ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Τετάρτη 4 Φεβρουαρίου 05 ΘΕΜΑ Β Γ Α B φ(rad) 6π 0 0,3 0,5 0,7 t (s) Στα σηµεία Α και Β του παραπάνου σχήµατος βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Π και Π, που εκπέµπουν στην επιφάνεια ενός αρχικά ήρεµου υγρού, αρµονικά κύµατα πλάτους Α. Η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων στο ελαστικό µέσο είναι 0 m/s. Στο σηµείο Γ βρίσκεται ένα µικρό κοµµάτι φελλού, του οποίου η φάση της κατακόρυφης ταλάντωσης του µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραµµα του σχήµατος. Αν θεωρήσουµε ότι οι πηγές άρχισαν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγµή t 0 = 0: Α. η απόσταση ΑΒ µεταξύ των δύο πηγών είναι: α. 4 m β. 5 m Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσετε. Β. το µήκος κύµατος των κυµάτων που παράγονται από τις πηγές Π, Π είναι: α. m β. m Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσετε. ΘΕΜΑ Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου και κατά τη θετική φορά διαδίδεται αρµονικό κύµα. Η πηγή του κύµατος βρίσκεται στο αριστερό άκρο του µέσου και αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγµή t = 0 µε εξίσωση:
ψ = 0, ηµ(πt) (S.I.) φ(rad) χ,5 χ + t (s) Στο παραπάνω σχήµα παριστάνεται γραφικά η φάση δύο σηµείων Κ και Λ του µέσου, τα οποία απέχουν από το σηµείο αποστάσεις χ και (χ + ) µέτρα αντίστοιχα, σε σχέση µε το χρόνο.. Να γραφεί η εξίσωση του αρµονικού κύµατος.. Να βρείτε το µέτρο της ταχύτητας του σηµείου Κ, όταν το σηµείο Λ αποκτά τη µέγιστη θετική αποµάκρυνση. 3. Να σχεδιαστεί το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή που το σηµείο Κ περνάει από τη θέση ισορροπίας του για τρίτη φορά µετά τη στιγµή που ξεκίνησε να ταλαντώνεται. 4. Σε απόσταση d = 0 m από το σηµείο βρίσκεται ένα µικρό κοµµάτι φελλού µάζας m = g, το οποίο ταλαντώνεται µε την επίδραση του κύµατος. α. Να βρείτε την αποµάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας του και την ταχύτητα του τις χρονικές στιγµές 4 s και 6 s. β. Να σχεδιάσετε το διάγραµµα της αποµάκρυνσης του φελλού σε συνάρτηση µε το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του φελλού όταν η αποµάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας είναι ψ = - A (π 0). ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Α. Σωστή απάντηση είναι το α. Όπως φαίνεται από το διάγραµµα φ t που µας δίνεται το κύµα από την πηγή Π θα φθάσει στο σηµείο Γ τη χρονική στιγµή t = 0,3 s, ενώ το κύµα από την πηγή Π τη χρονική στιγµή t = 0,5 s. Άρα οι αποστάσεις d και d του σηµείου Γ από τις δύο πηγές είναι: d = u t d = 3 m και d = u t d = 5 m. H η απόσταση ΑΒ µεταξύ των δύο πηγών είναι: (AB) = d - d = 5 9 = 6 (AB) = 6 = 4 m
Β. Σωστή απάντηση είναι το β. Από το διάγραµµα φ t που µας δίνεται παρατηρούµε ότι τη χρονική στιγµή t = 0,7 s η φάση της ταλάντωσης του φελλού είναι φ = 6π rad. Η φάση του φελλού µετά τη συµβολή των δύο κυµάτων δίνεται από τη σχέση: t d + d 0,7 8 φ = π - 6π = π - T λ T λ 3 = 0,7-4 T λ 3λ = 0,7λ T λ - 4 u = Τ 3λ = 0,7u 4 3λ = 3 λ = m. ΘΕΜΑ. Η εξίσωση της αρµονικής ταλάντωσης της πηγής δίνεται από τη σχέση: ψ = Α ηµ πt T Αντιπαραβάλλοντας την παραπάνω εξίσωση µε την εξίσωση ψ = 0, ηµπt (S.I.) που µας δίνεται βρίσκουµε: Α = 0, m και Τ = s. Η φάση του αρµονικού κύµατος που παράγεται από την πηγή και διαδίδεται κατά την t χ θετική φορά είναι: φ = π - (S.I) (). T λ Άρα φάση του σηµείου Κ, που απέχει από την πηγή απόσταση χ, δίνεται από τη σχέση: t χ φ Κ = π - () T λ ενώ του σηµείου Λ που απέχει από την πηγή απόσταση χ + από τη σχέση: t χ + φ Λ = π - T λ (3) Από το διάγραµµα του σχήµατος, έχουµε: Για το σηµείο Κ όταν t = s, φ Κ = 0 οπότε από τη σχέση () παίρνουµε: χ - λ = 0 χ - λ = 0 λ = χ (4). Για το σηµείο Λ όταν t =,5 s, φ Λ = 0 οπότε από τη σχέση (3) παίρνουµε:,5 χ - + λ = 0 3 χ - + = 0 λ = 4 4 λ 3 (χ + ) (5). Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει: χ = 4 3 χ + 4 3 χ = m. Άρα λ = χ = 4 m. Η εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι: ψ = 0, ηµπ t χ - 4 (S.I.).
. Η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που κάνουν τα σηµεία Κ και Λ είναι: t χ φ = φ Κ φ Λ = π - T λ - π t χ - + T λ = π χ + - χ φ = π λ rad. Όµως φ = ω t π = π Τ t t = Τ 4. Άρα όταν το σηµείο Λ αποκτά τη µέγιστη θετική αποµάκρυνση το σηµείο Κ βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, οπότε η ταχύτητα του έχει µέτρο: V Κ = V max = ω Α = π Τ Α = π 0, V Κ = 0,34 m/s. 3. Η ταχύτητα διάδοσης του αρµονικού κύµατος είναι: u = λ f = λ Τ u = m/s. Το κύµα θα φθάσει στο σηµείο Κ που απέχει χ Κ = χ = m από την πηγή, τη χρονική στιγµή t K = s. Το σηµείο Κ περνάει για τρίτη φορά από τη θέση ισορροπίας του, αφού ξεκίνησε την ταλάντωση του, τη χρονική στιγµή: Τ + Τ + Τ = 3Τ = 3 s. Άρα το σηµείο Κ θα περάσει για τρίτη φορά από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγµή: t = t K + 3 s = s + 3 s t = 4 s. Το κύµα τη παραπάνω χρονική στιγµή t = 4 s έχει φθάσει στο σηµείο που απέχει: χ = u t = 8 m από την πηγή. Η εξίσωση του κύµατος εκείνη τη χρονική στιγµή γράφεται: ψ = 0, ηµπ( - χ ) (S.I.) µε χ 8 m 4 Η σχέση αυτή δίνει την αποµάκρυνση όλων των σηµείων του µέσου, από την πηγή έως το σηµείο που απέχει χ = 8 m από την πηγή, την χρονική στιγµή t = 4 s. Σχηµατίζουµε τον παρακάτω πίνακα τιµών: λ χ (m) 0 4 = λ = 3λ 4 = 3 λ 5λ 4 = 5 3λ = 6 7λ 4 = 7 λ = 8 ψ (m) 0-0, 0 0, 0-0, 0 0, 0 Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουµε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t = 4 s. ψ (m ) 0, 4 6 8 χ (m ) -0,
4. α. Η φάση του φελλού τη χρονική στιγµή t = 4 s είναι: φ = π t - d λ = π 4-5 = - π rad < 0. Άρα τη χρονική στιγµή 4 s η αποµάκρυνση και η ταχύτητα του φελλού θα είναι µηδέν αφού δεν έχει αρχίσει ακόµη να ταλαντώνεται. Τη χρονική στιγµή 6 s η φάση του φελλού είναι: φ = π t - d λ = π 6-5 = π rad > 0. Άρα τη χρονική στιγµή 6 s η αποµάκρυνση και η ταχύτητα του φελλού θα είναι: ψ = 0, ηµπ ψ = 0 m και u = ω Α συνπ= π 0, συνπ u = - 0,34 m/s. β. φελλός θα αρχίσει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγµή: d = u t t = d u = 5 s άρα το διάγραµµα αποµάκρυνσης χρόνου θα είναι: ψ(m) 0, 3 4 5 6 7 t(s) - 0, γ. φελλός κάνει ΑΑΤ µε D = m ω π = m = 0-3 π = 0 - N/m. Εφαρµόζουµε Τ την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την απλή αρµονική ταλάντωση του φελλού: Κ + U = Ε ολ Κ = Ε ολ U K = D A - D Α = D Α Α - = 3 4 8 D A K = 7,5 0-5 J. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ ΤΜΕΑΣ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΜΚΕΝΤΡ» ΦΛΩΡΠΥΛΥ