.. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional Ring Ioannis Nemparis June 27, 2013 Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 1 / 32
The Paper, Introduction amd Problem Definition About the Paper The Paper Oι Gasieniec Kranakis Krizanc Zhang αντιμετωπίζουν το πρόβλημα του Rendezvous k 2 κινούμενων πρακτόρων σε ένα δαχτυλίδι n-κόμβων Οι πράκτορες έχουν O(logk) μνήμη και ένα πανομοιότυπο token/ενδεικτικό έκαστος Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 2 / 32
The Paper, Introduction amd Problem Definition About the Paper The Paper Oι Gasieniec Kranakis Krizanc Zhang αντιμετωπίζουν το πρόβλημα του Rendezvous k 2 κινούμενων πρακτόρων σε ένα δαχτυλίδι n-κόμβων Οι πράκτορες έχουν O(logk) μνήμη και ένα πανομοιότυπο token/ενδεικτικό έκαστος Παρουσιάζουν έναν νέο αλγόριθμο ο οποίος είναι space optimal σε κάθε περίπτωση και απαιτεί O(logk + loglogn) Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 2 / 32
The Paper, Introduction amd Problem Definition About the Paper The Paper Oι Gasieniec Kranakis Krizanc Zhang αντιμετωπίζουν το πρόβλημα του Rendezvous k 2 κινούμενων πρακτόρων σε ένα δαχτυλίδι n-κόμβων Οι πράκτορες έχουν O(logk) μνήμη και ένα πανομοιότυπο token/ενδεικτικό έκαστος Παρουσιάζουν έναν νέο αλγόριθμο ο οποίος είναι space optimal σε κάθε περίπτωση και απαιτεί O(logk + loglogn) Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 2 / 32
The Paper, Introduction amd Problem Definition Famous words I believe the destiny of your generation - and your nation - is a rendezvous with excellence. Lyndon B. Johnson Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 3 / 32
Figure : Μα καλά αυτό είναι όλο; The problem Στο rendezvous πρόβλημα πρακτόρων, προσπαθούμε να αποφανθούμε αν είναι δυνατό να συναντηθούν όλοι οι πράκτορες σε ένα κόμβο.
Figure : Μα καλά αυτό είναι όλο; The problem Στο rendezvous πρόβλημα πρακτόρων, προσπαθούμε να αποφανθούμε αν είναι δυνατό να συναντηθούν όλοι οι πράκτορες σε ένα κόμβο.
The Paper, Introduction amd Problem Definition Introduction Ιδιότητες Δεν μας αρκεί απλά να λύσουμε το πρόβλημα. Στοχεύουμε είτε στην ελαχιστοποίηση των βημάτων είτε στην ελάχιστη μνήμη ανά πράκτορα ή κάποιο trade- off (αυτό το paper) Προφανώς μπορούμε να προσυμφωνήσουμε σε έναν κόμβο του δαχτυλιδιού ή στην θέση κάποιου πράκτορα. Όμως δεν έχουμε αρκετή εσωτερική μνήμη για τίποτα απ τα δύο Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 5 / 32
The Paper, Introduction amd Problem Definition Introduction Ιδιότητες Δεν μας αρκεί απλά να λύσουμε το πρόβλημα. Στοχεύουμε είτε στην ελαχιστοποίηση των βημάτων είτε στην ελάχιστη μνήμη ανά πράκτορα ή κάποιο trade- off (αυτό το paper) Προφανώς μπορούμε να προσυμφωνήσουμε σε έναν κόμβο του δαχτυλιδιού ή στην θέση κάποιου πράκτορα. Όμως δεν έχουμε αρκετή εσωτερική μνήμη για τίποτα απ τα δύο Οι συγγραφείς κατέληξαν σε έναν ντετερμινιστικό αλγόριθμο (πρωτόκολλο) για το πρόβλημα, ο οποίος από άποψη μνήμης του κάθε πράκτορα είναι βέλτιστος Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 5 / 32
The Paper, Introduction amd Problem Definition Introduction Ιδιότητες Δεν μας αρκεί απλά να λύσουμε το πρόβλημα. Στοχεύουμε είτε στην ελαχιστοποίηση των βημάτων είτε στην ελάχιστη μνήμη ανά πράκτορα ή κάποιο trade- off (αυτό το paper) Προφανώς μπορούμε να προσυμφωνήσουμε σε έναν κόμβο του δαχτυλιδιού ή στην θέση κάποιου πράκτορα. Όμως δεν έχουμε αρκετή εσωτερική μνήμη για τίποτα απ τα δύο Οι συγγραφείς κατέληξαν σε έναν ντετερμινιστικό αλγόριθμο (πρωτόκολλο) για το πρόβλημα, ο οποίος από άποψη μνήμης του κάθε πράκτορα είναι βέλτιστος Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 5 / 32
Communication Model About the model Communication Model details Οι κινούμενοι πράκτορες βρίσκονται πάνω στους n κόμβους του δαχτυλιδιού Κάθε πράκτορας σημαδεύει τη θέση του αφήνοντας στον κόμβο που βρίσκεται το πανομοιότυπο διακριτικό του Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 6 / 32
Communication Model About the model Communication Model details Οι κινούμενοι πράκτορες βρίσκονται πάνω στους n κόμβους του δαχτυλιδιού Κάθε πράκτορας σημαδεύει τη θέση του αφήνοντας στον κόμβο που βρίσκεται το πανομοιότυπο διακριτικό του Όπως θα δούμε η αρχική κατανομή των πρακτόρων έχει μεγάλη σημασία για την έκβαση του αλγορίθμου Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 6 / 32
Communication Model About the model Communication Model details Οι κινούμενοι πράκτορες βρίσκονται πάνω στους n κόμβους του δαχτυλιδιού Κάθε πράκτορας σημαδεύει τη θέση του αφήνοντας στον κόμβο που βρίσκεται το πανομοιότυπο διακριτικό του Όπως θα δούμε η αρχική κατανομή των πρακτόρων έχει μεγάλη σημασία για την έκβαση του αλγορίθμου Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 6 / 32
The three scenarios Communication Model Important Cases. 1 Συμμετρική περίπτωση, όπου η απόσταση μεταξύ των πρακτόρων είναι ομοιόμορφη. 2 Περιοδική περίπτωση, όπου η απόσταση μεταξύ του πράκτορα και του επόμενού του σχηματίζουν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 7 / 32
The three scenarios Communication Model Important Cases 1. Συμμετρική περίπτωση, όπου η απόσταση μεταξύ των πρακτόρων είναι ομοιόμορφη 2. Περιοδική περίπτωση, όπου η απόσταση μεταξύ του πράκτορα και του επόμενού του σχηματίζουν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο 3. Μη περιοδική σε κάθε άλλη περίπτωση Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 7 / 32
The three scenarios Communication Model Important Cases 1. Συμμετρική περίπτωση, όπου η απόσταση μεταξύ των πρακτόρων είναι ομοιόμορφη 2. Περιοδική περίπτωση, όπου η απόσταση μεταξύ του πράκτορα και του επόμενού του σχηματίζουν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο 3. Μη περιοδική σε κάθε άλλη περίπτωση Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 7 / 32
3 scenarios with images Communication Model Important Cases. Παραπάνω φαίνονται οι τρεις περιπτώσεις συμμετρική, περιοδική, μη περιοδική. Οι πράκτορες βρίσκονται στις μαύρες θέσεις. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 8 / 32
Communication Model Important Cases Further about the communication model Κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου: Στην αρχή κάθε σταδίου κάθε πράκτορας βρίσκεται πάνω σε κάποιον κόμβο. Δεν επιτρέπεται να βρίσκεται ενδιάμεσα Σε αυτό το χρονικό στάδιο λοιπόν ο πράκτορας μπορεί: Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 9 / 32
Communication Model Important Cases Further about the communication model Κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου: Στην αρχή κάθε σταδίου κάθε πράκτορας βρίσκεται πάνω σε κάποιον κόμβο. Δεν επιτρέπεται να βρίσκεται ενδιάμεσα Σε αυτό το χρονικό στάδιο λοιπόν ο πράκτορας μπορεί: 1. Να μείνει ακίνητος στη θέση του Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 9 / 32
Communication Model Important Cases Further about the communication model Κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου: Στην αρχή κάθε σταδίου κάθε πράκτορας βρίσκεται πάνω σε κάποιον κόμβο. Δεν επιτρέπεται να βρίσκεται ενδιάμεσα Σε αυτό το χρονικό στάδιο λοιπόν ο πράκτορας μπορεί: 1. Να μείνει ακίνητος στη θέση του 2. Να κινηθεί στην επόμενη θέση Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 9 / 32
Communication Model Important Cases Further about the communication model Κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου: Στην αρχή κάθε σταδίου κάθε πράκτορας βρίσκεται πάνω σε κάποιον κόμβο. Δεν επιτρέπεται να βρίσκεται ενδιάμεσα Σε αυτό το χρονικό στάδιο λοιπόν ο πράκτορας μπορεί: 1. Να μείνει ακίνητος στη θέση του 2. Να κινηθεί στην επόμενη θέση 3. Να ελέγξει την ύπαρξη άλλων πρακτόρων στην θέση του Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 9 / 32
Communication Model Important Cases Further about the communication model Κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου: Στην αρχή κάθε σταδίου κάθε πράκτορας βρίσκεται πάνω σε κάποιον κόμβο. Δεν επιτρέπεται να βρίσκεται ενδιάμεσα Σε αυτό το χρονικό στάδιο λοιπόν ο πράκτορας μπορεί: 1. Να μείνει ακίνητος στη θέση του 2. Να κινηθεί στην επόμενη θέση 3. Να ελέγξει την ύπαρξη άλλων πρακτόρων στην θέση του 4. Να ελέγξει την ύπαρξη διακριτικών άλλων πρακτόρων στην θέση του Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 9 / 32
Communication Model Important Cases Further about the communication model Κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου: Στην αρχή κάθε σταδίου κάθε πράκτορας βρίσκεται πάνω σε κάποιον κόμβο. Δεν επιτρέπεται να βρίσκεται ενδιάμεσα Σε αυτό το χρονικό στάδιο λοιπόν ο πράκτορας μπορεί: 1. Να μείνει ακίνητος στη θέση του 2. Να κινηθεί στην επόμενη θέση 3. Να ελέγξει την ύπαρξη άλλων πρακτόρων στην θέση του 4. Να ελέγξει την ύπαρξη διακριτικών άλλων πρακτόρων στην θέση του Οι πράκτορες ανταλλάζουν πληροφορίες μόνο όταν συναντηθούν σε κάποιο κόμβο Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 9 / 32
Communication Model Important Cases Further about the communication model Κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου: Στην αρχή κάθε σταδίου κάθε πράκτορας βρίσκεται πάνω σε κάποιον κόμβο. Δεν επιτρέπεται να βρίσκεται ενδιάμεσα Σε αυτό το χρονικό στάδιο λοιπόν ο πράκτορας μπορεί: 1. Να μείνει ακίνητος στη θέση του 2. Να κινηθεί στην επόμενη θέση 3. Να ελέγξει την ύπαρξη άλλων πρακτόρων στην θέση του 4. Να ελέγξει την ύπαρξη διακριτικών άλλων πρακτόρων στην θέση του Οι πράκτορες ανταλλάζουν πληροφορίες μόνο όταν συναντηθούν σε κάποιο κόμβο Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 9 / 32
The Model recap Communication Model Important Cases. 1 Οι πράκτορες και οι κόμβοι είναι ανώνυμοι (δεν έχουν διακριτή ταυτότητα μεταξύ τους). 2 Οι ακμές του δαχτυλιδιού είναι δύο κατευθύνσεων και οι πράκτορες γνωρίζουν την έννοια του δεξιά αριστερά Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 10 / 32
The Model recap Communication Model Important Cases. 1 Οι πράκτορες και οι κόμβοι είναι ανώνυμοι (δεν έχουν διακριτή ταυτότητα μεταξύ τους). 2 Οι ακμές του δαχτυλιδιού είναι δύο κατευθύνσεων και οι πράκτορες γνωρίζουν την έννοια του δεξιά αριστερά. 3 Το δαχτυλίδι έχει μήκος n αλλά αυτό δεν είναι γνωστό στους πράκτορες Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 10 / 32
The Model recap Communication Model Important Cases 1. Οι πράκτορες και οι κόμβοι είναι ανώνυμοι (δεν έχουν διακριτή ταυτότητα μεταξύ τους) 2. Οι ακμές του δαχτυλιδιού είναι δύο κατευθύνσεων και οι πράκτορες γνωρίζουν την έννοια του δεξιά αριστερά 3. Το δαχτυλίδι έχει μήκος n αλλά αυτό δεν είναι γνωστό στους πράκτορες 4. Τα διακριτικά χρησιμοποιούνται για να δείξουν μονάχα την αρχική θέση του πράκτορα Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 10 / 32
The Model recap Communication Model Important Cases 1. Οι πράκτορες και οι κόμβοι είναι ανώνυμοι (δεν έχουν διακριτή ταυτότητα μεταξύ τους) 2. Οι ακμές του δαχτυλιδιού είναι δύο κατευθύνσεων και οι πράκτορες γνωρίζουν την έννοια του δεξιά αριστερά 3. Το δαχτυλίδι έχει μήκος n αλλά αυτό δεν είναι γνωστό στους πράκτορες 4. Τα διακριτικά χρησιμοποιούνται για να δείξουν μονάχα την αρχική θέση του πράκτορα 5. Όλα τα διακριτικά είναι πανομοιότυπα. Δηλαδή αν βρει ένας πράκτορας κάτω ένα διακριτικό δεν ξέρει αν ήταν το δικό του ή όχι. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 10 / 32
The Model recap Communication Model Important Cases 1. Οι πράκτορες και οι κόμβοι είναι ανώνυμοι (δεν έχουν διακριτή ταυτότητα μεταξύ τους) 2. Οι ακμές του δαχτυλιδιού είναι δύο κατευθύνσεων και οι πράκτορες γνωρίζουν την έννοια του δεξιά αριστερά 3. Το δαχτυλίδι έχει μήκος n αλλά αυτό δεν είναι γνωστό στους πράκτορες 4. Τα διακριτικά χρησιμοποιούνται για να δείξουν μονάχα την αρχική θέση του πράκτορα 5. Όλα τα διακριτικά είναι πανομοιότυπα. Δηλαδή αν βρει ένας πράκτορας κάτω ένα διακριτικό δεν ξέρει αν ήταν το δικό του ή όχι. 6. Οι πράκτορες κινούνται σε συγχρονισμένα βήματα εκτελώντας τον ίδιο αλγόριθμο. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 10 / 32
The Model recap Communication Model Important Cases 1. Οι πράκτορες και οι κόμβοι είναι ανώνυμοι (δεν έχουν διακριτή ταυτότητα μεταξύ τους) 2. Οι ακμές του δαχτυλιδιού είναι δύο κατευθύνσεων και οι πράκτορες γνωρίζουν την έννοια του δεξιά αριστερά 3. Το δαχτυλίδι έχει μήκος n αλλά αυτό δεν είναι γνωστό στους πράκτορες 4. Τα διακριτικά χρησιμοποιούνται για να δείξουν μονάχα την αρχική θέση του πράκτορα 5. Όλα τα διακριτικά είναι πανομοιότυπα. Δηλαδή αν βρει ένας πράκτορας κάτω ένα διακριτικό δεν ξέρει αν ήταν το δικό του ή όχι. 6. Οι πράκτορες κινούνται σε συγχρονισμένα βήματα εκτελώντας τον ίδιο αλγόριθμο. 7. Επικοινωνούν μόνο όταν συναντηθούν σε κάποιο κόμβο Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 10 / 32
The Model recap Communication Model Important Cases 1. Οι πράκτορες και οι κόμβοι είναι ανώνυμοι (δεν έχουν διακριτή ταυτότητα μεταξύ τους) 2. Οι ακμές του δαχτυλιδιού είναι δύο κατευθύνσεων και οι πράκτορες γνωρίζουν την έννοια του δεξιά αριστερά 3. Το δαχτυλίδι έχει μήκος n αλλά αυτό δεν είναι γνωστό στους πράκτορες 4. Τα διακριτικά χρησιμοποιούνται για να δείξουν μονάχα την αρχική θέση του πράκτορα 5. Όλα τα διακριτικά είναι πανομοιότυπα. Δηλαδή αν βρει ένας πράκτορας κάτω ένα διακριτικό δεν ξέρει αν ήταν το δικό του ή όχι. 6. Οι πράκτορες κινούνται σε συγχρονισμένα βήματα εκτελώντας τον ίδιο αλγόριθμο. 7. Επικοινωνούν μόνο όταν συναντηθούν σε κάποιο κόμβο Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 10 / 32
A 1 T 1 A k T k S k S 1 A 2 T 2 S 2. A 3 T 3 T l+1 S l A l+1 A l
Work on the field Related Work Results Συγγραφείς Πρόβλημα Alpern Astronaut and Telephone problems Pikounis and Thomas Rndv as a competitive game (with labels) Anderson and Essegaier Rndv on a line with indist/ble players Anderson and Fekete Rndv in the plane: known distance, unknown direction Anderson and Weber Rendezvous on discrete scenarios Baston and Gal Rendezvous with tokens Baston and Gal Rendezvous on a Line with unknown locations Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 12 / 32
Related Work Results Σημαντικότερα αποτελέσματα της δουλειάς που έχει γίνει Το δύσκολο μέρος του προβλήματος είναι να σπάσουμε την συμμετρία (περιοδική και κυρίως συμμετρική κατανομή) Αυτό γίνεται είτε μέσω πρακτόρων που τρέχουν διαφορετικά πρωτόκολλα είτε μέσω randomization Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 13 / 32
Related Work Results Σημαντικότερα αποτελέσματα της δουλειάς που έχει γίνει Το δύσκολο μέρος του προβλήματος είναι να σπάσουμε την συμμετρία (περιοδική και κυρίως συμμετρική κατανομή) Αυτό γίνεται είτε μέσω πρακτόρων που τρέχουν διαφορετικά πρωτόκολλα είτε μέσω randomization Τα μοναδικά ανά πράκτορα διακριτικά βοηθούν αν και δεν λύνουν το πρόβλημα της συμμετρίας. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 13 / 32
Related Work Results Σημαντικότερα αποτελέσματα της δουλειάς που έχει γίνει Το δύσκολο μέρος του προβλήματος είναι να σπάσουμε την συμμετρία (περιοδική και κυρίως συμμετρική κατανομή) Αυτό γίνεται είτε μέσω πρακτόρων που τρέχουν διαφορετικά πρωτόκολλα είτε μέσω randomization Τα μοναδικά ανά πράκτορα διακριτικά βοηθούν αν και δεν λύνουν το πρόβλημα της συμμετρίας. Στο δαχτυλίδι ωστόσο αρκούν για 2 μόνο πράκτορες [Kranakis et al] Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 13 / 32
Related Work Results Σημαντικότερα αποτελέσματα της δουλειάς που έχει γίνει Το δύσκολο μέρος του προβλήματος είναι να σπάσουμε την συμμετρία (περιοδική και κυρίως συμμετρική κατανομή) Αυτό γίνεται είτε μέσω πρακτόρων που τρέχουν διαφορετικά πρωτόκολλα είτε μέσω randomization Τα μοναδικά ανά πράκτορα διακριτικά βοηθούν αν και δεν λύνουν το πρόβλημα της συμμετρίας. Στο δαχτυλίδι ωστόσο αρκούν για 2 μόνο πράκτορες [Kranakis et al] Αν είναι άγνωστα στους πράκτορες και το πλήθος τους και ο αριθμός των κόμβων του δαχτυλιδιού το rendezvous είναι αδύνατο [Flocchini et al] Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 13 / 32
Related Work Results Σημαντικότερα αποτελέσματα της δουλειάς που έχει γίνει Το δύσκολο μέρος του προβλήματος είναι να σπάσουμε την συμμετρία (περιοδική και κυρίως συμμετρική κατανομή) Αυτό γίνεται είτε μέσω πρακτόρων που τρέχουν διαφορετικά πρωτόκολλα είτε μέσω randomization Τα μοναδικά ανά πράκτορα διακριτικά βοηθούν αν και δεν λύνουν το πρόβλημα της συμμετρίας. Στο δαχτυλίδι ωστόσο αρκούν για 2 μόνο πράκτορες [Kranakis et al] Αν είναι άγνωστα στους πράκτορες και το πλήθος τους και ο αριθμός των κόμβων του δαχτυλιδιού το rendezvous είναι αδύνατο [Flocchini et al] Έχω rendezvous αν και μόνο αν η κατανομή των αποστάσεων των πρακτόρων είναι μη περιοδική [Flocchini et al] Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 13 / 32
Related Work Results Σημαντικότερα αποτελέσματα της δουλειάς που έχει γίνει Το δύσκολο μέρος του προβλήματος είναι να σπάσουμε την συμμετρία (περιοδική και κυρίως συμμετρική κατανομή) Αυτό γίνεται είτε μέσω πρακτόρων που τρέχουν διαφορετικά πρωτόκολλα είτε μέσω randomization Τα μοναδικά ανά πράκτορα διακριτικά βοηθούν αν και δεν λύνουν το πρόβλημα της συμμετρίας. Στο δαχτυλίδι ωστόσο αρκούν για 2 μόνο πράκτορες [Kranakis et al] Αν είναι άγνωστα στους πράκτορες και το πλήθος τους και ο αριθμός των κόμβων του δαχτυλιδιού το rendezvous είναι αδύνατο [Flocchini et al] Έχω rendezvous αν και μόνο αν η κατανομή των αποστάσεων των πρακτόρων είναι μη περιοδική [Flocchini et al] Οποιοσδήποτε ντετερμινιστικός αλγόριθμος στο μοντέλο μας (token,n ring) χρειάζεται (loglogn) μνήμη για να αποφανθεί αν το rendezvous είναι εφικτό [Flocchini et al] Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 13 / 32
Related Work Results Σημαντικότερα αποτελέσματα της δουλειάς που έχει γίνει Το δύσκολο μέρος του προβλήματος είναι να σπάσουμε την συμμετρία (περιοδική και κυρίως συμμετρική κατανομή) Αυτό γίνεται είτε μέσω πρακτόρων που τρέχουν διαφορετικά πρωτόκολλα είτε μέσω randomization Τα μοναδικά ανά πράκτορα διακριτικά βοηθούν αν και δεν λύνουν το πρόβλημα της συμμετρίας. Στο δαχτυλίδι ωστόσο αρκούν για 2 μόνο πράκτορες [Kranakis et al] Αν είναι άγνωστα στους πράκτορες και το πλήθος τους και ο αριθμός των κόμβων του δαχτυλιδιού το rendezvous είναι αδύνατο [Flocchini et al] Έχω rendezvous αν και μόνο αν η κατανομή των αποστάσεων των πρακτόρων είναι μη περιοδική [Flocchini et al] Οποιοσδήποτε ντετερμινιστικός αλγόριθμος στο μοντέλο μας (token,n ring) χρειάζεται (loglogn) μνήμη για να αποφανθεί αν το rendezvous είναι εφικτό [Flocchini et al] O καλύτερος αλγόριθμος για το μοντέλο μας απαιτεί O(kloglogn) μνήμη [Flocchini], ενώ ο συγκεκριμένος αλγόριθμος είναι O(log(k)+log(log(n))) δηλαδή Ioannis Nemparis ασυμπτωτικά () Optimal βέλτιστος Memory Rendezvous ως προς of Anonymous τη μνήμη. Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 13 / 32
Related Work Results Σημαντικότερα αποτελέσματα της δουλειάς που έχει γίνει Το δύσκολο μέρος του προβλήματος είναι να σπάσουμε την συμμετρία (περιοδική και κυρίως συμμετρική κατανομή) Αυτό γίνεται είτε μέσω πρακτόρων που τρέχουν διαφορετικά πρωτόκολλα είτε μέσω randomization Τα μοναδικά ανά πράκτορα διακριτικά βοηθούν αν και δεν λύνουν το πρόβλημα της συμμετρίας. Στο δαχτυλίδι ωστόσο αρκούν για 2 μόνο πράκτορες [Kranakis et al] Αν είναι άγνωστα στους πράκτορες και το πλήθος τους και ο αριθμός των κόμβων του δαχτυλιδιού το rendezvous είναι αδύνατο [Flocchini et al] Έχω rendezvous αν και μόνο αν η κατανομή των αποστάσεων των πρακτόρων είναι μη περιοδική [Flocchini et al] Οποιοσδήποτε ντετερμινιστικός αλγόριθμος στο μοντέλο μας (token,n ring) χρειάζεται (loglogn) μνήμη για να αποφανθεί αν το rendezvous είναι εφικτό [Flocchini et al] O καλύτερος αλγόριθμος για το μοντέλο μας απαιτεί O(kloglogn) μνήμη [Flocchini], ενώ ο συγκεκριμένος αλγόριθμος είναι O(log(k)+log(log(n))) δηλαδή Ioannis Nemparis ασυμπτωτικά () Optimal βέλτιστος Memory Rendezvous ως προς of Anonymous τη μνήμη. Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 13 / 32
The rendezvous Περί rendezvous και agents More about the agents and rendezvous Έστω ονομάζω τους agents A 1, A 2,.., A k και ονομάζω την απόσταση του A i απ τον A i+1 S i ή αλλιώς segment i Την στιγμή 0 όλοι οι πράκτορες αφήνουν το διακριτικό τους για να υποδείξουν την αρχική τους θέση. Ξυπνούν λοιπόν όλοι ταυτόχρονα και αρχίζουν να κινούνται σε συγχρονισμένες μονάδες χρόνου χρονικά βήματα Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 14 / 32
The rendezvous More about the agents and rendezvous Περί rendezvous και agents Έστω ονομάζω τους agents A 1, A 2,.., A k και ονομάζω την απόσταση του A i απ τον A i+1 S i ή αλλιώς segment i Την στιγμή 0 όλοι οι πράκτορες αφήνουν το διακριτικό τους για να υποδείξουν την αρχική τους θέση. Ξυπνούν λοιπόν όλοι ταυτόχρονα και αρχίζουν να κινούνται σε συγχρονισμένες μονάδες χρόνου χρονικά βήματα Ο πράκτορας αποφασίζει να κινηθεί πηγαίνοντας στον επόμενο κόμβο του δαχτυλιδιού ή να μείνει στον κόμβο που ήδη βρίσκεται Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 14 / 32
The rendezvous More about the agents and rendezvous Περί rendezvous και agents Έστω ονομάζω τους agents A 1, A 2,.., A k και ονομάζω την απόσταση του A i απ τον A i+1 S i ή αλλιώς segment i Την στιγμή 0 όλοι οι πράκτορες αφήνουν το διακριτικό τους για να υποδείξουν την αρχική τους θέση. Ξυπνούν λοιπόν όλοι ταυτόχρονα και αρχίζουν να κινούνται σε συγχρονισμένες μονάδες χρόνου χρονικά βήματα Ο πράκτορας αποφασίζει να κινηθεί πηγαίνοντας στον επόμενο κόμβο του δαχτυλιδιού ή να μείνει στον κόμβο που ήδη βρίσκεται Μετά από κάθε κίνηση ή όχι ενημερώνεται η μνήμη του πράκτορα. Όταν αυτός επιστρέψει στην αρχική του θέση λέμε ότι έκανα μια πλήρη περιφορά Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 14 / 32
The rendezvous More about the agents and rendezvous Περί rendezvous και agents Έστω ονομάζω τους agents A 1, A 2,.., A k και ονομάζω την απόσταση του A i απ τον A i+1 S i ή αλλιώς segment i Την στιγμή 0 όλοι οι πράκτορες αφήνουν το διακριτικό τους για να υποδείξουν την αρχική τους θέση. Ξυπνούν λοιπόν όλοι ταυτόχρονα και αρχίζουν να κινούνται σε συγχρονισμένες μονάδες χρόνου χρονικά βήματα Ο πράκτορας αποφασίζει να κινηθεί πηγαίνοντας στον επόμενο κόμβο του δαχτυλιδιού ή να μείνει στον κόμβο που ήδη βρίσκεται Μετά από κάθε κίνηση ή όχι ενημερώνεται η μνήμη του πράκτορα. Όταν αυτός επιστρέψει στην αρχική του θέση λέμε ότι έκανα μια πλήρη περιφορά Θα δείξουμε ότι κάθε πράκτορας χρησιμοποιεί ακριβώς 2logk + 2 bits μνημης Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 14 / 32
The rendezvous More about the agents and rendezvous Περί rendezvous και agents Έστω ονομάζω τους agents A 1, A 2,.., A k και ονομάζω την απόσταση του A i απ τον A i+1 S i ή αλλιώς segment i Την στιγμή 0 όλοι οι πράκτορες αφήνουν το διακριτικό τους για να υποδείξουν την αρχική τους θέση. Ξυπνούν λοιπόν όλοι ταυτόχρονα και αρχίζουν να κινούνται σε συγχρονισμένες μονάδες χρόνου χρονικά βήματα Ο πράκτορας αποφασίζει να κινηθεί πηγαίνοντας στον επόμενο κόμβο του δαχτυλιδιού ή να μείνει στον κόμβο που ήδη βρίσκεται Μετά από κάθε κίνηση ή όχι ενημερώνεται η μνήμη του πράκτορα. Όταν αυτός επιστρέψει στην αρχική του θέση λέμε ότι έκανα μια πλήρη περιφορά Θα δείξουμε ότι κάθε πράκτορας χρησιμοποιεί ακριβώς 2logk + 2 bits μνημης Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 14 / 32
The rendezvous Περί rendezvous και agents 2 More about the agents and rendezvous Η εφικτότητα του rendezvous εξαρτάται άμεσα από την μνήμη του κάθε πράκτορα. Έχουμε λοιπόν O(logk) bits μνήμης και ο αλγόριθμος που προτείνεται: 1. Συμμετρική περίπτωση: Οι πράκτορες τρέχουν επ άπειρον 2. Περιοδική (εκτός συμμετρικής): Οι πράκτορες δεν επιτυγχάνουν rendezvous ωστόσο είναι σε θέση να το καταλάβουν και συνεπώς σταματούν Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 15 / 32
The rendezvous Περί rendezvous και agents 2 More about the agents and rendezvous Η εφικτότητα του rendezvous εξαρτάται άμεσα από την μνήμη του κάθε πράκτορα. Έχουμε λοιπόν O(logk) bits μνήμης και ο αλγόριθμος που προτείνεται: 1. Συμμετρική περίπτωση: Οι πράκτορες τρέχουν επ άπειρον 2. Περιοδική (εκτός συμμετρικής): Οι πράκτορες δεν επιτυγχάνουν rendezvous ωστόσο είναι σε θέση να το καταλάβουν και συνεπώς σταματούν 3. Μη περιοδική : Οι πράκτορες πάντα συναντώνται. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 15 / 32
The rendezvous Περί rendezvous και agents 2 More about the agents and rendezvous Η εφικτότητα του rendezvous εξαρτάται άμεσα από την μνήμη του κάθε πράκτορα. Έχουμε λοιπόν O(logk) bits μνήμης και ο αλγόριθμος που προτείνεται: 1. Συμμετρική περίπτωση: Οι πράκτορες τρέχουν επ άπειρον 2. Περιοδική (εκτός συμμετρικής): Οι πράκτορες δεν επιτυγχάνουν rendezvous ωστόσο είναι σε θέση να το καταλάβουν και συνεπώς σταματούν 3. Μη περιοδική : Οι πράκτορες πάντα συναντώνται. Αν η μνήμη επεκταθεί σε O(logk + loglogn) οι πράκτορες μπορούν να ανιχνεύσουν και την πρώτη περίπτωση και να σταματήσουν εφόσον δεν γίνεται rendezvous. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 15 / 32
The rendezvous Περί rendezvous και agents 2 More about the agents and rendezvous Η εφικτότητα του rendezvous εξαρτάται άμεσα από την μνήμη του κάθε πράκτορα. Έχουμε λοιπόν O(logk) bits μνήμης και ο αλγόριθμος που προτείνεται: 1. Συμμετρική περίπτωση: Οι πράκτορες τρέχουν επ άπειρον 2. Περιοδική (εκτός συμμετρικής): Οι πράκτορες δεν επιτυγχάνουν rendezvous ωστόσο είναι σε θέση να το καταλάβουν και συνεπώς σταματούν 3. Μη περιοδική : Οι πράκτορες πάντα συναντώνται. Αν η μνήμη επεκταθεί σε O(logk + loglogn) οι πράκτορες μπορούν να ανιχνεύσουν και την πρώτη περίπτωση και να σταματήσουν εφόσον δεν γίνεται rendezvous. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 15 / 32
Speeds of agents About the speeds,states and memory of agents Speeds Οι πράκτορες χρησιμοποιούν μεταβαλλόμενες ταχύτητες (γιατί μεταβαλλόμενες και όχι ίδιες(;)γιατί δεν θα συναντιόνταν ποτέ). Η ταχύτητα του A i υπολογίζεται από το S j και λέμε δηλαδή ότι ο i διασχίζει με ταχύτητα V i (j) σημαίνει ότι χρησιμοποιεί το S i+j για να υπολογίσει την ταχυτητά του. Όσο λοιπόν βρίσκεται στο segment αυτό σε κάθε βήμα προχωρά στον επόμενο κόμβο και συνεπώς έχει ταχύτητα 1. Αν είναι σε οποιονδήποτε άλλο κόμβο μια φορά προχωρά μια στέκεται ακίνητος στον κόμβο που βρίσκεται (πως καταλαβαίνει ότι είναι στο αρχικό segment? Δεν έχει συναντήσει ακόμα κανένα marker) και λέμε ότι έχει ταχύτητα 1/2 Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 16 / 32
States of agents About the speeds,states and memory of agents States Οι πράκτορες είναι runners ή markers ή loosers αναλόγως το ομώνυμο state που βρίσκονται 1. Runner: Όλοι οι πράκτορες αρχικά είναι runners. Όσο ο πράκτορας είναι runner διασχίζει το δαχτυλίδι ακολουθώντας τον αλγόριθμο που θα παρουσιάσουμε Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 17 / 32
States of agents About the speeds,states and memory of agents States Οι πράκτορες είναι runners ή markers ή loosers αναλόγως το ομώνυμο state που βρίσκονται 1. Runner: Όλοι οι πράκτορες αρχικά είναι runners. Όσο ο πράκτορας είναι runner διασχίζει το δαχτυλίδι ακολουθώντας τον αλγόριθμο που θα παρουσιάσουμε 2. Marker: Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 17 / 32
States of agents About the speeds,states and memory of agents States Οι πράκτορες είναι runners ή markers ή loosers αναλόγως το ομώνυμο state που βρίσκονται 1. Runner: Όλοι οι πράκτορες αρχικά είναι runners. Όσο ο πράκτορας είναι runner διασχίζει το δαχτυλίδι ακολουθώντας τον αλγόριθμο που θα παρουσιάσουμε 2. Marker: Αν ένας A i 1 συναντήσει τον A i, τότε λέμε ότι ο i είναι marker και γίνεται πλέον σκλάβος του i-1 ακολουθώντας πλέον κάθε οδηγία του Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 17 / 32
States of agents About the speeds,states and memory of agents States Οι πράκτορες είναι runners ή markers ή loosers αναλόγως το ομώνυμο state που βρίσκονται 1. Runner: Όλοι οι πράκτορες αρχικά είναι runners. Όσο ο πράκτορας είναι runner διασχίζει το δαχτυλίδι ακολουθώντας τον αλγόριθμο που θα παρουσιάσουμε 2. Marker: Αν ένας A i 1 συναντήσει τον A i, τότε λέμε ότι ο i είναι marker και γίνεται πλέον σκλάβος του i-1 ακολουθώντας πλέον κάθε οδηγία του 3. Looser: Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 17 / 32
States of agents About the speeds,states and memory of agents States Οι πράκτορες είναι runners ή markers ή loosers αναλόγως το ομώνυμο state που βρίσκονται 1. Runner: Όλοι οι πράκτορες αρχικά είναι runners. Όσο ο πράκτορας είναι runner διασχίζει το δαχτυλίδι ακολουθώντας τον αλγόριθμο που θα παρουσιάσουμε 2. Marker: Αν ένας A i 1 συναντήσει τον A i, τότε λέμε ότι ο i είναι marker και γίνεται πλέον σκλάβος του i-1 ακολουθώντας πλέον κάθε οδηγία του 3. Looser: Αν οποιοσδήποτε άλλος πράκτορας συναντηθεί με τον i τότε λέμε ότι ο i έγινε looser, σβήνει και περιμένει κάποιον πράκτορα να τον πάρει μαζί του στο τελευταίο στάδιο του αλγορίθμου ώστε να επιτευχθεί το rendezvous. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 17 / 32
States of agents About the speeds,states and memory of agents States Οι πράκτορες είναι runners ή markers ή loosers αναλόγως το ομώνυμο state που βρίσκονται 1. Runner: Όλοι οι πράκτορες αρχικά είναι runners. Όσο ο πράκτορας είναι runner διασχίζει το δαχτυλίδι ακολουθώντας τον αλγόριθμο που θα παρουσιάσουμε 2. Marker: Αν ένας A i 1 συναντήσει τον A i, τότε λέμε ότι ο i είναι marker και γίνεται πλέον σκλάβος του i-1 ακολουθώντας πλέον κάθε οδηγία του 3. Looser: Αν οποιοσδήποτε άλλος πράκτορας συναντηθεί με τον i τότε λέμε ότι ο i έγινε looser, σβήνει και περιμένει κάποιον πράκτορα να τον πάρει μαζί του στο τελευταίο στάδιο του αλγορίθμου ώστε να επιτευχθεί το rendezvous. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 17 / 32
States of agents About the speeds,states and memory of agents States Οι πράκτορες είναι runners ή markers ή loosers αναλόγως το ομώνυμο state που βρίσκονται 1. Runner: Όλοι οι πράκτορες αρχικά είναι runners. Όσο ο πράκτορας είναι runner διασχίζει το δαχτυλίδι ακολουθώντας τον αλγόριθμο που θα παρουσιάσουμε 2. Marker: Αν ένας A i 1 συναντήσει τον A i, τότε λέμε ότι ο i είναι marker και γίνεται πλέον σκλάβος του i-1 ακολουθώντας πλέον κάθε οδηγία του 3. Looser: Αν οποιοσδήποτε άλλος πράκτορας συναντηθεί με τον i τότε λέμε ότι ο i έγινε looser, σβήνει και περιμένει κάποιον πράκτορα να τον πάρει μαζί του στο τελευταίο στάδιο του αλγορίθμου ώστε να επιτευχθεί το rendezvous. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 17 / 32
Memory of agents About the speeds,states and memory of agents Memory usage Κάθε πράκτορας έχει μνήμη 2 logk + 2 bits. 1 Τα 2 bits αρκούν ώστε να αναπαραστήσω τις 3 καταστάσεις (0* για runner, 10 για marker, 11 για looser). 2 logk bits αρκούν ώστε να θυμάται ο κάθε πράκτορας από πόσα tokens/διακριτικά έχει περάσει. Η μέτρηση γίνεται modulo k και όταν συναντήσει το k διακριτικό ο μετρητής μηδενίζει και ο πράκτορας ξέρει ότι έφτασε και πάλι στην αρχική του θέση Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 18 / 32
Memory of agents About the speeds,states and memory of agents Memory usage Κάθε πράκτορας έχει μνήμη 2 logk + 2 bits. 1 Τα 2 bits αρκούν ώστε να αναπαραστήσω τις 3 καταστάσεις (0* για runner, 10 για marker, 11 για looser). 2 logk bits αρκούν ώστε να θυμάται ο κάθε πράκτορας από πόσα tokens/διακριτικά έχει περάσει. Η μέτρηση γίνεται modulo k και όταν συναντήσει το k διακριτικό ο μετρητής μηδενίζει και ο πράκτορας ξέρει ότι έφτασε και πάλι στην αρχική του θέση. 3 logk bits για το index του segment ώστε να ξέρει ο πράκτορας τι ταχύτητα να έχει. Πιο συγκεκριμένα στο γύρο i, η τιμή είναι i και μέγιστη ταχύτητα θα χρησιμοποιηθεί στο (i+1) segment απ την αρχική του θέση. Όταν μηδενίσει ο μετρητής αυτός, τότε ο πράκτορας γνωρίζει ότι δοκίμασε κάθε μεταβλητή ταχύτητα και περνά στο στάδιο 2 (θα το παραθέσουμε σε λίγο) όπου και πλέον αυτά τα logk bits χρησιμοποιούνται για να μετρήσουμε πόσοι πράκτορες έχουν συναντηθεί Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 18 / 32
Memory of agents About the speeds,states and memory of agents Memory usage Κάθε πράκτορας έχει μνήμη 2 logk + 2 bits. 1 Τα 2 bits αρκούν ώστε να αναπαραστήσω τις 3 καταστάσεις (0* για runner, 10 για marker, 11 για looser). 2 logk bits αρκούν ώστε να θυμάται ο κάθε πράκτορας από πόσα tokens/διακριτικά έχει περάσει. Η μέτρηση γίνεται modulo k και όταν συναντήσει το k διακριτικό ο μετρητής μηδενίζει και ο πράκτορας ξέρει ότι έφτασε και πάλι στην αρχική του θέση. 3 logk bits για το index του segment ώστε να ξέρει ο πράκτορας τι ταχύτητα να έχει. Πιο συγκεκριμένα στο γύρο i, η τιμή είναι i και μέγιστη ταχύτητα θα χρησιμοποιηθεί στο (i+1) segment απ την αρχική του θέση. Όταν μηδενίσει ο μετρητής αυτός, τότε ο πράκτορας γνωρίζει ότι δοκίμασε κάθε μεταβλητή ταχύτητα και περνά στο στάδιο 2 (θα το παραθέσουμε σε λίγο) όπου και πλέον αυτά τα logk bits χρησιμοποιούνται για να μετρήσουμε πόσοι πράκτορες έχουν συναντηθεί Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 18 / 32
The algorithm The algorithm-high level High level algorithm perception Στο στάδιο 0 κάθε πράκτορας A i είτε θα συναντήσει τον επόμενό του A (i+1) είτε θα τον προλάβει κάποιος άλλος πράκτορας A j με j<i. Άμα η κατανομή των αποστάσεων δεν είναι συμμετρική κάθε πράκτορας θα περάσει το στάδιο 0. Θα δείξουμε ότι με άλλα O(loglogn) bits οι πράκτορες αντιλαμβάνονται την κατάσταση αυτή και μοιραία σταματούν Στο στάδιο 1 το πρωτόκολλο αναγκάζει k-1 πράκτορες να σταματήσουν και μόνον έναν να συνεχίζει να κινείται. Στην περιοδική περίπτωση μπορεί να έχω περισσότερους νικητές που εξακολουθούν να κινούνται οπότε εφόσον ο καθένας οδηγεί κάποιους loosers στην αρχική του θέση το rendezvous δεν πραγματοποιείται και οι πράκτορες σταματούν Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 19 / 32
The algorithm The algorithm-high level High level algorithm perception Στο στάδιο 0 κάθε πράκτορας A i είτε θα συναντήσει τον επόμενό του A (i+1) είτε θα τον προλάβει κάποιος άλλος πράκτορας A j με j<i. Άμα η κατανομή των αποστάσεων δεν είναι συμμετρική κάθε πράκτορας θα περάσει το στάδιο 0. Θα δείξουμε ότι με άλλα O(loglogn) bits οι πράκτορες αντιλαμβάνονται την κατάσταση αυτή και μοιραία σταματούν Στο στάδιο 1 το πρωτόκολλο αναγκάζει k-1 πράκτορες να σταματήσουν και μόνον έναν να συνεχίζει να κινείται. Στην περιοδική περίπτωση μπορεί να έχω περισσότερους νικητές που εξακολουθούν να κινούνται οπότε εφόσον ο καθένας οδηγεί κάποιους loosers στην αρχική του θέση το rendezvous δεν πραγματοποιείται και οι πράκτορες σταματούν Στο στάδιο 2 ο τελευταίος πράκτορας που κινείται μαζεύει όλους τους σβηστούς πράκτορες στην αρχική του θέση Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 19 / 32
The algorithm The algorithm-high level High level algorithm perception Στο στάδιο 0 κάθε πράκτορας A i είτε θα συναντήσει τον επόμενό του A (i+1) είτε θα τον προλάβει κάποιος άλλος πράκτορας A j με j<i. Άμα η κατανομή των αποστάσεων δεν είναι συμμετρική κάθε πράκτορας θα περάσει το στάδιο 0. Θα δείξουμε ότι με άλλα O(loglogn) bits οι πράκτορες αντιλαμβάνονται την κατάσταση αυτή και μοιραία σταματούν Στο στάδιο 1 το πρωτόκολλο αναγκάζει k-1 πράκτορες να σταματήσουν και μόνον έναν να συνεχίζει να κινείται. Στην περιοδική περίπτωση μπορεί να έχω περισσότερους νικητές που εξακολουθούν να κινούνται οπότε εφόσον ο καθένας οδηγεί κάποιους loosers στην αρχική του θέση το rendezvous δεν πραγματοποιείται και οι πράκτορες σταματούν Στο στάδιο 2 ο τελευταίος πράκτορας που κινείται μαζεύει όλους τους σβηστούς πράκτορες στην αρχική του θέση Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 19 / 32
Stage 0 The algorithm Stage 0 and Stage 0.5 STAGE (0) Run with speed V i (0) until: (1) If A i catches A i+1 S i : (1.a) A i overpowers A i+1 S i and makes him him a marker M i (1.b) They move together till T i ( A i 's token). M i is left there (1.c) Go to stage 0.5 (2)If A i is caught or meets a marker of another agent then A i switches off Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 20 / 32
Stage 0.5 The algorithm Stage 0 and Stage 0.5 STAGE (0.5) Leave the marker M i at the node containing T i and run a full turn at max speed. (1) If you catch another agent switch it off (2) Go to Stage (1) Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 21 / 32
Stage 0 and 0.5 analyses The algorithm Stage 0 and Stage 0.5 Εφόσον τα segments δεν είναι uniform σίγουρα 2 πράκτορες θα διασχίσουν το δαχτυλίδι ο ένας πιο αργά απ τον άλλον καθότι το αρχικό του segment θα είναι μεγαλύτερο. Συνεπώς σε μια πλήρη περιφορά αυτοί οι πράκτορες πλησίασαν τουλάχιστον κατά 1 κομβο. Μετά από n λοιπόν περιφορές στην χειρότερη περίπτωση θα έχουν συναντηθεί. Άρα μετά από O(n 2 ) χρονικές μονάδες. Παρατηρήστε ότι αυτό το επιχείρημα δεν ισχύει στην συμμετρική περίπτωση και άρα οι πράκτορες κινούνται αέναα. Με μέγιστη ταχύτητα ο πράκτορας τρέχει μέχρι να βρει το πρώτο token, πάντα ενημερώνει τα 2 bits κατάστασης του και όταν τα πρώτα logk bits μηδενίσουν έγινε μια πλήρης περιφορά.για το στάδιο 0.5 ας σκεφτούμε τώρα τον πρώτο χρονικά πράκτορα που μπαίνει εκεί. Αυτός σε n χρονικές μονάδες (που θα εκτελέσει έναν γύρο) ή θα συναντά πράκτορες στο 0 στάδιο και θα τους σβήνει ή αυτοί θα προλάβουν κάποιον κάνοντάς τον marker και θα μπουν αυτοί στο στάδιο 0.5. Άρα ο πράκτορας ολοκληρώνοντας το στάδιο 0.5 ή θα είναι σβηστός είτε ότι όλοι οι πράκτορες είναι στο στάδιο 0.5. Γι αυτό ακριβώς οποιοιδήποτε 2 πράκτορες θα μπούν στο βήμα 1 με χρονική απόσταση το πολύ n μονάδες χρόνου Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 22 / 32
Stage 1 The algorithm Stage 1 and analysis STAGE (1) For the round j=0,1,...,(k-1) run with speed V i (j) When A i meets its marker M i move the latter 1 position ahead When A i catches another agent, A i switches it off Until M i is back to T i then j = j+1 (*)If A i is caught by another agent it gets switched off Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 23 / 32
Stage 1 analysis(a) The algorithm Stage 1 and analysis O Αλγόριθμος μιλά για κάποια rounds. Tι είναι το round? Όπως φαίνεται έχουμε k rounds. Ο μετρητής των rounds καθορίζει ποιο segment θα χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό της ταχύτητας. Πχ στο μηδενικό round όλοι θα χρησιμοποιούν το segment που ακουμπούν ενώ σε κάθε άλλη περίπτωση μετρώντας πόσα tokens έχουν περάσει θα ξέρουν πότε θα κινηθούν με ταχύτητα 1. Σε κάθε άλλο segment για αυτό το round θα κινούνται με ταχύτητα 1/2. Η ταχύτητα που υπολογίζεται για το round i παραμένει ίδια για τον πράκτορα για n πλήρης περιφορές. Το πότε θα βρεθεί ο marker πίσω στο T i υπολογίζεται απ τα πρώτα logk bits, o runner αναγνωρίζει τον marker απ τα bits θέσης και η ταχύτητα καθορίζεται απ τα bits ταχύτητας καθώς και αυτά εκφράζουν αριθμούς μέχρι το k. Λέμε ότι ο πράκτορας ολοκληρώνει το στάδιο 1 αν ολοκληρώσει και το τελευταίο round. Το στάδιο αυτό κρατά O(kn 2 ) χρονικές μονάδες. (k το πολύ πράκτορες * n κινήσεις του marker για να κάνει περιφορά και η κάθε περιφορά διαρκεί O(n). Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 24 / 32
Stage 1 analysis(b) The algorithm Stage 1 and analysis Εδώ θα αναφερθούμε στο γιατί ο αλγόριθμος παράγει εφικτή λύση. Υποθέτοντας μη περιοδική κατανομή segments και έστω 2 πράκτορες A i, A j. Συνεπώς λόγω μη περιοδικότητας τα segments που ακολουθούν τις αρχικές θέσεις έχουν διαφορετικά μήκη.άρα σε κάποιο round (n πλήρεις περιφορές δηλαδή) όπου η ταχύτητα του ενός πράκτορα θα είναι μεγαλύτερη του άλλου και άρα ο χρόνος είναι αρκετός για να τον προλάβει (αν δεν τον προλάβει κάποιος άλλος). Συνεπώς σε κάθε round ένας απ τους πράκτορες που μπαίνει στο στάδιο 1 θα έχει την δυνατότητα να προκαλέσει κάποιον άλλον (ή να προλάβει ή να τον προλάβει κάποιος). Άρα μετά από k-1 rounds (όπου κάθε φορά θα σβήνει ένας) μόνο ένας θα έχει καταφέρει να επιζήσει. Αυτός αποτελεί και τον νικητή που θα επιτελέσει το rendezvous. Εδώ γίνεται ξεκάθαρο γιατί θέλαμε οι agents να μην μπάινουν με χρόνο μεγαλύτερο του n στο στάδιο 1(για να υπάρχει πάντα κάποιος να προκαλέσει κάποιον). Εφόσον λοιπόν κάθε round διαρκεί n περιφορές υπάρχει αρκετός χρόνος για να προκαλέσει οποιοσδήποτε οποιονδήποτε. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 25 / 32
Stage 2 The algorithm Stage 2 and analysis STAGE(2) CLEAN-UP STAGE The survivor A i makes another full turn and collects all switched off agents left on the ring. If the collected agents are (k-1) the rendezvous was successful. If not the segments were periodic. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 26 / 32
Stage 2 analysis The algorithm Stage 2 and analysis Δεν υπάρχουν πολλά εδώ για ανάλυση. Απλά πλέον ότι η περιφορά του σταδίου 2 μπορεί να γίνει με ταχύτητα 1. Αξίζει επίσης να αναφερθούμε στο if not κομμάτι. Αν δεν μαζέψουμε k-1 πράκτορες πως ξέρουμε ότι έχουμε περιοδικά segments? Το γνωρίζουμε καθ ότι για περιοδικά segments δεν ισχύει το επιχείρημα ότι σε ένα round ή θα πιάσει ή θα πιαστεί από κάποιον πράκτορα (ισχύει για τους περιοδικούς σε σχέση με τους υπόλοιπους αλλά όχι για τους περιοδικούς μεταξύ τους). Έτσι μετά το πέρας του stage 1 θα έχω >1 επιζόντες πράκτορες (όσους έχουν ίδια patterns με άλλους, μπορεί να υπάρχουν πάνω από μια τέτοιες ομάδες) και συνεπώς δεν υπάρχει ντετερμινιστικός τρόπος να επιτευχθεί το rendezvous όπως μας λέει και η διαίσθηση μας και έχει αποδειχθεί και σε παλαιότερο paper. Στην συνολική πολυπλοκότητα της διαδικασίας υπερισχύει το στάδιο 1 και άρα έχει πολυπλοκότητα O(kn 2 ). Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 27 / 32
About the Symmetric case Stage -1 Stage breaking symmetric case (0) Place token T i and start traversing at full speed. Set flag to symmetric (1)For prime=2,3...,p O( logn and flag = symmetric loglogn ) (1.1) Visit consecutive segments S 0, S 1,.., S i 1 (1.1.1) Set counter of steps =0 (1.1.2) Traverse each segment adding 1 modulo p to the counter (1.1.3) At the end of each segment test if the counter stays consistent with previous segments (*) If not stop procedure when every agent reaches its token and proceed to step 0. The case is not symmetric Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 28 / 32
Breaking symmetry About the Symmetric case Reasoning and ideas Όπως αναφέραμε η συμμετρική περίπτωση δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί από ντετερμινιστικό αλγόριθμο και γι αυτό είναι σημαντικό να μπορούμε να την εντοπίζουμε. Οι Flocchini Kranakis έδειξαν κάτω φράγμα για τον εντοπισμό της συμμετρικής περίπτωσης O(loglogn). Ο αλγόριθμος λοιπόν στηρίζεται πάνω στη χρήση μιας ακολουθίας πρώτων αριθμών και το κινέζικο θεώρημα υπολοίπων. Υπενθυμίζουμε το Κ.Θ.Υ για τυχαία a i και p i ανά δύο πρώτα το σύστημα x a i modp i έχει μοναδική λύση. Για οποιουσδήποτε n 1 < n 2 < n η ακολουθία υπολοίπων μήκους C logn loglogn πρέπει να διαφέρει (αλλιώς δεν θα ταν πρώτοι μεταξύ τους οι p i ). To βήμα 0 δεν δέχεται εξήγηση. Για τους πρώτους O( logn loglogn ) πρώτους (υπενθυμίζεται ότι υπάρχουν περίπου n logn πρώτοι αριθμοί μικρότεροι του n), επαναληπτικά στον i γύρο διαιρούμε κάθε segment με τον πρώτο αριθμό και αν όλα τα segments έχουν το ίδιο υπόλοιπο συνεχίζουμε με τον επόμενο πρώτο. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 29 / 32
Breaking symmetry b About the Symmetric case Reasoning and ideas Μπορούμε να το φανταστούμε ότι σε κάθε πλήρη περιφορά αν όλα τα segments επιστρέψουν ίδιο υπόλοιπο αυτό γίνεται 1 εξισωση στο σύστημα. Ωστόσο αυτό δεν είναι αρκετό γιατί μπορεί να τύχει(πχ 5, 8 2mod3). Γι αυτό δοκιμάζω (C logn loglogn ) πρώτους που για κατάλληλο μικρό C απαλείφουν αυτή την περίπτωση. Αν σε οποιοδήποτε πρώτο έστω και σε 1 segment δεν βρω ίδιο υπόλοιπο τότε ξέρω ότι μπορώ να ξεκινήσω κανονικά το στάδιο 0 (αφου περιμείνω πρώτα να τελειώσει ο round του πρώτου). Η χρονική πολυπλοκότητα του βήματος είναι O(n logn loglogn ) (n για κάθε πλήρη περιφορά και O( logn loglogn ) λόγω του εξωτερικού for). O χώρος είναι O(loglogn) καθότι η τιμή των υπολοίπων μπορει να είναι μέχρι O(logn) άρα αρκούν O(loglogn) bits για την αναπαράστασή τους. Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 30 / 32
Questions About the Symmetric case Ending Figure : ANY QUESTIONS? Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 31 / 32
END About the Symmetric case Ending Optimal Memory Rendezvous of Anonymous Mobile Agents in a Undirectional June 27, Ring 2013 32 / 32