Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Σχολή Τεχνολογικών Επιστηµών Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ασκήσεις Χρονικού Προγραµµατισµού Παραγωγής Λύσεις Πρόβληµα 1. ίνεται το κάτωθι πρόβληµα προγραµµατισµού n = 5 εργασιών σε 1 µηχανή : 5 p i 5 15 10 22 6 d i 20 60 30 25 35 α) Να βρεθεί το πρόγραµµα που ελαχιστοποιεί το µέσο χρόνο διέλευσης. β) Να βρεθεί το πρόγραµµα που ελαχιστοποιεί τη µέγιστη καθυστέρηση. α) Η κατάταξη των εργασιών κατά αύξοντα χρόνο κατεργασίας ελαχιστοποιεί το µέσο χρόνο διέλευσης. Έτσι η βέλτιστη αλληλουχία είναι: (1, 5, 3, 2, 4). β) Η κατάταξη των εργασιών κατά αύξουσα ηµεροµηνία οφειλής ελαχιστοποιεί τη µέγιστη καθυστέρηση. Έτσι η βέλτιστη αλληλουχία είναι: (1, 4, 3, 5, 2). Πρόβληµα 2. ίνεται το κάτωθι πρόβληµα προγραµµατισµού n = 4 εργασιών σε 1 µηχανή : p i 5 20 6 22 d i 10 30 20 15 Να βρεθεί το πρόγραµµα µου ελαχιστοποιεί την µέση καθυστέρηση µε τη µέθοδο των διακλαδώσεων και ορίων. Για να εφαρµοστεί η µέθοδος των διακλαδώσεων και ορίων πρέπει να βρεθεί το κατώτατο όριο της αντικειµενικής συνάρτησης που αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε µερική αλληλουχία, v s = T i i S. Αυτό το κατώτατο όριο µπορεί να υπολογισθεί µε επαναληπτικό τρόπο ξεκινώντας από την κενή αλληλουχία (s = ) και χρησιµοποιόντας την επαναληπτική έκφραση : v (i,s) =max 0, p j -d i +v s j S Για παράδειγµα : v Τ = 0 v (4) = max{0, (5+20+6+22) - 15) + 0 = 38 v (2, 4) = max{0, (5+20+6) - 30) + 38 = 39 v (3, 2, 4) = max{0, (5+6) - 20) + 39 = 39 v (1, 3, 2, 4) = max{0, 5-10) + 39 = 39 1 2
( ) 1 2 4 (1) (2) (3) (4) 43 23 33 38 3 (12) (32) (42) (13) (23) (43) (14) (24) (34) 46 36 41 70 50 65 59 39 49 (132) (432) (124) (324) 53 48 40 39 Επίδειξη της µεθόδου διακλαδώσεων και ορίων (1324) Η µέθοδος των διακλαδώσεων και ορίων οδηγεί στην βέλτιστη αλληλουχία που είναι η : (1, 3, 2, 4). Η συνολική καθυστέρηση που αντιστοιχεί είναι T t = 39. Η µέση καθυστέρηση που αντιστοιχεί είναι T m = 39/4 = 9,75. 5 6 39 Πρόβληµα 3. ίνεται το κάτωθι πρόβληµα προγραµµατισµού n = 5 εργασιών σε ένα µηχανουργείο ροής µε δύο µηχανές : 5 p i1 5 9 2 18 16 p i2 6 3 24 22 7 Να βρεθεί το πρόγραµµα που ελαχιστοποιεί το µέγιστο χρόνο ολοκλήρωσης. Λύση: Το πρόγραµµα που ελαχιστοποιεί το µέγιστο χρόνο ολοκλήρωσης σε ένα µηχανουργείο ροής µε δύο µηχανές µπορεί να βρεθεί χρησιµοποιόντας τον αλγόριθµο του Johnson's. Η βέλτιστη αλληλουχία βρίσκεται βήµα πρός βήµα ως εξής: 1) ο ελάχιστος χρόνος κατεργασίας : 2 (κατεργασία 1 της εργασίας 3). η µερική βέλτιστη αλληλουχία είναι: (3,?,?,?,?). 2) ο ελάχιστος χρόνος κατεργασίας µεταξύ των υπολοίπων εργασιών: 3 (κατεργασία 2 της εργασίας 2). η µερική βέλτιστη αλληλουχία είναι: (3,?,?,?, 2). 3) ο ελάχιστος χρόνος κατεργασίας µεταξύ των υπολοίπων εργασιών: 5 (κατεργασία 1 της εργασίας 1). η µερική βέλτιστη αλληλουχία είναι: (3, 1,?,?, 2). 4) ο ελάχιστος χρόνος κατεργασίας µεταξύ των υπολοίπων εργασιών: 7 (κατεργασία 2 της εργασίας 5). η µερική βέλτιστη αλληλουχία είναι: (3, 1,?, 5, 2). 5) Η µοναδική εργασία που υπολείπεται είναι η εργασία 4. η βέλτιστη αλληλουχία είναι: (3, 1, 4, 5, 2). 3 4
Πρόβληµα 4. ίνεται το κάτωθι πρόβληµα προγραµµατισµού n = 4 εργασιών σε ένα µηχανουργείο ροής µε 4 µηχανές : p i1 5 2 8 4 p i2 14 20 4 2 p i3 2 1 3 16 p i4 3 12 1 8 Να βρεθεί η καλύτερη εµπειρική αλληλουχία χρησιµοποιόντας τον αλγόριθµο του Campbell. Στάδιο 2: p iu 19 22 12 6 p id 5 13 4 24 Βέλτιστη αλληλουχία: 4-2-1-3 Ο µέγιστος χρόνος ολοκλήρωσης που αντιστοιχεί: 48 Στάδιο 3: Στάδιο1: p iu 5 2 8 4 p id 3 12 1 8 Βέλτιστη αλληλουχία: 2-4-1-3 Ο µέγιστος χρόνος ολοκλήρωσης που αντιστοιχεί: 52 p iu 21 23 15 22 p id 19 33 8 25 Βέλτιστη αλληλουχία: 4-2-1-3 Ο µέγιστος χρόνος ολοκλήρωσης που αντιστοιχεί: 48 Έτσι, η βέλτιστη εµπειρική αλληλουχία είναι η 4-2-1-3 µε αντίστοιχο µέγιστο χρόνο ολοκλήρωσης, 48. 5 6
EÚÁ Û Εργασία 1 1 EÚÁ Û Εργασία 2 2 EÚÁ Û Εργασία 3 3 EÚÁ Û Εργασία 4 4 Πρόβληµα 5. Να κατανεµηθούν 3 εργασίες σε τρείς µηχανές έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί ο συνολικός χρόνος κατεργασίας των εργασιών. Οι χρόνοι κατεργασίας των εργασίων στις 3 µηχανές έχουν ως εξής. 1 800 1100 1200 2 500 1600 1300 Γ 500 1000 2300 M1 Μηχανές MË Ó Λύση: Bήµα 1ο: O µικρότερος αριθµός σε κάθε γραµµή αφαιρείται από κάθε αριθµό σε αυτή τη γραµµή. O µικρότερος αριθµός σε κάθε στήλη αφαιρείται από κάθε αριθµό σε αυτή τη στήλη. M2 M3 M4 5 10 15 20 25 30 1 0 0 0 2 0 800 400 Γ 0 200 1400 Bήµα 2ο: Bρίσκεται ο µικρότερος αριθµός καθέτων και οριζοντίων ευθειών που χρειάζεται για να καλυφθούν όλα τα µηδενικά 1 0 0 0 2 0 800 400 Γ 0 200 1400 Eφόσον αρκούν 2 ευθείες η λύση δεν είναι βέλτιστη. 7 8
Bήµα 3ο: O µικρότερος ακάλυπτος αριθµός (200 σε αυτόν τον πίνακα) αφαιρείται από κάθε άλλο ακάλυπτο αριθµό και προστίθεται στους αριθµούς που βρίσκονται στην τοµή δύο ευθειών. 1 200 0 0 2 0 600 200 Γ 0 0 1200 Eπανάληψη βήµατος 2: Kάλυψη των µηδενικών µε ευθείες. 1 200 0 0 2 0 600 200 Γ 0 0 1200 Eφόσον 3 ευθείες, µπορεί να γίνει µία βέλτιστη κατανοµή. H βέλτιστη κατανοµή είναι: Eργασία 2 στη µηχανή A Eργασία 1 στη µηχανή Γ Eργασία 3 στη µηχανή B O συνολικός χρόνος κατεργασίας που αντιστοιχεί είναι : 500 + 1000 + 1200 = 2700 9