ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013
Εκπαιδευτικό λογισμικό για μαθηματικά Τα ψηφιακά εργαλεία χρησιμοποιούνται Κυρίως για να κάνει με αυτά μαθηματικά ο μαθητής Παράλληλα για να μπορεί να σχεδιάζει ο εκπαιδευτικός δραστηριότητες για τους μαθητές του Αλλά και για να μπορεί να ασχοληθεί ο ίδιος ο εκπαιδευτικός επιστημονικά με τα μαθηματικά στο δικό του επίπεδο. 2
Εκπαιδευτικό Λογισμικό Χαρακτηριστικά του εκπαιδευτικού λογισμικού για μαθηματικά Να έχουν δυνατότητες για: Έκφραση για μαθηματικές ιδέες και νοήματα, Ύπαρξη πολλαπλών διασυνδεόμενων αναπαραστάσεων, Διερεύνηση πειραματισμό, Υποστήριξη της συνεργατικής μάθησης και επικοινωνίας. 3
Εκπαιδευτικό Λογισμικό Κατηγορίες εκπαιδευτικού λογισμικού για μαθηματικά (1/2) Συμβολικής έκφρασης μέσω του προγραμματισμού (Χελωνόκοσμος, MaLT) Δυναμικού χειρισμού γεωμετρικών αντικειμένων (Geometer s Sketchpad, Gabri Geometry, Geogebra) Χειρισμού αλγεβρικών ψηφιακών συστημάτων (Function Probe, Geogebra) 4
Εκπαιδευτικό Λογισμικό Κατηγορίες εκπαιδευτικού λογισμικού για μαθηματικά (2/2) Για επιπλέον προσεγγίσεις Διαχείριση δεδομένων (Ταξινομούμε Αβάκιο, Φύλλο υπολογισμών Excel) Προσομοιώσεις μοντέλων και καταστάσεων (Modelus, MoPiX ;) 5
Εκπαιδευτικό Λογισμικό και άλλα διδακτικά μέσα Ο ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ: αλληλεπίδραση χρήστη και εργαλείου, με τρόπο ώστε να συντεθεί ή να αποκαλυφθεί η γνώση. 6
Εκπαιδευτικό Λογισμικό και άλλα διδακτικά μέσα Ο ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ (1/4) 7
Εκπαιδευτικό Λογισμικό και άλλα διδακτικά μέσα Ο ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ (2/4) Η πρώτη και σημαντικότερη δυνατότητά του είναι ότι μπορεί να λειτουργεί ως υπολογιστής, τον οποίο διαχειριζόμαστε μέσα από τον ίδιο τον πίνακα. Άρα, υπάρχει πρόσβαση σε κάθε ψηφιακό υλικό και φυσικά στο διαδίκτυο. 8
Εκπαιδευτικό Λογισμικό και άλλα διδακτικά μέσα Ο ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ (3/4) δυνατότητα μετακίνησης αντικειμένων («σύρε κι άφησε») δυνατότητα τοποθέτησης αντικειμένων σε επίπεδα (layers) πρακτικά, «άπειρες» σελίδες εργαλεία γραφής και επισήμανσης εργαλεία αναγνώρισης χειρογράφου και σχημάτων εργαλεία σύλληψης οθόνης (Screen capture) βιβλιοθήκη πολυμέσων του λογισμικού του ΔΠ πολυμεσικό περιεχόμενο προβολή σε μεγάλη οθόνη 9
Εκπαιδευτικό Λογισμικό και άλλα διδακτικά μέσα Ο ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ (4/4) Αλληλεπιδρά με το χρήστη, Αναπαριστά με πολλούς διασυνδεόμενους τρόπους τις έννοιες, Χειρίζεται δυναμικά τα αντικείμενα αναπαράστασης, Πολλαπλασιάζει τις δυνατότητες διερεύνησης, Αναδεικνύει αόρατες, αρχικά, πτυχές των εννοιών και των φαινομένων. 10
Εξέλιξη της Διδακτικής των Μαθηματικών 1976 Ίδρυση Κοινότητας «Ψυχολογία της Μαθηματικής Εκπαίδευσης Μέσα δεκαετίας 80 δομικές θεωρήσεις Ο μαθητής, όπως ο επιστήμονας, κατασκευάζει, δομεί έννοιες μέσα από μια διαδικασία υποθέσεων, αλληλεπίδρασης με το κοινωνικό και φυσικό περιβάλλον, διατύπωσης θεωρημάτων και αναθεώρησής τους όταν η πράξη δείχνει λάθη. Ακολουθούν θεωρήσεις υπό το πρίσμα της εγκαθιδρυμένης μάθησης, και υπό την επίδραση του Vigotsky, της κοινωνικο-δομικής θεώρησης Κυρίαρχο στοιχείο : η ανθρώπινη κοινότητα μέσα στην οποία αναπτύσσεται η μαθηματική γνώση. 11
Εξέλιξη της Διδακτικής με εργαλεία Ψηφιακής Τεχνολογίας 1980 Papert : υπό την οπτική του Piaget η σύγχρονη τεχνολογία ως πολιτισμικό εργαλείο. «Μελετήστε τι μπορεί να κάνει το παιδί». Τεχνητά περιβάλλοντα πλούσια σε δυνατότητες, ώστε να δίνουν εμπειρίες δημιουργίας μαθηματικών νοημάτων. Γλώσσα Logo στα 1971 στα Media Lab του ΜΙΤ. 12
Εξέλιξη της Διδακτικής με εργαλεία Ψηφιακής Τεχνολογίας Ο προγραμματισμός δίνει την ευκαιρία για: να αναπτύξουν και να εκφράσουν ιδέες, να παρατηρήσουν και να μεταβάλλουν το αποτέλεσμα, να ομαδοποιήσουν ένα σύνολο ιδεών και να το χρησιμοποιήσουν σε ανώτερο επίπεδο σκέψης. Έτσι θα στοχαστούν πάνω στο νόημα που υπάρχει στο αντικείμενο. Δηλ: μια ιδέα χρησιμοποιείται και ως εργαλείο και ως αντικείμενο πάνω στο οποίο μπορούν να στοχαστούν. 13
Εξέλιξη της Διδακτικής με εργαλεία Ψηφιακής Τεχνολογίας Νοητικό πεδίο G. Vergnaut (1991) Γάλλος ψυχολόγος Δεν έχει νόημα η αντίληψη μιας μαθηματικής έννοιας σε απομόνωση. Έχει νόημα μόνο σε σχέση: α) με άλλες έννοιες που συνδέονται με αυτήν β) με μια ομάδα καταστάσεων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί γ) με μια ομάδα διαθέσιμων αναπαραστάσεών της 14
Εξέλιξη της Διδακτικής με εργαλεία Ψηφιακής Τεχνολογίας Άλλες ενδιαφέρουσες τοποθετήσεις Η μαθηματική δραστηριότητα με ψηφιακά εργαλεία είναι μια κοινωνική διαμεσολάβηση (Vygotsky) του μαθηματικού νοήματος που μπορεί να επιτευχθεί εναλλακτικά με αυτά και το γραπτό και προφορικό λόγο. Άποψη της Mariotti (2002) Η ψηφιακή τεχνολογία παρέχει στους μαθητές τη δυνατότητα να εκφράσουν μαθηματικά νοήματα χρησιμοποιώντας ως μέσο τον τυπικό φορμαλισμό. Χρόνης Κυνηγός (2002) 15
Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Χαρακτηριστικά Λογισμικών για την υποστήριξη της Άλγεβρας (1/4) Π.χ. Αλλάζοντας δυναμικά τους συντελεστές του τριωνύμου να έχουμε άμεσα ανάλογα με τις διδακτικές ανάγκες: Την μεταβολή της γραφικής παράστασης Τις ρίζες του τριωνύμου Το πρόσημο του τριωνύμου Το πρόσημο της παραγώγου 16
Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Χαρακτηριστικά Λογισμικών για την υποστήριξη της Άλγεβρας (2/4) Αλγεβρική, αριθμητική και γεωμετρική αναπαράσταση της ταυτότητας (α+β) 3 = α 3 + β 3 + 3αβ(α+β) 17
Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Αλγεβρική, αριθμητική και γεωμετρική αναπαράσταση της ταυτότητας (α+β) 3 = α 3 + β 3 + 3αβ(α+β) 18 18
Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Χαρακτηριστικά Λογισμικών για την υποστήριξη της Άλγεβρας (4/4) Π.χ προσέγγιση της παραγώγου σαν όριο ενός λόγου, σαν κλίση εφαπτομένης σε ένα σημείο της γραφικής παράστασης, σαν την εικόνα που παρουσιάζει η συνάρτηση κοντά σε ένα σημείο, σαν τιμή και παράσταση μιας άλλης συνάρτησης [f (x)] 19
Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ: (1/2) Οι διδακτικές δυσκολίες στην κατανόηση αλγεβρικών εννοιών και προτάσεων προέρχονται κατά μεγάλο βαθμό: Από το υψηλό επίπεδο αφαίρεσης των συμβόλων. Την έλλειψη σύνδεσης των συμβόλων με άλλες έννοιες, ώστε να αποκτήσουν ρεαλιστικό νόημα. Τα στατικά μέσα και τις απαρχαιωμένες μεθόδους. 20
Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ: (2/2) Τα ψηφιακά μέσα μπορούν να υποστηρίξουν την διδασκαλία της Άλγεβρας αξιοποιώντας Την διαδραστικότητα, την πολλαπλή συνδεόμενη αναπαράσταση της ίδιας έννοιας, τον δυναμικό χειρισμό των αναπαραστάσεων, την δυνατότητα διερεύνησης και πειραματισμού με τις έννοιες και την ανάδειξη των πολλαπλών πτυχών της κάθε έννοιας 21
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Δυναμική Γεωμετρία: ο συνεχής και σε πραγματικό χρόνο μετασχηματισμός των γεωμετρικών αντικειμένων. Σε κατασκευές μεταβάλλουμε ορισμένα στοιχεία και παρατηρούμε πως ανταποκρίνονται δυναμικά σε αυτές τις αλλαγές κάποια άλλα στοιχεία. Geometer Sketchpad (1991) Cabri II (1992) Geogebra (2001) 22
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Το περιβάλλον εργασίας προσομοιώνει την αξιωματική της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Έχει γεωμετρικά εργαλεία, σχεδιάζει σύνθετα σχήματα, έχει εργαλεία μέτρησης, εργαλεία μετασχηματισμού και εργαλεία αλλαγής εμφάνισης. 23
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Λειτουργίες αντικειμένων και εργαλείων Δεσμεύσεις αντικειμένων ένα σημείο στον κύκλο ακολουθεί τις μεταβολές του κύκλου, ένα ευθύγραμμο τμήμα με τα άκρα του σε κύκλο μεταβάλλεται ως χορδή όταν ο κύκλος μετακινείται 24
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Σχηματίστε κύκλο με κέντρο Α. Πάρτε 2 σημεία Β, Γ πάνω στον κύκλο και βρείτε το μέσο του ΒΓ. Ενώστε τα σημεία Α και Δ. Τώρα μετακινήστε το σημείο Β ή/και το Γ. Παρατηρείστε ότι α) Β, Γ πάντα βρίσκονται πάνω στον κύκλο. β) Το Α είναι πάντα ενωμένο με το κέντρο Δ του ΒΓ γ) η παρεπόμενη ιδιότητα ΑΔ κάθετο στο ΒΓ δεν μεταβάλλεται. 25
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΟΥ Σημείο Βαθμός ελευθερίας Α, Β 2 Δ, Ε 1 Γ 0 Ένα σημείο έχει δύο βαθμούς ελευθερίας όταν κινείται χωρίς δέσμευση στην επιφάνεια εργασίας (στο δισδιάστατο επίπεδο). Αν σημείο ανήκει σε κάποιο αντικείμενο έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Ενώ αν έχει κατασκευαστεί σαν τομή δύο αντικείμενων έχει μηδέν βαθμούς ελευθερίας. 26
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Δυναμικός μετασχηματισμός κατασκευών Μετασχηματισμοί κατασκευών. Αλλαγή θέσης αλλάζει τα εξαρτώμενα. Κανονικότητες και αναλλοίωτα στις μεταβολές των κατασκευών. Διατηρούνται οι δεσμεύσεις με τις οποίες έγιναν οι κατασκευές. Αποδείξεις συμπερασμάτων. Αν μια κατασκευή ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις μας, δημιουργείται η ανάγκη να αιτιολογηθεί η λειτουργία της. 27
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών LOGO: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΧΕΛΩΝΑΣ Με εντολές προγραμματισμού LOGO (μπροστά πίσω δεξιά αριστερά, θέση, ) κινούμε τον δείκτη, καταγράφοντας το ίχνος της κίνησής του. Οικοδομούμε έννοιες αξιοποιώντας τις μαθηματικές ιδιότητες των σχημάτων. Ορίζουμε παραμετρικές «διαδικασίες» οι οποίες επαναχρησιμοποιούνται σαν εργαλεία. Τροποποιούμε τις κατασκευές διερευνώντας τις εγγενείς ιδιότητες και πειραματιζόμενοι με τις αλλαγές. 28
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών LOGO: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΧΕΛΩΝΑΣ Η ιδιαιτερότητα που την χαρακτηρίζει είναι ότι: Κάθε σχήμα ορίζεται μέσω μιας διαδικασίας παρά μέσω μιας κατασκευής με κανόνα και διαβήτη. Η συμπεριφορά της χελώνας έχει τοπικά χαρακτηριστικά σε σχέση με τις κατασκευές στο Ευκλείδειο ή στο καρτεσιανό επίπεδο Κάνουμε ένα κύκλο ανεξάρτητα από τα στοιχεία του περιβάλλοντος. Ενώ αλλιώς θα χρειαζόμασταν εξωγενή στοιχεία: θέση κέντρου, μήκος ακτίνας 29
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών LOGO: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΧΕΛΩΝΑΣ Τα επόμενο ενδιαφέρον πεδίο διερεύνησης μαθηματικών εννοιών είναι η έννοια της ΑΝΑΔΡΟΜΗΣ Η εντολή επανάλαβε 4 [ μ 20 δ 90] γράφει ένα τετράγωνο πλευράς 20. Ενώ η επανάλαβε 4 [επανάλαβε 4 [ μ 20 δ 90] δ 90 μ 30 ] Γράφει 3 τετράγωνα σε κυκλική διάταξη (κατασκευή fractals) 30
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών LOGO: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΧΕΛΩΝΑΣ Η εντολή επανάλαβε 6 [μ 20 δ (360/6)] γράφει ένα εξάγωνο πλευράς 20. Ενώ η για πολύγωνο :π :ν επανάλαβε :ν [μ :π δ (360/:ν)] τέλος Δίνει οποιοδήποτε ν-γωνο πλευράς π Όπως 8-γωνο πλευράς 30 πολύγωνο 30 8 31
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών LOGO: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΧΕΛΩΝΑΣ Ακόμη, ενσωματώνει την λειτουργία του δυναμικού χειρισμού των μεταβλητών που οδηγεί στην σύζευξη της συμβολικής έκφρασης και της γραφικής αναπαράστασης Με τους μεταβολείς (μονοδιάστατο και δισδιάστατο), δια της ολίσθησης μπορούμε να μεταβάλλουμε τα μεγέθη των μεταβλητών ενός παραμετρικού προγράμματος και να παρατηρήσουμε τις μεταβολές που επέρχονται. 32
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Στην προηγούμενη διαδικασία για πολύγωνο :π :ν επανάλαβε :ν [μ :π δ (360/:ν)] τέλος LOGO: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΧΕΛΩΝΑΣ Ο μεταβολέας έχει την μορφή ------- 1) Ολισθαίνοντας την παράμετρο ν, Μπορούμε να κατασκευάσουμε 3-γωνο μέχρι 16-γωνο. 2) Μπορούμε να μεταβάλλουμε το μήκος της πλευράς από 15 έως 60 3) Μπορούμε, επίσης, να καθορίσουμε τα πεδία ορισμού (και το βήμα). 33
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών Η ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΣΧΕΔΙΟΥ - ΣΧΗΜΑΤΟΣ Το Γεωμετρικό σχέδιο είναι μια εικόνα. Το Γεωμετρικό σχήμα είναι μια κλάση (ίσως άπειρη) σχετικών σχεδίων με κάποια «ελλοχεύοντα» κοινά χαρακτηριστικά. Λέμε: έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο Στην παραδοσιακή Γεωμετρία ενώ διαπραγματευόμαστε το Γεωμετρικό σχέδιο, απαιτείται να συλλογιζόμαστε με το Γεωμετρικό σχήμα. Στο περιβάλλον της δυναμικής Γεωμετρίας η δυνατότητα του διαρκούς μετασχηματισμού των Γεωμετρικών σχεδίων οπτικοποιεί όλη την κλάση και αναδεικνύει τα κοινά χαρακτηριστικά (κανονικότητες και αναλλοίωτα) 34
Διδακτική της Γεωμετρίας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών ΣΥΜΒΟΛΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ Με επίκεντρο την έννοια της μεταβλητής η διασύνδεση αυτή φέρνει σε ανταπόκριση τις έννοιες της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας Τα ζητήματα που ανακύπτουν είναι: Πως επιλέγεται η αντιστοίχιση μεγεθών και μεταβλητών; Πως γίνεται αντιληπτή η μεταβολή του σχήματος σε σχέση με την μεταβολή των παραμέτρων; Πως εξελίσσεται η χρήση των μαθηματικών συμβόλων και πως συμβάλλει στην συγκρότηση των συναρτησιακών σχέσεων; ΣΕ τι συνεισφέρει η χρήση των συμβόλων στην κατανόηση των γεωμετρικών σχημάτων; 35