Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική

Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική 9 9.1 Εισαγωγή Το φαινόμενο των εκροών από αστρικά αντικείμενα - άστρα και γαλαξίες - είναι πολύ συχνό. Πλήθος κατηγοριών κοσμικών αντικειμένων χάνουν μάζα με μορφή ανέμου και μαζί μ αυτόν ενέργεια και στροφορμή. Πολλές από τις εκροές έχουν τη μορφή πίδακα πλάσματος, εστιασμένης δηλαδή εκροής που εκτείνεται σε πολύ μεγάλες αποστάσεις από το κεντρικό σώμα, τα jets. Ειδικά θα μας απασχολήσουν μαγνητισμένες σχετικιστικές εκροές, οι οποίες είναι πλέον κοινά αποδεκτό ότι δημιουργούνται σε περιβάλλοντα συμπαγών σωμάτων, όπως μελανές οπές και αστέρες νετρονίων. Στο παρόν κεφάλαιο θα εξετάσουμε το πώς μπορούμε να περιγράψουμε γενικά μια μαγνητισμένη εκροή με σκοπό να καταλάβουμε πώς μπορεί να επιταχύνεται και να αποκτά τις σχετικιστικές ταχύτητες που παρατηρούμε. Μιλώντας για ταχύτητα ή επιτάχυνση της εκροής εννοούμε τη μακροσκοπική ταχύτητα ή επιτάχυνση που καθορίζεται από τη δυναμική. Οι μεμονωμένες κινήσεις σωματίων στο κινούμενο μαζί με τη ροή σύστημα αναφοράς είναι κάτι διαφορετικό τις κινήσεις αυτές τις λαμβάνουμε υπόψη μέσω των θερμοδυναμικών μεγεθών εσωτερική ενέργεια και θερμοκρασία. Για να κρατήσουμε τη μελέτη όσο γίνεται απλούστερη δεν θα λάβουμε υπόψη γενική σχετικότητα παρά μόνο ειδική, δηλ. θα θεωρήσουμε ότι ο χωρόχρονος είναι επίπεδος. Επίσης θα μελετήσουμε μόνο ομαλές ροές οι οποίες δεν περιέχουν ασυνέχειες. Οι τελευταίες προκύπτουν όταν μια ομαλή ροή διαταραχθεί (π.χ. λόγω αλληλεπίδρασης με τον μεσοαστρικό χώρο), όπως εξετάσαμε στο κεφάλαιο 7. 119

120 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική 9.2 Οι εξισώσεις της ιδεατής Μαγνητοϋδροδυναμικής Μια μαγνητισμένη ροή πλάσματος περιγράφεται από: Την ταχύτητα της ροής V (μακροσκοπική ταχύτητα). Επίσης ορίζουμε τον παράγοντα Lorentz ως γ = 1/ 1 V 2 /c 2. Στην πραγματικότητα οι πληθυσμοί θετικών και αρνητικών φορτίων κινούνται με ελάχιστα διαφορετικές ταχύτητες V + και V, οι οποίες είναι πολύ κοντά στη μακροσκοπική ταχύτητα V. Την πυκνότητα μάζας της εκροής. Αν ρ 0 είναι η πυκνότητα στο σύστημα αναφοράς που κινείται με ταχύτητα V (δηλ. σε κάποια χρονική στιγμή και σε κάποιο σημείο του χώρου είναι «στερεωμένο» πάνω στη ροή), τότε στο σύστημα του εργαστηρίου η πυκνότητα είναι γρ 0 (λόγω συστολής του μήκους στη διεύθυνση της V ). Αν το πλάσμα αποτελείται από θετικά και αρνητικά φορτία με αριθμητικές πυκνότητες γ ± n ± και μάζες ηρεμίας m ±, τότε γρ 0 = γ + n + m + + γ n m. Το μαγνητικό πεδίο B και το ηλεκτρικό πεδίο E, όπως τα μετρούμε στο σύστημα αναφοράς του κεντρικού αντικειμένου. Το σύστημα αναφοράς αυτό θα το λέμε και σύστημα εργαστηρίου. Την πυκνότητα ρεύματος J και την πυκνότητα φορτίου J 0 /c, όπως τα μετρούμε στο σύστημα εργαστηρίου. Συναρτήσει των πυκνοτήτων και ταχυτήτων των θετικών και αρνητικών φορτίων η συνολική πυκνότητα φορτίου είναι J 0 /c = γ + n + q + + γ n q, ενώ η πυκνότητα ρεύματος J = γ + n + q + V + + γ n q V. Στα παραπάνω συμβολίζουμε με q + και q το φορτίο των θετικών και αρνητικών σωματίων αντίστοιχα, που συνήθως είναι ίσο με το ηλεκτρονιακό φορτίο (q + = e, q = e). Για ημιουδέτερο πλάσμα οι πυκνότητες n + και n είναι σχεδόν, αλλά όχι ακριβώς, ίσες. Τις θερμοδυναμικές ποσότητες πίεση P, εσωτερική ενέργεια ανά μονάδα μάζας e και θερμοκρασία T, όπως μετρούνται στο σύστημα αναφοράς της ροής. Οι παραπάνω φυσικές ποσότητες συνδέονται μεταξύ τους με νόμους που περιγράφονται στη συνέχεια.

9.2 Οι εξισώσεις της ιδεατής Μαγνητοϋδροδυναμικής 121 9.2.1 Οι εξισώσεις του Maxwell Το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο συνδέονται με την πυκνότητα ρεύματος και φορτίου σύμφωνα με τις τέσσερις εξισώσεις του Maxwell. Συγκεκριμένα: Η εξίσωση που περιγράφει την ανυπαρξία μαγνητικών μονοπόλων B = 0. (9.1) Η εξίσωση Gauss E = 4π c J 0. (9.2) Η εξίσωση Ampère B = 1 c E t + 4π c J. (9.3) Η εξίσωση Faraday E = 1 c B t. (9.4) Πρέπει να τονιστεί ότι λόγω της κίνησης της ροής, οι κινήσεις των φορτίων συνεπάγονται την ύπαρξη πυκνότητας ρεύματος και φορτίου. Δεν είναι σωστό όμως να θεωρούμε αυτές τις πυκνότητες υπεύθυνες για τη δημιουργία των πεδίων E και B. Στην πραγματικότητα μάλλον το αντίθετο συμβαίνει: υπάρχουν άφθονα φορτία μέσα στη ροή και η ύπαρξη των πεδίων τα κινεί ώστε να «δημιουργήσουν» J και J 0 /c. Σε κάθε περίπτωση, ασφαλέστερο είναι να θεωρούμε απλά ότι τα E και B συνυπάρχουν με κάποια J και J 0 /c. (Το ότι η πυκνότητα φορτίου και ρεύματος δεν είναι γενικά μηδέν σημαίνει ότι τόσο οι πυκνότητες θετικών και αρνητικών φορτίων, όσο και οι ταχύτητές τους δεν είναι ακριβώς ίσες μεταξύ τους.) 9.2.2 Νόμος Ohm Ο νόμος του Ohm συνδέει την πυκνότητα ρεύματος με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μέσω της ειδικής αγωγιμότητας E co = J co /σ c, όπου E co το ηλεκτρικό πεδίο και J co η πυκνότητα ρεύματος στο σύστημα αναφοράς που κινείται με το ρευστό. Στα πλαίσια της ιδεατής μαγνητοϋδροδυναμικής, η αγωγιμότητα των πλασμάτων που μελετούμε είναι τόσο υψηλή (σε σχέση με τις χρονικές κλίμακες που εξετάζουμε), ώστε να ισχύει E co = 0. Χρησιμοποιώντας

122 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική μετασχηματισμούς Lorentz του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου βρίσκουμε 1 E = V c B. (9.5) 9.2.3 Θερμοδυναμικές σχέσεις Θερμοκρασία Θεωρώντας ιδανικό αέριο, ισοτροπικό στο σύστημα της ροής, η θερμοκρασία είναι μια γνωστή συνάρτηση της πίεσης και της πυκνότητας. Συγκεκριμένα, P = (n + + n )k B T. Αν έχουμε ηλεκτρόνια-πρωτόνια (ep πλάσμα) τότε n + + n 2ρ 0 /m p, ενώ αν έχουμε ηλεκτρόνια-ποζιτρόνια (e ± πλάσμα), n + + n = ρ 0 /m e. Εσωτερική ενέργεια Σύμφωνα με την κινητική θεωρία των αερίων, αν έχουμε ένα αέριο με f βαθμούς ελευθερίας (f = 3 για μονατομικό αέριο), η εσωτερική ενέργεια για κάθε σωμάτιο είναι (f/2)k B T. Ετσι, η εσωτερική ενέργεια ανά μονάδα μάζας είναι e = (f/2)(p/ρ 0 ). Ορίζοντας τον πολυτροπικό δείκτη ως Γ = 1 + 2/f έχουμε e = 1 P. (9.6) Γ 1 ρ 0 Το παραπάνω αποτέλεσμα ισχύει για μη σχετικιστικές θερμικές κινήσεις (δηλ. όταν η ταχύτητα κάθε σωματίου στο σύστημα της ροής είναι c), όπου mc 2 k B T. Σε σχετικιστικές θερμοκρασίες k B T mc 2, οπότε η ενέργεια κάθε σωματίου είναι ανάλογη της ορμής του p 2 c 2 + m 2 c 2 pc, ένα μονατομικό αέριο συμπεριφέρεται σαν αέριο φωτονίων με e = 3P/ρ 0. Βλέπουμε ότι η σχέση (9.6) εξακολουθεί να ισχύει, αυτή τη φορά όμως με Γ = 4/3 (αυτή η τιμή του Γ δεν σχετίζεται με βαθμούς ελευθερίας). Ενθαλπία Είναι χρήσιμο να ορίσουμε την ενθαλπία ανά μονάδα μάζας, διαιρεμένη με c 2 ώστε να γίνει αδιάστατη. Αφού η ενθαλπία είναι το άθροισμα της ενέργειας ηρεμίας, της εσωτερικής ενέργειας και του γινομένου πίεση επί όγκο, 1 Ισχύει E co = γ ( E + V c B) (γ 1) ( E V V ) V V, δηλ. οι παράλληλες συνιστώσες είναι ίσες E co = E, ενώ για τις κάθετες είναι E co = γ ( E + V c B). Αν E co = 0, τότε προκύπτει E = 0 και E = V c B, ή συνεπτυγμένα E = V c B.

9.2 Οι εξισώσεις της ιδεατής Μαγνητοϋδροδυναμικής 123 το μέγεθος αυτό είναι ξ = 1 + (e + P/ρ 0 )/c 2, ή ξ = 1 + Γ P Γ 1 ρ 0 c. (9.7) 2 Οταν οι θερμοκρασίες είναι μη σχετικιστικές ο λόγος P/ρ 0 c 2 k B T/mc 2 1, και άρα ξ 1. Πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής Μια ποσότητα του αερίου μάζας δm καταλαμβάνει όγκο δm/ρ 0 στο σύστημα ηρεμίας του. Αν η θερμότητα που παρέχεται σ αυτή τη μάζα είναι δq, τότε ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής (ο οποίος εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας) γράφεται d(δq) = d(eδm) + P d(δm/ρ 0 ). Σε περίπτωση αδιαβατικής μεταβολής δq = 0 και έχουμε de+p d(1/ρ 0 ) = 0, ή de/dt+p d(1/ρ 0 )/dt = 0. Η μεταβολή κάθε φυσικής ποσότητας που αφορά το ρευστό οφείλεται σε δύο παράγοντες: (1) στην τυχούσα άμεση χρονοεξάρτηση των ποσοτήτων και (2) στην κίνηση του ρευστού. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται σαν d dt = t + V, και μπορεί να ιδωθεί ότι προκύπτει από το γεγονός ότι για κάθε συνάρτηση Φ των (t, r) είναι dφ(t, r) dt Φ(t + t, r + V t) Φ(t, r) = lim t 0 t = Φ t + V Φ. Ετσι, ο πρώτος νόμος γράφεται ( ) ( ) ( ) 1 t + V e + P t + V = 0. ρ 0 Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (9.6), προκύπτει η πολυτροπική σχέση ( ) ( ) P t + V = 0, (9.8) ρ Γ 0 που δείχνει ότι η ποσότητα P/ρ Γ 0 πρέπει να μένει αμετάβλητη καθώς το πλάσμα κινείται.

124 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική 9.2.4 Εξίσωση συνέχειας Εστω ένας όγκος δτ ο οποίος περικλείεται από την κλειστή επιφάνεια S. Αν δm είναι η μάζα του αερίου που υπάρχει σ αυτόν τον όγκο, τότε d(δm)/dt = (δm)/ t είναι ο ρυθμός ελάττωσης της μάζας μέσα στον όγκο δτ. Λόγω διατήρησης της μάζας, αυτός ο ρυθμός ελάττωσης ισούται με τη ροή μάζας η οποία περνά την επιφάνεια S, η οποία είναι (γρ 0 )V ds = (γρ 0 V )dτ, όπου γρ 0 είναι η πυκνότητα μάζας στο σύστημα του εργαστηρίου. Γράφοντας δm = γρ 0 dτ και εξισώνοντας τις δυο εκφράσεις έχουμε τελικά (γρ 0 ) t + (γρ 0 V ) = 0. (9.9) 9.2.5 Εξίσωση ορμής Οι δυνάμεις που ασκούνται στο ρευστό ανά μονάδα του όγκου του είναι: κλίση της πίεσης P, από το ηλεκτρικό πεδίο (γ + n + q + + γ n q )E = (J 0 /c)e, από το μαγνητικό πεδίο (γ + n + V + /c+γ n q V /c) B = (1/c)J B. Στην περίπτωση μη σχετικιστικών θερμοκρασιών, το άθροισμα αυτών των δυνάμεων (μαζί με τυχόν άλλες εξωτερικές δυνάμεις) ήταν ίσο με τη δύναμη αδράνειας ανά όγκο, η οποία γράφεται γρ 0 d(γv )/dt = γρ 0 ( / t + V )(γv ). Ο γενικός τύπος είναι λίγο διαφορετικός: το άθροισμα ισούται με γρ 0 d(ξγv )/dt = γρ 0 ( / t + V )(ξγv ) (η απόδειξη γίνεται με τη χρήση

9.3 Αξισυμμετρικές στάσιμες εκροές 125 του τανυστή ενέργειας-ορμής 2 ). Ετσι η εξίσωση ορμής είναι γρ 0 ( t + V ) (ξγv ) = P + J 0 E + J B c. (9.10) 9.3 Αξισυμμετρικές στάσιμες εκροές Αφού οι εκροές που θα μας απασχολήσουν προέρχονται από περιστρεφόμενα κοσμικά αντικείμενα, μια πρώτη απλούστευση γίνεται αν υποθέσουμε αξισυμμετρία. Δηλ. σε σφαιρικές (r, θ, φ) ή κυλινδρικές (z, ϖ, φ) συντεταγμένες, με τον άξονα z άξονα περιστροφής, ισχύει / φ = 0. Επίσης, όταν μελετούμε τις ροές σε χρονικές κλίμακες πολύ μικρότερες από αυτές που χρειάζονται για να αλλάξουν εντελώς μορφή, μπορούμε να υποθέσουμε χρονοανεξαρτησία / t = 0. Τότε, όλες οι άγνωστες ποσότητες εξαρτώνται από ένα ζευγάρι μεταβλητών, των (z, ϖ) ή (r, θ) ανάλογα με την επιλογή συντεταγμένων. Οπως θα δούμε στη συνέχεια, σ αυτήν την περίπτωση το πρόβλημα σχετικά απλουστεύεται, διότι είναι δυνατή η μερική ολοκλήρωση των περισσότερων από τις προηγούμενες εξισώσεις. Τα ολοκληρώματα κίνησης περιέχουν σημαντικές πληροφορίες για το πώς εξελίσσεται η ροή και η μελέτη τους μας δίνει μια ευκαιρία να κατανοήσουμε καλύτερα το μέχρι τώρα πολύπλοκο σύστημα που εξετάζουμε. 2 Ο τανυστής ενέργειας-ορμής σχετικιστικού, μαγνητισμένου πλάσματος είναι το άθροισμα του μέρους του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου TEM κν (κ, ν = 0, 1, 2, 3) και του μέρους της ύλης TM κν = ( ρ 0 c 2 + ρ 0 e + P ) U κ U ν /c 2 + P η κν, όπου U ν = (γc, γv ) η τετραταχύτητα του πλάσματος και η κν = diag ( 1 1 1 1) η μετρική για επίπεδο χωρόχρονο και καρτεσιανές χωρικές συντεταγμένες x j, j = 1, 2, 3. Οι συνιστώσες του τανυστή γράφονται (j, k = 1, 2, 3) T 00 = γ 2 ξρ 0 c 2 P + E2 + B 2, T 0j = T j0 = 8π T jk = ξρ 0 γ 2 V j V k E je k + B j B k 4π ( ξρ 0 cγ 2 V + E B 4π + (P + E2 + B 2 8π ) ˆx j, ) η jk, όπου T 00 είναι η πυκνότητα ενέργειας και ct 0j ˆx j η ροή ενέργειας. Απουσία εξωτερικών δυνάμεων οι εξισώσεις κίνησης (ορμής και ενέργειας) είναι T,ν κν = 0. Η εξίσωση ορμής προκύπτει από τις χωρικές κ = 1, 2, 3 συνιστώσες, και μπορεί να δειχθεί ότι παίρνει τη μορφή της εξίσωσης (9.10). (Η τέταρτη συνιστώσα δίνει την εξίσωση ενέργειας, η οποία προκύπτει ισοδύναμη με τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής).

126 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική Σχήμα 9.1: Σκίτσο μιας γραμμής ροής (διακεκομμένη) και μιας δυναμικής γραμμής του μαγνητικού πεδίου. Οι προβολές και των δύο τρισδιάστατων καμπυλών πάνω στο πολοειδές επίπεδο (σκιασμένο) ταυτίζονται. Η εξίσωση της προβολής αυτής είναι A = σταθ. 9.3.1 Τα ολοκληρώματα της κίνησης Η συνάρτηση μαγνητικής ροής A Η σημαντικότερη ποσότητα του προβλήματος είναι η συνάρτηση μαγνητικής ροής. Αρχικά θα ορίσουμε το πολοειδές επίπεδο σαν το επίπεδο (z, ϖ) σε κυλινδρικές (ή [r, θ] σε σφαιρικές) συντεταγμένες, βλ. σχήμα 9.1. Ετσι, αναλύουμε την ταχύτητα σε πολοειδή V p και αζιμουθιακή V φ. Ομοια, αναλύουμε το μαγνητικό πεδίο σε πολοειδές B p και αζιμουθιακό B φ. Η πρώτη εξίσωση Maxwell γίνεται B p = 0. Άρα υπάρχει συνάρτηση A(ϖ, z) τέτοια ώστε B p = A ˆφ ϖ, ή B p = A ˆφ ϖ. (9.11) Από τη δεύτερη γραφή φαίνεται ότι το A σχετίζεται με το διανυσματικό

9.3 Αξισυμμετρικές στάσιμες εκροές 127 Σχήμα 9.2: Σκίτσο μιας πολοειδούς γραμμής ροής/δυναμικής γραμμής του μαγνητικού πεδίου, A = σταθ. Φαίνονται η διεύθυνση και φορά του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, καθώς και της ταχύτητας. δυναμικό του πολοειδούς μαγνητικού πεδίου. Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι A = 1 B p ds, (9.12) 2π συσχετίζοντας τη συνάρτηση A με τη μαγνητική ροή. Άρα η εξίσωση της πολοειδούς μαγνητικής γραμμής (που είναι και η προβολή του B στο πολοειδές επίπεδο) είναι A = σταθ., βλ. σχήμα 9.1. Η γωνιακή ταχύτητα του πεδίου Η εξίσωση του Faraday, στην περίπτωση που το μαγνητικό πεδίο δεν μεταβάλλεται χρονικά, δίνει ότι το ηλεκτρικό πεδίο προέρχεται από βαθμωτό δυναμικό E = Φ. Λόγω της αξισυμμετρίας, E φ = 0. Ομως ο νόμος του Ohm (9.5) δίνει σ αυτήν την περίπτωση (V B) ˆφ = 0 (V p B p ) ˆφ = 0, κάτι που σημαίνει ότι τα V p και B p είναι παράλληλα. Αυτό είναι πολύ σημαντικό συμπέρασμα και σημαίνει ότι η ροή ακολουθεί το μαγνητικό πεδίο στο πολοειδές επίπεδο (αν και στις τρεις διαστάσεις η γραμμή ροή δεν ταυτίζεται με τη γραμμή του μαγνητικού πεδίου όπως δείχνει το σχήμα 9.1). Αφού τα V p, B p είναι παράλληλα, υπάρχουν συναρτήσεις Ψ A και Ω τέτοιες ώστε V = Ψ A 4πγρ 0 B + ϖω ˆφ, Ψ A 4πγρ 0 = V p B p. (9.13)

128 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική Αντικαθιστώντας την προηγούμενη σχέση στον νόμο του Ohm (9.5) έχουμε: E = (ϖω/c) ˆφ B p. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (9.11) βρίσκουμε πως το ηλεκτρικό πεδίο είναι E = Ω c A, με μέτρο E = ϖω c B p. (9.14) Παρατηρήστε ότι η διεύθυνση του E είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου (που όπως είπαμε έχουν προβολή πάνω στο πολοειδές επίπεδο A = σταθ.). Η φορά του E είναι αντίθετη από τη φορά του A, άρα το ηλεκτρικό πεδίο «κοιτάζει προς τον άξονα περιστροφής», όπως δείχνει το σχήμα 9.2. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (9.14), ο νόμος του Faraday (9.4) δίνει (Ω A) = 0 Ω A = 0. Αυτό σημαίνει ότι Ω = Ω(A), δηλ. το Ω είναι μια σταθερά κίνησης. Από γραμμή σε γραμμή το Ω μπορεί να είναι διαφορετικό, αλλά αφού το ρευστό κινείται πάνω στις γραμμές A = σταθ, το Ω μένει σταθερό κατά τη διάρκεια της κίνησης κάθε μέρους της ροής. Αν κοντά στο κεντρικό σώμα απ όπου ξεκίνησε η ροή η πυκνότητα είναι αρκούντως μεγάλη, βλέπουμε από την εξίσωση (9.13) ότι V φ ϖω. Δηλ. Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα του ρευστού κοντά στη βάση της εκροής. Πιο μακρυά πάντως ο άλλος όρος της αζιμουθιακής ταχύτητας δεν είναι πια αμελητέος και το προηγούμενο συμπέρασμα δεν ισχύει. Ο λόγος ροής μάζας προς μαγνητική ροή Αντικαθιστώντας την εξίσωση (9.13) στην εξίσωση συνέχειας (9.9), και αφού B = 0, προκύπτει ότι B p Ψ A = 0. Δηλ. η παράγωγος του Ψ A κατά μήκος της πολοειδούς δυναμικής γραμμής του B είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι Ψ A = Ψ A (A), οπότε το Ψ A είναι άλλη μια σταθερά κίνησης. Από την εξίσωση (9.13), Ψ A = 2(γρ 0 V p δs)/(b p δs/2π). Ο παρονομαστής είναι η μαγνητική ροή (βλ. εξίσωση 9.12), ενώ ο αριθμητής είναι η ροή μάζας (ο παράγοντας 2 υπολογίζει τη ροή μάζας και από τα δύο ημισφαίρια). Δηλ. η σταθερά κίνησης Ψ A παριστάνει τον λόγο της ροής μάζας προς τη μαγνητική ροή, και δηλώνει ότι αυτός μένει σταθερός κατά τη διάρκεια της κίνησης (κάτι που θα έπρεπε να το περιμένουμε αφού V p B p ). Εντροπία ανά μονάδα μάζας Η εξίσωση (9.8) ολοκληρώνεται αμέσως και δίνει P/ρ Γ 0 = Q(A). Αφού η εντροπία ανά μονάδα μάζας είναι συνάρτηση του P/ρ Γ 0, η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι η εντροπία μένει σταθερή κατά την κίνηση του ρευστού όταν δεν υπάρχει θερμότητα.

9.3 Αξισυμμετρικές στάσιμες εκροές 129 Ο λόγος ροής στροφορμής προς ροή μάζας Αφού έχουμε υποθέσει αξισυμμετρία, πρέπει να υπάρχει κάποιο ολοκλήρωμα στροφορμής. Πράγματι, η ˆφ συνιστώσα της εξίσωσης της ορμής (9.10) ολοκληρώνεται και δίνει ξγϖv φ ϖb φ Ψ A = L(A). (9.15) Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στη στροφορμή του υλικού ανά μονάδα μάζας, ενώ ο δεύτερος στη στροφορμή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Βλέπουμε ότι μόνο η ολική στροφορμή μένει σταθερή μπορούμε όμως να έχουμε μετακίνηση στροφορμής από το πεδίο στην ύλη και αντίστροφα. Οταν ο όρος που αντιστοιχεί στο πεδίο είναι αμελητέος, τότε προκύπτει ότι ξγv φ 1/ϖ, το οποίο ανάγεται στο γνωστό μας από μη σχετικιστικές κινήσεις αποτέλεσμα V φ 1/ϖ. Ο λόγος ροή ενέργειας προς ροή μάζας Το ολοκλήρωμα της ενέργειας προκύπτει αν προβάλλουμε την εξίσωση της ορμής πάνω στην κίνηση, πολλαπλασιάζοντας δηλ. την εξίσωση (9.10) με V. Το αποτέλεσμα είναι ξγ ϖωb φ Ψ A c 2 = µ(a), (9.16) και εκφράζει τη διατήρηση του λόγου της ροής ενέργειας προς ροή μάζας (διαιρούμενο με c 2 ώστε να γίνει αδιάστατο). Ο δεύτερος όρος αφορά την ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου και πρέπει να σχετίζεται με τη ροή Poynting. Πράγματι, όπως θα δείξουμε στη συνέχεια η ροή ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (c/4π)e B χωρίζεται σε δύο μέρη. Το μέρος (c/4π)e B p έχει αζιμουθιακή διεύθυνση και άρα περιγράφει ενέργεια που δεν μπορεί να διαφύγει. Αντίθετα το μέρος (c/4π)e B φ έχει τη διεύθυνση της ταχύτητας, και φορά προς τα έξω αν B φ < 0. Το μέτρο του είναι (c/4π)e B φ = (c/4π)(ϖω/c)b p B φ, όπου χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση (9.14). Επομένως αν διαιρέσουμε με τη ροή μάζας επί c 2, δηλ. με (γρ 0 )V p c 2, και χρησιμοποιήσουμε ότι V p /B p = Ψ A /4πγρ 0 (βλ. εξίσωση [9.13]), παίρνουμε ϖω B φ /Ψ A c 2, δηλ. ακριβώς το δεύτερο μέρος της εξίσωσης (9.16). Ο πρώτος όρος της εξίσωσης (9.16) είναι η ροή ενέργειας που αφορά την ύλη (ροή κινητικής ενέργειας και ενθαλπίας, συμπεριλαμβανομένης και της ενέργειας ηρεμίας) προς τη ροή μάζας (προς c 2 ). Ανάλογα με το αν στο άθροισμα της εξίσωσης (9.16) κυριαρχεί ο όρος της ύλης (ξγ) ή ο όρος του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (ϖω B φ /Ψ A c 2 ), ονομάζουμε τη ροή Poynting-κυριαρχούμενη (οπότε ξγ ϖω B φ /Ψ A c 2 και ϖω B φ /Ψ A c 2 µ) ή ύλο-κυριαρχούμενη (τότε ξγ ϖω B φ /Ψ A c 2 και

130 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική ξγ µ). Βέβαια μπορούμε να έχουμε γενικά μια ροή η οποία είναι Poyntingκυριαρχούμενη κοντά στη βάση της αλλά αργότερα γίνεται ύλο-κυριαρχούμενη. Σύνοψη Συνοψίζοντας, έχουμε βρει ότι η πολοειδής δυναμική γραμμή ταυτίζεται με την πολοειδή γραμμή ροής και έχει εξίσωση A = σταθ. Η συνάρτηση A είναι ανάλογη της μαγνητικής ροής (ο άξονας περιστροφής είναι A = 0). Συναρτήσει του A, έχουμε για το πολοειδές μαγνητικό πεδίο B p = A ˆφ ϖ, B p = A ϖ, (9.17) και για το ηλεκτρικό πεδίο E = Ω c A, E = xb p, (9.18) όπου ορίσαμε την κυλινδρική απόσταση σε μονάδες της ακτίνας του «κυλίνδρου φωτός» x = ϖω c. (9.19) Επίσης βρήκαμε το ολοκλήρωμα Ψ A, συναρτήσει του οποίου η πολοειδής ταχύτητα γράφεται V p = Ψ A B p. (9.20) 4πγρ 0 Το ότι η κίνηση είναι αδιαβατική εκφράζεται από τη σχέση P = Q(A)ρ Γ 0. (9.21) Βρήκαμε ακόμα τρία ολοκληρώματα, τα Ω, L και µ, τα οποία συσχετίζουν τα μεγέθη V φ, B φ, και γ σύμφωνα με τις σχέσεις V φ = Ψ A 4πγρ 0 B φ + ϖω, (9.22) ξγϖv φ ϖb φ Ψ A = L, (9.23) ξγ ϖωb φ Ψ A c 2 = µ. (9.24)

9.3 Αξισυμμετρικές στάσιμες εκροές 131 9.3.2 Η επιφάνεια Alfvén Οι σχέσεις (9.22 9.24) μπορούν να λυθούν ως προς V φ, B φ, και γ. Τα αποτελέσματα είναι: όπου ορίσαμε την ποσότητα και την γ = µ 1 M 2 x 2 A ξ 1 M 2 x, 2 (9.25) B φ = µcψ A x 2 A x 2 x 1 M 2 x, 2 (9.26) V φ = c x 2 (M 2 + x 2 )x 2 A, x 1 M 2 x 2 A (9.27) M 2 = ξψ2 A = 4πξρ 0γ 2 Vp 2, (9.28) 4πρ 0 B 2 p x 2 A = LΩ µc 2. (9.29) Παρατηρήστε ότι B φ < 0 όπως περιμέναμε, 3 κάτι που αντιστοιχεί σε εκροή Poynting (E B) V p > 0. Οπως βλέπουμε οι παρονομαστές στις εξισώσεις (9.25 9.27) μηδενίζονται όταν M 2 + x 2 = 1. Η επιφάνεια στην οποία αυτό συμβαίνει λέγεται επιφάνεια Alfvén. 4 Για να ορίζονται οι ποσότητες στις εξισώσεις (9.25 9.27) πρέπει να μηδενίζονται ταυτόχρονα και οι αριθμητές, δηλ. x A είναι η τιμή του x στην επιφάνεια Alfvén. Κοντά στη βάση μιας εκροής η οποία ξεκινά από μικρές αποστάσεις τέτοιες ώστε x 1, και με μεγάλη πυκνότητα ώστε M 1 (το τελευταίο ισοδυναμεί με ισχυρό πολοειδές μαγνητικό πεδίο σύμφωνα με τη δεύτερη των εξισώσεων [9.28]), η ύλη περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω. Αυτό προκύπτει από την εξίσωση (9.22) η οποία γίνεται V φ ϖω (ή από την εξίσωση [9.27] για M 1). Γράφοντας την εξίσωση (9.22) σαν V φ = ϖω V p B φ B p (9.30) 3 Γενικά το πρόσημο του B φ είναι αντίθετο από το πρόσημο του V φ, αν σκεφτούμε ότι η ύλη περιστρέφεται στη βάση της εκροής κινώντας τις «βάσεις» των μαγνητικών γραμμών. Λόγω αδράνειας, το «σώμα» των μαγνητικών γραμμών «μένει πίσω» και έτσι δημιουργείται μια αζιμουθιακή συνιστώσα του B που είναι αντίθετη της περιστροφής. Ενας άλλος λόγος για το γεγονός ότι B φ < 0 είναι η σχέση (9.22). Εξω από τον κύλινδρο φωτός ϖω > c, μόνο αν B φ < 0 είναι δυνατόν να ισχύει V φ < c. 4 Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (9.28) βρίσκουμε ότι στην επιφάνεια Alfvén είναι γv p = B p (1 x2 )/4πξρ 0. Το δεξιό μέλος της προηγούμενης ισότητας σχετίζεται με τη φασική ταχύτητα κυμάτων Alfvén που διαδίδονται σε μαγνητισμένο πλάσμα.

132 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική (απαλείψαμε το Ψ A χρησιμοποιώντας την εξίσωση [9.20]) φαίνεται ότι B p B φ, δηλ. το πολοειδές μαγνητικό πεδίο είναι η σημαντικότερη συνιστώσα στην περιοχή M 2 + x 2 < 1 πριν την επιφάνεια Alfvén. Καθώς η ύλη προχωρά σε μεγαλύτερες κυλινδρικές αποστάσεις, κάποια στιγμή θα γίνει M 2 + x 2 = 1 και αργότερα M 2 + x 2 > 1. Στην περιοχή M 2 + x 2 > 1 μετά την επιφάνεια Alfvén δεν ισχύει πια η ισοπεριστροφή V φ ϖω. Μάλιστα σε αρκετά μεγάλες αποστάσεις είναι V φ ϖω, οπότε η εξίσωση (9.30) συνεπάγεται B φ (ϖω/v p )B p xb p. Άμεση συνέπεια είναι ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι συγκρίσιμο με το B φ (αφού E = xb p σύμφωνα με την εξίσωση [9.18]). 9.3.3 Οι εξισώσεις για τα M και A Οπως είδαμε στα προηγούμενα μπορέσαμε να εκφράσουμε όλες τις φυσικές ποσότητες του προβλήματος σαν συνάρτηση των αγνώστων συναρτήσεων M και A (και των ολοκληρωμάτων τα οποία είναι συναρτήσεις του A). Το πρόβλημα λοιπόν έχει αναχθεί στο να βρούμε αυτές τις δύο συναρτήσεις. Οι δύο εξισώσεις που δεν έχουμε ολοκληρώσει και οι οποίες πρέπει να λυθούν ως προς M και A είναι οι εξίσωση Bernoulli και η εγκάρσια συνιστώσα της εξίσωσης ορμής. Η εξίσωση Bernoulli Αν αντικαταστήσουμε στην ταυτότητα γ 2 = 1 + γ 2 V 2 p /c 2 + γ 2 V 2 φ /c 2 όλες τις ποσότητες όπως δίνονται σαν συναρτήσεις των M και A, έχουμε την εξίσωση Bernoulli. Η εξίσωση αυτή είναι αλγεβρική και μπορεί να ιδωθεί σαν να δίνει το M συναρτήσει του A και της παραγώγου του A. Η εξίσωση Grad-Shafranov Η μόνη εξίσωση που έμεινε να ολοκληρωθεί είναι η προβολή της εξίσωσης της ορμής κάθετα στην πολοειδή γραμμή, δηλ. η προβολή της εξίσωσης (9.10) πάνω στο A. Η εξίσωση αυτή καθορίζει το σχήμα της πολοειδούς γραμμής. Η σχέση που προκύπτει είναι μια πολύπλοκη και εξαιρετικά μη γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με μόνο άγνωστο το A. Η λύση της με αναλυτικούς ή υπολογιστικούς τρόπους είναι αντικείμενο ερευνητικής προσπάθειας.

9.3 Αξισυμμετρικές στάσιμες εκροές 133 Σχήμα 9.3: Σκίτσο δύο δυναμικών γραμμών του B p (A = σταθ., συνεχείς γραμμές) και τριών γραμμών του πολοειδούς ρεύματος J p (I = [c/2]ϖb φ = σταθ., διακεκομμένες). Για τα ρεύματα είναι I 1 < I 2 < I 3. Στην αριστερή γραμμή του B p είναι J < 0 (μέσα στο ρεύμα της εκροής), ενώ στη δεξιά J > 0 (αντιστοιχεί στην περιοχή που το ρεύμα «επιστρέφει»). 9.3.4 Οι δυνάμεις στο πολοειδές επίπεδο Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται στη ροή κατά την κίνησή της και τι αποτέλεσμα έχουν. Η εξίσωση (9.10) μπορεί να γραφεί σαν το άθροισμα των επόμενων όρων: f G + f T + f C + f I + f P + f E + f B = 0, όπου f G = γρ 0 ξ (V γ) V f T = γ 2 ρ 0 (V ξ) V : δύναμη «θερμοκρασίας» f C = ˆϖγ 2 ρ 0 ξvφ 2 /ϖ : φυγόκεντρος δύναμη f I = γ 2 ρ 0 ξ (V ) V f C f P = P : δύναμη «πίεσης» f E = ( E) E/4π : ηλεκτρική δύναμη f B = ( B) B/4π : μαγνητική δύναμη δύναμη αδράνειας

134 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική Η μαγνητική δύναμη f B = J B/c μπορεί να αναλυθεί σαν J p B p /c + J φ B p /c + J p B φ /c. Ο πρώτος όρος δεν έχει συνιστώσα πάνω στο πολοειδές επίπεδο. Ο δεύτερος όρος εξαρτάται μόνο από το B p, αφού J φ = (c/4π) B p. Ο τρίτος εξαρτάται μόνο από το B φ, αφού J p = (c/4π) B φ. Στην περιοχή μετά την επιφάνεια Alfvén αυτός είναι ο κυρίαρχος όρος του μαγνητικού πεδίου, αφού εκεί B φ B p. Αν γράψουμε J p = c 4π B φ = c 4π ˆφ ϖb φ ϖ = c 4π (ϖb φ) ˆφ ϖ, σε αναλογία με τη σχέση B p = A ˆφ/ϖ συμπεραίνουμε ότι οι γραμμές του πολοειδούς ρεύματος J p έχουν εξίσωση ϖb φ = σταθ. Κάθε γραμμή ϖb φ = σταθ. περικλείει σταθερό συνολικό ρεύμα I = Jp ds = (c/2)ϖb φ, όπως δείχνει το σχήμα 9.3. Η δύναμη J p B φ /c βρίσκεται πάνω στο πολοειδές επίπεδο και είναι κάθετη στη γραμμή ρεύματος όπως φαίνεται στο σχήμα 9.3. Η δύναμη αυτή έχει δύο συνιστώσες: μία παράλληλα στη ροή (δηλ. παράλληλα στην V p ), και μία κάθετα στη ροή. Η πρώτη, όπως βλέπουμε στο σχήμα 9.3 επιταχύνει τη ροή. Το αποτέλεσμα της δεύτερης εξαρτάται από το αν η ροή βρίσκεται κοντά στον άξονα περιστροφής (αριστερή γραμμή B p στο σχήμα 9.3 όπου J < 0) ή μακρυά (δεξιά γραμμή B p στο σχήμα 9.3 όπου J > 0). Κοντά στον άξονα περιστροφής όπου μας ενδιαφέρει περισσότερο να μελετήσουμε τη ροή και να συγκρίνουμε με τις παρατηρήσεις εστιασμένων πιδάκων πλάσματος, η δύναμη αυτή εστιάζει τη ροή, δηλ. προσπαθεί να την σπρώξει προς τον άξονα συμμετρίας. 5 Η εξήγηση της παρατηρούμενης επιτάχυνσης και εστίασης αστροφυσικών εκροών με βάση αυτήν την απλή εικόνα είναι μια από τις επιτυχίες της θεωρίας της μαγνητοϋδροδυναμικής, αν και οι ποσοτικοί υπολογισμοί είναι αντικείμενο έρευνας ακόμα και στις μέρες μας. Στο σχήμα 9.3 φαίνεται επίσης η δύναμη (1/c)J φ B p, η οποία συνεισφέρει κυρίως στην περιοχή πριν την επιφάνεια Alfvén. Στην εξίσωση ορμής έχουμε ακόμα δυνάμεις που οφείλονται σε μεταβολή των θερμοδυναμικών ποσοτήτων P και ξ. Η δύναμη «θερμοκρασίας» f T = γ 2 ρ 0 (V ξ) V είναι σημαντική, εφόσον ξ 1 και έχει συνιστώσα πάνω στην V p ίση με f T = γ 2 ρ 0 (V ξ) V p η οποία επιταχύνει τη ροή όταν το πλάσμα κρυώνει (δηλ. το ξ ελαττώνεται). Αν χρησιμοποιήσουμε την 5 Σημειώστε πάντως ότι η δύναμη από το ηλεκτρικό πεδίο έχει αντίθετη φορά και προσπαθεί να αποεστιάσει τη ροή, μετριάζοντας έτσι το αποτέλεσμα της μαγνητικής δύναμης.

9.3 Αξισυμμετρικές στάσιμες εκροές 135 εξίσωση (9.7) και το γεγονός ότι V (P/ρ Γ 0 ) = 0, μπορούμε να γράψουμε f T = γ 2 V p V p P/c 2 = (γv p /c) 2 f P, όπου f P = (V p /V p ) P είναι η συνιστώσα της δύναμης της πίεσης πάνω στη ροή. Το συμπέρασμα είναι ότι σε περιπτώσεις σχετικιστικής ροής με γv p /c 1 η δύναμη της πίεσης πάνω στη ροή f P έχει πολύ μικρότερη συνεισφορά από τη δύναμη θερμοκρασίας f T. Η φυγόκεντρος δύναμη f C = ˆϖγ 2 ρ 0 ξvφ 2 /ϖ συνεισφέρει επίσης στην επιτάχυνση εκεί όπου το V φ είναι σημαντικό, δηλ. κοντά στη βάση της ροής πριν την επιφάνεια Alfvén. Ο μηχανισμός που βασίζεται στη φυγόκεντρο δύναμη λέγεται «μαγνητοπεριστροφικός» και είναι πολύ σημαντικός στην επιτάχυνση μη σχετικιστικών εκροών. 6 6 Σύμφωνα με τον μηχανισμό αυτόν το ρευστό μπορεί να ιδωθεί σαν δαχτυλίδια περασμένα σε σύρματα τα οποία παριστάνουν τις δυναμικές γραμμές του πολοειδούς μαγνητικού πεδίου, και περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα Ω. (Σημειώστε ότι μόνο στην περιοχή κοντά στη βάση της ροής όπου το πολοειδές μαγνητικό πεδίο είναι η σημαντική συνιστώσα, οι γραμμές μπορούν να θεωρηθούν σαν στερεά περιστρεφόμενα σύρματα, και μόνο σ αυτήν την περιοχή υπάρχει ισοπεριστροφή, οπότε τα «δαχτυλίδια» μπορούν να θεωρηθούν περασμένα στα «σύρματα».)

136 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική 9.4 Ασκήσεις Άσκηση 9.1: (α) Ποια η ενθαλπία (συμπεριλαμβανομένης της ενέργειας ηρεμίας) ανά μονάδα μάζας (ξc 2 ) μιας ροής ηλεκτρονίων-πρωτονίων; Πώς συνδέεται με τη θερμοκρασία αν αυτή είναι σχετικιστική ή μη-σχετικιστική; (β) Ενας πίδακας ενεργού γαλαξιακού πυρήνα παρατηρείται να κινείται σχετικιστικά, με παράγοντα Lorentz γ = 10. Αν υποθέσουμε ότι έχει επιταχυνθεί υδροδυναμικά και αποτελείται από ηλεκτρόνια-πρωτόνια, ποια είναι η απαιτούμενη θερμοκρασία στη βάση του; Δίνονται οι σταθερές (στο σύστημα cgs ): c = 3 10 10, k B = 1.38 10 16, m p = 1.67 10 24, m e = 9.11 10 28. Άσκηση 9.2: Κοντά σε μελανή οπή μάζας 10 8 M, περιστρέφεται μια μαγνητισμένη εκροή ηλεκτρονίων-πρωτονίων στην οποία B pi = 10 4 G, B φ i = 10 3 G. Η εκροή ξεκινά με γ i 1 και T i = 10 10 K, και μεταφέρει μάζα με ρυθμό Ṁ = 10 3 M yr 1. (α) Ποια η ολική ροή ενέργειας προς τη ροή μάζας προς c 2 (δηλ. ποιο είναι το µ); (β) Ποια τα μέρη του µ που αντιστοιχούν στην ύλη και στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο; Ποιες οι αντίστοιχες ισχύες; (γ) Ποιο το μέγιστο γ που μπορεί να αποκτήσει αυτή η ροή; (δ) Ποια η ολική στροφορμή που εκρέει ανά μονάδα χρόνου; Αρχικά ποιο μέρος της αντιστοιχεί στην ύλη; (ε) Αν το σχήμα των δυναμικών γραμμών A = σταθ. είναι τέτοιο ώστε ασυμπτωτικά να έχουμε ισοκατανομή μεταξύ ενέργειας της ύλης και ενέργειας του πεδίου, ποιο είναι το γ ; (στ) Εκτιμήστε ποια είναι η αρχική πυκνότητα της εκροής. Θεωρήστε ότι η εκροή εκτείνεται από ϖ in = 5r g ως ϖ out = 10r g, όπου r g η ακτίνα Schwarzschild. Άσκηση 9.3: Μια εστιασμένη κρύα εκροή κινείται με γ = 15, έχει γωνιακό ημιάνοιγμα ϑ = 3 o και μεταφέρει μάζα με ρυθμό Ṁ = 10 3 M yr 1. Αν με κάποιο μηχανισμό το 1% της ασυμπτωτικής κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε ακτινοβολία, ποια θα είναι η ροή της ενέργειας που φτάνει στη γη; Δίνεται απόσταση γης αντικειμένου = 1 Gpc.

9.4 Ασκήσεις 137 Άσκηση 9.4: Δείξτε ότι σε γενικές γραμμές το πολοειδές μαγνητικό πεδίο μεταβάλλεται σαν B p 1/ϖ 2. Επίσης ότι η πυκνότητα στο σύστημα εργαστηρίου αλλάζει σαν γρ 0 1/ϖ 2. Στην περίπτωση Poynting-κυριαρχούμενης ροής (ξγ µ) δείξτε ότι B φ 1/ϖ, δηλ. το γινόμενο ϖb φ αλλάζει πολύ αργά. Άσκηση 9.5: Σε περίπτωση εστιασμένης ροής με V ϖ V z, δείξτε ότι ο παράγοντας Lorentz είναι γ z/ϖ. (Υπόδειξη: Συγκρίνετε τα ϖ και V ϖ dt.) Άσκηση 9.6: Εστω ότι μελετούμε μια υδροδυναμική ροή e ± η οποία έχει σχετικιστικές θερμοκρασίες P ρ 0 c 2. Δείξτε ότι όσο η θερμοκρασία παραμένει σχετικιστική γ ϖ, T ϖ 1, και ρ 0 ϖ 3. Αν η ροή ξεκινά από ϖ i = 10 7 cm με γ i 1, ποια πρέπει να είναι η αρχική θερμοκρασία για να πάρουμε στο τέλος γ = 500; Σε ποια απόσταση γίνεται γ = γ ; Άσκηση 9.7: Δείξτε ότι κοντά στη βάση μιας μαγνητισμένης εκροής είναι ξ i γ i µ(1 x 2 A). Για μια σχετικιστική εκροή με µ 1 η οποία κυριαρχείται αρχικά από τη ροή Poynting, δηλ. ξ i γ i µ, δείξτε ότι το x A 1, δηλ. η επιφάνεια Alfvén είναι λίγο πριν τον «κύλινδρο φωτός». Άσκηση 9.8: (α) Το ολοκλήρωμα της ενέργειας σε μια στάσιμη μαγνητισμένη εκροή είναι ξγ ϖωb φ /Ψ A c 2 = µ. Τι παριστάνουν τα διάφορα σύμβολα και ποια από αυτά είναι σταθερές της κίνησης; Τι εκφράζει καθένας από τους τρεις όρους της σχέσης; Συσχετίστε τον δεύτερο όρο με τη ροή Poynting (c/4π)e B. (β) Γύρω από μια μελανή οπή μάζας 10 9 M υπάρχει δίσκος προσαύξησης που εκτείνεται σε κυλινδρικές αποστάσεις 5r S < ϖ < 6r S και περιστρέφεται κεπλεριανά. Από την επιφάνεια του δίσκου εκρέει ύλη με ρυθμό Ṁ = 10 3 M yr 1. Αν κοντά στη βάση της εκροής B p = 10 4 G, B φ = 10 2 G, ποιος ο μέγιστος παράγοντας Lorentz που μπορεί να αποκτήσει η εκροή; (Κοντά στη βάση της εκροής η ροή ενέργειας είναι κυρίως Poynting.) Ποια η θεωρητικά μέγιστη λαμπρότητα του jet; Δίνονται G = 6.67 10 8 cm 3 g 1 s 2, M = 2 10 33 g, 1yr= 3 10 7 s, και r S = 2GM/c 2, 4πγρ 0 V p = Ψ A B p, V φ = ϖω + V p B φ /B p, E = B p ϖω/c.

138 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική Άσκηση 9.9: (α) Το ολοκλήρωμα της ενέργειας σε μια στάσιμη μαγνητισμένη εκροή είναι ξγ ϖωb φ /Ψ A c 2 = µ. Τι παριστάνουν τα διάφορα σύμβολα και ποια απ αυτά είναι σταθερές της κίνησης; Τι εκφράζει καθένας από τους τρεις όρους της σχέσης; Συσχετίστε τον δεύτερο όρο με τη ροή Poynting (c/4π)e B. (β) Εστω ότι μελετάμε μια κρύα, ισχυρά σχετικιστική εκροή, στην οποία η περιστροφική ταχύτητα μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα (V φ ϖω). Χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα ενέργειας δείξτε ότι ο παράγοντας Lorentz εξαρτάται από το σχήμα των πολοειδών μαγνητικών γραμμών, μέσω της συνάρτησης f = B p ϖ 2 /A. Δίνονται οι σχέσεις V p = Ψ A B p /(4πγρ 0 ), V φ = Ψ A B φ /(4πγρ 0 ) + ϖω. (γ) Πώς πρέπει να μεταβάλλεται η συνάρτηση f = B p ϖ 2 /A για να έχουμε επιτάχυνση; Αν ασυμπτωτικά το πεδίο έχει μονοπολική μορφή (B p ˆr/r 2 ), ποια η ασυμπτωτική τιμή του παράγοντα Lorentz και ποιος ο λόγος της ροής Poynting προς την ολική ροή ενέργειας; (Τα αποτελέσματά σας πρέπει να είναι συναρτήσεις των ολοκληρωμάτων κίνησης A, Ω, Ψ A, µ.) Δίνεται η σχέση 2πA = B p ds. Άσκηση 9.10: Μία έκλαμψη ακτινοβολίας γ (Gamma-Ray Burst) διαρκεί t = 10s και ακτινοβολεί ενέργεια E = 10 51 ergs. (α) Αν η ενέργεια αυτή, πριν ακτινοβοληθεί, ήταν κινητική ενέργεια εκροής με παράγοντα Lorentz γ = 100, ποια η μάζα της εκροής και ποιος ο ρυθμός Ṁ; (β) Εστω ότι αυτή η κινητική ενέργεια είναι αποτέλεσμα μαγνητικής επιτάχυνσης σε μια εκροή που προέρχεται από έναν δίσκο προσαύξησης ο οποίος περιστρέφεται κεπλεριανά γύρω από μελανή οπή μάζας M = 5M (δηλ. η ταχύτητα της εκροής είναι αποτέλεσμα της μετατροπής ροής Poynting σε ροή κινητικής ενέργειας). Υποθέτοντας ότι ο δίσκος εκτείνεται από ϖ in 3r S ως ϖ out 5r S, όπου r S = 2GM/c 2 η ακτίνα Schwarzschild, και ότι κοντά στον δίσκο B p B φ, εκτιμήστε την ένταση του μαγνητικού πεδίου κοντά στον δίσκο. Δίνονται c = 3 10 10 cm s 1, G = 6.67 10 8 cm 3 g 1 s 2, M = 2 10 33 g και η ροή Poynting c 4π E B. Άσκηση 9.11: Από δίσκο κοντά σε μελανή οπή μάζας 10 8 M ξεκινά μια μαγνητισμένη εκροή ηλεκτρονίων-πρωτονίων. Η εκροή ξεκινά από μια μικρή περιοχή του δίσκου 5r g < ϖ i < 6r g με V pi = 0.1c, T i = 10 10 K, B pi = 10 4 G, B φ i = 10 3 G και μεταφέρει μάζα με ρυθμό Ṁ = 10 3 M yr 1. (α) Να υπολογιστούν οι τιμές των ολοκληρωμάτων κίνησης Ω, Ψ A, µ, L.

9.4 Ασκήσεις 139 (β) Θεωρήστε ότι κατά μήκος της ροής όλη η ενέργεια και στροφορμή μεταφέρονται στην ύλη. Ποια η ασυμπτωτική τιμή του παράγοντα Lorentz; Αν η ασυμπτωτική αζιμουθιακή ταχύτητα της ροής είναι V φ = 10 5 c ποια η ασυμπτωτική κυλινδρική ακτίνα της ροής ϖ ; Δίδονται G = 6.67 10 8 cm 3 g 1 s 2, m p = 1.67 10 24 g, k B = 1.38 10 16 erg K 1, c = 3 10 10 cm s 1, M = 2 10 33 g, 1yr= 3 10 7 s, και r g = 2GM/c 2, Ψ A = (4πγρ 0 V p S)/(B p S), µ = ξγ ϖωb φ /Ψ A c 2, L = ξγϖv φ ϖb φ /Ψ A. Άσκηση 9.12: (α) Δείξτε ότι για ( μια στάσιμη υδροδυναμική ροή το ολοκλήρωμα της ενέργειας γράφεται 1 + Γ ) k B T γ = σταθ., όπου m η μέση μάζα ηρεμίας Γ 1 mc 2 των σωματίων της ροής. (β) Μια υδροδυναμική εκροή αποτελούμενη από πρωτόνια-ηλεκτρόνια έχει θερμοκρασία T i = 10 12 K κοντά στη βάση της. Ποιο το μέγιστο γ που μπορεί να αποκτήσει; Επαναλάβατε στην περίπτωση που η εκροή αποτελείται από ηλεκτρόνια-ποζιτρόνια. Δίνονται οι σταθερές (στο σύστημα cgs ): c = 3 10 10, k B = 1.38 10 16, m p = 1.67 10 24, m e = 9.11 10 28. Άσκηση 9.13: (α) Ποιες οι δυνάμεις που ασκούνται σε μια κρύα, ιδεατή μαγνητισμένη εκροή; Γράψτε την εξίσωση ορμής. (β) Ποιες από τις δυνάμεις μπορούν να επιταχύνουν μια κρύα ροή; Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση ορμής με V δείξτε ότι ο ρυθμός αύξησης του παράγοντα Lorentz είναι dγ dt = J E γρ 0 c. 2 Δίνεται η σχέση γ 2 V 2 = (γ 2 1)c 2 που προκύπτει από τον ορισμό του γ. (γ) Σε μια στάσιμη, κρύα ροή, σχολιάστε πώς προκύπτει (δεν χρειάζεται απόδειξη) και τι εκφράζει η ποσότητα L, η οποία δίνεται από την έκφραση L = γϖv φ ϖb φb p 4πγρ 0 V p. Άσκηση 9.14: Εστω ότι μελετούμε μια υδροδυναμική, σφαιρικά συμμετρική ροή, η οποία έχει ταχύτητα V = V (r)ˆr και παράγοντα Lorentz γ = (1 V 2 /c 2 ) 1/2, πυκνότητα στο σύστημα ηρεμίας της ρ 0 = ρ 0 (r) και πίεση P = P (r). Η ροή

140 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική ξεκινά από ακτίνα r i με σχετικιστική θερμοκρασία P (r i ) ρ 0 (r i )c 2 και έχει πολυτροπικό δείκτη Γ = 4/3. (α) Ολοκληρώστε την εξίσωση συνέχειας (γρ 0 V ) = 0 και απλοποιήστε το αποτέλεσμα αν V c. Τι εκφράζει η σταθερά της ολοκλήρωσης; Δίνεται η απόκλιση σε σφαιρικές συντεταγμένες A = 1 (r 2 A r ) + 1 (A θ sin θ) + 1 A φ r 2 r r sin θ θ r sin θ φ. (β) Η εξίσωση ορμής δίνει το ολοκλήρωμα ξγ = σταθερό, ενώ ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής δίνει P/ρ Γ 0 = σταθερό. Συνδυάζοντας τις προηγούμενες σχέσεις με το ολοκλήρωμα που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα δείξτε ότι όσο η θερμοκρασία παραμένει σχετικιστική (ξ = 1 + 4P/ρ 0 c 2 4P/ρ 0 c 2 ) ο παράγοντας Lorentz αυξάνει γραμμικά με την απόσταση r. Επίσης δείξτε ότι η θερμοκρασία μειώνεται σαν T r 1, η πυκνότητα σαν ρ 0 r 3 και η πίεση σαν P r 4. (γ) Μέχρι ποια απόσταση ο παράγοντας Lorentz αυξάνει; Ποια είναι η μέγιστη τιμή του σαν συνάρτηση των αρχικών ρ 0 (r i ), P (r i ), γ(r i ); Άσκηση 9.15: Εστω εκροή η οποία έχει θερμοκρασία T κοντά στην πηγή της (όπου γ 1), με 6 10 9 K T 10 13 K m e c 2 /k B T m p c 2 /k B. Η εκροή είναι οπτικά αδιαφανής και αποτελείται από πρωτόνια με αριθμητική πυκνότητα n p, ηλεκτρόνια, φωτόνια και ζεύγη ηλεκτρονίων ποζιτρονίων, σε θερμοδυναμική ισορροπία. Δείξτε ότι ο μέγιστος παράγοντας Lorentz που θα αποκτήσει η εκροή λόγω θερμικής επιτάχυνσης είναι γ = 180 ( T 10 10 K ) 4 ( n p 10 27 cm 3 ) 1. Θεωρήστε γνωστό ότι η πίεση των φωτονίων είναι P γ = 1 3 α BBT 4 και η ενεργειακή τους πυκνότητα είναι ρ γ c 2 = 3P γ. Επίσης, σε θερμοκρασίες T m e c 2 /k B και πυκνότητες πρωτονίων τέτοιες ώστε 0.04 T ( ) n 1/3 p 0.5 np n 10 10 K 10 27 cm 3 e ± (m p /m e )n p και ( ) T 10 10 K 0.27 n 1/4 p np m 10 27 cm 3 p c 2 11P γ, που σημαίνει ότι η πίεση και η ενεργειακή πυκνότητα κυριαρχούνται από τα φωτόνια και τα ζεύγη ηλεκτρονίων ποζιτρονίων ενώ η μάζα κυριαρχείται από τα πρωτόνια, η πίεση των ζευγών ηλεκτρονίων ποζιτρονίων είναι P e ± = (7/4)P γ, η αριθμητική τους πυκνότητα είναι n e ± = 0.833 P γ /k B T και η ενεργειακή τους πυκνότητα είναι ρ e ±c 2 = 3P e ±. Δίνεται η έκφραση της ενθαλπίας ανά μάζα (προς c 2 ): ξ = πυκνότητα ενέργειας + πίεση πυκνότητα διατηρούμενης μάζας c 2 = n pm p c 2 + ρ γ c 2 + ρ e±c 2 + P γ + P e± n p m p c 2,

9.4 Ασκήσεις 141 και οι σταθερές α BB = 7.564 10 15 (cgs), m p = 1.673 10 24 g, c = 3 10 10 cm s 1. Γραμμοσκιάστε στο διάγραμμα την περιοχή θερμοκρασιών πυκνοτήτων όπου ισχύουν οι υποθέσεις που προαναφέρθηκαν. Σχεδιάστε πάνω στο διάγραμμα την καμπύλη που αντιστοιχεί σε σταθερή τιμή του παράγοντα Lorentz, γ = 500. Ποια η ελάχιστη τιμή της T για αυτή την τιμή του γ; Άσκηση 9.16: (α) Εστω μαγνητισμένη εκροή από επιφάνεια S δίσκου προσαύξησης που περιστρέφεται κεπλεριανά με Ω = GM/ϖ 3 γύρω από κεντρικό σώμα μάζας M. Υποθέτοντας για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ότι E = (V φ /c) B, B φ = B, συμπληρώστε την ακόλουθη έκφραση της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας που εκλύεται ανά χρόνο: ( ) B ; ( ) ; ( ) ( ) M ϖ ; ; S L =; ergs s 1. 10 4 G 10 8 M 3r S 2πϖ 2 (Πρέπει να βρείτε αριθμητικές τιμές για όλα τα ερωτηματικά της σχέσης.) Δίνονται G = 6.67 10 8 cm 3 g 1 s 2, M = 2 10 33 g, c = 3 10 10 cm s 1 και r S = 2GM/c 2. (β) Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση εκτιμήστε το μαγνητικό πεδίο για εκροή από ενεργό κέντρο γαλαξία με L = 10 46 ergs s 1, M = 10 8 M. (γ) Επαναλάβατε για μια έκλαμψη ακτίνων γ με L = 10 50 ergs s 1, M = 1M. Άσκηση 9.17: Μια έκλαμψη ακτίνων γ δημιουργείται σε εκροή που ξεκινά από δίσκο προσαύξησης ακτίνας ϖ i = 10 7 cm. Στην περιοχή του δίσκου υπάρχει ηλεκτρομαγνητικό πεδίο E i B i 10 13 G και άρα εκρέει ροή Poynting P i. Ταυτόχρονα,

142 Σχετικιστική Μαγνητοϋδροδυναμική εκρέει πλάσμα πρωτονίων-ηλεκτρονίων με ταχύτητα V i = 0.8c, γ i = 5/3 και πυκνότητα ρ 0i = 50 g cm 3. (α) Να υπολογιστούν η ροή Poynting P i, η εκρεόμενη ενέργεια ανά χρόνο E i και ο ρυθμός εκροής μάζας Ṁ. (β) Μέσω μαγνητικής επιτάχυνσης όλη η ροή Poynting μετατρέπεται σε ροή κινητικής ενέργειας. Ποιος ο μέγιστος παράγοντας Lorentz γ max που αποκτά η εκροή; (γ) Εστω ότι το σχήμα της ροής είναι τέτοιο ώστε ο παράγοντας Lorentz κατά τη φάση της επιτάχυνσης να αυξάνεται γραμμικά με την κυλινδρική απόσταση, δηλ. γ = γ i (ϖ/ϖ i ). Σε ποια κυλινδρική απόσταση ϖ a θα γίνει γ = γ max ; (δ) Από τη διατήρηση της μάζας της εκροής δείξτε ότι γρ 0 ϖ 2 γ i ρ 0i ϖ 2 i, όπου ρ 0 = n 0 m p η πυκνότητα μάζας στο σύστημα ηρεμίας της ροής. Πώς μεταβάλλεται η πυκνότητα με την απόσταση (διακρίνετε δύο περιπτώσεις, για ϖ < ϖ a και ϖ > ϖ a ). (ε) Σε ποια κυλινδρική απόσταση η ροή θα γίνει οπτικά διαφανής (τ = n 0 σ T ϖ = 1); Δίνονται c = 3 10 10, σ T = 0.665 10 24, m p = 1.67 10 24, όλα στο σύστημα cgs. Άσκηση 9.18: Από έναν ενεργό γαλαξιακό πυρήνα ακτινοβολείται ενέργεια ανά χρόνο L = 10 46 erg s 1. (α) Αν η ενέργεια αυτή, πριν ακτινοβοληθεί, ήταν κινητική ενέργεια εκροής με παράγοντα Lorentz γ = 10, ποιος ο ρυθμός Ṁ της εκροής σε ηλιακές μάζες ανά έτος; (β) Εστω ότι αυτή η κινητική ενέργεια είναι αποτέλεσμα μαγνητικής επιτάχυνσης σε μια εκροή που προέρχεται από τα εσωτερικά μέρη δίσκου προσαύξησης ο οποίος περιστρέφεται κεπλεριανά γύρω από μελανή οπή μάζας M = 10 8 M (δηλ. η ταχύτητα της εκροής είναι αποτέλεσμα της μετατροπής ροής Poynting σε ροή κινητικής ενέργειας). Υποθέτοντας ότι ο δίσκος έχει τυπική ακτίνα ϖ 0 10GM/c 2, επιφάνεια 2πϖ0, 2 και ότι κοντά στον δίσκο B p B φ, εκτιμήστε την ένταση του μαγνητικού πεδίου κοντά στον δίσκο. (γ) Συμπληρώστε γενικότερα τη σχέση: ( ( B ) ) ( M ϖ 0 L =... ). 10 4 G 10 8 M 10 GM/c 2 Δίνονται c = 3 10 10 cm s 1, G = 6.67 10 8 cm 3 g 1 s 2, M = 2 10 33 g και η ροή Poynting c 4π E B.

9.5 Βιβλιογραφία 143 Άσκηση 9.19: Ενας αστέρας νετρονίων με μάζα M = 1.4M και ακτίνα R = 10 km περιστρέφεται με περίοδο P = 0.2 s. Μέσω μαγνητισμένου ανέμου χάνει στροφορμή και ενέργεια με αποτέλεσμα η περίοδός του να αυξάνεται με ρυθμό P = 10 15. (α) Πόση ενέργεια χάνει ανά χρόνο (υπολογίστε το IΩ Ω με I = 2 5 MR2 ); (β) Με δεδομένο ότι στην απόσταση του κυλίνδρου φωτός R LC = c/ω οι τιμές του πολοειδούς μαγνητικού πεδίου, του αζιμουθιακού μαγνητικού πεδίου και του ηλεκτρικού πεδίου είναι ίσες μεταξύ τους (E B φ B p = B LC ) και ότι η επιφάνεια στην απόσταση αυτή είναι 4πRLC, 2 δείξτε ότι η ισχύς Poynting είναι cblcr 2 LC. 2 (γ) Αν το πολοειδές μαγνητικό πεδίο είναι διπολικό, οπότε B LC = B (R/R LC ) 3 με B το πεδίο στην επιφάνεια του αστέρα, δείξτε ότι η ενέργεια που απάγει ο άνεμος ανά μονάδα χρόνου είναι B2 R 6 Ω 4. c 3 (δ) Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο του αστέρα. Δίνονται M = 2 10 33 g, c = 3 10 10 cm s 1. 9.5 Βιβλιογραφία Landau, L. D. & Lifshitz E. M. (1980). Statistical Physics. 3rd edition. Beskin, V. S. (2010). MHD Flows in Compact Astrophysical Objects. Springer. Meier, D. L. (2012). Black Hole Astrophysics: The Engine Paradigm. Springer. Vlahakis, N. (2010). Output from MHD models. Lecture Notes in Physics 793, 51. Vlahakis, N. (2015). Theory of Relativistic Jets. Astrophysics and Space Science Library, 414, 177.