ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

Transcript

1 Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού λέγεται µια συνάρτηση f όταν για κάθε χ,χ ε µε χ <χ ισχύει f(χ )<f(χ ) Γνησίως φθίνουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού λέγεται µια συνάρτηση f όταν για κάθε χ,χ ε µε χ <χ ισχύει f(χ )>f(χ ) Γνησίως µονότονη: λέγεται µια συνάρτηση f όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα Τοπικό µέγιστο : παρουσιάζει µια συνάρτηση f σε ένα σηµείο χ ο του πεδίου ορισµού της,όταν f f ( x ) για κάθε χ σε µια περιοχή του χ ο Τοπικό ελάχιστο : παρουσιάζει µια συνάρτηση f σε ένα σηµείο χ ο του πεδίου ορισµού της,όταν f f ( x ) για κάθε χ σε µια περιοχή του χ ο lm f = f ( x ) Συνεχής λέγεται µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α,όταν για κάθε χ ο εα ισχύει: 0 Ιδιότητες ορίων: Αν οι f, g έχουν στο χ ο όρια πραγµατικούς αριθµούς δηλ. αν lm f = l και lm g = l τότε ισχύουν τα παρακάτω: x x x x. 4. lm( f + g) = l + l. lm( kf ) kl f lm( ) g l ν ν = 5. lm( f ) l l = 3. lm( f g) = ll lm f = l, f 0 = 6. ν ν Συντελεστής διεύθυνσης : της εφαπτοµένης της C f σε ένα της σηµείο Α(χ ο,f(x )) είναι η εφω f ( x + ) f ( x ) = lm 0 0 όταν είναι πραγµατικός αριθµός. 0 Παράγωγος µιας συνάρτησης σε ένα της σηµείο χ 0 : είναι το όριο f ( x0 + ) f ( x0) lm 0 όταν είναι πραγµατικός αριθµός και συµβολίζεται µε f ( x0) και τότε λέµε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στοχ 0 Ρυθµός µεταβολής : µιας f στο χ 0 λέγεται η παράγωγος της f στο χ 0 Ν.δ.ο. η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c είναι 0 δηλ. (c) =0 Έχω : f ( x+ ) f c c lm = lm = 0 άρα (c) =0 0 0

2 Ν.δ.ο. η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=χ είναι δηλ. (χ) = f ( x+ ) f ( x+ ) x Έχω : lm = lm = lm = lm= άρα (χ) = Ν.δ.ο. (χ ) =χ Έστω f(χ)=χ τότε : f ( x + ) f ( x ) ( x + ) x x + x + x lm = = lm = lm ( x + ) = lm = lm ( x + ) = x 0 0 Άρα (χ ) =χ Αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και c πραγµατική σταθερά,ν.δ.ο. (cf(x)) =cf (x),xεr Έχω : f ( x+ ) f lm f 0 =. Έστω F(x)=cf(x) τότε : F ( x + ) F ( x ) c f ( x + ) c f ( x ) f ( x + ) f ( x ) lm = lm = lm c = f ( x + ) f ( x ) = c lm = cf ( x ) 0 άρα ( cf ) = cf Αν οι f,g είναι παραγωγίσιµες στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών ν.δ.ο. (f(x)+g(x)) =f (x)+g (x) f ( x+ ) f g ( x+ ) g Έχω : lm = f και lm = g 0 0 Έστω F(x)=f(x)+g(x) τότε: F( x+ ) F [ f ( x+ ) + g( x+ )] [ f + g] lm = lm = 0 0 [ f ( x+ ) f ] + [ g( x+ ) g] f ( x+ ) f g( x+ ) g = lm = lm + lm = = f + g Άρα (f(x)+g(x)) =f (x)+g (x)

3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Πληθυσµός : είναι το σύνολο του οποίου θέλουµε να εξετάσουµε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του Μεταβλητή : είναι το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουµε έναν πληθυσµό και τη συµβολίζουµε µε τα γράµµατα Χ, Ψ, Ζ, Β, Ποιοτικές ή κατηγορικές: λέγονται οι µεταβλητές των οποίων οι τιµές δεν είναι αριθµοί Ποσοτικές : λέγονται οι µεταβλητές των οποίων οι τιµές είναι αριθµοί και διακρίνονται σε: διακριτές που παίρνουν µόνο µεµονωµένες τιµές και σε συνεχείς που µπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιµή σε ένα διάστηµα (α,β) Απόλυτη συχνότητα ι : µιας τιµής χ της εξεταζόµενης µεταβλητής Χ, λέγεται ο φυσικός αριθµός που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η χ στο δείγµα. Σχετική συχνότητα f µιας τιµής χ της εξεταζόµενης µεταβλητής Χ, λέγεται το πηλίκο της απόλυτης συχνότητας της χ προς το µέγεθος του δείγµατος δηλ. f = ι /ν Αν χ, χ, χ κ οι τιµές µιας µεταβλητής Χ,ν.δ.ο. α) 0 f και β) f +f + +f κ = : α) έχω: f = / και επειδή 0 η ανίσωση ισχύει β) έχω: ν ν νκ ν + ν νκ ν f+ f+ + f = = = = ν ν ν ν ν... κ... Αθροιστική συχνότητα ή αθροιστική σχετική συχνότητα µιας τιµής χ της εξεταζόµενης µεταβλητής Χ είναι το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες από την χ ηλ. Ν = ν +ν + +ν και F = f +f + +f Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των ποιοτικών και των ποσοτικών δεδοµένων όταν οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είναι σχετικά λίγες και αν α η γωνία που αντιστοιχεί στην τιµή χ, ισχύει: 360 α = = f.360 Το σηµειόγραµµα χρησιµοποιείται όταν οι παρατηρήσεις είναι λίγες και οι τιµές της µεταβλητής παριστάνονται µε σηµεία πάνω από ένα οριζόντιο άξονα. Το χρονόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονοµικού, δηµογραφικού ή άλλου µεγέθους. Πολύγωνο συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι η ένωση το σηµείων (χ,ν ) ή (x, f ) αντίστοιχα. Ιστόγραµµα συχνοτήτων είναι γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων µε οµαδοποιηµένα δεδοµένα όπου τα ορθογώνια που κατασκευάζουµε έχουν βάση όσο το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου να είναι ίσο µε τη συχνότητα της κλάσης αυτής. T εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και από τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος ν. 3

4 4 T εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και από τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε. Καµπύλη συχνοτήτων είναι η πολυγωνική γραµµή η οποία τείνει να πάρει τη µορφή οµαλής καµπύλης, εάν υποθέσουµε ότι ο αριθµός των κλάσεων είναι αρκετά µεγάλος (τείνει στο άπειρο ) και το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά µικρό ( τείνει στο 0). Τα κυριότερα είδη κατανοµής είναι: (α) η οµοιόµορφη, (β) η κανονική, (γ) η ασύµµετρη µε θετική ασυµµετρία και (δ) η ασύµµετρη µε αρνητική ασυµµετρία (α) (β) (γ) (δ) x = δ δ < x x< δ Μέτρα θέσης είναι τα αριθµητικά µεγέθη που µας δίνουν τη θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα και τα οποία είναι: η µέση τιµή η διάµεσος και η επικρατούσα τιµή Μέση τιµή ν παρατηρήσεων t είναι ο µέσος όρος τους δηλ. όπου χ οι διαφορετικές τιµές των t k k x = t = x = f x = = = Σταθµικός µέσος είναι ο µέσος όρος των ν παρατηρήσεων όταν δίνεται διαφορετική βαρύτητα w στις τιµές τους. δηλ. x = xw + x w x w w + w w ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά,είναι η µεσαία παρατήρηση αν ν περιττός και το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων αν ν άρτιος Μέτρα διασποράς είναι τα αριθµητικά µεγέθη που µας δίνουν τη διασπορά των παρατηρήσεων δηλ. πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το κέντρο τους και οι οποίες είναι: το εύρος, η διακύµανση και η τυπική απόκλιση Εύρος (R) ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι η διαφορά της ελάχιστης από τη µεγαλύτερη παρατήρηση. ιακύµανση ή διασπορά (s ) ν παρατηρήσεων µε τιµές t είναι ο µέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεών τους από τη µέση τους τιµή δηλ. s t x x x f x x k k = ( ) = ( ) = ( ) = = = όπου χ οι διαφορετικές των t Τυπική απόκλιση (s) ν παρατηρήσεων είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς τους δηλ. Συντελεστής µεταβολής ή µεταβλητότητας (CV) είναι το πηλίκο: s / x, αν x > 0 και s / x, αν x<0 και παριστάνει ένα µέτρο σχετικής διασποράς των τιµών και όχι την απόλυτη διασπορά. Εκφράζει δηλ. την µεταβλητότητα των δεδοµένων απαλλαγµένη από τη µέση τιµή,είναι ανεξάρτητος από τις µονάδες και εκφράζεται σε επί τοις εκατό. Οµοιογενές χαρακτηρίζεται ένα δείγµα για το οποίο: CV 0% s= s

5 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες. ειγµατικός χώρος (δ.χ.) είναι το σύνολο των αποτελεσµάτων ενός πειράµατος τύχης. Ενδεχόµενο (ενδ.) είναι το σύνολο που περιέχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσµατα ενός π.τ. Απλό λέγεται το ενδ. που περιέχει ένα µόνο στοιχείο και σύνθετο αυτό που περιέχει περισσότερα από ένα στοιχεία. Ένα ενδ. λέµε ότι πραγµατοποιείται όταν το αποτέλεσµα ενός π.τ. σε µία εκτέλεσή του, είναι στοιχείο του ενδεχοµένου Βέβαιο ενδεχόµενο είναι αυτό που πραγµατοποιείται πάντα, όπως π.χ. ο δ.χ. Ω Αδύνατο ενδεχόµενο είναι αυτό που δεν πραγµατοποιείται σε καµία εκτέλεση του πειράµατος,όπως π.χ. το κενό σύνολο Ασυµβίβαστα ή ξένα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α, Β είναι αυτά που δεν µπορούν να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως δηλ. αυτά που δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο,δηλ. όταν Α B= Το ενδ. A B ( Α τοµή Β) πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β Το ενδ. A B (Α ένωση Β) πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α,Β Το συµπληρωµατικό Α ή αντίθετο του Α πραγµατοποιείται όταν δεν πραγµατοποιείται το Α. Το ενδ. Α-Β πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται το Α και όχι το Β. Σχετική συχνότητα f Α ενός ενδ. Α είναι το πηλίκο κ/ν όπου ν ο αριθµός των εκτελέσεων του π.τ. και κ οι φορές που πραγµατοποιήθηκε το Α. Αν Ω= { ω ω ω } ένας δ.χ. ενός π.τ. και τα απλά του ενδ. { ω} { ω } { },,..., λ,,..., ω λ σε ν εκτελέσεις του πειράµατος πραγµατοποιούνται κ,κ,,κ λ φορές αντίστοιχα,τότε για τα σχετικές τους συχνότητες f =k / ισχύει: 0 f και f +f + +f λ = ( η απόδειξη όπως στη στατιστική ) Στατιστική οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών είναι το συµπέρασµα ότι οι σχετικές συχνότητες των ενδ. ενός π.τ. σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθµούς, καθώς ο αριθµός των δοκιµών του πειράµατος επαναλαµβάνεται απεριόριστα. Κλασικός ορισµός της πιθανότητας: σε ένα π.τ. µε ν ισοπίθανα αποτελέσµατα ως πιθανότητα του ενδ. Α ορίζεται ο αριθµός : πληθος ευνοικω περιπτωσεων P( A) = = πληθος δυνατων περιπτωσεων Αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας: N( A) N( Ω) Έστω Ω = { ω ω ω } ένας δ.χ. µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδ. { ω },,..., αντιστοιχίζουµε έναν πραγµατικό αριθµό, που τον συµβολίζουµε µε P(ω ), έτσι ώστε να ισχύουν: 0 P( ω ) και P( ω ) + P( ω ) P( ω ) = Τον αριθµό P(ω ) ονοµάζουµε πιθανότητα του ενδ. { ω } 5

6 Αν A { a a a } =,,..., k ένα ενδ. του Ω τότε ως πιθανότητα Ρ(Α) του Α ορίζουµε το άθροισµα P a P a P a k ( ) + ( ) ( ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδ. ορίζουµε τον αριθµό P( ) = 0 6 Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα ενδ. Α, Β ν.δ.ο. P( A B) = P( A) + P( B) Επειδή τα Α,Β είναι ασυµβίβαστα θα έχουµε A B= αρα Ν(Α Β)=Ν(Α)+Ν(Β) Άρα θα έχω : N( A B) N( A) + N( B) N( A) N( B) P( A B) = = = + = P( A) + P( B) N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) Ν.δ.ο. Ρ(Α ) = - Ρ(Α) Έχω ότι A A =Ω και A A = διότι τα Α, Α είναι ασυµβίβαστα άρα σύµφωνα µε τον προσθετικό νόµο έχω: P( A A ) = P( A) + P( A ) δηλ. P( Ω ) = P( A) + P( A ) δηλ. = P( A) + P( A ) άρα Ρ(Α ) = -Ρ(Α) Για δύο ενδ. Α,Β ενός δ.χ. ν.δ.ο. P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) : Έχω : N( A B) = N( A) + N( B) N( A B) διότι στο άθροισµα Ν(Α)+Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων του A B υπολογίζεται δύο φορές, άρα θα έχω: N( A B) N( A) + N( B) N( A B) N( A) N( B) N( A B) P( A B) = = = + = P( A) + P( B) P( A B) N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) Αν A B ν. δο.. P( A) P( B) : Έχω : A B άρα Ν(Α) Ν(Β) άρα N( A) N( B) N( Ω) N( Ω) δηλ. Ρ(Α) Ρ(Β). Για δύο ενδ. Α, Β ενός δ.χ. ν.δ.ο. P( A B) = P( A) P( A B) : Τα Α-Β και A B είναι ασυµβίβαστα και ισχύει: A= ( A B) ( A B) άρα έχω: P( A) = P( A B) + P( A B) P( A B) = P( A) P( A B) Ω Α Α-Β A B Β