ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1
Ο συντονισμός είναι μια κατάσταση κατά την οποία το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης ενός κυκλώματος RCL μηδενίζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί όπως είναι γνωστό το φανταστικό μέρος της ισούται με XL XC οι δε τιμές των Χ L και X C εξαρτώνται από τη συχνότητα f του δικτύου. Υπάρχει επομένως τουλάχιστο μια συχνότητα, η συχνότητα συντονισμού f στην οποία ισχύει XL XC και Im έτσι η έχει μόνο πραγματικό μέρος και συμπεριφέρεται σαν μια καθαρή ωμική αντίσταση. Σε ένα κύκλωμα σε κατάσταση συντονισμού ισχύουν τα πιο κάτω: Α) Τα διανύσματα είναι συμφασικά Β) Η του κυκλώματος είναι καθαρά ωμική αντίσταση, δηλαδή Γ) Ανάλογα με τη μορφή του κυκλώματος η ή η είναι μέγιστη για f Δ)Το ρεύμα Ι είναι στο συντονισμό είτε μέγιστο είτε ελάχιστο. U, I Re R Y Ε) Τέλος η μέση ισχύς είναι μέγιστη ή ελάχιστη ενώ η άεργη ισχύς είναι ίση με μηδέν στο συντονισμό.
Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται ένα κύκλωμα RLC σε σειρά, η σύνθετη μιγαδική αντίσταση είναι : 1 R j( L ) C Στη συχνότητα συντονισμού f έχουμε: 1 1 1 L f C LC LC Στη συχνότητα f το ρεύμα και η τάση είναι συμφασικά, γιατί ενώ το ρεύμα γίνεται μέγιστο γιατί ελάχιστη. U, I R Για f > f η έχει επαγωγικό χαρακτήρα και το μέτρο Ζ είναι Ζ > Ζ Για f < f η έχει χωρητικό χαρακτήρα και το μέτρο Ζ είναι Ζ > Ζ Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η μεταβολή του Ζ με τη συχνότητα f. 3
Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των Ζ, -X C και X L ως προς τη συχνότητα f. Η X L είναι ευθέως ανάλογη της f. Η -X C είναι αντιστρόφως ανάλογη της f. Το μέτρο της είναι πάντοτε θετικό και έχει μορφή V με ελάχιστη τιμή για f = f. Η συνολική μιγαδική αντίσταση Χ είναι το αλγεβρικό άθροισμα των X C και X L έτσι για f < f είναι Χ < και για f > f είναι Χ >. XL XC F 4
Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις του ρεύματος ως προς τη συχνότητα f. Όπως φαίνεται από τη γραφική παράσταση η οξύτητα της καμπύλης του συντονισμού εξαρτάται από την R. Η οξύτητα της καμπύλης του συντονισμού περιγράφεται από μια αδιάστατη ποσότητα που ονομάζεται συντελεστής ποιότητας Q: Q 1 όπου στην παραπάνω σχέση ω είναι η κυκλική συχνότητα συντονισμού και Δω είναι το εύρος της καμπύλης της μέσης ισχύος ανάμεσα σε δύο τιμές της κυκλικής συχνότητας ω 1 και ω. Αυτές οι συχνότητες ονομάζονται κυκλικές συχνότητες ημίσειας ισχύος διότι αντιστοιχούν σε κυκλικές συχνότητες όπου η μέση ισχύς του κυκλώματος είναι ίση με το μισό της μέγιστης. Ας σημειωθεί ότι, όπως μπορεί να αποδειχθεί, το ήμισυ της μέσης ισχύος αντιστοιχεί σε τιμή πλάτους έντασης του ρεύματος ίση με I( ) 5
Γενικά, ο συντελεστής ποιότητας για οποιοδήποτε σύστημα που εκτελεί ταλάντωση είναι μέτρο της απόδοσης του συστήματος και ορίζεται από τη σχέση: Q έ αποθηκευμένη ενέργεια Έ που παράγεται στο χρόνο μια περιόδου Στην συγκεκριμένη περίπτωση του εν σειρά κυκλώματος RLC που μελετάμε, η αποθηκευμένη ενέργεια μεταφέρεται στο χρόνο μιας περιόδου (Τ= π/ω) από το πηνίο (όπου βρίσκεται σε μορφή ενέργειας μαγνητικού πεδίου) στον πυκνωτή (όπου βρίσκεται με μορφή ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου) και αντιστρόφως. Με βάση τον παραπάνω ορισμό (15), μπορεί να αποδειχθεί ότι ο συντελεστής ποιότητας σχετίζεται με τα χαρακτηριστικά μεγέθη του κυκλώματος μέσω της σχέσης: L 1 Q R C R 6
Στη συχνότητα συντονισμού έχουμε: Επίσης έχουμε U U I R R U I R Q QU L Το ίδιο ισχύει και για την τάση στα άκρα του πυκνωτή. Επειδή το Q > 1 αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τόσο η τάση στο πηνίο U L όσο και η τάση στον πυκνωτή U C μπορούν να γίνουν μεγαλύτερες της τάσης της πηγής φαινόμενο γνωστό και ως υπερταση. Με βάση τον ορισμό του Q έχουμε: Όπου W η αποθηκευμένη ενέργεια σε L ή C και W R η καταναλισκόμενη ενέργεια στην αντίσταση. Q W W R 7
Σε ένα κύκλωμα RLC σε σειρά πολλές ιδιότητες μπορούμε να τις μελετήσουμε και από την καμπύλη της σύνθετης αγωγιμότητας Υ. Ως γνωστό η αγωγιμότητας Υ είναι η αντίστροφη παράσταση της Ζ έτσι η αντίστοιχη καμπύλη της αγωγιμότητας Υ ως προς τη συχνότητα το log 1 f φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. 8
Όπως έχει αναφερθεί τα σημεία μισής ισχύος είναι εκείνα τα σημεία στην καμπύλη της ισχύος ως προς τη συχνότητα στα οποία η ισχύς γίνεται ίση με το μισό της μέγιστης, της τιμής δηλαδή που λαμβάνεις η ισχύς στη συχνότητα συντονισμού ω. Τα σημεία αυτά αντιστοιχούν σε δύο τιμές της κυκλικής συχνότητας ω 1 και ω ενώ το ρεύμα στα σημεία αυτά γίνεται ίσο με I( ) Το εύρος ζώνης BW είναι το φάσμα συχνοτήτων μεταξύ των σημείων μισής ισχύος ω 1 και ω ή f 1 και f και είναι ίσο με BW= f - f 1 Ακόμα ισχύει για τις ω 1 και ω : Και R R 4L R C 1 L R f f L 1 1 R 4L C L ενώ f f f 1 1 9
Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται ένα κύκλωμα GLC εν παραλλήλω. Το κύκλωμα αυτό έχει την ακριβώς αντίθετη συμπεριφορά του κυκλώματος RLC σε σειρά. Στη συχνότητα συντονισμού f η Ζ είναι μέγιστη και η Υ είναι ελάχιστη. Επειδή η Υ είναι η αντίστροφη παράσταση της Ζ τα ίδια διαγράμματα που έχουμε για το κύκλωμα RLC σε σειρά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για το κύκλωμα GLC εν παραλλήλω αφού γίνουν οι λεγόμενες δυαδικές αλλαγές: U I Y R G L C B X Μέγιστη ισχύς ελάχιστη ισχύς Υπέρταση υπερένταση Εν παραλλήλω εν σειρά Διέλευση αποκοπή Η σύνθετη μιγαδική αγωγιμότητα είναι 1 Y=G+j C L 1
Η συχνότητα συντονισμού είναι : Στη συχνότητα συντονισμού f η Υ είναι ελάχιστη και ίση με Y =G. Y Y Για f > f η έχει χωρητικό χαρακτήρα 1 1 f LC LC Για f < f η έχει επαγωγικό χαρακτήρα H υπερένταση το δυαδικό φαινόμενο της υπέρτασης έχει ως εξής: I I QI L C Ενώ ο τύπος για τον συντελεστή ποιότητας Q είναι: C 1 Q G L G Τα ηλεκτρικά σήματα με συχνότητες μεταξύ των ω 1 και ω μέσα στο BW στην περίπτωση του συντονισμού εν παραλλήλω αποκόπτονται. Στο κύκλωμα αυτό η μέση ισχύς συντονισμού Ρ είναι ελάχιστη, στις συχνότητες ω 1 και ω η ισχύς γίνεται διπλάσια της Ρ και συμβολίζεται με P d ενώ η σύνθετη αγωγιμότητα είναι: Y d G και d 11
Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των Υ, Β C και -Β L ως προς τη συχνότητα f. Η Β C είναι ευθέως ανάλογη της f. Η -B L είναι αντιστρόφως ανάλογη της f. Το μέτρο της Y είναι πάντοτε θετικό και έχει μορφή V με ελάχιστη τιμή για f = f. Η συνολική μιγαδική αγωγιμότητα Β είναι το αλγεβρικό άθροισμα των Β C και Β L 1
Το κύκλωμα GLC δεν έχει μεγάλη πρακτική εφαρμογή γιατί δεν υπάρχουν ιδανικά πηνία και πυκνωτές, ακόμα στο κύκλωμα αυτό όσο μικρότερη είναι η G τόσο μικρότερες είναι οι ωμικές απώλειες. Στη πράξη χρησιμοποιείται το κύκλωμα που φαίνεται στο σχήμα και ονομάζεται παράλληλο κύκλωμα δυο κλάδων. Η σύνθετη μιγαδική αντίσταση του κυκλώματος είναι 1 (R jl) jc L R C 1 j L 1 R jl C Στη συχνότητα συντονισμού θα πρέπει το φανταστικό μέρος της να είναι μηδέν έτσι η συχνότητα συντονισμού ω είναι 1 1 f LC LC 13
Η τιμή του Ζ στη συχνότητα συντονισμού είναι: L L 1 CR R C R Το κύκλωμα αυτό είναι κύκλωμα αποκοπής (φίλτρο αποκοπής) έτσι στη συχνότητα συντονισμού η Ζ είναι μέγιστη και η Υ είναι ελάχιστη Ο συντελεστής ποιότητας Q είναι: Q Από τις εξισώσεις για το Ζ και το Q έχουμε L 1 R C R Q L LQ Q RQ C C Επειδή το Q είναι σχετικά μεγάλο προκύπτει ότι R<<ω L και έτσι η σύνθετη μιγαδική αντίσταση απλοποιείται ως εξής L C 1 R jl C 14
Στο κύκλωμα των δυο κλάδων θεωρήσαμε ότι ωμική αντίσταση εμφανίζει μόνο το πηνίο γεγονός το οποίο ανταποκρίνεται καλά στην πραγματικότητα γιατί ο πυκνωτής γενικά παρουσιάζει μία πολύ μικρή ωμική αντίσταση. Στην περίπτωση που απαιτείται μεγάλη ακρίβεια στους υπολογισμούς θα πρέπει να ληφθεί υπόψη και η αντίσταση αυτή. Έτσι έχουμε L L C (R R ) (R R ) 1 C (R R ) L C L C L C Q L 1 L 1 R R C (R R ) C (R R ) L C L C L C Q L LQ Q (R R ) Q L C C C 15
Σε ένα πραγματικό πηνίο εκτός της ωμικής αντίστασης που εμφανίζεται πολλές φορές παρατηρείται κατανεμημένη ενδοχωρητικότητα στο σχήμα φαίνεται το ισοδύναμο κύκλωμα ενός πραγματικού πηνίου. Το κύκλωμα αυτό αντιστοιχεί στο παράλληλο κύκλωμα δύο κλάδων. Η κατανεμημένη χωρητικότητα έχει μεγαλύτερη Επίδραση στις χαμηλές συχνότητες. Το πραγματικό πηνίο είναι φανερό ότι μπορεί να συντονιστεί από μόνο του σε συχνότητα συντονισμού: 1 1 f LC LC k Η ενδοχωρητικότητα εξαρτάται από τη γεωμετρία του πηνίου και θα πρέπει να παίρνει τιμές όσο το δυνατόν μικρότερες έτσι ώστε η συχνότητα συντονισμού του πηνίου να είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερη. k 16