ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες. ειγµατικός χώρος (δ.χ.) είναι το σύνολο των αποτελεσµάτων ενός πειράµατος τύχης. Ενδεχόµενο (ενδ.) είναι το σύνολο που περιέχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσµατα ενός π.τ. Απλό λέγεται το ενδ. που περιέχει ένα µόνο στοιχείο και σύνθετο αυτό που περιέχει περισσότερα από ένα στοιχεία. Ένα ενδ. λέµε ότι πραγµατοποιείται όταν το αποτέλεσµα ενός π.τ. σε µία εκτέλεσή του, είναι στοιχείο του ενδεχοµένου Βέβαιο ενδεχόµενο είναι αυτό που πραγµατοποιείται πάντα, όπως π.χ. ο δ.χ. Ω Αδύνατο ενδεχόµενο είναι αυτό που δεν πραγµατοποιείται σε καµία εκτέλεση του πειράµατος,όπως π.χ. το κενό σύνολο Ασυµβίβαστα ή ξένα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α, Β είναι αυτά που δεν µπορούν να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως δηλ. αυτά που δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο,δηλ. όταν Α B= Το ενδ. A B ( Α τοµή Β) πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β Το ενδ. A B (Α ένωση Β) πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α,Β Το συµπληρωµατικό Α ή αντίθετο του Α πραγµατοποιείται όταν δεν πραγµατοποιείται το Α. Το ενδ. Α-Β πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται το Α και όχι το Β. Σχετική συχνότητα f Α ενός ενδ. Α είναι το πηλίκο κ/ν όπου ν ο αριθµός των εκτελέσεων του π.τ. και κ οι φορές που πραγµατοποιήθηκε το Α. Αν Ω= { ω ω ω } ένας δ.χ. ενός π.τ. και τα απλά του ενδ. { ω} { ω } { },,..., λ 1 2,,..., ω λ σε ν 1 2 εκτελέσεις του πειράµατος πραγµατοποιούνται κ 1,κ 2,,κ λ φορές αντίστοιχα,τότε για τα σχετικές τους συχνότητες f i =k i /v ισχύει: 0 f i 1 και f 1 +f 2 + +f λ =1

Στατιστική οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών είναι το συµπέρασµα ότι οι σχετικές συχνότητες των ενδ. ενός π.τ. σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθµούς, καθώς ο αριθµός των δοκιµών του πειράµατος επαναλαµβάνεται απεριόριστα. Κλασικός ορισµός της πιθανότητας: σε ένα π.τ. µε ν ισοπίθανα αποτελέσµατα ως πιθανότητα του ενδ. Α ορίζεται ο αριθµός : πληθος ευνοικωv περιπτωσεων P( A) = = πληθος δυνατων περιπτωσεων N( A) N( Ω) Α π ο δ ε ί ξ ε ι ς Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα ενδ. Α, Β ν.δ.ο. P( A B) = P( A) + P( B) Απόδειξη Επειδή τα Α,Β είναι ασυµβίβαστα θα έχουµε A B= αρα Ν(Α Β)=Ν(Α)+Ν(Β) Άρα θα έχω : N( A B) N( A) + N( B) N( A) N( B) P( A B) = = = + = P( A) + P( B) N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) Ν.δ.ο. Απόδειξη Ρ(Α ) = 1- Ρ(Α) Έχω ότι A A =Ω και A A = διότι τα Α, Α είναι ασυµβίβαστα άρα σύµφωνα µε τον προσθετικό νόµο έχω: P( A A ) = P( A) + P( A ) δηλ. P( Ω ) = P( A) + P( A ) δηλ. 1 = P( A) + P( A ) άρα Ρ(Α ) = 1-Ρ(Α) Για δύο ενδ. Α,Β ενός δ.χ. ν.δ.ο. P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Απόδειξη: Έχω : N( A B) = N( A) + N( B) N( A B) διότι στο άθροισµα Ν(Α)+Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων του A B υπολογίζεται δύο φορές, άρα θα έχω: N( A B) N( A) + N( B) N( A B) N( A) N( B) N( A B) P( A B) = = = + = P( A) + P( B) P( A B) N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) Αν A B ν. δο.. P( A) P( B) Απόδειξη: Έχω : A B άρα Ν(Α) Ν(Β) άρα N( A) N( B) N( Ω) N( Ω) δηλ. Ρ(Α) Ρ(Β).

Για δύο ενδ. Α, Β ενός δ.χ. ν.δ.ο. P( A B) = P( A) P( A B) Απόδειξη: Τα Α-Β και A B είναι ασυµβίβαστα και ισχύει: A= ( A B) ( A B) άρα έχω: P( A) = P( A B) + P( A B) P( A B) = P( A) P( A B) Ω Α Α-Β A B Β ΚΕΦ. 2 ο ( ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ) 1. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: (α-β) 3 = (α+β) 3 = α 3 -β 3 = α 3 +β 3 = 2. Αν α,β θετικοί και ν θετικός ακέραιος, ν.δ.ο. : α > β α ν >β ν (ευθύ) : Έστω α>β τότε : α>β, α>β, α>β,. α>β ( ν ανισώσεις). Επειδή τα µέλη τους είναι θετικά τις πολλαπλασιάζω κατά µέλη και έχω: α ν >β ν ( αντίστροφο): Έστω α ν >β ν, θ.δ.ο. α>β µε απαγωγή σε άτοπο. Αν α=β θα είχα και α ν =β ν, άτοπο Αν α<β θα είχα σύµφωνα µε το ευθύ που αποδείξαµε ότι: α ν <β ν,άτοπο.άρα α ν >β ν 3. Αν α, β θετικοί και ν θετικός ακέραιος, ν.δ.ο. : α = β α ν = β ν (ευθύ) : Αν α=β τότε από τον ορισµό της ισότητας προκύπτει ότι: α ν =β ν ( αντίστροφο) : Έστω α ν =β ν θ.δ.ο. α=β µε απαγωγή σε άτοπο. Αν α>β από γνωστή πρόταση θα είχα α ν >β ν (άτοπο) Αν α<β από γνωστή πρόταση θα είχα α ν <β ν (άτοπο). Άρα α=β 4. Τι ονοµάζουµε κλειστό και τι ανοικτό διάστηµα από το α έως το β και πως το συµβολίζουµε; Κλειστό : [α, β] είναι το σύνολο των αριθµών χ µε : α x β Ανοικτό : (α, β) είναι το σύνολο των αριθµών χ µε : α<χ<β 4. Πως ορίζεται η απόλυτη τιµή ενός αριθµού α και ποιες είναι οι ιδιότητές της; Αν ο αριθµός α παριστάνεται µε το σηµείο Α πάνω σε έναν άξονα τότε η απόλυτη τιµή του α είναι η απόσταση του σηµείου Α από την αρχή Ο, δηλ. το µήκος του τµήµατος ΟΑ α, αν α 0 συµβολίζεται µε α και είναι: α = α, αν α < 0

5. Οι ιδιότητες της απόλυτης τιµής είναι οι παρακάτω: * α = α 0 * α α και α -α * 2 2 α α = * Αν θ>0 τότε : x = θ x= θ η x= θ * x = α x= α η x= α * Αν θ>0 τότε : x > θ χ<-θ ή χ>θ * Αν θ>0 τότε : x < θ -θ <χ<θ * a. b = a. b * a / b = a / b * a+ b a + b 6. Ν.δ.ο. ab = a b Θα δείξω ότι : 2 2 2 2 2 2 2 2 ab = a. b ab = ( a. b ) ab = a. b ( ab) = a b που ισχύει. 7. Ν.δ.ο. a+ b a + b Επειδή στην παραπάνω ανισότητα τα µέλη της είναι µη αρνητικοί, µπορούµε να υψώσουµε στο τετράγωνο, άρα έχουµε: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a+ b a + b a+ b ( a + b ) ( a+ b) a + 2 a b + b a + 2ab+ b a + 2 ab + b ab ab Η τελευταία ανισότητα ισχύει.η ισότητα ισχύει όταν οι αριθµοί a,b είναι οµόσηµοι ή όταν ένας τουλάχιστον είναι 0. 8. Η απόσταση δύο αριθµών α, β συµβολίζεται µε : d( α, β ) ή µε d( β,α ) και είναι ίση µε α β = β α 9. Αν Α(α) και Β(β) δύο σηµεία στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και Μ(χ 0 ) το µέσον του τµήµατος ΑΒ, ν.δ.ο. x0 α + β = 2 χ Α(α) Μ(χ 0 ) Β(β) χ Έχουµε: (ΜΑ)=(ΜΒ) d(χ 0, α)=d(χ 0, β) x0 α = x0 β χ 0 -α=β-χ 0 2χ 0 =α+β χ 0 =(α+β)/2

10. Τι ονοµάζουµε τετραγωνική και τι ν-οστή ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α * τετραγωνική ρίζα είναι η µη αρνητική λύση της εξίσωσης χ 2 =α και συµβολίζεται µε α * νοστή ρίζα είναι η µη αρνητική λύση της εξίσωσης και χ ν =α και συµβολίζεται και ν α ν ν ν 11. Αν α,b 0 ν.δ.ο. a b = ab ν ν ν ν ν Θ.δ.ο. a b ab ( a b) ν ν ( ab) ν ν ( a) ν ν = = ( b) ν = ab ab= ab που ισχύει µ µν 12. Αν α 0 τότε : ν a = a Θ.δ.ο. µ ν µ ν µ ν ν µν µν a = a ( a ) µν = ( a) µν [( a ) µ ] ν = a ( a) ν = a που ισχύει µν µρ ν ρ 13. Αν α 0 τότε : a = a µν µρ µ µρ ρ µ ρ ν ν µ ν Έχω : a = a = ( a ) = a

ΚΕΦ. 3 ο ( ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ) 1. Τι γνωρίζετε για τη λύση της εξίσωσης αχ+β=0 για τις διάφορες τιµές των α, β; αν α 0 τότε έχει τη µοναδική λύση : χ=-β/α αν α=0 και β 0 τότε έχω 0χ=β δηλ. αδύνατη αν α=0 και β=0 τότε έχω: 0χ=0 δηλ. ταυτότητα (αληθεύει xε R ) 2. Τι γνωρίζετε για τις λύσεις της εξίσωσης χ ν =α για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού α όταν ν άρτιος και όταν ν περιττός Αν α=0 τότε έχω την εξίσωση : χ ν =0 που έχει ν ίσες µηδενικές λύσεις Αν α>0 και ν άρτιος τότε : x=± ν α Αν α>0 και ν περιττός τότε : x= ν α Αν α<0 και ν άρτιος τότε η εξίσωση είναι αδύνατη Αν α<0 και ν περιττός τότε : x ν α = 3. Τι γνωρίζετε για τις ρίζες της εξίσωσης αχ 2 +βχ+γ=0 µε α 0 για τις διάφορες τιµές της ; αν >0 έχει δύο ρίζες άνισες τις x1,2 = β ± 2α β αν =0 έχει µία διπλή ρίζα δηλ. δύο ίσες x1 = x2 = 2α αν <0 δεν έχει πραγµατικές ρίζες 4. Αν χ 1, χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης αχ 2 +βχ+γ=0 µε α 0 ν.δ.ο. χ 1 +χ 2 = -β/α, χ 1 χ 2 =γ/α x * 1 2 β + β β+ β 2β β + x = + = = =. 2α 2α 2α 2α α * β β β β β β 2α 2α 4α 4α 4α 2 2 2 + ( + )( ) ( ) ( ) 1 2 =. = = = 2 2 2 x x 2 2 2 2 β ( β 4 αγ ) β β + 4 αγ ) 4αγ γ 2 2 2 4α 4α 4α α = = = =

5. Αν α,γ ετερόσηµοι ν.δ.ο. η εξίσωση αχ 2 +βχ+γ=0 µε α 0 έχει δύο ρίζες άνισες. Επειδή α,γ ετερόσηµοι θα είναι αγ<0 άρα αγ>0 άρα =β 2-4αγ>0 (σαν άθροισµα θετικών ), που σηµαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσηµες ΚΕΦ. 4 ο ( ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ) 1. Να γράψετε τις µορφές του τριωνύµου f(x)=αχ 2 +βχ+γ µε α 0 για τις διάφορες τιµές της Αν >0 τότε f(x) = α (χ-χ 1 )(χ-χ 2 ) όπου χ 1,χ 2 οι ρίζες του f(x) Αν =0 Αν <0 τότε τότε f x β f ( x) = α( x+ ) 2α 2 ( ) = α[( x+ ) + ] 2 2 β 2α 4α 2. Να γράψετε τους πίνακες που δίνουν το πρόσηµο του f(x)=αχ 2 +βχ+γ µε α 0 για τις διάφορες τιµές της και στη συνέχεια να αποδείξετε το πρόσηµο που παίρνει το f(x) όταν >0, όταν =0 και όταν <0. αν >0 και χ 1,χ 2 οι ρίζες του µε χ 1 <χ 2 τότε : x - χ 1 χ 2 + f(x) οµόσηµο του α ετερόσηµο του α οµόσηµο του α Απόδειξη Έχω f(x)=αχ 2 +βχ+ γ = α(χ-χ 1 )(χ-χ 2 ) (1) * Αν χ<χ 1 <χ 2 τότε χ-χ 1 <0 και χ-χ 2 <0 άρα (χ-χ 1 )(χ-χ 2 )>0 σαν γινόµενο οµόσηµων αριθµών άρα από (1) το f(x) είναι οµόσηµο του α. * Αν χ>χ 2 >χ 1 τότε χ-χ 1 >0 και χ-χ 2 >0 άρα (χ-χ 1 )(χ-χ 2 )>0 σαν γινόµενο οµόσηµων αριθµών άρα από (1) το f(x) είναι οµόσηµο του α. * Αν χ 1 <χ<χ 2 τότε χ-χ 1 >0 και χ-χ 2 <0 άρα (χ-χ 1 )(χ-χ 2 )<0 σαν γινόµενο ετερόσηµων αριθµών άρα από (1) το f(x) είναι ετερόσηµο του α.

αν =0 τότε έχω: x - -β/2α + f(x) οµόσηµο του α οµόσηµο του α Απόδειξη Έχω f(x)= αχ 2 +βχ+γ = α(χ+β/2α) 2 και επειδή το (χ+β/2α) 2 είναι µη αρνητικός, το f(x) είναι οµόσηµο του α για κάθε πραγµατικό χ - β/2α. αν <0 τότε έχω: x - + f(x) οµόσηµο του α Απόδειξη Έχω f x β = + + και επειδή η παράσταση στην αγκύλη είναι θετική, 2α 4α 2 ( ) α[( x ) ] 2 τελικά το f(x) είναι οµόσηµο του α σε όλο το R. ΚΕΦ. 5 ο ( ΠΡΟΟ ΟΙ ) Ο ρ ι σ µ ο ί 1. Ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι µία αντιστοίχιση των φυσικών αριθµών στους πραγµατικούς αριθµούς 2. ν-οστός ή γενικός όρος µιας ακολουθίας είναι ο αριθµός στον οποίο αντιστοιχεί ο φυσικός αριθµός ν και συµβολίζεται µε α ν 3. Αριθµητική πρόοδος λέγεται µία ακολουθία,στην οποία κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση πάντοτε του ίδιου αριθµού. 4. Αριθµητικός µέσος των α, γ λέγεται ένας αριθµός β έτσι ώστε οι αριθµοί : α, β, γ να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, και ισχύει: α + γ β = 2 5. Γεωµετρική πρόοδος λέγεται µία ακολουθία,στην οποία κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πολλαπλασιασµό επί τον ίδιο πάντοτε µη µηδενικό αριθµό. 6. Γεωµετρικός µέσος των µη µηδενικών α, γ λέγεται ο θετικός αριθµός β έτσι ώστε οι αριθµοί : α, β, γ να είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, και ισχύει: β 2 = αγ δηλ. β = αγ

τ ύ π ο ι Αριθµητική Γεωµετρική συνθήκη ορισµού α ν+1 = α ν +ω ή α ν+1 - α ν =ω α ν+1 = α ν.λ ή α ν+1 / α ν = λ (α 1, α ν, λ 0 ) α, β, γ διαδοχικοί όροι 2β = α+γ β 2 = αγ ν-οστός όρος α ν = α 1 +(ν-1)ω α ν = α 1. λ ν-1 άθροισµα των ν πρώτων όρων ν ν S a a a 2 2 ν ω ν = ( 1+ ν ) = [2 1+ ( 1) ] Sν a1 ν λ 1 =, λ 1 λ 1 Α π ο δ ε ί ξ ε ι ς 1. Σε αριθµητική πρόοδο: α ν = α 1 +(ν-1)ω Σύµφωνα µε τον ορισµό της αριθµητικής πρ. έχουµε: α 1 =α 1 α 2 = α 1 + ω α 3 = α 2 + ω α 4 = α 3 + ω.. α ν-1 = α ν-2 + ω α ν = α ν-1 + ω προσθέτω κατά µέλη τις ισότητες α 1 + α 2 + α 3 + +α ν-1 + α ν = α 1 + α 2 + α 3 + +α ν-2 +α ν-1 (ν-1)ω και µετά τη διαγραφή έχουµε: α ν = α 1 +(ν-1)ω 2. Σε γεωµετρική πρόοδο: α ν = α 1. λ ν-1 Σύµφωνα µε τον ορισµό της γεωµετρικής πρ. έχουµε: α 1 =α 1 α 2 = α 1 λ α 3 = α 2 λ α 4 = α 3 λ.. α ν-1 = α ν-2 λ α ν = α ν-1 λ πολλαπλασιάζω κατά µέλη τις ισότητες α 1. α 2. α 3 α ν-1. α ν = α 1. α 2. α 3 α ν-2.α ν-1. λ ν-1 και µετά τη διαγραφή έχουµε: α ν = α 1. λ ν-1

3. Ν.δ.ο. το άθροισµα των ν πρώτων όρων µιας γεωµετρικής πρ. µε λόγο λ 1 ν λ 1 δίνεται από τον τύπο: Sν = a1, λ 1 λ 1 Έχουµε: S ν = α 1 + α 2 + α 3 + +α ν-1 + α ν δηλ. S ν = α 1 + α 1 λ+ α 1 λ 2 + +α 1 λ ν-2 + α 1 λ ν-1 (1) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη τη: (1) µε το λόγο λ και τότε έχουµε: λs ν = α 1 λ+α 1 λ 2 + α 1 λ 3 +α 1 λ ν-1 + α 1 λ ν (2). Αφαιρώντας από τα µέλη της (2),τα µέλη της (1), έχουµε την παρακάτω ισότητα. λs ν - S ν = α 1 λ ν - α 1 (λ-1)s ν = α 1 (λ ν ν λ 1-1) άρα Sν = a1 ( διοτι λ 1) λ 1 ΚΕΦ. 6 ο ( ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ) 1. Τι λέγεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β Είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β και γράφω: f : Α Β. 2. Έννοιες στη συνάρτηση f: Α Β το Α λέγεται πεδίο ορισµού της f και το Β πεδίο τιµών της f το f(x) λέγεται τιµή της f στο x. το χεα λέγεται ανεξάρτητη µεταβλητή το ψ=f(x) Β λέγεται εξαρτηµένη µεταβλητή το σύνολο f(α) µε στοιχεία όλες τις τιµές f(x) για όλα τα χ Α λέγεται σύνολο τιµών της f και ισχύει: f ( A) Β αν Α, Β R τότε λέµε ότι έχουµε : πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής. 3. Αν Α(α,β) είναι σηµείο σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, να βρείτε τα συµµετρικά σηµεία του Α ως προς : τον χ χ, τον ψ ψ,την αρχή Ο των αξόνων και τη διχοτόµο της 1 ης και 3 ης γωνίας των αξόνων Ως προς τον χ χ είναι το σηµείο : Β(α,-β) Ως προς τον ψ ψ είναι το σηµείο : Γ(-α, β) Ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σηµείο : (-α,-β) Ως προς τη διχοτόµο της 1 ης και 3 ης γωνίας είναι το σηµείο : Ε(β,α)

4. Tι ονοµάζουµε συντελεστή διεύθυνσης (σ.δ.) της ευθείας (ε) : ψ=αχ+β και ποια είναι η κλίση της (ε) ως προς τον χ χ για τις διάφορες τιµές του α. Σ.δ. της (ε) ονοµάζεται η εφω όπου ω η γωνία που σχηµατίζει η (ε) µε τον χ χ και είναι εφω=α µε 0 0 ω<180 0. Αν α>0 τότε η γωνία ω είναι οξεία Αν α<0 τότε η γωνία ω είναι αµβλεία Αν α=0 τότε ω=0 0 δηλ. η (ε)//χ χ ( Αν η ευθεία είναι κάθετη στον χ χ τότε η ω=90 0 και ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται ) 5. Ποιες είναι οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών των αξόνων; (δικαιολογήστε την απάντηση σας) ψ * Η διχοτόµος της 1 ης και 3 ης γωνίας είναι η (ε): ψ=χ διότι (δ) (ε) είναι της µορφής ψ=αχ αφού περνά από την αρχή των ψ= -x ψ=x αξόνων µε α=εφ45 ο =1 135 ο * Η διχοτόµος της 2 ης και 4 ης γωνίας είναι η (δ):ψ=-χ διότι Ο 45 ο χ είναι της µορφής ψ=αχ αφού περνά από την αρχή των αξόνων µε α=εφ135 ο =-1 6. Πότε έχουµε κατακόρυφη ή οριζόντια µετατόπιση συνάρτησης; Αν f(x)=g(x)+c τότε η f είναι κατακόρυφη µετατόπιση της g κατά c µονάδες προς τα πάνω αν c>0 και προς τα κάτω αν c<0 Αν f(x)=g(x+c) τότε η f είναι οριζόντια µετατόπιση της g κατά c µονάδες προς τα αριστερά αν c>0 και προς τα δεξιά αν c<0 7. Πότε µία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της και τι γνωρίζετε για τη γραφική τους παράσταση; * Γνησίως αύξουσα όταν «για κάθε x 1,x 2 µε x 1 <x 2 ισχύει f(x 1 ) < f(x 2 )» και η γραφική της παράσταση «ανεβαίνει» καθώς το x κινείται προς τα δεξιά. * Γνησίως φθίνουσα όταν «για κάθε x 1,x 2 µε x 1 <x 2 ισχύει f(x 1 ) > f(x 2 )» και η γραφική της παράσταση «κατεβαίνει» καθώς το x κινείται προς τα δεξιά.

8. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει σε ένα της σηµείο χ ο εα ολικό ελάχιστο και πότε ολικό µέγιστο; Ολικό µέγιστο παρουσιάζει αν ισχύει: f (x) f (x 0 ) για κάθε x Α Ολικό ελάχιστο παρουσιάζει αν ισχύει: f (x) f (x 0 ) για κάθε x Α. 9. Πότε µία συνάρτηση λέγεται άρτια και πότε περιττή και ποια συµµετρία παρουσιάζουν; Άρτια: αν για κάθε x D f ισχύει : -x D f και f (-x) = f (x) Περιττή: αν για κάθε x D f ισχύει : -x D f και f (-x) = - f(x) Η άρτια είναι συµµετρική ως προς τον ψ ψ Η περιττή έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων ΚΕΦ. 5ο ( ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ) 1. Τι γνωρίζετε για τη µονοτονία, τα ακρότατα και τη συµµετρία της παραβολής f(x)=αx 2 αν α>0 και αν α<0; H f(x) = αx 2 έχει πεδίο ορισµού το R και είναι άρτια, άρα έχει τον ψ ψ άξονα συµµετρίας και κορυφή την αρχή των αξόνων. * Αν α>0 τότε η f(x) είναι γν. φθίνουσα στο (-, 0] ψ και γν. αύξουσα στο [0,+ ), α>0,ψ=αx 2 παρουσιάζει ελάχιστο στο x=0 το f(0)=0 0 x * Αν α<0 τότε η f(x) είναι γν αύξουσα στο (-, 0] ψ και γν. φθίνουσα στο [0,+ ), 0 x παρουσιάζει µέγιστο στο χ=0 το f(0) =0 α<0, ψ=αx 2 2. Τι γνωρίζετε για τη µονοτονία, τα ακρότατα, το πεδίο ορισµού, τη συµµετρία και τη γραφική παράσταση της υπερβολής f(x)=α/χ αν α>0 και αν α<0; Πεδίο ορισµού το R *,είναι περιττή άρα έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων, δεν παρουσιάζει ακρότατα, έχει άξονες συµµετρίας τις ευθείες ψ=χ και ψ= -χ και ασύµπτωτες τους άξονες χ χ και ψ ψ και αποτελείται από δύο κλάδους.

αν α>0 η γραφ. παρ. βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτηµόριο και είναι γν. φθίνουσα στα διαστήµατα (-, 0) και (0, + ) αν α<0 η γραφ. παρ. βρίσκεται στο 2ο και 4ο τεταρτηµόριο και είναι γν. αύξουσα στα διαστήµατα (-, 0) και (0, + ) ψ α>0 α<0 ψ ψ=α/χ ψ=α/χ Ο x Ο x 3. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f(x)=αχ 2 +βχ+γ µε α 0 ως προς : τη µονοτονία,τα ακρότατα, το σύνολο τιµών τη συµµετρία που παρουσιάζει και τα σηµεία τοµής της µε τους άξονες,όταν α>0 και όταν α<0. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε και τη γραφική της παράσταση όταν >0, =0, <0 Η f(x) έχει πεδίο ορισµού το R, άξονα συµµετρίας την ευθεία χ= -β/2α και κορυφή το σηµείο Κ( -β/2α, - /4α ), τέµνει τον ψ ψ στο σηµείο (0, γ) και τον χ χ : σε δύο σηµεία αν >0, εφάπτεται στο σηµείο ( β/2α, 0) αν =0, δεν τον τέµνει αν <0. επιπλέον: αν α>0 έχω: µονοτονία : γν. φθίνουσα στο (-, -β/2α] και γν. αύξουσα στο [-β/2α,+ ) ακρότατα : παρουσιάζει ελάχιστο στο β/2α το f(-β/2α) = - /4α σύνολο τιµών : f(α)=[- /4α,+ ) >0 =0 <0 ψ ψ ψ γ γ γ Ο x 1 x 2 x - /4α. - /4α.... β/2α Ο -β/2α x Ο -β/2α x

αν α<0 έχω: µονοτονία : γν. αύξουσα στο (-, -β/2α] και γν. φθίνουσα στο [-β/2α,+ ) ακρότατα : παρουσιάζει µέγιστο στο β/2α το f(-β/2α) = - /4α σύνολο τιµών : f(α)=(-, - /4α ] >0 =0 <0 Ψ ψ ψ - /4α.. Ο -β/2α Ο -β/2α x x Ο x 1 x 2 x γ - /4α... -β/2α γ γ