Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO DI DIRAC

Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO DI DIRAC

Richiami a studi presenti in fisicarivisitata Leggendo Le variabili dinamiche del campo di Dirac si incontrano richiami ai seguenti studi (a) L equazione di Dirac (b) Il teorema di Nöther (c) L equazione di Klein-Gordon che fanno parte di fisicarivisitata e che devono essere ben noti a chi si interessa alle variabili dinamiche del campo di Dirac seguendo la presentazione che di questo argomento viene data in questo studio. * * * 2

Simboli usati in questo studio: m 0 = massa a riposo di una particella; Meccanica pre-relativistica E. Borghi - Le variabili dinamiche del campo di Dirac Premessa R = 3-vettore posizione newtoniana; U = 3-vettore velocità newtoniana; P = m 0 U = 3-vettore momento newtoniano; E = P 2 /2m 0 = energia newtoniana di una particella libera; p = P + q ca = momento generalizzato di una particella con momento P e carica q soggetta a potenziale magnetico A; W = 1 2m 0 (p q c A)2 + qϕ = energia di una particella con massa m 0, carica q, momento generalizzato p e soggetta ai potenziali e.m. ϕ,a; Meccanica relativistica R = 4-vettore posizione; R = parte spaziale di R; R = ct ±R Il doppio segno di R indica controvarianza (+) e covarianza ( ); U = 4-vettore velocità; U = parte spaziale di U; U = U0 = ±U 1 1 U2 c 2 c ; U = ±U P = m 0 U = 4-vettore momento; P = parte spaziale di P; E = c m 2 0 c2 + P 2 = energia relativistica di una particella libera; P = P0 = E/c P ; P = ±P ±P 1 U2 c 2 U 1 U2 c 2 p = P + q c Φ = 4-momento generalizzato relativistico di una particella con massa m 0, carica q, momento P e soggetta a 4-potenziale elettromagnetico Φ ϕ, ±A; P = parte spaziale di p; P 0 + q p = p0 c ϕ E = ±P ± ( P + q c A) = c + q c ϕ ± ( P + q c A) W = qϕ + c m 2 0 c2 + (P q c A)2 = energia relativistica di una particella dotata di carica q e soggetta a potenziale Φ ϕ, ±A * * * 3

Meccanica di Dirac per l elettrone Equazione di Dirac (eq. (69) dello studio (a)) {γ i h m 0 c} = 0 ; γ µ i h x m 0c = 0 ; γ µ,b µ a i h b x m 0c µ a = 0 Equazione coniugata di Dirac (eq. (197) dello studio (a)) (i h γ + m 0 c) = 0 ; i h x µ γµ + m 0 c = 0 ; i h b x µ γµ,b a + a m 0 c = 0 4

Al campo bispinoriale (R) che compare nell equazione di Dirac (v. lo studio (a)) e che tratteremo come se fosse classico possono essere associate, definendo una opportuna densità lagrangiana e facendo ricorso al teorema di Nöther, variabili dinamiche come il tensore energia-momento, il tensore momento angolare ecc.. La densità lagrangiana viene definita in modo che le equazioni di Lagrange per sistemi continui espresse dall eq. (C9) dell Appendice C dello studio (b) che qui riscriviamo L ψ α x γ L ( ) = 0 ψα x γ determinino le equazioni del moto di un elettrone libero espresse dall equazione di Dirac e dall equazione coniugata di Dirac (v. Premessa). Una possibile densità lagrangiana è fornita dalla seguente quantità che è uno scalare, come mostrano le eq. (202) e (208) dello studio (a): L = 1 { ( γ (i h ) m 0 c ) ( + ( γ (i h ) m 0 c ) ) } (1) 2 Nella (1) m 0 è la massa dell elettrone e, sono rispettivamente le soluzioni dell equazione di Dirac e dell equazione coniugata di Dirac (v. eq. (264) e (273) dello studio (a)). Nella L, che è reale perché L = L, il trattino sopra a indica bispinore coniugato di Dirac, il trattino sopra a γ indica quadrivettore matriciale, mentre la freccetta sopra a è rivolta verso il bispinore su cui opera. Notiamo che il primo termine entro parentesi graffe è costituito da moltiplicato per una espressione che coincide col membro sinistro della (69) dello studio (a), perciò, se la che compare nella lagrangiana è una soluzione di questa, il primo termine entro parentesi graffe vale zero e di conseguenza vale zero anche il secondo termine, perciò L = 0. Ora osserviamo che ( ( γ (i h ) m 0 c ) ) ( = γ (i h ) m 0 c ) = ( ( i h ) γ m 0 c ) = ( ( i h ) γ m 0 c ) γ 0 Ricordando che γ = γ 0 γγ 0 (v. l eq. (C5) dell Appendice C dello studio (a)) e quindi γ 0 = γ 0 γ 0 γ 0 = γ 0 si può scrivere ( ( γ (i h ) m 0 c ) ) = ( ( i h ) γ 0 γγ 0 m 0 c ) γ 0 = ( ( i h ) γ 0 γγ 0 γ 0 m 0 cγ 0) = γ 0( ( i h ) γγ 0 γ 0 m 0 c ) = ( ih γ + m 0 c ) perciò la (1) diviene L (,,, ) = 1 2 { ( γ (i h ) m 0 c ) ( (i h ) γ + m 0 c ) } (2) 5

che talvolta viene scritta più sinteticamente nel modo seguente: L (,,, ) = 1 2 γ i h m 0 c (3) Esplicitando gli indici tensoriali si ha: ( L,, x ν, ) x ν = 1 ( γ ν i h ) i h 2 xν x ν γν m 0 c ; ν = 0,1,2,3 (4) Verifichiamo che questa lagrangiana fornisce le corrette equazioni del moto. Infatti si ha: L = i h γν 2 x m 0c ; ν L ( ) = i h 2 γν (5) x ν L = i h 2 x ν γν m 0 c ; L ( ) = i h 2 γν (6) x ν cosicché dalle equazioni di Lagrange, facendo assumere a α i valori 1 e 2 e ponendo ψ 1 = e ψ 2 =, si ottiene i h γν 2 x m 0c + i h ν γν 2 x = 0 (7) ν i h 2 x ν γν m 0 c i h 2 x ν γν = 0 (8) che coincidono rispettivamente con le (69) e (197) dello studio (a) (v. Premessa). Consideriamo ora l eq. (21) dello studio (b) che qui riscriviamo T α β = L ( ) ψ γ ψγ x β Lδα β x α e nella quale assumiamo γ = 1,2 e poniamo ψ 1 = e ψ 2 = cosicché, tenendo presente che la quantità che ne risulta deve essere reale, occorre scrivere come segue: T α β = L ( ) x + β x β x α L ( ) Lδ α β ; T α β = T α β (9) x α Tenendo conto delle (5) e (6) e del fatto che L = 0 si ottiene T α β = 1 ( γ α i h ) i h 2 xβ x β γα (10) che, in accordo con l eq. (209) dello studio (a), rappresenta un tensore di secondo ordine. Si tratta di una quantità reale perché può essere scritta così: { T α β = 1 γ α i h ( 2 x + γ α i h ) } ; T = 1 { γp + (γp) } (11) β x β 2 6

Infatti tenendo presente che γ α = γ 0 γ α γ 0 (v. eq. (C5) dell Appendice C dello studio (a)) si ha: ( γ α i h ) = i h x β x β γα = i h x β γ0 γ α γ 0 ( γ 0 ) = i h γ 0 x β e infine, essendo γ 0 = γ 0 (v. eq. (C4) dell Appendice C dello studio (a)) ( γ α i h ) x β = i h x β γα γα γ 0 γ 0 Dunque la (11) è uguale alla (10) e presenta il vantaggio che in essa la condizione di realtà è facilmente verificabile: T α β = Tα β, perciò la (10) è una quantità reale. Notiamo che T αβ non è simmetrico, cioè T αβ T βα e quindi non può essere interpretato come tensore densità di energia-momento del campo di Dirac (v. studio (b)). Per simmetrizzarlo occorre operare nel modo indicato a partire dalla pag. 9 dello studio (b), ma non ci occuperemo di questo problema. Omettiamo anche di ricavare l espressione che rappresenta la densità di momento angolare orbitale che ci limitiamo a presentare nella sua formulazione finale: L = R i h dr ; L k = i h a a ε klm x l dr (12) xm Ciò che invece ci interessa notare è che la non simmetria di T αβ implica (v. considerazioni a partire da pag. 9 dello studio (b)) che il campo di Dirac è dotato di spin. Consideriamo il tensore di terzo ordine che rappresenta la densità di spin espressa dalla (59) dello studio (b) che qui riscriviamo: S αβγ = L ( ψ ν )P βγ,ν µ ψµ (13) x α Nella (13) P βγ è una matrice che compare nella legge di trasformazione di un tensore a seguito di una trasformazione di coordinate infinitesima di Lorentz (v. l eq. (D19) dell Appendice D dello studio (b)). Ora però abbiamo a che fare con bispinori che, a seguito di una trasformazione di coordinate infinitesima di Lorentz, si trasformano in accordo con la (44) dello studio (a) che qui riscriviamo: e infine = + i 2 ω γ α γ β γ β γ α αβ 4i = + i 2 ω 1 αβ 2 σαβ ; σ αβ = γα γ β γ β γ α = + 1 2 ω αβg αβ ; G αβ = 1 2 iσαβ mentre per il bispinore coniugato di Dirac si ha (v. eq. (46) dello studio (a)) = 1 2 ω αβg αβ 7

e quindi, tenendo presente che stiamo cercando una quantità reale, occorre scrivere la (13) nel modo seguente (ψ ν,ν = 1,2 con ψ 1 e ψ 2 ): S αβγ = L ( )G βγ + L Gβγ ( ) (14) x α x α dove G è la matrice che si ricava dall eq. (47) dello studio (a): essendo G βγ = 1 2 iσβγ ; G βγ = 1 2 iσβγ (15) σ βγ = γβ γ γ γ γ γ β il tensore matriciale antisimmetrico di secondo ordine definito anch esso nell eq. (47) dello studio (a) le cui componenti sono 16 matrici 4x4 di cui solo sei sono distinte e non nulle. La (14) è una quantità reale perché può essere scritta così : Infatti: L ( x α )G βγ S αβγ = L ( x α = G βγ )G βγ + L ( ) x α L ( x α )G βγ = γ 0 γ 0 G βγ γ0 γ 0 = γ 0 1 2 i σ βγ γ 0 γ 0 L ( x α L ( x α Ma, ricordando che γ α = γ 0 γ α γ 0 (v. Appendice C dello studio (a)), si può scrivere ) (16) ) (17) γ 0 1 2 i σ βγ γ 0 = 1 2 i γ 0 γβ γ γ γ γ γ β γ 0 = 1 2 iγβ γ γ γ γ γ β = 1 2 iσβγ = G βγ (18) perciò la (17) diviene L ( x α )G βγ = G βγ γ0 L ( x α ) (19) 8

Ma (v. eq. (6)) γ 0 L ( x α e quindi (v. eq. (5)) ) E. Borghi - Le variabili dinamiche del campo di Dirac = γ 0 ( i h 2 γα ) = i h 2 γ0 γ α = i h 2 γ0 γ 0 γ α γ 0 ( γ 0 ) γ 0 cosicché la (19) diviene L ( x α L ( x α ) = i h 2 γα = )G βγ = G βγ = i h 2 γα γ 0 γ 0 = i h 2 γα L ( ) x α L ( ) x α Dunque la (16) è uguale alla (14) e presenta il vantaggio che in essa la condizione di realtà è facilmente verificabile: S αβγ = S αβγ, perciò anche la (14) è una quantità reale. Evidenziando gli indici bispinoriali si ha: G βγ,a c = 1 2 iσβγ,a c ; G βγ,a c = 1 2 iσβγ,a c ; σ βγ,a c = γβa b γγb c γγa b γβb c S αβγ = L ( a x α )G βγ,a c c + c G βγ,a c L ( a ) Dalla (14), tenendo conto delle (5) e (6), si ottiene (α,β,γ = 0,1,2,3 e a,b,c = 1,2,3,4): S αβγ = i h 1 2 γα 2 iσβγ + ( 12 ) ( iσβγ i h ) 2 γα = 1 4 h(γα σ βγ + σ βγ γ α ) x α S = 4 h(γ 1 σ + σ γ) ; Sαβγ = 4 h 1 a( γ αa b σ βγ,b c + σ βγ,a ) b γαb c c (20) Ci chiediamo: S αβγ è un tensore? Sì, è un tensore di terzo ordine perché è di tipo simile all eq. (205) dello studio (a). Da esso si ricava il tensore simmetrizzato J αβγ S rappresentativo della densità di momento angolare totale (v. eq. (57) dello studio (b)): J αβγ S = T αβ S xγ T αγ S xβ (21) essendo T αβ S il tensore canonico simmetrizzato definito dall eq. (54) dello studio (b) che qui riscriviamo: T αβ S = T αβ + 1 ( ) S µαβ + S βµα + S βαµ 2 x µ 9

Per ciò che riguarda il tensore di secondo ordine antisimmetrico rappresentativo dello spin si ha (v. eq. (45) dello studio (b)): S βγ S = Sβγ = S 0βγ dr = 4 h 1 (γ 0 σ βγ + σ βγ γ 0 )dr ; S γβ = S βγ (22) la cui parte spaziale è S kl = 1 4 h (γ 0 σ kl + σ kl γ 0 )dr ; k,l = 1,2,3 (23) Ma è γ 0 σ kl + σ kl γ 0 = γ0 γ k γ l γ 0 γ l γ k + γ k γ l γ 0 γ l γ k γ 0 Applicando ripetutamente la γ m γ 0 = γ 0 γ m (v. eq. (15) dello studio (a)) si ottiene γ 0 σ kl + σ kl γ 0 = γk γ 0 γ l γ 0 γ l γ k γ k γ 0 γ l γ l γ k γ 0 = 2γk γ 0 γ l + γ l γ 0 γ k + γ l γ 0 γ k = γk γ 0 γ l + γ l γ 0 γ k i = γ 0 γk γ l γ l γ k i (24) Sostituendo nella (17) si ha: S kl = 1 4i h γ 0 (γ k γ l γ l γ k )dr (25) ovvero, evidenziando gli indici bispinoriali: S kl = 1 4i h a γ 0,b a (γ k,c b γ l,d c γ l,c b γk,d c ) d dr Dalla (189) dello studio (a) ricaviamo γ 0 = γ 0 γ 0. Ma dalla (14) dello studio (a) si ha γ 0 γ 0 = 1 perciò γ 0 = ; rγr 0,a γa 0,b = r 1r b = b (26) Sostituendo nella (19) si ha S kl = 1 4i h (γ k γ l γ l γ k )dr = 1 2 h σ kl dr (27) Questo è il tensore antisimmetrico di secondo ordine rappresentativo dello spin che ci eravamo proposti di ottenere. Ad esso, come sappiamo, può essere associato un vettore. A questo fine moltiplichiamo la (27) per 1 2 ε klm: 1 2 ε klms kl = 4i h 1 1 2 ε ( klm γ k γ l γ l γ k) dr 10

Introduciamo il vettore corrispondente al membro sinistro: S m = 4i h 1 1 ( εklm γ k γ l + ε lkm γ l γ k) dr = 1 2 4i h ε klm γ k γ l dr da cui S m = 1 4i h (γ γ) m dr ; S = 1 4i h γ γdr (28) Questo è il vettore rappresentativo dello spin. Introducendo le matrici di spin di Dirac (v. eq. (103) e (104) dello studio (a)) si può scrivere: S m = 1 2 hσ mdr ; S = 1 (29) 2 hσdr * * * Dalla (66) dello studio (b) che qui riscriviamo j α = L L ( )iψ ( ψ ψ )iψ x α x α ricaviamo, ponendo ψ = e ψ =, moltiplicando per e / h e ridefinendo il membro sinistro, l espressione della densità di carica-corrente j α = i e h L ( x α L ) ( ) x α (30) che è reale perché può essere scritta nel modo seguente: j α = e h i L ( x α ) + i L ( x α ) (31) La (30), tenendo conto delle eq. (5) e (6), diviene j α = i e h { i h 2 γα + i h } 2 γα e viene così definito il 4-vettore (v. eq. (203) dello studio (a)) coincidente con la (192) dello studio (a), a parte il fattore e. j α = e γ α (32) 11

Mettendo in evidenza gli indici bispinoriali si ha: Osserviamo che j α = e a γ α,b a b (33) j α { x α = e x α γα + γ α } x α Tenendo conto delle (69) e (197) dello studio (a) (cioè dell equazione di Dirac e dell equazione coniugata di Dirac) si ottiene la legge di conservazione della carica: j α { x = e m 0c α i h + m } 0c i h = 0 ovvero, essendo j 0 = e γ 0 = e γ 0 γ 0 = e j 0 ct + jk x = k e ct La densità di carica è espressa da + jk = 0 ; k = 1,2,3 (34) xk j 0 = e γ 0 = e (35) ed è quindi (v. pag. 42 dello studio (a)) una quantità definita positiva, a differenza della (53) dello studio (c). La carica totale Q del campo si ricava integrando la j 0 : Q = e j 0 dr = e γ 0 dr = e dr (36) * * * Infine fissiamo l attenzione sul 4-vettore energia-momento simmetrizzato P S che la (55) dello studio (b) mostra essere uguale a P. Si ha così (v. eq. (10)): P β = T 0 β dr = 1 2 { γ 0 i h x dr β i h } x β γ0 dr ; β = 0,1,2,3 ovvero P β = i h 2 = i h γ 0 x β dr i h 2 γ 0 x β dr i h 2 x β (γ0 )dr + i h 2 x β (γ0 )dr γ 0 x β dr Ma l ultimo termine a membro destro, che riscriviamo mettendo in evidenza la componente temporale separatamente dalle componenti spaziali e omettendo per semplicità i h/2, j 0 j 0 x β (γ0 ) ct dr, dr ; k = 1,2,3 xk 12

è nullo perché la sua componente temporale si annulla per la legge di conservazione della carica totale Q: j 0 dr = Q ct ct e = 0 (37) mentre la componente spaziale si annulla perché non vi sono campi all infinito. Segue P β = γ 0 i h x dr ; [P] = momento β L3 [] (38) Mettendo in evidenza anche gli indici bispinoriali si ottiene: P β = a γ 0,a b i hb x dr = β b i hb dr (39) xβ ovvero (v. eq. (9) dello studio (c)): P 0 = b i hb x dr ; P = 0 b i h b dr (40) * * * Una densità lagrangiana in grado di fornire l equazione di Dirac in rappresentazione standard, cioè l eq. (133) dello studio (a) e la sua coniugata di Dirac, è espressa da L = 1 2 { (α P + βm 0 c i h ct ) + ( (α P + βm 0 c i h } ct )) Notiamo che il primo termine entro parentesi graffe è costituito da moltiplicato per una espressione che, se è una soluzione dell equazione di Dirac, vale zero, e vale zero anche il secondo termine, perciò L = 0. * * * Nello spazio R,ict una lagrangiana L = L(,; µ, µ ) che sia in grado di generare appropriate equazioni di Dirac e della coniugata di Dirac è la seguente: oppure la seguente L = 1 2 { γ µ } γ µ m 0c x µ x µ h { L = γ µ + m } 0c (41) x µ h Il Teorema di Nöther mostra che la densità di corrente del campo di Dirac vale j µ = ieγ µ (42) con Q = i j 4 dr (43) 13