Κεφάλαιο 6.3 Κβαντική Πληροφορία και Σχετικότητα

Κεφάλαιο 6.3 Κβαντική Πληροφορία και Σχετικότητα 6.3.1 Τρεις αδιαχώριστες θεωρίες Η Κβαντική θεωρία και η θεωρία της σχετικότητας αναδύθηκαν στις αρχές του εικοστού αιώνα για να λύσουν ανεξήγητα μέχρι τότε φαινόμενα της φυσικής. Αρκετά χρόνια μετά, αναπτύχθηκε η θεωρία της πληροφορίας από τον Claude Shannon για να αναλυθεί η αποτελεσματικότητα των μεθόδων επικοινωνίας. ε ότι ακολουθεί θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι τελικά οι τρεις αυτές θεωρίες είναι αδιαχώριστα συνδεδεμένες. Είναι συνυφασμένες! Η συζήτηση του κεφαλαίου αυτού έχει βασισθεί στα papers των Peres και Terno (βλέπε βιβλιογραφία κεφαλαίου 6.3). α Σχετικότητα και πληροφορία τη παρουσίαση της σχετικότητας στο κεφάλαιο 6.1 χρησιμοποιήσαμε νοητούς παρατηρητές στο έδαφος ή πάνω σε τρενάκια που έστελναν και λάμβαναν φωτεινά σήματα. Οι παρατηρητές αυτοί δεν πρέπει να νοούνται πια μόνο ως ανθρώπινα όντα, αλλά, γενικότερα, ως φυσικοί πομποί και αισθητήρες. Ο ρόλος τους είναι να εντοπίζουν και να «βάζουν» ετικέτα στα γεγονότα του χωροχρόνου. Η ταχύτητα μετάδοσης των σημάτων αυτών φράζεται από την c επειδή η πληροφορία χρειάζεται φορέα και αυτός πρέπει να υπακούει στους νόμους της φυσικής. Η κλασσική θεωρία πληροφορίας εμπλέκει έννοιες όπως ρυθμός μετάδοσης σημάτων, ρυθμός καταγραφής σημάτων και φάσμα ισχύος θορύβου. Οι μεταβλητές αυτές έχουν καλώς ορισμένους νόμους σχετικιστικού μετασχηματισμού ανεξάρτητα από τη φυσική υλοποίηση του επικοινωνιακού φορέα. Λεπτομερής ανάλυση, [5], έχει δείξει ότι οι ρυθμοί μετάδοσης παρατηρητών σε σχετική ταχύτητα βc επηρεάζονται κατά ένα παράγοντα (1+β)/(1-β), που δεν είναι άλλος παρά το τετράγωνο του γνωστού παράγοντα Doppler. Θα ξαναβρούμε το ίδιο αποτέλεσμα με ηλεκτρομαγνητική θεωρία: η φυσική έχει συνεπή θεωρητική δομή! β Κβαντική μηχανική και πληροφορία Η θεωρία του Einstein προκάλεσε αρκετή αντίδραση όταν πρώτο-διατυπώθηκε, αλλά είναι γενικά αποδεκτή σήμερα. Η κβαντική μηχανική όμως, εξακολουθεί να κάνει αρκετούς φυσικούς να νιώθουν άβολα. Σα γενικώς αποδεκτά βιβλία κβαντικής φυσικής είναι πάντως αρκετά σαφή, περιγράφουν τα παρατηρήσιμα μεγέθη με ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 548/622

ερμιτιανούς τελεστές, τις πιθανές τιμές τους με τις ιδιοτιμές αυτών των τελεστών και ορίζουν τις πιθανότητες καταγραφής της ιδιοτιμής λ n, που αντιστοιχεί στο ιδιοάνυσμα u n, ως u n Χ 2, όπου Χ είναι η καθαρή (pure) κατάσταση του κβαντικού συστήματος που βρίσκεται υπό παρατήρηση. Με λίγη παραπάνω περιπλοκότητα ώστε να περιγραφούν με τον ίδιο φορμαλισμό και οι μικτές καταστάσεις, η πιθανότητα γράφεται πιο γενικά ως u n u n. Ότι δηλαδή έχουμε πει στο μέρος 1. Όλα λοιπόν αυτά είναι «εν τάξει», το πρόβλημα όμως που ενδογενώς εμπεριέχουν είναι ότι δεν περιγράφουν τι συμβαίνει στη καθημερινή ζωή ενός πειραματικού φυσικού. Όπως αναφέρει ο Peres: τα κβαντικά φαινόμενα δεν συμβαίνουν σε ένα χώρο Hilbert αλλά στο εργαστήριο. Εάν επισκεφτεί κάποιος ένα εργαστήριο δεν θα δει ερμιτιανούς τελεστές, παρά μόνο εκπομπούς (lasers, ion guns, synchrotrons, κλπ) και τους αντίστοιχους (κατάλληλους) αισθητήρες. Ο χρόνος που χρειάζεται στους αισθητήρες για την εκκίνηση της μη-αναστρέψιμη πράξης ενίσχυσης είναι εξαιρετικά μικρός, της τάξης ενός ατομικού πυρήνα δια c. Μόλις η μηαναστρεψιμότητα εγκατασταθεί, η συνέχεια της ενισχυτικής διαδικασίας είναι κλασσική. Μια σχετικά πρόσφατη γραφή του φορμαλισμού της κβαντικής μηχανικής λέει τα ακόλουθα (βλέπε κεφάλαιο 4.13 σχετικά): οτιδήποτε εκπέμπεται από ένα εκπομπό αναπαρίσταται από μία πυκνότητα (κατάσταση) (θετικός τελεστής, συνήθως κανονικοποιημένος σε μοναδιαίο ίχνος). Οι αισθητήρες αναπαρίστανται από θετικούς τελεστές μ, όπου μ είναι μία αυθαίρετη ετικέτα που «αντιστοιχεί» στον αισθητήρα. Η πιθανότητα να διεγερθεί ο αισθητήρας μ είναι ίση με Tr( μ). Σο πλήρες σύνολο των μ, συμπεριλαμβανομένης και της μηδιέγερσης αθροίζεται στο τελεστή-μονάδα και καλείται positive operator valued measure (POVM). Σα διάφορα μ δεν είναι απαραίτητο να μετατίθενται μεταξύ τους και έτσι ένα γεγονός καταγραφής δεν αντιστοιχεί σε αυτό που συνήθως λέγαμε «μέτρηση ενός παρατηρήσιμου μεγέθους». Εδώ τα ονομάζουμε παρεμβάσεις (interventions). Παρόλα αυτά η ενεργοποίηση ενός δεδομένου αισθητήρα-καταγραφέα είναι ένα μακροσκοπικό αντικειμενικό φαινόμενο. Δεν υπάρχει ασάφεια για το ποιος καταγραφέας έκανε κλικ. ε αντίθεση με την αίσθηση που ίσως άφησε το κεφάλαιο 1.9, η κυματοσυνάρτηση δεν είναι φυσικό αντικείμενο! Είναι απλά η μαθηματική έκφραση που κωδικοποιεί πληροφορία, που «φέρει πληρότητα», για το εν δυνάμει αποτέλεσμα των πειραματικών μας επεμβάσεων, που συνήθως καλούνται «μετρήσεις», μια μάλλον ατυχή έκφραση, αφού υποδηλώνει ότι «υπάρχει» κάποια άγνωστη ιδιότητα κάποιων σαφών αντικειμένων που μετράμε. τη πραγματικότητα η ίδια η ύπαρξη των σωματιδίων εξαρτάται από τις συνιστώσες ενός πειράματος. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 549/622

γ Σχετικότητα και κβαντική θεωρία Η θεωρία της σχετικότητας ασχολείται με τη γεωμετρική δομή του τετραδιάστατου χωροχρόνου. Η κβαντική μηχανική περιγράφει τις ιδιότητες της ύλης. Ο συνδυασμός των δύο αυτών θεωρήσεων της φύσης είναι δύσκολος. Δεν υπάρχει για παράδειγμα τρόπος να οριστεί σχετικιστικός κανονικός χρόνος για ένα εκτεταμένο στο χώρο κβαντικό σύστημα. Κανονικός χρόνος μπορεί κατ αρχήν να ορισθεί για ένα σημειακό μαζικό αντικείμενο («παρατηρητής») ώστε το «κέντρο μάζας» του να έχει κλασσικές συνιστώσες και να ακολουθεί συνεχή χωροχρονική τροχιά. Αν όμως υπάρχουν πάνω από ένα αντικείμενα-παρατηρητές δεν υπάρχει ρόλος για ιδιωτικό κανονικό χρόνο που θα ήταν προσκολλημένος στις χωροχρονικές τροχιές. Έτσι μια φυσική κατάσταση που εμπλέκει παραπάνω από ένα παρατηρητή σε σχετική μεταξύ τους κίνηση, δεν μπορεί να περιγραφεί από κυματοσυνάρτηση με σχετικιστικό νόμο μετασχηματισμού [9]. Κάτι τέτοιο βέβαια δεν πρέπει να μας εκπλήσσει αφού η κυματοσυνάρτηση δεν είναι φυσικό αντικείμενο παρά μόνο ένα εργαλείο υπολογισμού πιθανοτήτων παρατήρησης μακροσκοπικών γεγονότων. Ο συνδυασμός σχετικότητας και κβαντικής δεν είναι απλά και μόνο ένα δύσκολο τεχνικό θέμα στο πώς θα σχηματίσουμε νόμους δυναμικής. Οι οντολογίες των δύο θεωριών διαφέρουν ουσιωδώς μεταξύ τους. Η κλασσική θεώρηση δέχεται ότι τα πεδία, οι ταχύτητες κλπ, μετασχηματίζονται με ένα συγκεκριμένο τρόπο και οι εξισώσεις κίνησης σωματιδίων και πεδίων συμπεριφέρονται συμεταβλητά. Για παράδειγμα, αν οι εξισώσεις του Maxwell γράφονται μf μν = 4π c jν (6.2-52) σε ένα σύστημα αναφοράς, η ίδια έκφραση είναι αληθής και σε κάθε άλλο αδρανειακό σύστημα. Αυτά τα σύμβολα (F μν, j ν, κλπ) έχουν αντικειμενική υπόσταση, αντιπροσωπεύουν οντότητες που πραγματικά υπάρχουν στα πλαίσια της θεώρησης. Οι κυματοσυναρτήσεις από την άλλη δεν έχουν αντικειμενική υπόσταση. Δεν μετασχηματίζονται συμεταβλητά όταν υπάρχουν παρεμβάσεις από εξωτερικούς παράγοντες όπως συμβαίνει στις περιβόητες «κβαντικές μετρήσεις». Μόνο οι κλασσικές παράμετροι που είναι συνδεδεμένες με κάθε παρέμβαση μετασχηματίζονται συμεταβλητά. Παρόλη τη μη-συμεταβλητότητα της όμως, τα τελικά αποτελέσματα των υπολογισμών (οι πιθανότητες καθορισμένων συνόλων γεγονότων) πρέπει να είναι αναλλοίωτα κατά Lorentz. Η πληροφορία ουσιας, δεν πρέπει να αλλάζει κατά Lorentz. αν απλό παράδειγμα ας θεωρήσουμε δύο παρατηρητές, την Alice και τον Bob, που διαθέτουν ένα ζευγάρι σωματίων spin-1/2 στην κατάσταση singlet. Η Alice μετρά τον z και βρίσκει π.χ. +1. Αυτό της λεει ότι αν ο ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 550/622

Bob μετρήσει (ή έχει μετρήσει, ή θα μετρήσει) τον z πρέπει να βρεί το αντίθετο αποτέλεσμα. Αυτή είναι βέβαια καθαρά χιμαιρική πληροφορία: τίποτε δεν αλλάζει στον τόπο του Bob μέχρι να τελέσει αυτός το πείραμά του. Επιπλέον, κανένα πείραμα που θα κάνει ο Bob δεν μπορεί να του πει αν έχει ήδη μετρήσει (ή αν θα μετρήσει) η Alice το δικό της μισό της singlet. Ένας φαινομενικά παράδοξος τρόπος να συζητηθούν αυτά τα αποτελέσματα είναι να ρωτήσουμε το εξής: Έστω ότι η Alice βρίσκει κάποια στιγμή z = 1 ενώ ο Bob δεν τελεί τίποτε. Πότε η κατάσταση του Bob, πέρα μακριά, θα γίνει τέτοια ώστε z = -1 με βεβαιότητα; Παρόλο που η ερώτηση αυτή είναι χωρίς νόημα όπως θα δούμε παρακάτω, έχει μια σαφή απάντηση: Σο μισό του Bob αλλάζει στιγμιαία. ε ποιο αδρανειακό σύστημα είναι αυτό στιγμιαίο; ε κάθε σύστημα! Όποιο σύστημα και αν επιλεχθεί για τον ορισμό του ταυτόχρονου, το πειραματικά παρατηρήσιμο αποτέλεσμα είναι το ίδιο [10]. Παραδείγματα όπως τα παραπάνω, έχουν μια ξεκάθαρα πληροφοριακή διάσταση που δείχνει ότι οι τρεις επιστήμες: κβαντική μηχανική, σχετικότητα και θεωρία πληροφορίας είναι, στην ουσία, μία! 6.3.2 Η Κατάκτηση της Πληροφορίας α Ο αναποφάσιστος κβαντικός παρατηρητής του Von Neumann Η Κβαντική μηχανική χρησιμοποιείται από τους θεωρητικούς με δύο τρόπους: ως εργαλείο για τον ακριβή υπολογισμό σχέσεων μεταξύ φυσικών ποσοτήτων, όπως ενεργειακά επίπεδα, ρυθμούς μετάπτωσης, κλπ. Οι υπολογισμοί αυτοί είναι τεχνικά δύσκολοι, αλλά τα αποτελέσματα τους είναι αδιαμφισβήτητα. Επίσης η Κβαντική μηχανική, προσφέρει στατιστικές προβλέψεις για τα αποτελέσματα μετρήσεων επί φυσικών συστημάτων προετοιμασμένων με καθορισμένο τρόπο. Η κβαντική όμως μετρητική διαδικασία βρίσκεται στο μεταίχμιο κλασσικών κβαντικών φαινομένων. Η προετοιμασία αλλά και η μέτρηση τελούνται επί του συστήματος από κλασσικές μακροσκοπικές συσκευές. Ένα φυσικό σύστημα καλείται «ανοιχτό» όταν τμήματα του σύμπαντος εξαιρούνται από τη περιγραφή του. ε διαφορετικά συστήματα Lorentz που χρησιμοποιούνται από παρατηρητές σε σχετική μεταξύ τους κίνηση, εξαιρούνται διαφορετικά τμήματα του σύμπαντος. Τα συστήματα λοιπόν που διαχειρίζονται οι δύο παρατηρητές είναι ουσιωδώς διαφορετικά, και δεν υπάρχει μετασχηματισμός Lorentz που θα τα διασύνδεει [14]. Είναι αξιοσημείωτο ότι ο Bohr ποτέ δεν περιέγραψε τη μετρητική διαδικασία ως μια δυναμική αλληλεπίδραση μεταξύ μιας εξωφυσικής συσκευής και του συστήματος υπό παρατήρηση. Προφανώς είχε ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 551/622

συνειδητοποιήσει ότι οι μετρητικές συσκευές είναι φτιαγμένες από τα ίδια υλικά όπως καθετί και υπακούον στους ίδιους φυσικούς νόμους. Είναι έτσι ελκυστικό να χρησιμοποιήσουμε κβαντική θεωρία για να διερευνήσουμε τη συμπεριφορά τους όταν τελούν μέτρηση. Αν όμως γίνει κάτι τέτοιο, η «κβαντοποιημένη» συσκευή χάνει τη ετικέτα της ως μετρητική συσκευή και πρέπει να εισαχθεί νέα τελική συσκευή που θα μετρήσει τη «κβαντοσυσκευή» και θα μας δώσει ένα αποτέλεσμα σε κλασσική γλώσσα. Η πρώτη συνεπής κβαντοδυναμική περιγραφή της μέτρησης έγινε από τον John von Neumann [15]. το τελευταίο μέρος αυτού του βιβλίου, στη λογική ενός προσαρτήματος, ο von Neumann αναπαράστησε μία μετρητική συσκευή ενός πειράματος ως έχουσα ένα βαθμό ελευθερίας ισχυρά συσχετισμένο με τη δυναμική μεταβλητή που μετριέται στο πείραμα. Μία τέτοια συσκευή δεν βρίσκεται, εν γένει, μετά τη μέτρηση σε μια καλώς ορισμένη καθαρή κατάσταση, και δεν επιδέχεται, εν γένει, κλασσική περιγραφή. Έτσι ο von Neumann εισήγαγε μία δεύτερη συσκευή που παρατηρούσε τη πρώτη κ.ο.κ, («αναποφάσιστος κβαντικός παρατηρητής») μέχρι τη τελική μέτρηση που δεν εξαρτάται από κβαντική δυναμική και έχει προσδιορισμένο αποτέλεσμα (για το οποίο η κβαντική δίνει μόνο στατιστική πρόβλεψη). Σο κύριο σημείο που λέει εδώ ο von Neumann, αλλά δεν αποδεικνύει είναι ότι το πλήθος των ενδιάμεσων βημάτων δεν είναι σημαντικό, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο, ανεξάρτητα από τη «θέση» του «χωρίσματος» μεταξύ «κλασσικού» και «κβαντικού». Οι προσεγγίσεις των Bohr και von Neumann ενοποιήθηκαν από τους Hay και Peres [16], οι οποίοι εισήγαγαν μια δυϊκή περιγραφή της συσκευής μέτρησης. Αυτή λοιπόν υπακούει στη κβαντική καθώς αλληλεπιδρά με το σύστημα υπό παρατήρηση και μετά «αποκβαντοποιείται» και περιγράφεται από μία κλασσική πυκνότητα Liouville που παρέχει μια στατιστική κατανομή για τα αποτελέσματα της μέτρησης 93. Σαυτόχρονα, («αναποφάσιστος παρατηρητής»), η συσκευή μπορεί πάντα να περιγραφεί κβαντομηχανικά και να εισαχθεί μία δεύτερη συσκευή που θα επιδέχεται τη δυϊκή περιγραφή. Σο ερώτημα που απαντήθηκε από τους Hay και Peres είναι το κατά πόσο αυτές οι δύο υπολογιστικές μέθοδοι δίδουν το ίδιο αποτέλεσμα, ή έστω έχουν ασυμπτωτική συμφωνία υπό ομαλές ειδικές συνθήκες. Έδειξαν ότι ικανή συνθήκη για συμφωνία αποτελεσμάτων είναι η δυναμική μεταβλητή που χρησιμοποιείται ως «δείκτης» από τη πρώτη συσκευή να μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα ημικλασσικό τελεστή τύπου Weyl-Wigner [17]. Δεν υπάρχει τίποτε μυστηριώδες στη μετάβαση από το κβαντικό στο κλασσικό. Κβαντική μηχανική και κλασσική στατιστική μηχανική αναπαράγουν σε συμφωνία κάθε στατιστική πρόβλεψη που μπορεί να επιβεβαιωθεί πειραματικά. 93 Επειδή η κβαντική κάνει στατιστικές προβλέψεις, κάθε ημικλασσική περιγραφή που την προσομοιάζει πρέπει να είναι επίσης στατιστικής φύσης. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 552/622

β Η διαδικασία της μέτρησης Ο Dirac [18] έγραψε «a measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable being measured.» Εδώ όμως τονίζει ο Peres [1], πρέπει να είμαστε προσεκτικοί: ένα «quantum jump» (που επίσης καλείται και «collapse of the wavepacket» από άλλους συγγραφείς) είναι κάτι που συμβαίνει στη περιγραφή μας του φυσικού συστήματος και όχι στο σύστημα καθ αυτό. Ομοίως, η χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης δεν αντιπροσωπεύει την εξέλιξη του φυσικού συστήματος. Σο μόνο που δίδει είναι η εξέλιξη των πιθανοτήτων του αποτελέσματος δυνατών πειραμάτων επί του συστήματος [19]. Ας εξετάσουμε πιο διεξοδικά τη διαδικασία μέτρησης. Πρώτα πρέπει να ορίσουμε την έννοια της μέτρησης και να την επεκτείνουμε στη πιο γενική έννοια: της παρέμβασης. Μία παρέμβαση περιγράφεται από ένα σύνολο παραμέτρων (που περιλαμβάνουν και τη θέση της παρέμβασης στο χωροχρόνο σε ένα κατάλληλο αλλά αυθαίρετο σύστημα αναφοράς). Πρέπει επίσης να καθορίσουμε και τη ταχύτητα και προσανατολισμό της συσκευής στο σύστημα που επιλέξαμε να χρησιμοποιούμε, και βεβαίως διάφορες άλλες λεπτομέρειες που ελέγχουν τη συσκευή, π.χ. ένταση μαγνητικού πεδίου, ένταση ηλεκτρομαγνητικού παλμού, ανάλογα με το πείραμα. Οι παράμετρες εισόδου καθορίζονται με κλασσική πληροφορία που προέρχεται από προγενέστερες παρεμβάσεις, ή μπορούν να καθορίζονται αυθαίρετα από το παρατηρητή που προετοιμάζει την παρέμβαση, ή τέλος από ένα local random device που δρα στη θέση παρατηρητή. Μία παρέμβαση έχει δύο συνέπειες. Μία είναι η κατάκτηση πληροφορίας μέσω κάποιας συσκευής που καταγράφει ένα «ίχνος 94». Αυτό είναι αυτό που μέχρι τώρα καλούσαμε «μέτρηση». Σο που «καταλήγει», τι «αποτέλεσμα» δηλαδή έχει ως «μέτρηση» η παρέμβαση, είναι εν γένει απροσδιόριστο, και είναι αυτό που θα λέμε «έξοδος» (output) της παρέμβασης. Η δεύτερη συνέπεια είναι η αλλαγή του περιβάλλοντος μέσα στο οποίο το κβαντικό σύστημα θα εξελιχθεί μετά την ολοκλήρωση της παρέμβασης. Μπορεί για παράδειγμα η παρεμβαίνουσα συσκευή να δημιουργήσει μία νέα χαμιλτονιανή που θα εξαρτάται από το καταγεγραμμένο ίχνος. Μπορούν για παράδειγμα να εκπέμπονται κλασσικά σήματα που θα ελέγχουν την εκτέλεση περαιτέρω παρεμβάσεων (θυμηθείτε εδώ τις C του μέρους 4 και τους QCC του μέρους 5). Σα σήματα αυτά περιορίζονται πάντα από τη ταχύτητα του φωτός. Σα πειραματικά πρωτόκολλα που συζητάμε, όλα ξεκινάνε με τον ίδιο τρόπο από την ίδια αρχική κατάσταση 0, και η πρώτη παρέμβαση είναι η ίδια. Μπορεί όμως σε κατοπινά του στάδια ένα πείραμα να εμπλέκει διαφορετικούς τύπους παρεμβάσεων, πιθανά και σε διαφορετικά χωροχρονικά σημεία, ανάλογα με το 94 Ίχνη με τη γενική έννοια, ως φανερά ή λιγότερο φανερά στοιχεία ενός εγκλήματος ή μίας απόδρασης, που είναι αδιαμφισβήτητα και κλασσικά παρόντα στο χώρο ενός εγκλήματος ή ενός πειράματος, αλλά συνήθως χρειάζεται ειδικούς της σήμανσης για να φανερωθούν και να γίνουν χρήσιμα σε ένα δικαστή ή ένα θεωρητικό φυσικό. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 553/622

αποτέλεσμα προγενέστερων γεγονότων. Αποδεχόμενοι όμως ότι κάθε παρέμβαση θα έχει πεπερασμένο πλήθος πιθανών αποτελεσμάτων, προκύπτει ότι για όλο το πείραμα υπάρχει πεπερασμένο πλήθος εναλλακτικών «δρόμων» και άρα τελικών καταγραμμένων ιχνών. Κάθε ίχνος (ως σύνολο επί ενός «δρομου») έχει καθορισμένη πιθανότητα να συμβεί. το εργαστήριο οι πειραματικοί μπορούν να παρατηρήσουν τη σχετική συχνότητα των ιχνών και να προσεγγίσουν έτσι τη «πραγματική» πιθανότητα στο όριο πολλών επαναλαμβανόμενων πειραμάτων. Ο στόχος της θεωρίας είναι να προβλέψει τη κάθε πιθανότητα με δεδομένο τα inputs των διάφορων παρεμβάσεων (τα inputs που ελέγχονται από τον πειραματικό αλλά και αυτά που καθορίζονται από τις προγενέστερες παρεμβάσεις). Κάθε ίχνος είναι αντικειμενικό: όλοι συμφωνούν στο τι έγινε (ποιος καταγραφέας δηλαδή έκανε κλικ κάθε φορά, κλπ). Άρα όλοι συμφωνούν στις διάφορες σχετικές συχνότητες. Οι θεωρητικές προβλέψεις επίσης είναι θέμα συμφωνίας για όλους. Οι παρεμβάσεις είναι localized στο χωροχρόνο, αλλά τα κβαντικά συστήματα είναι εκτεταμένα. ε κάθε πείραμα, ανεξάρτητα της ιστορίας του, υπάρχει ένα μόνο κβαντικό σύστημα το οποίο μπορεί να αποτελείται από πολλά σωμάτια ή από πολλά υποσυστήματα, που δημιουργούνται ή καταστρέφονται σε κάθε παρέμβαση. ημειώστε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν ακόμη και αν το αποτέλεσμα είναι απουσία κλικ. Δεν έχει σημασία αν η απουσία οφείλεται σε ατέλεια του καταγραφέα, ή σε πολύ μικρή πιθανότητα να συμβεί το κλικ σε ένα τέλειο καταγραφέα. Η κατάσταση του κβαντικού συστήματος δεν θα παραμείνει ίδια. Πρέπει να μεταβληθεί για να ικανοποιεί τη μοναδιακότητα της εξέλιξης. Η απλή παρουσία και μόνο ενός καταγραφέα που δύναται να σκανδαλισθεί σημαίνει ότι έχει υπάρξει αλληλεπίδραση μεταξύ του καταγραφέα και του κβαντικού συστήματος. Ακόμη και αν ο καταγραφέας έχει πεπερασμένη πιθανότητα να παραμείνει στην αρχική του κατάσταση, το κβαντικό σύστημα, συσχετισμένο με το καταγραφέα, θα αλλάξει κατάσταση [20]. Η απουσία ενός κλικ εκεί που θα έρεπε να υπάρξει ένα είναι και αυτό ένα γεγονός! Οι παρεμβάσεις, έτσι όπως ορίσθηκαν παραπάνω, ξεκινάνε από μια αλληλεπίδραση με μία μετρητική συσκευή, φάση που καλείται «προμέτρηση» [21]. Σο κβαντικό σύστημα s και η συσκευή A βρίσκονται αρχικά στη κατάσταση c s s A, (6.3-1) s και συνυφαίνονται σε ένα σύνθετο σύστημα C: ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 554/622

c s s A s s λ c s sλ λ (6.3-2) όπου το σύνολο { λ } είναι μια πλήρης βάση για τις καταστάσεις του C. Είναι η επιλογή της μοναδιακής μήτρας sλ που καθορίζει ποια ιδιότητα του συστήματος υπό μελέτη θα συσχετισθεί με τη μετρητική συσκευή (και άρα θα μετρηθεί). Γράφοντας βεβαίως τη παραπάνω εξίσωση κάναμε τη τακτική παραδοχή ότι το κβαντικό σύστημα και η μετρητική συσκευή είναι αρχικά σε καθαρή κατάσταση. Επειδή όμως και μία μικτή κατάσταση είναι συνδυασμός καθαρών καταστάσεων, δεν βλάπτουμε τη γενικότητα της συζήτησης το να απλοποιούμε λίγο τις πράξεις με καθαρές καταστάσεις. ε ότι ακολουθεί θα συζητήσουμε τους περιορισμούς που επιβάλλει η θεωρία της σχετικότητας στη μορφή των επιτρεπτών sλ. Η μετρητική διαδικασία εμπλέκει πέρα από το φυσικό σύστημα και τη μετρητική συσκευή (που μαζί αποτελούν το C) και το κοινό τους «περιβάλλον» που εμπεριέχει απροσδιόριστο αριθμό βαθμών ελευθερίας της συσκευής και του υπόλοιπου σύμπαντος. Οι άγνωστοι αυτοί βαθμοί ελευθερίας αλληλεπιδρούν με τους «γνωστούς» κύριους βαθμούς, αλλά δεν είναι υπό το έλεγχο του πειραματιστή και δεν μπορούν να περιγραφούν εκπεφρασμένα. Η μερική μας άγνοια όμως δεν είναι σημάδι αδυναμίας. Είναι θεμελιακής φύσεως. Εάν όλα ήταν γνωστά, η κατάκτηση πληροφορίας δεν θα είχε απολύτως κανένα νόημα! Η πλήρης περιγραφή του C περιλαμβάνει μικροσκοπικές και μακροσκοπικές μεταβλητές. Η διαφορά μεταξύ τους βρίσκεται στο ότι το περιβάλλον μπορεί να θεωρείται ικανά διαχωρισμένο από τις μικροσκοπικές μεταβλητές (για τη διάρκεια του πειράματος) και δεν επηρεάζεται από αυτές, ενώ δεν είναι αποκομμένο από τις μακροσκοπικές μεταβλητές. Για παράδειγμα, εάν ένας μακροσκοπικός δείκτης είναι σε επαφή με την ατμόσφαιρα, τότε τα μόρια του αέρα του περιβάλλοντος που ανακλώνται από το δείκτη επηρεάζονται από τη θέση του δείκτη. Ακόμη και αν αγνοήσουμε τη κίνηση Brown ενός μαζικού δείκτη, η επήρεια του στο περιβάλλον οδηγεί στο φαινόμενο της decoherence και αυτό είναι ενδογενές επαγόμενο μιας διαδικασίας μέτρησης. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 555/622

Σχήμα 6.13. Ο χώρος του C και οι μακροσκοπικά διακρίσιμοι υποχώροι μ. Τα δύο σχήματα δείχνουν τις διαφορετικές ονομασίες των καταστάσεων καθώς αλλάζουμε τις ετικέτες από απλές σε σύνθετες με βάση τον υποχώρο μ. Στο παράδειγμα, ισχύει 1 1,1, 5 1,2, 8 5,1, κλπ. Μια ιδιότητα του σύνθετου συστήματος C, που είναι αναγκαία για να υπάρξει μέτρηση, είναι οι καταστάσεις του να σχηματίζουν ένα πεπερασμένο σύνολο ορθογώνιων υποχώρων που να είναι διακρίσιμοι από τον παρατηρητή. Κάθε μακροσκοπικά διακρίσιμος υποχώρος θα αντιστοιχεί έτσι σε ένα εκ των δυνατών αποτελεσμάτων της παρέμβασης και ορίζει ένα στοιχείο της POVM, το στοιχείο μ, που εκπεφρασμένα δίνεται από τη σχέση (6.3-10) παρακάτω. Ας εισάγουμε λοιπόν μία πλήρη βάση για το C, την { μ ξ }, όπου το μ είναι ετικέτα των μακροσκοπικών υποχώρων και το ξ ετικέτα για τις μικροκαταστάσεις εντός του κάθε υποχώρου μ (ουσιαστικά σπάσαμε την κλασσική ετικέτα λ σε δύο μέρη μ και ξ, τα οποία όμως «ονοματίζουν» τα ίδια πράγματα, βλέπε σχήμα 6.13). γ Decoherence και θόρυβος Μέχρι τώρα η κβαντική εξέλιξη είναι καλώς ορισμένη και κατ αρχήν αντιστρέψιμη. Θα παρέμενε έτσι αν οι μακροσκοπικοί βαθμοί ελευθερίας της συσκευής μπορούσαν να απομονωθούν τελείως από το περιβάλλον. Μια τέτοια όμως απαίτηση είναι αντιφατική: πρέπει να διαβάσουμε το αποτέλεσμα μιας μέτρησης αν υπάρχει ποτέ περίπτωση να το χρησιμοποιήσουμε! Μια αναλυτικότερη μελέτη της αλληλεπίδρασης με το περιβάλλον, μαζί με ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 556/622

κάποιες λογικές υποθέσεις, δείχνει ότι και οι καταστάσεις του περιβάλλοντος που είναι συσχετισμένες με υποχώρους του C με διαφορετικό μ, μπορούν, σε καλή προσέγγιση, να θεωρηθούν ορθογώνιες. Η μήτρα πυκνότητας γίνεται έτσι block-diagonal και όλες οι στατιστικές προβλέψεις ταυτίζονται με αυτές που θα προέκυπταν από μια απλή υπέρθεση (μη-κανονικοποιημένων) καθαρών καταστάσεων: ψ μ = s ξ c s sμ μ ξ (6.3-3) όπου το στατιστικό βάρος κάθε κατάστασης είναι το τετράγωνο της νόρμας της. Αυτό είναι το νόημα του όρου decoherence. Από εδώ και πέρα, οι μακροσκοπικοί βαθμοί ελευθερίας του C έχουν «απορροφηθεί στο κλασσικό επίπεδο». Μπορούμε με ασφάλεια να τους παρατηρήσουμε. Η decoherence παίζει σημαντικό ρόλο, και είναι επίσης σημαντικό να ξεχωρίσουμε την decoherence, (που προέρχεται από την ενόχληση του περιβάλλοντος από τη συσκευή), από το θόρυβο που προκαλεί λάθη (που προέρχεται από την ενόχληση της συσκευής ή του υπό μελέτη φυσικού συστήματος από το περιβάλλον). Ο θόρυβος είναι ένα ενδιαφέρον μα ενοχλητικό φαινόμενο που πάντως θα αγνοήσουμε σε ότι ακολουθεί. δ Οι μήτρες Kraus και οι POVM Σο τελικό βήμα μιας παρέμβασης είναι η απαλοιφή-εγκατάλειψη μέρους του σύνθετου συστήματος C. Σο εγκαταλελειμμένο μέρος μπορεί να εξαρτάται από το αποτέλεσμα μ. Εισάγουμε έτσι στον υποχώρο μ δύο υποσύνολα ανυσμάτων βάσης, τα σ και m για το νέο σύστημα και για το αγνοημένο μέρος αντίστοιχα ψ μ = s σ m c s U sμσm μ σ m (6.3-4α) από όπου 95 ( μ ) σ' τ' = Tr ~ m μ σ' ~ m ( ψ μ ψ μ ) μ τ' ~ m (6.3-4β) Έτσι η ( μ ) σ' τ' είναι ίση με 95 ημειώστε ότι sμ μ σ m = U sμσm μ σ m. Δηλαδή το U sμσm είναι στοιχείο μήτρας, το: μ σ m sμ μ σ m. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 557/622

~m μ σ' ~ m ( s σ m c s U sμσm μ σ m s' ζ' m' c s' * μ ζ' m' U + s'μζ'm' ) μ τ' ~ m = = * c s' cs μ σ' m U ~ sμσm μ σ m μ ζ' m' U + s'μζ'm' μ τ' m ~ = ~m s σ m s' ζ' m' = m s σ s' ζ' * c s' cs μ σ' m U sμσm μ σ m μ ζ' m U + s'μζ'm μ τ' m = = s s' m c s' * cs μ σ' m U sμσ'm μ σ' m μ τ' m U + s'μζ'm' μ τ' m (6.3-5) Προκύπτει έτσι για το νέο σύστημα η ακόλουθη «εξ αναγωγής» μήτρα πυκνότητας ( ' μ ) σ'τ' = s s' m ( μm) (σ's) s s' ( + μm ) (τ's') (6.3-6) όπου ss' := c s c* s' είναι η αρχική πλήρως περιγεγραμμένη κατάσταση, και η γραφή ( μm) (σs) := μ σ m U sμσm μ σ m = μ σ m sμ μ σ m (6.3-7) εισάγεται για κατοπινή βολή μας. Θυμηθείτε ότι οι δείκτες s και σ αναφέρονται στο αρχικό σύστημα υπό μελέτη και στο τελικό αντίστοιχα. Εάν δεν γράψουμε αυτούς τους δείκτες η (6.3-6) λαμβάνει τη γνωστή μορφή (4.13-13): μ = m (μm) + (μm) (6.3-8) όπου το μ είναι η ετικέτα που αφορά τον αισθητήρα και η ετικέτα m αφορά το υποσύστημα που εγκαταλείψαμε στο τέλος της αλληλεπίδρασης. Είναι φανερό ότι το «quantum jump» δεν είναι μία δυναμική διαδικασία που αφορά το κβαντικό σύστημα, αλλά ανακύπτει από την εισαγωγή της συσκευής και την επακόλουθη διαγραφή της ή από την εισαγωγή ενός άλλου υποσυστήματος. Το κβαντικό άλμα συμβαίνει ακόμη και αν δεν κάνει κλικ ο ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 558/622

καταγραφέας διότι εμείς επιβάλουμε μία απότομη αλλαγή στο τρόπο που περί-ορίζουμε το αντικείμενο που ονομάζουμε «κβαντικό σύστημα υπό μελέτη». Η αρχική συνήθως είναι κανονικοποιημένη σε ίχνος μονάδα, και το ίχνος της μ είναι ίσο με τη πιθανότητα να μετρήσουμε μ. ημειώστε ότι κάθε σύμβολο (μm) στη παραπάνω εξίσωση αντιπροσωπεύει μήτρα και όχι στοιχείο μήτρας. Εκπεφρασμένα οι μήτρες Kraus (μm) δίνονται από την (6.3-7), όπου το Usμσm είναι το στοιχείο μήτρας της μοναδιακής αλληλεπίδρασης μεταξύ του συστήματος υπό μελέτη και της συσκευής συμπεριλαμβανομένου κάθε βοηθητικού συστήματος που ακολούθως διαγράφεται. Η (6.3-8) γράφεται και μ = όπου η ποσότητα είναι ένας γραμμικός υπερτελεστής που δρα σε μήτρες πυκνότητας όπως οι απλοί τελεστές δρουν σε καταστάσεις. ημειώστε ότι πάντως η μορφή του είναι ειδική και ακολουθεί τη (6.3-8). Είναι αξιοσημείωτο ότι, όπως είπαμε και στο κεφάλαιο 4.13, η (6.3-8) αποτελεί τη πιο γενική μορφή πλήρως θετικού (CP) γραμμικού μετασχηματισμού. Αυτή είναι μια σημαντική ιδιότητα: ένας γραμμικός μετασχηματισμός ( ) καλείται θετικός εάν μετασχηματίζει θετικές μήτρες (δηλαδή μήτρες χωρίς αρνητικές ιδιοτιμές) σε θετικές μήτρες. Καλείται πλήρως θετικός (CP completely positive) αν ο ( ) δρώντας σε μία διτμηματική παράγει επίσης διτμηματική. Η πιθανότητα μέτρησης τώρα του αποτελέσματος μ γράφεται ως p μ = m + Tr( (μm) (μm) ) = Tr( μ) (6.3-9) Οι θετικοί τελεστές μ = m + (μm) (μm) (6.3-10) των οποίων οι διαστάσεις είναι όμοιες με αυτές της αρχικής, ικανοποιούν μ χ μ = (6.3-11) ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 559/622

χάρη στη μοναδιακότητα της sμσm. Έτσι είναι στοιχεία μιας POVM. Αντίστροφα, δοσμένης μιας μ (θετικής μήτρας) είναι πάντα δυνατό να διαμεριστεί με άπειρους τρόπους όπως στις παραπάνω εξισώσεις. την ειδική περίπτωση που τα στοιχεία μ της POVM μετατίθενται, τότε είναι προβολικοί τελεστές και η POVM γίνεται μία projection valued measure (PVM). Η αντιστοιχούσα παρέμβαση καλείται τότε και μέτρηση von Neumann. ε Το θεώρημα της μη-επικοινωνίας Μία ικανή συνθήκη για να μην υπάρξει στιγμιαία μεταφορά πληροφορίας από κάποια μακρινή κβαντική πράξη είναι: [ (μm), (νn)] = 0 (6.3-12) όπου (μm) και (νn) είναι οι μήτρες Kraus για την παρατήρηση των αποτελεσμάτων μ από την Alice και ν από τον Bob. Πράγματι, η πιθανότητα ώστε ο Bob να λάβει ένα αποτέλεσμα ν, ανεξάρτητα από το τι βρήκε η Alice, είναι: p ν = μ Tr m n (νn) (μm) + (μm) + (νn) (6.3-13) Φρησιμοποιούμε τώρα την (6.3-12) για να ανταλλάξουμε τις θέσεις των (μm) και (νn), και ομοίως αυτές των + (μm) και + (νn), και μετά μετακινούμε την (μm) από την πρώτη θέση στη τελευταία στο γινόμενο των τελεστών μέσα στο ίχνος. Έτσι προκύπτει η έκφραση (6.3-10). Αυτά είναι στοιχεία μιας POVM που ικανοποιεί μ χ μ = (6.3-14) Έτσι η (6.3-13) καταλήγει σε ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 560/622