Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Εφαρμογή Αναλυτικών Μοντέλων των εξισώσεων TOV στη μελέτη της r-mode ευστάθειας σε Αστέρες Νετρονίων Πολυχρόνης Κολιογιάννης Κουτμηρίδης ΑΕΜ: 330 Επιβλέπων Καθηγητής: Μουστακίδης Χαράλαμπος 5 Οκτωβρίου 206

2 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

3 στη µνήµη τ oυ αγαπηµένoυ µoυ πατ έρα

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης κ. Μουστακίδη Χαράλαμπο για τη βοήθεια του στην επιλογή του θέματος της μελέτης μου καθώς και για τη συνεχή καθοδήγηση του μέχρι την εκπόνησή της. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την συμπαράστασή της. 5

Περίληψη Ένας από τους πιο κατάλληλους τρόπους περιγραφής των αντικειμένων με πυκνή μάζα, αποτελούν οι αστέρες νετρονίων. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι γιατί η μελέτη τους συνδιάζει διάφορα είδη φυσικής, όπως την πυρηνική, την αστροφυσική και τη φυσική της βαρύτητας. Οι αστέρες αυτοί είναι αρκετά πιθανοί για την εκπομπή βαρυτικής ακτινοβολίας και κατά συνέπεια βαρυτικών κυμάτων. Η βαρυτική ακτινοβολία έχει προταθεί ε- δώ και αρκετό διάστημα ως εξήγηση για την χαμηλή γωνιακή συχνότητα στην οποία παρατηρούνται οι νεαροί αστέρες νετρονίων. Στην παρούσα εργασία, μελετάμε τις επιδράσεις της καταστατικής εξίσωσης των αστέρων νετρονίων στο r mode παράθυρο αστάθειας των περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων. Εφαρμόζουμε ένα σετ από αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων T OV. Συγκεκριμένα, προσπαθούμε να διευκρινήσουμε τις επιδράσεις των μακροσκοπικών ιδιοτήτων του αστέρα (μάζα, ακτίνα, κατανομή πυκνότητας) στο r mode παράθυρο αστάθειας. Τελικά, βρήκαμε μια σύνδεση ανάμεσα στην κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα και τη θερμοκρασία και παρατηρήσαμε ότι η κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα εξαρτάται κυρίως από την ακτίνα του αστέρα. Οι επιδράσεις από τη βαρυτική μάζα και την κατανομή της μάζας είναι αμελητέες. 7

Abstract One of the most appropriate ways of description of objects with dense matter are the neutron stars. The reason for this, is because their study combines various kinds of physics, such as nuclear physics, astrophysics and gravitational physics. These neutron stars, are likely to emit gravitational radiation and as a result gravitational waves. The gravitational radiation has been proposed a long time before, as an explanation for the observed relatively low spin frequencies of young neutron stars. In the present work, we studied the effects of the neutron star equation of state on the r-mode instability window of rotating neutron stars. We employed a set of analytical solution of the T OV equations. In particular, we tried to clarify the effects of the bulk neutron star properties (mass, radius, density distribution) on the r-mode instability window. Finally, we found a connection between the critical angular velocity and the temperature and we observed that the critical angular velocity depends mainly on the neutron star radius. The effects of the gravitational mass and the mass distribution are almost negligible. 9

Περιεχόμενα Περιεχόμενα Περίληψη 3 2 Εισαγωγή 5 3 R-mode Αστάθεια σε Αστέρες Νετρονίων 9 3. Παράθυρο Αστάθειας.................... 20 3.2 Βαρυτική Ακτινοβολία.................... 23 3.3 Μηχανισμός CFS....................... 24 3.4 Μηχανισμοί απόσβεσης................... 26 3.4. Ιξώδες διάχυσης................... 26 3.4.2 Ιξώδες όγκου.................... 28 3.5 Όριο αστάθειας-ευστάθειας................. 29 4 Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 3 4. Λύση Tolman VII...................... 32 4.2 Λύση Buchdahl........................ 37 4.3 Λύσεις Αστέρων Κουάρκ................... 42 4.3. Λύση Uniform.................... 42 4.3.2 Λύση Tolman VI (N=)............... 47 4.3.3 Λύση Tolman VI (N=2)............... 5 5 Αποτελέσματα 55 6 Συμπεράσματα 63 7 Βιβλιογραφία 65 8 Παράρτημα 67

Κεφάλαιο. Περίληψη 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Περίληψη Οι αστέρες νετρονίων είναι αστρικά σώματα τα οποία δημιουργούνται κατά τη βαρυτική συστολή ενός εξελιγμένου αστέρα. Η μελέτη τους παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς συνδιάζουν πολλά και διάφορα είδη φυσικής, όπως την πυρηνική και την αστροφυσική, και ιδιαίτερα τη φυσική της βαρύτητας. Οι αστέρες αυτοί είναι αρκετά πιθανοί για την εκπομπή βαρυτικών κυμάτων. Οι αστέρες, όμως, που έχουν την μεγαλύτερη πιθανότητα για την εκπομπή βαρυτικών κυμάτων είναι οι παλλόμενοι αστέρες νετρονίων, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από περιοδικές διακυμάνσεις στη φωτεινότητα τους λόγω περιοδικών μεταβολών των διαστάσεων, της θερμοκρασίας ή κάποιας άλλης ιδιότητας του αστέρα που οφείλεται σε εσωτερικές διαδικασίες. Τα βαρυτικά κύματα, τα οποία προβλέφθηκαν από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, είναι κυματισμοί της καμπυλότητας του χωροχρονικού συνεχούς που διαδίδονται ως κύματα από την πηγή προς τα έξω και μεταφέρουν ενέργεια υπό τη μορφή βαρυτικής ακτινοβολίας. Η ανίχνευση των βαρυτικών κυμάτων είναι ιδιαίτερης σημασίας καθώς επιτρέπουν την άμεση παρατήρηση της Μεγάλης Έκρηξης και επιτρέπουν την παρατήρηση αντικειμένων στο σύμπαν τα οποία δεν εκπέμπουν φως, όπως μαύρες τρύπες. Υπάρχουν πολλοί τρόποι ταλάντωσης ενός αστέρα. Στην εργασία αυτή θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά ενός αστέρα νετρονίων που διαταρράσεται με περιστροφικό τρόπο ταλάντωσης, δηλαδή r-mode αστέρας, καθώς ο τρόπος αυτός μας παρέχει μεγάλο παράθυρο αστάθειας σε σχέση με τους υπόλοιπους τρόπους. Αρχικά, θα εφαρμόσουμε ένα σετ από αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων Tolman-Oppemheimer-Volkoff (T OV ), και θα προσπαθήσουμε να διευκρινήσουμε τις επιδράσεις από τις από τις μακροσκοπικές ι- διότητες των αστέρων νετρονίων (μάζα, ακτίνα, κατανομή πυκνότητας, ελαστικότητα, κρούστα). Συγκεκριμένα, βρίσκουμε ότι η κριτική γωνιακή ταχύτητα των αστέρων νετρονίων εξαρτάται κυρίως από την ακτίνα τους. Οι επιδράσεις από τη βαρυτική μάζα και την κατανομή της μάζας

4 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ είναι ασήμαντες. Ωστόσο, μελετάμε και την εξάρτησή της από τη θερμοκρασία και παρατηρούμε ότι έχει παρόμοια εξάρτηση με την ακτίνα. Από τις μελέτες μας προκύπτουν οι καμπύλες που απεικονίζουν πλήρως την συμπεριφορά του αστέρα. Τέλος, τα βαρυτικά κύματα από τους α- στέρες νετρονίων, r-mode, αποτελούν μια αρκετά καλή εξήγηση γιατί οι αστέρες αυτοί δεν μπορούν να περιστρέφονται με συχνότητες κοντά στις συχνότητες Kepler, αλλά σε πολύ χαμηλότερες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εισαγωγή Ο αστέρας νετρονίων είναι ο εκφυλισμένος πυρήνας ενός αστέρα μεγάλης αρχικής μάζας. Αρχικά, ο αστέρας νετρονίων μπορεί να έχει πολύ υψηλή θερμοκρασία. Με την πάροδο του χρόνου, όμως, η θερμοκρασία του μειώνεται, έως ότου ο αστέρας νετρονίων πάψει να ακτινοβολεί θερμικά. Στην περίπτωση αυτή, η υδροστατική ισορροπία του αστέρα εξασφαλίζεται από την κβαντομηχανικής προέλευσης πίεση των νετρονίων. Ένας τέτοιος αστέρας είναι πιθανόν να εμφανιστεί στον ουρανό υπό την μορφή pulsar, που γίνεται ορατός μόνο με παρατηρήσεις σε ραδιοφωνικά, κυρίως, μήκη κύματος. Η πίεση των νετρονίων στον αστέρα, είναι υπεύθυνη για το όνομά του (αστέρας νετρονίων). Οι αστέρες νετρονίων έχουν τυπική μάζα.4 και τυπική ακτίνα 0 6 cm, δηλαδή 0km. Στη εργασία αυτή, θα μελετήσουμε τους παλλόμενους αστέρες νετρονίων. Υπάρχουν πολλοί τρόποι ταλάντωσης των αστέρων νετρονίων. Οι παλλόμενοι αστέρες νετρονίων χαρακτηρίζονται από περιοδικές διακυμάνσεις στη φωτεινότητά τους λόγω περιοδικών μεταβολών των διαστάσεων, της θερμοκρασίας ή κάποιας άλλης ιδιότητας που οφείλεται σε ε- σωτερικές διαδικασίες. Οι παλλόμενοι αυτοί αστέρες είναι αρκετά πιθανοί για την εκπομπή βαρυτικών κυμάτων. Το είδος του ταλαντώμενου α- στέρα νετρονίων που θα μελετήσουμε είναι ο περιστρεφόμενος αστέρας νετρονίων r-mode, καθώς αυτός μας παρέχει ένα αρκετά μεγάλο παράθυρο αστάθειας σε σχέση με τους υπόλοιπους. Τα βαρυτικά κύματα προβλέφθηκαν από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας το 96 από τον Albert Einstein. Τα βαρυτικά κύματα είναι κυματισμοί της καμπυλότητας του χωροχρονικού συνεχούς που διαδίδονται ως κύματα από την πηγή προς τα έξω. Αυτού του είδους τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια υπό τη μορφή βαρυτικής ακτινοβολίας. Η ανίχνευση αυτών των κυμάτων θα μας δώσει πληροφορίες άγνωστες μέχρι στιγμής. Με την ανίχνευσή τους γίνεται εφικτή η άμεση παρατήρηση της Μεγάλης Έκρηξης και η παρατήρηση αντικειμένων στο σύμπαν τα οποία δεν 5

6 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ εκπέμπουν φως όπως οι μαύρες τρύπες και η σκοτεινή ύλη, για τα οποία οι γνώσεις μας είναι περιορισμένες. Στην φυσική και συγκεκριμένα στον τομέα της αστροφυσικής των αστέρων νετρονίων, υπάρχουν πολλά προβλήματα που μας απασχολούν. Ένα από αυτά είναι γιατί οι αστέρες νετρονίων δεν περιστέφονται με την θεωρητική γωνιακή τους ταχύτητα, που ονομάζεται συχνότητα Kepler, αλλά με πολύ μικρότερη. Μία πιθανότητα είναι η ραδιενέργεια των βαρυτικών κυμάτων από τους ταχέως περιστρεφόμενους pulsars. Συγκεκριμένα, οι αστέρες νετρονίων έχουν πολλές αστάθειες διαφορετικών τύπων, αλλά έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό μπορούν να συνδεθούν άμεσα με ασταθείς λειτουργίες ταλαντωτή. Οι r-mode είναι ταλαντώσεις περιστρεφόμενων αστέρων των οποίων η δύναμη επαναφοράς είναι η δύναμη Coriolis. Η αστάθεια που προέρχεται από τη βαρυτική ραδιενέργεια αυτών των τύπων έχει προταθεί σαν μια εξήγηση για τη σχετικώς χαμηλή συχνότητα περιστροφής που παρατηρείται στους νεαρούς αστέρες νετρονίων. Αυτού του είδους η αστάθεια μπορεί να συμβεί μόνο όταν η χρονική κλίμακα της βαρυτικής ραδιενέργειας του r-mode είναι μικρότερη από τη χρονική κλίμακα των διάφορων μηχανισμών διαχωρισμού που είναι πιθανό να συμβαίνουν στο εσωτερικό του αστέρα νετρονίων. Η δομή των αστέρων νετρονίων προέρχεται από την ισορροπία ανάμεσα στον μικρής εμβέλειας χαρακτήρα των πυρηνικών δυνάμεων και στον μεγάλης εμβέλειας χαρακτήρα του βαρυτικού πεδίου. Γι αυτό το λόγο οι αστέρες νετρονίων αποτελούν ένα μοναδικό εργαστήριο για την δοκιμή διάφορων βαρυτικών θεωριών και την εξέταση των πυρηνικών καταστατικών εξισώσεων για χαμηλές αλλά και υψηλές βαρυονικές πυκνότητες. Αυτός είναι ένας από τους κύριους λόγους για τον οποίο οι αστέρες νετρονίων θεωρούνται ως τα πιο συναρπαστικά αστροφυσικά αντικείμενα. Η κατανομή της πυκνότητας των αστέρων νετρονίων ορίζεται από την υδροδυναμική ισορροπία ως αποτέλεσμα της συνεργασίας ανάμεσα στην πίεση των συστατικών των σωματιδίων τους και της βαρύτητας. Βασικά, υπάρχουν δύο τρόποι για να κατασκευάσουμε την πυκνότητα καταστάσεως του αστέρα νετρονίων. Ο πρώτος είναι λύνοντας αριθμητικά τις εξισώσεις T OV εφαρμόζοντας μια συγκεκριμένη καταστατική εξίσωση. Αυτή η μέθοδος οδηγεί σε μια πραγματική κατανομή πυκνότητας και μας παρέχει ένα διαμορφωμένο ζευγάρι (, R) τα οποία αλληλεπιδρούν. Ο δεύτερος είναι να βρούμε τις αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων T OV εφαρμόζοντας διάφορες πυκνότητες. Σε αυτή την περίπτωση, σε κάθε ζευγάρι (, R) αντιστοιχεί μια ατομική καταστατική εξίσωση. Οι αναλυτικές λύσεις έχουν ένα σημαντικό πλεονέκτημα να είναι εφαρμόσιμες για ένα ευρύ φάσμα των ζευγαριών (, R) και επιθυμητές για ένα ευρύ φάσμα των διαμορφώσεων κατανομής πυκνότητας. Αυτός είναι ο κύριος λόγος γιατί οι αναλυτικές λύσεις είναι κατάλληλες για τη μελέτη των σχέ-

Κεφάλαιο 2. Εισαγωγή 7 σεων που εξαρτώνται ασθενώς από την καταστατική εξίσωση. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλές αναλυτικές λύσεις, ωστόσο σχεδόν όλες δεν έχουν φυσική σημασία. Συγκεκριμένα, οι γνωστές αναλυτικές λύσεις είναι χωρισμένες σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος είναι συσχετισμένο με ένα αστέρα νετρονίων στον οποίο η πυκνότητα ρ και η πίεση εξαφανίζονται στην επιφάνεια. Υπάρχουν μόνο τρεις γνωστές αναλυτικές λύσεις που υπακούν σε αυτή τη συμπεριφορά: η λύση T olman, η λύση Buchdahl και η λύση Naraiai. Το δεύτερο μέρος των λύσεων είναι συσχετισμένο με τους επονομαζόμενους αυτο-οριοθετούμενους αστέρες, όπου ενώ η πίεση εξαφανίζεται στην επιφάνεια, η πυκνότητα παραμένει πεπερασμένη. Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός λύσεων οι οποίες υπακούουν σε αυτή τη συμπεριφορά αλλά οι χρήσιμες είναι οι διάφορες εκδόσεις των λύσεων T olman IV και V II και επίσης και η λύση της ομοιόμορφης πυκνότητας. Οι παραπάνω αναλυτικές λύσεις είναι ενδιαφέρουσες γιατί μπορεί κανείς να μελετήσει πλήρως τις ιδιότητές τους. Επίσης συμπληρώνουν τις αριθμητικές λύσεις. Σε αυτή την εργασία, σκοπεύουμαι να εξετάσουμε πιθανές σταθερές για την r-mode αστάθεια σε σχέση με τις μακροσκοπικές ιδιότητες των α- στέρων νετρονίων (μάζα, ακτίνα, κατανομή πυκνότητας, ελαστικότητα, κρούστα) εφαρμόζοντας ένα κατάλληλο σετ αναλυτικών λύσεων των εξισώσεων T OV. Οι περισσότερες από τις παραπάνω αναφερόμενες λύσεις δεν έχουν χρησιμοποιηθεί ποτέ για τη μελέτη των r-mode ασταθειών σε αστέρες νετρονίων και σε αστέρες κουάρκ. Τις μόνες εξαίρεσεις από τις λύσεις αποτελούν η ομοιόμορφη λύση, λόγω της απλότητάς της, και η T olman V II λύση. Από τη στιγμή που όλες αυτές σχετίζονται άμεσα τόσο με τις μακροσκοπικές ιδιότητες των αστέρων νετρονίων όσο και με τις αστρικές τους δομές, είναι κατάλληλες για τη μελέτη διάφορων τύπων αστάθειας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 R-mode Αστάθεια σε Αστέρες Νετρονίων Η μάζα προκαλεί την καμπύλωση του χωροχρόνου. Το γεγονός αυτό αποτελεί την καρδιά της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Όταν κινείται κατά διάφορους τρόπους αποτελεί πηγή διαδεδομένων διακυμάνσεων στη χωροχρονική καμπυλότητα. Αυτές οι διαδιδόμενες διακυμάνσεις στην καμπυλότητα του χωροχρόνου ονομάζονται βαρυτικά κύματα. Κατά κύριο λόγο, βαρυτικά κύματα παράγονται σε αφθονία σε περιοχές ταχύτατα μεταβαλλόμενης, ισχυρής χωροχρονικής καμπυλότητας, όπως αυτές που συναντάμε στη Μεγάλη Έκρηξη ή στη βαρυτική κατάρρευση σε μελανές οπές. Η δεύτερη περίπτωση αντιστοιχεί και στο περιβάλλον ενός αστέρα νετρονίων, εκτός των άλλων. Η εκπομπή βαρυτικών κυμάτων προκαλείται από τις μη ακτινικές ταλαντώσεις των περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων, κυρίως λόγο του ρευστού που διαταράσσεται στην επιφάνειά του. Με τον τρόπο αυτό, απομακρύνεται ενέργεια και στροφορμή από τον αστέρα. Ο μηχανισμός που μελετά πότε ένας αστέρας είναι ικανός να χάσει ενέργεια και στροφορμή με τη μορφή βαρυτικών κυμάτων, διατυπώθηκε από τους Chandrasekhar,Friedman και Schutz (CF S). 9

20 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 3. Παράθυρο Αστάθειας Ως αποτέλεσμα των διακυμάνσεων του αστέρα και των μηχανισμών απόσβεσης, η χρονική εξέλιξη των r modes μπορεί να προσεγγιστεί ως ένας αρμονικός ταλαντωτής. Ο ταλαντωτής αυτός φυσικά θα έχει και αποσβέσεις λόγω του μικρού πλάτους της ταλάντωσης. Η χρονική εξάρτηση των r modes δίνεται από τον τύπο: e iωt t T (3.) ως συνέπεια της υδροδυναμικής και της επιρροής των διάφορων μηχανισμών απόσβεσης. Το πραγματικό μέρος της συχνότητας των μοντέλων αυτών, ω, δίνεται από τον τύπο: ω = (l )(l + 2) Ω (3.2) l + όπου Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα του μη διαταρασόμενου αστέρα. Το φανταστικό μέρος,, ορίζεται από τις επιδράσεις της βαρυτικής ακτινοβολίας, του ιξώδους κ.α. Ονομάζεται σταθερά απόσβεσης και προκύπτει τ από τα φαινόμενα των βαρυτικών κυμάτων και του ιξώδους. Για τον υ- πολογισμό της, χρησιμοποιούμε τον τύπο, όπου υπάρχει η συνεισφορά από όλα τα φαινόμενα: τ(ω, T ) = τ GR (Ω, T ) + τ SV (Ω, T ) + τ BV (Ω, T ) (3.3) Στον τύπο αυτό περιλαμβάνονται και άλλα φαινόμενα, απλά δεν θα τα συμπεριλάβουμε εδώ καθώς δεν μελετάμε αυτούς τους μηχανισμούς. Η βαρυτική ακτινοβολία τείνει να οδηγεί τα r modes σε αστάθεια, ενώ το ιξώδες καταστέλλει την αστάθεια. Πιο συγκεκριμένα, φαινόμενα απόσβεσης έχουν ως αποτέλεσμα την εκθετική μείωση του τύπου όσο τ > 0, ενώ όσο τ < 0, έχουν ως αποτέλεσμα την εκθετική αύξηση του τύπου. Επιπροσθέτως, η χρονική κλίμακα τ γράφεται: τ(ω, T ) = ( ) 2l+2 Ω + τ GR Ω 0 τ SV ( ) 0 9 2 K + T τ BV ( ) 6 ( ) 2 T Ω (3.4) 0 9 K Ω 0 όπου Ω 0 = πg ρ, και ρ = 3 είναι η μέση πυκνότητα του αστέρα. 4πR 3 Επιπλέον, η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα Ω K (γωνιακή ταχύτητα Kepler) για κάθε αστέρα λαμβάνει χώρα όταν στοιχεία στην επιφάνεια του αστέρα θέτουν αποτελεσματικά σε τροχιά τον αστέρα. Αυτή η ταχύτητα είναι σχεδόν ίση με Ω K = 2Ω 3 0. Ο χαρακτηριστικός χρόνος κάθε φαινομένου, τ i, υπολογίζεται σύμφωνα

Κεφάλαιο 3. R-mode Αστάθεια σε Αστέρες Νετρονίων 2 με τη σχέση: τ i = 2E ( ) de dt i όπου η ολική ενέργεια των r mode δίνεται από τον τύπο: (3.5) E = R 2 α2 R 2l+2 Ω 2 ρ(r)r 2l+2 dr (3.6) όπου α είναι το αδιάστατο πλάτος της ταλάντωσης του r mode, R είναι η ακτίνα, Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα και ρ(r) είναι η ακτινική εξάρτηση της πυκνότητας της μάζας του αστέρα νετρονίων. Στην παρούσα εργασία, θεωρούμε ότι η κατανομή πυκνότητας έχει τη μορφή ρ(r) = ρ c F (x) όπου ρ c είναι η πυκνότητα κέντρου και F (x) είναι η αδιάστατη συνάρτηση του x = r R. Όπως φαίνεται παραπάνω, για διάφορες τιμές του l αντιστοιχούν διαφορετικά είδη mode. Στην εργασία αυτή η τιμή του l που χρησιμοποιούμε είναι ίση με 2 γιατί το παράθυρο αστάθειας για αυτό το πολύπολο είναι αρκετά μεγαλύτερο από όλα τα υπόλοιπα. Με αυτό τον τρόπο παρέχεται μεγαλύτερη περιοχή για την εξέλιξη του φαινομένου της βαρυτικής εκπομπής. Επιπλέον, υπάρχει περίπτωση να δικαιολογεί γιατί οι αστέρες νετρονίων παρατηρούνται με ταχύτητες περιστροφής τόσο χαμηλότερες από την γωνιακή τους ταχύτητα Kepler. Στο παρακάτω σχήμα, φαίνονται τα παράθυρα αστάθειας για διάφορες τιμές του l, όπου γίνεται εμφανής η επιλογή του συγκεκριμένου παραθύρου. 0 Σχήμα 3.: Παράθυρα αστάθειας του r mode για διαφορετικές τιμές του l

22 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Το παράθυρο αστάθειας για l = 2 του r mode όπου διακρίνονται οι δύο περιοχές των μηχανισμών απόσβεσης, φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 3.2: Παράθυρο αστάθειας του r mode για l = 2 όπου διακρίνονται οι περιοχές των μηχανισμών απόσβεσης για έναν τυπικό αστέρα μάζας.4 και ακτίνας R = 0km

Κεφάλαιο 3. R-mode Αστάθεια σε Αστέρες Νετρονίων 23 3.2 Βαρυτική Ακτινοβολία Η συνεισφορά της βαρυτικής ακτινοβολίας στο φανταστικό μέρος της συχνότητας του μοντέλου, τ GR, δίνεται από τον τύπο: = 32πGΩ2l+2 τ GR c 2l+3 (l ) 2l [(2l + )!!] 2 ( l + 2 l + ) 2l+2 R ρ(r)r 2l+2 dr (3.7) Σε διαφορετικές τιμές του l αντιστοιχούν διαφορετικά είδη modes. Στην εργασία αυτή θεωρούμε τη μικρότερη από αυτές (l = 2r mode) και η χρονική κλίμακα του τ GR, γράφεται: ( ) 6 ( ) 7 ( ) Ω R = 7.66 0 46 ρc I τ GR Hz km grcm 3 (s ) (3.8) όπου το ολοκλήρωμα I, ορίζεται ως: I = 0 0 F (x)x 6 dx (3.9)

24 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 3.3 Μηχανισμός CFS Υπάρχουν δύο τρόποι διάδοσης της ταλάντωσης, ο ένας σύμφωνα με τη φορά περιστροφής του αστέρα και άλλος αντίθετα με αυτή. Στην πρώτη περίπτωση, όταν δηλαδή η διακύμανση διαδίδεται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής του αστέρα για έναν περιστρεφόμενο και έναν αδρανειακό παρατηρητή, τότε έχει θετική στροφορμή την οποία και απομακρύνει με τη μορφή βαρυτικών κυμάτων. Στην άλλη περίπτωση, έχει αρνητική στροφορμή, με αποτέλεσμα τη γρήγορη απόσβεση της ταλάντωσης. Στην περίπτωση που αστέρας περιστρέφεται αρκετά γρήγορα, ένας τρόπος ταλάντωσης μπορεί να εμφανίζεται ότι διαδίδεται στην ίδια φορά με τη φορά περιστροφής του αστέρα, ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή, αλλά αντίθετα με τη φορά περιστροφής ως προς ένα περιστρεφόμενο παρατηρητή. Τέτοιου είδους ταλαντώσεις, έχουν σαν αποτέλεσμα αρνητική στροφορμή, αλλά απομακρύνουν θετική στροφορμή με τη μορφή βαρυτικών κυμάτων. Αυτό συμβαίνει γιατί τόσο οι κύριες διαταραχές στην ταχύτητα, όσο και οι δευτερεύουσες στην πυκνότητα και την πίεση, φαίνονται να διαδίδονται μαζί με την περιστροφή του αστέρα στον αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Η θετική στροφορμή που απομακρύνεται από τον αστέρα αφαιρείται από την αρνητική στροφορμή που ήδη υπάρχει και αυτό οδειγεί σε ακόμα πιο μεγάλες τιμές κατά απόλυτη τιμή. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση του πλάτους ταλάντωσης. Με αυτό τον τρόπο εμφανίζεται η αστάθεια. Το γεγονός ότι η βαρυτική ακτινοβολία μειώνει την ενέργεια στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, αλλά την αυξάνει στο περιστρεφόμενο, μπορεί να μοιάζει περίεργο. Ωστόσο, γίνεται πιο κατανοητό όταν χρησιμοποιήσουμε τις ενέργειες. Η σχέση που συνδέει τις δύο ενέργειες, δίνεται από τον τύπο: E r = E i ΩJ (3.0) όπου E r είναι η ενέργεια στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς, E i είναι η ενέργεια στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς και Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα στο αδρανειακό σύστημα αναφορά και J η στροφορμή του αστέρα. Από τη σχέση αυτή γίνεται γρήγορα αντιληπτό πως με κατάλληλες μειώσεις των E i, Ω και J, η E r μπορεί να αυξάνει. Εκτός από την ταλάντωση του αστέρα, που οδηγεί σε δημιουργία βαρυτικών κυμάτων, υπάρχουν και κάποιοι μηχανισμοί που αντιτίθενται σε αυτή και την περιορίζουν μέχρι ένα συγκεκριμένο πλάτος, διότι, διαφορετικά θα υπήρχαν καταστροφικές συνέπειες. Οι μηχανισμοί που λειτουργούν για την επαναφορά του αστέρα νετρονίων σε ισορροπία μπορεί να είναι πολλών και διαφορετικών φύσεων. Στην εργασία αυτή μελετάμε τη συνεισφορά του ιξώδους του ρευστού στη διαδικασία απόσβεσης της

Κεφάλαιο 3. R-mode Αστάθεια σε Αστέρες Νετρονίων 25 ταλάντωσης. Το ιξώδες του ρευστού με τη σειρά του, χωρίζεται σε δύο κατηγορίες: ιξώδες διάχυσης ιξώδες όγκου Συμμετέχουν στη διαδικασία σύμφωνα με τον παρακάτω τύπο. όπου dẽr dt = ω (ω + lω) H oscillation H (η, ζ) viscous (3.) Ẽ r = ρ δ u 2 dv (3.2) 2 η ενέργεια ταλάντωσης σε δεύτερης τάξης προσέγγιση, όπως μετράται σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς. Η ποσότητα H oscillation είναι θετική και σχετίζεται με τις διαταραχές στην ταχύτητα και την πυκνότητα του ρευστού και καθορίζει τη συνεισφορά τους στο φαινόμενο. Η ποσότητα H (η, ζ) viscous είναι θετική και αφορά τη συνεισφορά του ιξώδους στη χρονική μετάβολή του Ẽr και οι ποσότητες η και ζ αναφέρονται στο ιξώδες διάχυσης και όγκου αντίστοιχα. Ισχύει ότι: (l ) (l + 2) ω (ω + lω) = (l + ) 2 Ω 2 < 0 (3.3) για κάθε r mode, για l 2. Με αυτό τον τρόπο γίνεται αντιληπτό ότι η ταλάντωση συνεισφέρει θετικά στη χρονική μεταβολή της Ẽr ενώ το ιξώδες αρνητικά, καθώς και η αστάθεια ως προς τα r modes των περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων στο αρχικό στάδιο της δημιουργίας τους.

26 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 3.4 Μηχανισμοί απόσβεσης 3.4. Ιξώδες διάχυσης Σε χαμηλή θερμοκρασιακή περιοχή, περίπου στους 0 9 K, ο μηχανισμός απόσβεσης ο οποίος κυριαρχεί είναι το ιξώδες διάχυσης. Το ιξώδες διάχυσης είναι ο μακροσκοπικός τρόπος περιγραφής για τη μεταφορά της ορμής που συμβαίνει κατά τη σκέδαση των στοιχείων (ηλεκτρονίων, νετρονίων) του ρευστού. Η θερμοκρασιακή περιοχή αυτή, χωρίζεται σε δύο τμήματα. Αν η θερμοκρασία είναι μικρότερη από 0 9 K τότε κυριαρχεί η σκέδαση ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου, και η χαρακτηριστική μεταβλητή είναι: ( ) 2 ( ) 2 ρ T ( η ee = 6.0 0 6 gcm s ) (3.4) grcm 3 K Αν η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από 0 9 K τότε κυριαρχεί η σκέδαση νετρονίου-νετρονίου, και η χαρακτηριστική μεταβλητή είναι: ( ) 9/4 ( ) 2 ρ T ( η nn = 347 gcm s ) (3.5) grcm 3 K όπου ρ είναι η πυκνότητα μάζας και T είναι η θερμοκρασία. Η χρονική κλίμακα απόσβεσης λόγω του ιξώδους δίαχυσης δίνεται από τη σχέση: ( R ) R = (l )(2l + ) ρ(r)r 2l+2 dr η SV r 2l dr(s ) (3.6) τ SV 0 0 Η χρονική κλίμα τ nn SV τ nn SV =.735 0 7 ( km R μπορεί να γραφεί και ως: ) 2 ( ρc grcm 3 όπου, το ολοκλήρωμα I nn 3 δίνεται από την σχέση: I nn 3 = 0 ) 5/4 ( ) 2 ( ) 4 K R I nn ( ) 3 s T km I (3.7) F (x) 9/4 x 4 dx (3.8)

Κεφάλαιο 3. R-mode Αστάθεια σε Αστέρες Νετρονίων 27 Η χρονική κλίμα τ ee SV τ ee SV = 3 0 3 ( km R μπορεί να γραφεί και ως: ) 2 ( ρc grcm 3 όπου, το ολοκλήρωμα I3 ee δίνεται από την σχέση: I ee 3 = 0 ) ( ) 2 ( ) 4 K R I ee ( ) 3 s (3.9) T km I F (x) 2 x 4 dx (3.20)

28 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 3.4.2 Ιξώδες όγκου Σε υψηλή θερμοκρασιακή περιοχή, περίπου σε μεγαλύτερες από 5 0 9 K, ο μηχανισμός απόσβεσης ο οποίος κυριαρχεί είναι το ιξώδες όγκου. Το ιξώδες όγκου εμφανίζεται από τις μεταβολές της πυκνότητας και της πίεσης λόγω των των διακυμάνσεων. Αυτό οδηγεί στην αστάθεια της β- ισορροπίας στην ύλη των αστέρων νετρονίων και, κατά συνέπεια, στην απορρόφηση της ενέργειας προκειμένου να επαναληφθεί η ισορροπία. Στην πραγματικότητα, η χρήση του ιξώδους πρέπει να είναι σύμφωνη με την εφαρμοσμένη καταστατική εξίσωση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι συντελεστές ιξώδους είναι είναι λειτουργικοί στην καταστατική ε- ξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, διαφορετικές καταστατικές εξισώσεις προβλέπουν διαφορετικούς συντελεστές ιξώδους. Η χρονική κλίμακα της απόσβεσης λόγω του ιξώδους όγκου δίνεται από τη σχέση: τ BV = 4π ( ) 4 ( Ω R R 2l 2 690 Ω 0 Το ιξώδες όγκου ξ BV σχέση: 0 R 0 ) ρ(r)r 2l+2 dr ξ BV ( r R ) [ 6 ( ] r 2 + 0.86 r R) 2 dr (3.2) για καυτή μάζα αστέρα νετρονίου δίνεται από τη ξ BV = 6.0 0 59 ( l + 2 ) 2 ( Hz Ω ) 2 ( ρ grcm 3 Το οποίο, μετά από κάποιες πράξεις, γίνεται: ) 2 ( ) 6 T ( grcm s ) (3.22) K ( ) 2 ( ) ( Ω = 0.248 0 9 ρc T τ BV Hz grcm 3 K ( ) 6 όπου, το ολοκλήρωμα I 2 δίνεται από την σχέση: I 2 = 0 ) 2 ( R km ) 4 I 2 I ( s ) (3.23) F (x) 2 x 8 ( + 0.86x 2) dx (3.24)

Κεφάλαιο 3. R-mode Αστάθεια σε Αστέρες Νετρονίων 29 3.5 Όριο αστάθειας-ευστάθειας Το όριο μεταξύ αστάθειας και ευστάθειας προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης ισορροπίας: τ(ω c ) = 0 (3.25) όπου Ω c, είναι η κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα κάτω από την οποία δεν εμφανίζεται βαρυτική αστάθεια. H εξίσωση ισορροπίας, μπορεί να γραφτεί με τη μορφή: ( ) 6 ( ) 2 Ωc Ωc + a + b = 0 (3.26) Hz Hz Η εξίσωση αυτή μπορεί να μετατραπεί σε μια κυβική εξίσωση. Μπορεί σε κάθε περίπτωση να λυθεί αριθμητικά ώστε να δώσει τα επιθυμητά αποτελέσματα της κρίσιμης συχνότητας Ω c. Ωστόσο, είναι αρκετά δύσκολη η αριθμητική της επίλυση. Γι αυτό τον λόγο, λύνουμε την εξίσωση αναλυτικά και έχουμε: ( b ) /6 ( ) /3 ( ) /3 2 + y + y y Ω c = ( ) /6 4b y cos [ ( 3 tan y )] y > όπου y = 4a3 27b 2 και επίσης, (3.27) ( ) 3 ( ) 2 ( ) 6 0km T a = 3.237 0 4 I 2 R 0 9 I 2 (3.28) b = 2.265 0 5 ( 0 9 K T ) 2 ( ) 0 9 9 km R I [ 2 ( ) ] /4 ρ c I nn 0 6 grcm 3 3 +.729I3 ee (3.29)

30 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αυτές οι λύσεις μας παρέχουν κάποιες πληροφορίες τις οποίες μπορούμε να επεξεργαστούμε εύκολα ώστε να μας οδηγήσουν σε διάφορες σχετικές προσεγγίσεις. Στις εξισώσεις αυτές φαίνεται καθαρά η εξάρτηση του Ω c από τις μακροσκοπικές ιδιότητες των αστέρων νετρονίων, R και T όπως και στην καταστατική εξίσωση μέσω των ολοκληρωμάτων I, I 2, I3 nn και I3 ee. Αξίζει να αναφέρουμε ότι οι παραπάνω εκφράσεις από τις χρονικές κλίμακες και τις Ω c είναι πολύ γενικές και μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν εφαρμόζοντας αναλυτικές ή/και αριθμητικές λύσεις των εξισώσεων T OV.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV Για ένα στατικό σφαιρικό συμμετρικό σχήμα, η μετρική μπορεί να γραφτεί ως: ds 2 = e ν(r) dt 2 e λ(r) ds 2 r 2 ( dθ 2 + sin 2 θdϕ 2) (4.) Η κατανομή πυκνότητας και η τοπική πίεση που σχετίζονται με τις μετρικές λ (r) και ν (r) σύμφωνα με τις σχέσεις: 8πG c ρ (r) = ( ) e λ(r) + e λ(r) λ (r) 2 r 2 r 8πG c P (r) = ( ) e λ(r) + e λ(r) ν (r) 4 r 2 r (4.2) (4.3) Ο συνδιασμός των εξισώσεων αυτών, οδηγεί στις γνωστές εξισώσεις Tolman-Oppenheimer-Volkoff, οι οποίες είναι: P (r) dr ( Gρ (r) (r) = + P (r) ) ( + r 2 ρ (r) c 2 ) 4πP (r) r3 (r) c 2 ( 2G (r) rc 2 ) (4.4) d (r) dr = 4πr 2 ρ (r) (4.5) 3

32 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Είναι αρκετά δύσκολο να βρούμε λύσεις για τις εξισώσεις T OV σε αναλυτική μορφή. Ωστόσο, μπορούν να λυθούν αριθμητικά με συγκεκριμένες καταστατικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πάρα πολλές αναλυτικές λύσεις αυτών των εξισώσεων αλλά υπάρχουν μόνο τρεις που ικανοποιούν τα κριτήρια: η πίεση και η πυκνότητα ενέργειας εξαφανίζονται στην επιφάνεια του αστέρα και επίσης και τα δύο υφίστανται μονότονη μείωση με τη αύξηση της ακτίνας. Αυτές οι τρεις λύσεις είναι οι T olman V II, Buchdahl και Nariai, όπου οι δύο από αυτές περιγράφονται στη συνέχεια. 4. Λύση Tolman VII Σύμφωνα με τη λύση αυτή, η κατανομή της πυκνότητας δίνεται από την απλή αναλυτική συνάρτηση: ( ] r 2 ρ (r) = ρ c [, ρ c = R) 5 (4.6) 8πR 3 όπου F (x) = x 2. Η ακτίνα του πυρήνα, R c, δίνεται από την αναλυτική έκφραση: R c = R.263 0 4 ( ) ( ) 3 R (4.7) km Η πίεση που έχει ο αστέρας στο κέντρο του, απειρίζεται για β > 0.3862, όπου β = G και η αιτιότητα εξασφαλίζεται εάν β < 0.2698. Παρά την Rc 2 απλότητα που παρουσιάζει η συγκεκριμένη αναλυτική λύση, αυτή η κατανομή πυκνότητας αναπαράγει με πολύ καλή ακρίβεια διάφορες ιδιότητες του αστέρα νετρονίου συμπεριλαμβανομένης της ενέργειας σύνδεσης και της ροπής αδράνειας ενώ έρχεται σε πολύ καλή συμφωνία με ρεαλιστικές καταστατικές εξισώσεις για αστέρες νετρονίων με μάζα >. Επιπλέον, η λύση αυτή έχει τη σωστή συμπεριφορά όχι μόνο στα όρια, δηλαδή r = 0 και r = R, αλλά και στις ενδιάμεσες περιοχές του αστέρα. Ακόμη μία ενδιαφέρουσα ιδιότητα της λύσης T olman V II είναι ότι για συγκεκριμένη τιμή της πυκνότητας του κέντρου, ρ c, έχει τη μεγαλύτερη εφικτή μάζα αστέρα νετρονίου και συνεπώς θέτει ένα άνω όριο στην πυκνότητα αυτή για κάθε μέτρηση μάζας στους αστέρες νετρονίων. Επιπλέον, η λύση T olman V II παρουσιάζει ένα προφίλ πυκνότητας παρόμοιο με τα προφίλ πυκνότητας των πολυτροπικών καταστατικών ε- ξισώσεων. Όλες αυτές οι πολυτροπικές εξισώσεις έχουν μία χαρακτηριστική πυκνότητα η οποία μειώνεται από το κέντρο προς την άκρη του

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 33 Νευτώνιου Αστέρα και αυτό είναι αναμενόμενο αποτέλεσμα των φυσικών λύσεων. Θεωρούμε ότι η λύση T olman V II είναι μια πολύ καλή προσέγγιση, αφού κατά ένα τρόπο, είναι μια γέφυρα η οποία συνδιάζει την Νευτώνια αντιμετώπιση της r mode αστάθειας σε ένα σχετικιστικό αστέρα, δηλαδή στην περίπτωσή μας, έναν αστέρα νετρονίων. Σχήμα 4.: Γραφική παράσταση της κατανομής πυκνότητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα Σχήμα 4.2: Γραφική παράσταση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα

34 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχήμα 4.3: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα Σχήμα 4.4: Γραφική παράσταση της κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 35 Σχήμα 4.5: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Η χρονική εξέλιξη της βαρύτητας για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με είναι ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K, είναι: τ GR = 0.(s ) (4.8) Στη συνέχεια, παραθέτω τους πίνακες για την χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης και του ιξώδους όγκου. Πίνακας 4.: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ SV (s ) 0 6 0.06 0 7 0.0006 0 8.6 0 6 0 9 7.85 0 3 0 0 7.85 0 5 0 7.85 0 7

36 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Πίνακας 4.2: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους όγκου για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ BV (s ) 0 6.72 0 27 0 7.72 0 2 0 8.72 0 5 0 9.72 0 9 0 0 0.0072 0 72

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 37 4.2 Λύση Buchdahl Σύμφωνα με τη λύση αυτή, η κατανομή της πυκνότητας δίνεται από τον τύπο: ρ = 2 P P 5P (4.9) όπου P είναι η τοπική πίεση και P* είναι μία παράμετρος. Ενώ η λύση αυτή δεν έχει καμία ιδιαίτερη φυσική υπόσταση, έχει δύο συγκεκριμένες ιδιότητες: μπορεί να γίνει περιστασιακή παντού στον αστέρα απαιτώντας η ( ) dp 2 τοπική ταχύτητα του φωτός να είναι μικρότερη της μονάδας dρ και για μικρές τιμές της πίεσης P μειώνεται στην τιμή ρ = 2 P P, η οποία στην νευτώνια θεωρία της δομής των αστέρων, είναι η γνωστή πολυτροπική n =. Έτσι, η λύση Buchdahl μπορεί να θεωρείται ως η σχετικιστική γενικότητα. Η κατανομή της πυκνότητας μπορεί να εκφραστεί επίσης, ως ακολούθως: ρ (r ) = A2 uc 2 4πG ( 2β) ( β 3u /2) ( β + u) 2 (4.0) όπου r, u είναι μεταβλητές εξαρτώμενες από την ακτίνα και ορίζονται, ως: sin Ar u = β, (4.) Ar r = r ( β + u) ( 2β), (4.2) A 2 = 288πP Gc 4 ( 2β) (4.3) Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά πιο βολικό να χρησιμοποιήσουμε κάποιες άλλες μεταβλητές όπως, x = r αντί για x = r. Η συνάρτηση δομής R R δίνεται τώρα από τον τύπο: F (x ) = u β ( 5β/2) ( β 3u/2) ( β + u) 2 (4.4) όπου η μεταβλητή x ορίζεται από: 0 x 2β β (4.5)

38 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τελικά, η πυκνότητα του κέντρου δίνεται από τη σχέση: ρ c = π ( 5β/2) ( β) 2 4R 3 ( 2β) (4.6) Οι προϋποθέσεις ρ > 0, c 2 s > 0 και c 2 s < c 2 υπονοούν ότι β < 2/5, β < /5 και β < /6. Σχήμα 4.6: Γραφική παράσταση της κατανομής πυκνότητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 39 Σχήμα 4.7: Γραφική παράσταση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Σχήμα 4.8: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα

40 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχήμα 4.9: Γραφική παράσταση της κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Σχήμα 4.0: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 4 Η χρονική εξέλιξη της βαρύτητας για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με είναι ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. τ GR = 0.82(s ) (4.7) Στη συνέχεια, παραθέτω τους πίνακες για την χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης και του ιξώδους όγκου. Πίνακας 4.3: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ SV (s ) 0 6 0.05 0 7 0.0005 0 8.5 0 6 0 9 8.06 0 3 0 0 8.06 0 5 0 8.06 0 7 Πίνακας 4.4: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους όγκου για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ BV (s ) 0 6.85 0 27 0 7.85 0 2 0 8.85 0 5 0 9.85 0 9 0 0 0.0085 0 85

42 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4.3 Λύσεις Αστέρων Κουάρκ Στην εργασία αυτή μελετάμε ακόμη τέσσερις αναλυτικές λύσεις που σχετίζονται με τη δομή των επονομαζόμενων αυτοδεσμευμένων αστέρων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ενώ η πίεση εξαφανίζεται στην επιφάνεια του αστέρα νετρονίων, η πυκνότητα παραμένει πεπερασμένη και οι λύσεις είναι λογικές προσεγγίσεις των αστέρων με παράξενη ύλη κουάρκ. Αν και οι διαμορφώσεις της πυκνότητας της παραπάνω λύσης δεν είναι κατάλληλες για την περιγραφή της δομής του αστέρα νετρονίων, είναι χρήσιμες για σύγκριση και κυρίως για εξέταση σε ποιες περιοχές οι ειδικές διαμορφώσεις επιρεάζουν τις κύριες ιδίοτητες της ταλάντωσης r-mode. 4.3. Λύση Uniform Στην περίπτωση της ομοιόμορφης πυκνότητας, η πυκνότητα δίνεται από τον τύπο: ρ = 3 4πR 3 (4.8) όπου είναι φανερό πως η πυκνότητα είναι μια σταθερή ποσότητα. Η συνάρτηση δομής για αυτή τη λύση είναι απλή και δίνεται από τον τύπο: F (x) = (4.9) Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει κάποια φυσική δικαιολογία για αυτή τη λύση, αφού: a) η ενέργεια πυκνότητας δεν εξαφανίζεται στην επιφάνεια του αστέρα b) η ταχύτητα του ήχου είναι πεπερασμένη. Παρόλα αυτά, η πυκνότητα στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων είναι σχεδόν ομοιόμορφη και άρα αυτή η λύση έχει κάποιο ενδιαφέρον. Η λύση αυτή είναι εφαρμόσιμη μόνο για β 4/9 αλλιώς η πυκνότητα του πυρήνα απειρίζεται.

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 43 Σχήμα 4.: Γραφική παράσταση της κατανομής πυκνότητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα Σχήμα 4.2: Γραφική παράσταση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα

44 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχήμα 4.3: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα Σχήμα 4.4: Γραφική παράσταση της κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 45 Σχήμα 4.5: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Η χρονική εξέλιξη της βαρύτητας για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με είναι ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K, είναι: τ GR = 8.9(s ) (4.20) Στη συνέχεια, παραθέτω τους πίνακες για την χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης και του ιξώδους όγκου. Πίνακας 4.5: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ SV (s ) 0 6 0.0 0 7 0.000 0 8. 0 6 0 9 6.48 0 3 0 0 6.48 0 5 0 6.48 0 7

46 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Πίνακας 4.6: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους όγκου για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ BV (s ) 0 6 3.07 0 27 0 7 3.07 0 2 0 8 3.07 0 5 0 9 3.07 0 9 0 0 0.00307 0 307

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 47 4.3.2 Λύση Tolman VI (N=) Σύμφωνα με τη λύση αυτή, η κατανομή πυκνότητας δίνεται από τον τύπο: ρ (r) = 3 ( ) 0 3 3 (2 3β) ( 3β) + β (3 7β) x 2 + 2β 2 x 4 8π0 9 R ( 3β + 2βx 2 ) 2 (4.2) Η κατανομή της πυκνότητας στο κέντρο του αστέρα νετρονίων, δίνεται από τον τύπο: ρ c = 3 8π0 9 Και η συνάρτηση κατανομής, είναι: ( 0 3 R ) 2 2 3β 3β F (x) = (2 3β) ( 3β) + β (3 7β) x2 + 2β 2 x 4 3β ( 3β + 2βx 2 ) 2 2 3β (4.22) (4.23) Σχήμα 4.6: Γραφική παράσταση της κατανομής πυκνότητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα

48 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχήμα 4.7: Γραφική παράσταση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Σχήμα 4.8: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 49 Σχήμα 4.9: Γραφική παράσταση της κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Σχήμα 4.20: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα

50 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η χρονική εξέλιξη της βαρύτητας για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με είναι ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K, είναι: τ GR = 6.2(s ) (4.24) Στη συνέχεια, παραθέτω τους πίνακες για την χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης και του ιξώδους όγκου. Πίνακας 4.7: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ SV (s ) 0 6 0.0 0 7 0.000 0 8. 0 6 0 9 5.65 0 3 0 0 5.65 0 5 0 5.65 0 7 Πίνακας 4.8: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους όγκου για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ BV (s ) 0 6 2.58 0 27 0 7 2.58 0 2 0 8 2.58 0 5 0 9 2.58 0 9 0 0 0.00258 0 258

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 5 4.3.3 Λύση Tolman VI (N=2) Σύμφωνα με τη λύση αυτή, η κατανομή πυκνότητας δίνεται από τον τύπο: ρ (r) = 4π0 9 ( 0 3 R ) 3 (2 2β) 2/3 (6 5β + 5βx 2 ) (2 5β + 3βx 2 ) 5/3 (4.25) Η κατανομή της πυκνότητας στο κέντρο του αστέρα νετρονίων, δίνεται από τον τύπο: ρ c = 3 8π0 9 Και η συνάρτηση κατανομής, είναι: F (x) = ( 0 3 R ) 2 ( ) 2/3 2 2β (4.26) 2 5β ) ) 5/3 ( + ( 5βx2 + 3βx2 (4.27) 3 (2 5β) 2 5β Σχήμα 4.2: Γραφική παράσταση της κατανομής πυκνότητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα

52 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχήμα 4.22: Γραφική παράσταση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Σχήμα 4.23: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα

Κεφάλαιο 4. Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV 53 Σχήμα 4.24: Γραφική παράσταση της κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Σχήμα 4.25: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα Η χρονική εξέλιξη της βαρύτητας για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με είναι ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K, είναι: τ GR = 5.76(s ) (4.28)

54 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Στη συνέχεια, παραθέτω τους πίνακες για την χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης και του ιξώδους όγκου. Πίνακας 4.9: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους διάχυσης για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ SV (s ) 0 6 0.0 0 7 0.000 0 8 0 6 0 9 5.53 0 3 0 0 5.53 0 5 0 5.53 0 7 Πίνακας 4.0: Χρονική εξέλιξη του ιξώδους όγκου για θερμοκρασίες ανάμεσα στους 0 6 K και 0 K για αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4, ακτίνας ίσης με R = 2km και γωνιακής ταχύτητας ίσης με Ω = 0.8Ω K. T emperatures(k) τ BV (s ) 0 6 2.56 0 27 0 7 2.56 0 2 0 8 2.56 0 5 0 9 2.56 0 9 0 0 0.00256 0 256

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αποτελέσματα Το ενδιαφέρον της μελέτης μας επικεντρώνεται στην εξάρτηση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας Ω c, σε σχέση με τις μακροσκοπικές ιδιότητες του αστέρα νετρονίων. Τα μακροσκοπικά αυτές ιδιότητες, ορίζονται από τα μεγέθη της μάζας, της ακτίνας και της κατανομής της πυκνότητας. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιήσαμε διάφορες αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων T OV στο πλαίσιο εργασίας που μας παρέχει η σχέση (3.27). Για χαμηλές τιμές της θερμοκρασίας ο κυρίαρχος μηχανισμός απόσβεσης είναι το ιξώδες διάχυσης και για υψηλές τιμές της θερμοκρασίας είναι το ιξώδες όγκου. Στο σχήμα (5.), σχεδιάζουμε την κατανομή της πυκνότητας για τις πέντε αναλυτικές λύσεις, τις οποίες μελετήσαμε, για έναν αστέρα νετρονίων μάζας =.4 και ακτίνα ίση με R = 2km. Οι τρεις περιπτώσεις οι οποίες έχουν πεπερασμένη πυκνότητα στην επιφάνεια του αστέρα είναι κατάλληλες για να περιγράψουν τις εσωτερικές διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα στους αστέρες κουάρκ. Ωστόσο, αυτές οι λύσεις χρησιμοποιούνται για σύγκριση και επίσης για πλήρη εξέταση των επιδράσεων της κατανομής πυκνότητας στο παράθυρο αστάθειας του r mode. 55

56 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχήμα 5.: Γραφική παράσταση της κατανομής πυκνότητας σε σχέση με την ακτίνα του αστέρα για τις πέντε αναλυτικές λύσεις Στο σχήμα (5.2), σχεδιάζουμε τα παράθυρα αστάθειας για τις πέντε αναλυτικές λύσεις που αναφέραμε παραπάνω για έναν αστέρα νετρονίων με μάζα ίση με =.4 και ακτίνα ίση με R = 2km. Είναι φανερό από το διάγραμμα, ότι όλες οι λύσεις προβλέπουν παρόμοια αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, οι δύο ρεαλιστικές λύσεις οδηγούν σε μικρή αύξηση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητα Ω c σε σχέση με τις άλλες τρεις μη ρεαλιστικές λύσεις. Βασικά, υπάρχει μία απόκλιση στις τιμές της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας Ω c μικρότερη από ένα ποσοστό της τάξης του 4%. Σχήμα 5.2: Γραφική παράσταση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα για τις πέντε αναλυτικές λύσεις

Κεφάλαιο 5. Αποτελέσματα 57 Συμπαιρένουμε ακόμη, ότι το παράθυρο αστάθειας έχει μια μικρή εξάρτηση από την κατανομή της μάζας. Για την εξήγηση αυτού του φαινομένου, θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (3.27). Για χαμηλές τιμές της θερμοκρασίας, δηλαδή στην περιοχή όπου y, η κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα είναι: Ω c b /6. Μετά από κάποιους υπολογισμούς, βρίσκουμε ότι: όπου ( ) 0 9 /3 ( ) 3/2 K 0km Ω c 362.4 J /6 (5.) T R J = I 2 [ ( ρc grcm 3 ) /4 I3 nn +.729I3 ee ] (5.2) Σύμφωνα με τις παράπανω σχέσεις, η κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα Ω c, είναι σχεδόν ανεξάρτητη από την μάζα, αλλά εξαρτάται από την ακτίνα. Ο παράγοντα J σχετίζεται κυρίως με την κατανομή της πυκνότητας και εξαρτάται ασθενώς από την μάζα και την ακτίνα. Ωστόσο, λόγω του παράγοντα /6, η συνολική συνεισφορά στην κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα Ω c είναι σχεδόν αμελητέα. Εφαρμόζοντας την αναλυτική λύση του T olman V II για =, η παραπάνω εξίσωση παίρνει τη μορφή: ( ) 0 9 /3 ( ) 3/2 K 0km Ω c 706.88 (5.3) T R Για υψηλές τιμές της θερμοκρασίας, (y ), η κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα είναι: Ω c a /4 και έχουμε: όπου ( T Ω c 3.4 0 9 K ) 3/2 ( ) 3/4 ( 0km R ) /2 J /4 2 (5.4) J 2 = I 2 I 2 (5.5) Σε αυτή την περίπτωση η κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα Ω c φανερώνει ε- πιπρόσθετη εξάρτηση από την μάζα αλλά οι επιδράσεις της κατανομής παραμένουν αμελητέες λόγω του παράγοντα J 2. Το κύριο συμπέρασμα είναι ότι η κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα Ω c εξαρτάται κυρίως (για μια καθορισμένη θερμοκρασία) από το μέγεθος του αστέρα νετρονίων. Η εξάρτηση της Ω c από την μάζα φαίνεται κυρίως στις υψηλές θερμοκρασίες. Σε κάθε περίπτωση, η επίδραση της κατανομής πυκνότητας είναι αμελητέα. Ακόμη, χρησιμοποιούμε και τον λόγο Ωc Ω K.

58 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Λαμβάνοντας υπόψιν ότι: ( ) /2 ( ) 3/2 0km Ω K = 6650.4 (5.6) R οι εξισώσεις (5.) και (5.4) γράφονται ως: ( Ω c 0 9 K 0.0545 Ω K T ) /3 ( ) /2 I /6 (5.7) ( ) 3/2 ( ) 3/4 Ω c T R 0.002 I /4 Ω K 0 9 2 (5.8) K 0km και τα αποτελέσματά μας φαίνονται στα σχήματα (5.3) και (5.4). Σχήμα 5.3: Γραφική παράσταση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα για μεταβαλλόμενη ακτίνα

Κεφάλαιο 5. Αποτελέσματα 59 Σχήμα 5.4: Γραφική παράσταση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα για μεταβαλλόμενη μάζα Στον Πίνακα (5.) και (5.2), παρουσιάζουμε τα αποτελέσματά μας για την μέγιστη κρίσιμη θερμοκρασία Tc max, την ελάχιστη κρίσιμη θερμοκρασία Tc min, την ελάχιστη κρίσιμη συχνότητα fc min και την ελάχιστη θερμοκρασία T min και τον λόγο Ω min c /Ω K για τις πέντε αναλυτικές λύσεις που χρησιμοποιούμε για έναν αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4 και ακτίνας ίση με R = 2km. Οι τιμές της ελάχιστης κρίσιμης θερμοκρασίας Tc min επιρεάζονται από την κατανομή πυκνότητας. Οι ρεαλιστικές κατανομές, δηλαδή η T olman V II και Buchdahl, παράγουν υψηλότερες τιμές της ελάχιστης θερμοκρασίας Tc min. Ωστόσο, οι τιμές της μέγιστης κρίσιμης θερμοκρασίας Tc max είναι ανεξάρτητες από την κατανομή της μάζας καθώς στις υψηλές θερμοκρασίες επικρατεί ο μηχανισμός απόσβεσης του ιξώδους όγκου. Επιπροσθέτως, οι λύσεις T olman V II και Buchdahl οδηγούν σε πολύ παρόμοιες τιμές των fc min, T min και Ω min c /Ω K. Οι αντίστοιχες τιμές για τις τρεις λύσεις των αστέρων κουάρκ είναι χαμηλότερες. Πίνακας 5.: Οι ελάχιστες Tc min και οι μέγιστες Tc max κρίσιμες θερμοκρασίες για τις επιλεγμένες αναλυτικές λύσεις. Όλες οι λύσεις αντιστοιχούν σε αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4 και ακτίνα R = 2km. odels c ( 0 6 ) (K) Tc max ( 0 0 ) (K) T min T olman V II 3.96 3.94 Buchdahl 3.77 3.94 U nif orm 2.44 3.94 T olman V I (N = ) 2.57 3.98 T olman V I (N = 2) 2.5 3.97

60 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Πίνακας 5.2: Οι ελάχιστες τιμές των συχνοτήτων fc min και των αντίστοιχων θερμοκρασιών T min και των λόγων Ω min c /Ω K για τις επιλεγμένες αναλυτικές λύσεις. Όλες οι λύσεις αντιστοιχούν σε αστέρα νετρονίων μάζας ίσης με =.4 και ακτίνα R = 2km. odels T min ( 0 9 ) (K) fc min (Hz) Ω min c /Ω K T olman V II 7.08 77.94 0.082 Buchdahl 7.03 77.38 0.08 U nif orm 6.5 68.7 0.072 T olman V I (N = ) 6.62 69.52 0.073 T olman V I (N = 2) 6.58 69.4 0.073 Στη συνέχεια, παραθέτουμε τις διάφορες γραφικές παραστάσεις για τα παράθυρα αστάθειας ενός αστέρα νετρονίων r mode για μάζα ίση με =.4 και ακτίνα R = 2km για τις πέντε αναλυτικές λύσεις. Σχήμα 5.5: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με την θερμοκρασία του αστέρα για τις πέντε αναλυτικές λύσεις

Κεφάλαιο 5. Αποτελέσματα 6 Σχήμα 5.6: Γραφική παράσταση της κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα για τις πέντε αναλυτικές λύσεις Σχήμα 5.7: Γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης κρίσιμης συχνότητας σε σχέση με τη θερμοκρασία του αστέρα για τις πέντε αναλυτικές λύσεις Εδώ, θα έπερεπε να σημειωθεί ότι η μελέτη της r mode ταλάντωσης έγινε στο Νευτώνιο πλαίσιο χρησιμοποιώντας τις σχετικιστικές εξισώσεις T OV. Γι αυτό το λόγο μπορεί να γίνει μόνο μια ποιοτική περιγραφή του φαινομένου. Για την πλήρη περιγραφή του θα έπρεπε να εφαρμόσουμε ένα σχετικιστικό πλαίσιο μαζί με τις σχετικιστικές εξισώσεις T OV.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Συμπεράσματα Στην παρούσα εργασία ερευνήσαμε τους περιορισμούς του r mode από την καταστατική εξίσωση του αστέρα νετρονίων. Εξετάσαμε την περίπτωση ενός αστέρα νετρονίων σταθερής μάζας και ακτίνας, θεωρώντας το εσωτερικό του ως ρευστό και εξάγαμε μια αναλυτική λύση για την εξάρτηση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας από τη θερμοκρασία. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιήσαμε ένα σετ από αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων T OV ώστε να αποκαλύψουμε τον ρόλο των μακροσκοπικών ιδιοτήτων του αστέρα νετρονίων (μάζα, ακτίνα, κατανομή μάζας) στο παράθυρο α- στάθεια του r mode. Τα κύρια ευρύματά μας περιλαμβάνουν την ισχυρή εξάρτηση του Ω c από το μέγεθος του αστέρα νετρονίων, δηλαγή την α- κτίνα του, και την πολύ ασθενής εξάρτηση από τις δύο άλλες ιδιότητες για χαμηλές τιμές της θερμοκρασίας. Για υψηλές τιμές θερμοκρασίας, η εξάρτηση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας από το μέγεθος του αστέρα νετρονίων, θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι πολύ ασθενής καθώς δεν υπάρχει κάποια αισθητή μεταβολή στην καμπύλη του διαγράμματος. Ε- πίσης, ασθενής είναι και η εξάρτηση του αστέρα νετρονίων από τις άλλες δύο ιδιότητές του σε αυτή την θερμοκρασιακή περιοχή. Ένας αστέρας νετρονίων ο οποίος υφίσταται την διαταραχή r mode, εκπέμπει βαρυτική ακτινοβολία. Η βαρυτική αυτή ακτινοβολία αναμένεται να μας δώσει αρκετές χρήσιμες πληροφορίες για την εσωτερική δομή αλλά και τις εργασίες που λαμβάνουν χώρα στο εσωτερικό του αστέρα νετρονίων. Ακόμη, η διαταραχή αυτή μπορεί να εξηγήσει το λόγο για τον οποίο οι αστέρες νετρονίων παρατηρούνται σε αρκετά χαμηλές ταχύτητες περιστροφής σε σχέση με την ταχύτητα περιστροφής Kepler καθώς η χρονική στιγμή παρατήρησης του αστέρα είναι μεταγενέστερη από τη χρονική στιγμή όπου ο αστέρας βρισκόταν στο παράθυρο αστάθειας. 63

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Βιβλιογραφία [].C. Papazoglou, C.C. oustakidis : R-mode constraints from neutron star equation of state, Astrophys. Space Sci. 36 no.3, 98, 206. [2] Benjamin J. Owen, Lee Lindblom, Curt Cutler, Bernard F. Schutz, Alberto Vecchio and Nils Andersson Gravitational waves from hot young rapidly rotating neutron stars, Physical Review D 58, 084020, 998. [3] Sergey Postnikov, adappa Prakash, James. Lattimer : Tidal Love numbers of neutron star and self-bound quark stars, Physical Review D 82, 02406, 200. [4] Ch.C. oustakidis : Effects of the nuclear equation of state on the r-mode instability and evolution of neutron stars, Physical Review C 9, 035804, 205. [5] Χαράλαμπος Βάρβογλης, Γιάννης Χ. Σειραδάκης : Εισαγωγή στη σύγχρονη αστρονομία, 994. [6] Κώστας Δ. Κόκκοτας : Γενική Θεωρία της Σχετικότητας - Σημειώσεις για τους φοιτητές, 2008. [7] Αδαμάντιος Σταυρίδης : Ακτινικές ταλαντώσεις βραδέως περιστρεφόμενων σχετικιστικών αστέρων - Διδακτορική Διατριβή, 2004. [8] Wynn Ho, Nils Andersson, Ian Jones, Nathalie Degenaar, Bryn Haskell : X-ray observations and nuclear physics of GW-driven r- modes, CompOSE and NewCompStar WG2+3 7-9 November 204. 65

66 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ [9] Daniela Doneva, K. Kokkotas, E. Gaertig, K. Krüger and A. Passamonti : Gravitational wave asteroseismology of rapidly rotating neutron stars, International School on Neutron Star atter (arch 4-7 204, Kyoto). [0] Ruxandra Bondarescu : Spin Evolution of Neutron Stars: Non- Linear Development of the r-mode instability - Διδακτορική Διατριβή, 2008.