארטו יעילההפנימיתהטובהביותרלפרט וביןההקצאה הפארטויעילההפינתיתהטובהביותרעבורפרט, עובריםעלפניהרבה הקצאותפארטויעילותפינתיות. למשל: U =000 U =80 Y=34 X P =08 X =89 X =0 (בהקצאהזוסכוםה- MRS -יםגדולמה-.RPT מכיווןשפרט צורך 0 מ- X, הוא לאיכוללוותרעלX תמורתהגדלת Y, ולכן "איןחשיבות" ל-.MRS צריךכמובןש- ויותרY.) X לאיעבוראת,/3 אחרתפרט רוצהפחות MRS 34
דוגמא הקצאות יעילות פינתיות U B האם ניתן לשפר את מצבו של פרט A מעבר לנקודה? (95,40) כן, עלידיהקטנתכמותהמוצרהציבורי Y והעברהשלכלה- X הנחסך לרשותושלפרטA. זהאפשרימכיווןשבנקודה (95,40) מתקיים MRS A <MRS A +MRS B =RPT (מכיווןשפרט B צורך 0 מ- X, הואלאיכוללוותרעל (.MRS B ולכן "איןמשמעות" ל- Y, תמורתהגדלת X ניתן להמשיך להיטיב עםA עד להקצאה הטובה ביותר עבורו: Y=8 X P =7 X A =973 X B =0 U A =07 U B =90 בהקצאה זו⅓= RPT = MRS A (מעברלכך, הגדלת X A ע"חY תקטיןאתהתועלתשלפרטA ) MRS A =RPT=⅓ (95,40) 35 U A
דוגמא הקצאות יעילות פינתיות U B MRS B =RPT (44,047) באותוהאופן, ניתןלנועמההקצאההפ"י הפנימית (44,047) להקצאותפ"י פינתיותטובותיותרעבורפרט B, עד להקצאההטובהביותרעבורו: Y=5 X P =75 X A =0 X B =95 U A =90 U B =075 (בהקצאהזו⅓= RPT =.(MRS B (95,40) MRS A =RPT 36 U A
פארטו יעילות במישור ביקוש-היצע 37
נחזור לשולמית ואהרון 38 שעות שידור 3 4 5 6 7 8 9 הביקושלאופרהשלאהרוןהינו: הביקושלאופרהשלשולמיתהינו: אהרון שולמית סך הכל 0 80 4 76 08 7 0 68 96 64 90 60 84 56 78 5 7 48 40 38 36 34 3 30 8 6 4 p=4-y p=84-4y הביקוש "המצרפי" הינו: p=(4-y)+(84-4y)=6-6y אםהעלותהשוליתלייצורשעתאופרההינה 90, ישלייצר Y הפותראת: או Y=6 90=6-6Y (עברנומ 89 ל- 90 כדילקבלחיתוךבמספריםשלמים)
מוצר ציבורי הקצאה תחרותית כלפרטתורםכמותמוצרפרטילטובתייצורהמוצרהציבורי (כך הוא "קונה" ("תורם") כמות Y i מהמוצרהציבורי). בפונקציתהתועלתשלכלפרטמופיע Y= Y i ולא.Y i הפרטממקסםאתרווחתותחתמגבלתהתקציב, בלוקחוכנתוןאת למעשה: האחרים. מגבלתהתקציבהיא תרומתהפרטים p y y i =p x (w x -x i ) +q i P כאשר wהינוכמותהמוצרהפרטיאיתהמתחילהפרט, x xi הינה כמותה x אותההואצורך, P הינםרווחיהפירמהו- q חלק i הפרטברווחיהפירמה. הפירמהלאורהמחירים pמחליטהכמהלייצרולהעסיקעלמנת x,p y למקסםרווחים. 39
מוצר ציבורי הקצאה תחרותית בשיווימשקלתחרותיהכמותהמיוצרת Y צריכהלהשתוותלכמות המבוקשת. y i RPT XY =P Y /P X מפתרוןבעייתהפירמה: מפתרוןבעיותהצרכנים: MRS i XY=P Y /P X.ii לכל MRS i =RPT התנאי המתקיים בשיווי משקל תחרותי הוא לכן כלומר, שיפועעקומתהתמורה RPT מושווהלשיעורהתחלופה הפרטיעבורכלפרט, במקוםלשיעורהתחלופההחברתי ).( i MRS i כלומרבשיווימשקלתחרותי,RPT < i MRS i כלומרמייצריםמעט מדימהמוצרהציבורי. כלצרכןהוא " free-rider " במידהמסוימת. 40
הקשר בין מוצר ציבורי להשפעות חיצוניות בעצם ניתן לחשוב על מוצר ציבורי כמקרה פרטי של השפעות חיצוניות חיוביות: כלפרטבוחרתרומהמהמוצרהפרטי, אךבחירה משפיעה באופן חיובי על תועלות כל הפרטים זו האחרים. הפרטלוקחבחשבוןאתהשפעתהתרומהעל רווחתו, ומתעלםמכךשהיאעוזרתלאחרים. 4
פתרון תחרותי עם טכנולוגית תק"ל כאשר הטכנולוגיה הינה תק"ל, היא גוררת יחס מחירים מסויים והרווחים הינם אפס. אנו נחשב דוגמאות עבור המקרה של תק"ל. 4
דוגמה ההקצאה תחרותית.X Y=3X U =X +6Y 0.5, U =X +0Y 0.5 P תזכורת: נוסיףכילכלפרטרכושתחילישל 500 יחידות ננרמל =.P Y מפונקציתהייצור, =3 X.P נניחכיבשווימשקל, i תורם * i Yיחידותשל,Y (כלומרתורם * i /3 Y יחידותשלהמוצרהפרטי). פרט 43 פרט : =3 500 Max YX +6(Y +Y *) 0.5 s.t. 3 X + Y בעיית MRS XY=3(Y *+Y *) -0.5 /=P Y /P X =/3 פתרון: ומקבלים: *=8 Y *+Y באופןדומה, מפתרוןבעייתפרט מקבלים: *=5.Y *+Y משוםששניהפרטיםמוגבליםלבחור 0 i,y הפתרוןהוא 5 =*.Y *=0 Y (נשיםלב: בדוגמאזו, משוםשלשניהפרטיםתועלתליניאריתב- X, הנכונותלתרוםשלפרט תמידקטנהמזושלפרט. לכןאםפרט מוכןלתרוםלמוצרהציבורי אזפרט עלאחת כמהוכמה. לכןחייבלהיותשבשיווימשקלתחרותיפרט לאתורםכלל)..U =U =596 פרט הואrider free "מושלם". תועלותהפרטיםהן: =575 U =590 U תוצאהזונשלטתפארטוע"י, לדוגמא, ההקצאההפארטו-יעילההשוויונית
דוגמה 3 בכלכלהיששלושהפרטים. לכלפרטישיחידהאחתמהמוצרהפרטי (x). העדפותיושלפרט i ניתנותעלידי: u i (x i,y)=ln(x i )+γ i ln(y) פונקצייתהייצורשלהמוצרהציבורי:.y=x P 44
פתרון - "תחרותי" דוגמה 3 מהתהיינהרמותהייצורוהצריכהבשיווימשקל של "תרומות" למימוןהמוצרהציבורי? נסמןאתהתרומהשלכלפרטב. z i בשיווימשקלמתייחסכלפרטלתרומותהאחרים כקבועותוממקסםאתרווחתועלידיבחירת תרומתוהאישית (שיווימשקלנש). נסמן.z -i = j i z j פרטi פותר: Max zi 0 ln(-z i ))+γ i ln(z i +z -i ) 45
פתרון - "תחרותי" דוגמא 3 דרך הפתרון נניח ראשית שכל הפרטים תורמים כמות חיובית. נקבל 3 משוואות: z i + z i γ i + z i z i = 0 אם אכן כל התרומות יצאו אי שליליות סיימנו. נפתור. אםיצאהתרומהשליליתישבעיה! במקרהזהמניחיםשהתורם השלילייתרוםאפס, ופותריםלאורזאתמהיהיהשיוויהמשקלאליו יגיעוהאחרים. לאורהרמות (נניחשיצאואישליליות) בודקיםשאכן תרומתהאפסהיאהתשובההטובהביותרעבורהפרטשהשמטנו. 46
3 המגוד - ןורתפ "יתורחת" γ =0.5 ; γ =0.5 ; γ 3 =0.75 חיננ.תירפסמ אמגודל רובענ :לבקנ תיבויח תומכ םימרות םלוכש חיננ םא ) 4( 3 z z z z + + = 47 ) 4( 3 ) ( ) 4( 3 3 3 3 z z z z z z z z z z z z + + = + + = + + :ונה ולא תואוושמ תשולש לש ןורתפה z =-0.44 ; z =0.8 ; z 3 =0.5
פתרון - "תחרותי" דוגמה 3 נניח כעת כי בשיווי משקל 0= z. לאור זאת ההחלטות של פרטים ו 3 מתקבלות מפתרון המשוואות: = z ( z + z 3 = z 4( z + 3 z3 3 ) ) ומתקבל: =5/3 3 z =/3 z (אם היינו מקבלים <0,z אז היינו מניחים כי =0,z =z ומחפשים את (.z 3 כעת נותר לבדוק כי בהינתן תרומות אלו של ו 3 לפרט באמת כדאי לתרום 0: = 3/ 4 הנזק השולי מהתרומה הינו. התועלת השולית היא (5/3 /3)4 + לכן לפרט אכן לא כדאי לתרום. 48
דוגמה 3 קביעת מיסוי אחיד לפי הצבעת רוב הניחו כי יש ממשלה שתטיל מס t על כל פרט, ותממן את אספקת המוצר הציבורי באמצעות המס. מהו שיעור המס המועדף על פרט i? נפתור: Max ti ln(-t i )+γ i ln(3t i ) γ i תנאי הסדר הראשון הינו : = t i t i לאור זאת שיעור המס המועדף הינו : t i γ i = + γ i כלומר פרט יעדיף מס של 0., פרט יעדיף מס של /3 ופרט 3 יעדיף מס של 3/7. מס של /3 ינצח בהצבעת רוב מול 0. או 3/7. ההקצאה עם מיסוי תהיה: =y x i /3= 49
דוגמא 3 קביעת מיסוי אחיד u ub ua uc 0. /3 3/7 t אילושיעורימסהינםפארטויעילים (תחתהמגבלהשכלהפרטיםמשלמיםאותו מסt )? איזהמסזוכהבהצבעת?Condorcet 50
דוגמא 4 נתונים u ( x, y) = x + העדפות הפרטים: y u ( x, y) = x + y y = x P פונקצית הייצור: יחידות בכלכלה יש רכוש תחילי של 3 X. 5
y = 3 עקומת התמורה: x x = 3 או y RPT xy dx = dy מכאן ש- = 5
:אוה טרפ לש ילושה הפולחתה רועיש y x u y x u y x MRS x y xy ), ( ), ( ), ( = 53 y = :אוה טרפ לש ילושה הפולחתה רועיש y y x MRS xy ) (, =
לכן, הקצאה פארטו יעילה פנימית מקיימת y + y = y = 3 ( x + x ) הפתרון למערכת משוואות זו הוא: y = x + x = 54
דוגמה 4 הקצאות פארטו יעילות פינתיות האםזהאוסףכלההקצאותהפארטויעילות? לא! ישנןהרבההקצאותפארטויעילותפינתיות. 55
- הקצאות התחרותיות דוגמה 4 מכיווןששיפועעקומתהתמורהשווהל-, בשיווי-משקל המחירהיחסישלהמוצרהציבוריהוא. בשיווי-משקל, הפרטיםמביאיםלמקסימוםאתתועלתם שלהם. במסגרתהתקציב Max x, y s. t. x x + + py y + I y 56
MRS xy ( x, y) = p y + y = בשיווי-משקל מתקיים או 57 y + y = 4 ש- ש מכאן כלומר, בשיווי-משקלתחרותימספקיםפחות מהרמההיעילהשלהמוצרהציבורי. נניחשלכלפרטיש.5 יחידות X. שימולב, ישכאןרצףשלהקצאותשיווימשקלתחרותי. כל צרוף y,y המקיים 0.5 = y +y ביחדעם x,x שמקיימיםאתמגבלותהתקציבשלהפרטים מהוויםשיווימשקלתחרותי. למשל.35 = y =0.,x =.4,y =0.5,x מהוויםהקצאתשיווי משקלתחרותי.
דוגמה 5 עקומת התמורה של המשק הינה X+Y=00 העדפותיו של פרט ניתנות על ידי: X Y העדפותיו של פרט ניתנות על ידי: XY התנאי המאפיין הקצאות פארטו יעילות פנימיות ניתן על ידי: Y Y + = X X האם ההקצאה =5 X=50 Y =5 Y פארטו יעילה? היא אפשרית ואינה פארטו יעילה. בהקצאה זו סכום ה MRS הינו.5 שגדול מ. 58
דוגמה 5 בהקצאה =5 X=50 Y =5 Y פרט מוכן לוותר על ) לכל היותר) יחידה אחת של המוצר הפרטי תמורת עוד יחידה של המוצר הציבורי. פרט מוכן לוותר על ) לכל היותר) חצי יחידה של המוצר הפרטי תמורת עוד יחידה של המוצר הציבורי. הפרטים במשק מוכנים לוותר על ) לכל כלומר היותר).5 יחידות מהמוצר הפרטי תמורת עוד יחידה של המוצר הציבורי. מבחינת מנגנון הייצור צריך לוותר רק יחידה אחת של המוצר הפרטי תמורת עוד יחידה מהמוצר הציבורי ולכן ניתן להשיג שיפור פארטו על ידי הגדלת הכמות המיוצרת מהמוצר הציבורי. הקצאה השולטת פארטו על הקצאה זו ניתנת על ידי: X=5 Y =4.3 Y =4.7 59
נחשב כעת את אוסף ההקצאות הפארטו יעילות בכלכלה זו: Y Y + = X X X + Y + Y = 00 50 X 66.667 ההקצאות הפארטו יעילות מקיימות: ההקצאות הפארטו יעילות הפינתיות היחידות בכלכלה זו הינן: ההקצאה הפארטו יעילה העדיפה ביותר עבור פרט X=66.667 Y =33.333 Y =0 ההקצאה הפארטו יעילה העדיפה ביותר עבור פרט X=50 Y =0 Y =50 60