Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

2 To Πρόβλημα Μεταφοράς και οι Παραλλαγές του Το Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης Επίλυση με χρήση Solver Εφαρμογές-Ασκήσεις Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης Μετατροπή σε Πρόβλημα Μεταφοράς- Μαθηματικό Μοντέλο Το Πρόβλημα Αναθέσεων Διατύπωση- Υποθέσεις Επίλυση: «Η Ουγγρική Μέθοδος» 2

3 Εφαρμογές Προβλήματος Μεταφοράς Έλεγχος Αποθεμάτων Παραγωγής (1/5) Η Boralis κατασκευάζει σακίδια ώμου για πεζοπόρους-ορειβάτες. Η ζήτηση για τα προϊόντα της εταιρίας κατά την περίοδο αιχμής (Μάρτιο-Ιούνιο) είναι 100, 200, 180 και 300 μονάδες αντίστοιχα. Η εταιρεία χρησιμοποιεί εργαζόμενους εποχιακής απασχόλησης για να ανταπεξέλθει στις διακυμάνσεις της ζήτησης. Υπολογίζεται ότι η εταιρεία μπορεί να παράγει 50, 80, 280 και 270 μονάδες κατά τον μήνα Μάρτιο έως και Ιούνιο. Η απαίτηση ενός τρέχοντος μήνα μπορεί να ικανοποιηθεί με κάποιον από τους τρεις επόμενους τρόπους: 1. Από την παραγωγή του τρέχοντος μήνα με κόστος 40 $ το σακίδιο 2. Από την πλεονάζουσα παραγωγή κάποιου προηγούμενου μήνα με πρόσθετο κόστος διατήρησης 0,5 $ ανά σακίδιο, ανά μήνα 3. Από την πλεονάζουσα παραγωγή κάποιου επόμενου μήνα (καθυστερημένη παράδοση παραγγελίας) με ένα πρόσθετο κόστος πληρωμής 2 $ ανά σακίδιο, ανά μήνα Η Boralis επιθυμεί να προσδιορίσει το βέλτιστο πρόγραμμα για τους τέσσερεις μήνες 3

4 Εφαρμογές ΠΜ- Έλεγχος Αποθεμάτων Παραγωγής (2/5) Ο πίνακας που ακολουθεί συνοψίζει τις αντιστοιχίες τους παραλληλισμούς ανάμεσα στα στοιχεία του μοντέλου αποθεμάτων παραγωγής και του μοντέλου μεταφοράς: Μεταφορά Παραγωγή-Αποθέματα 1. Πηγή i 1. Περίοδος παραγωγής i 2. Προορισμός j 2. Περίοδος ζήτησης j 3. Προσφορά της πηγής i 3. Παραγωγή την περίοδο i 4. Ζήτηση του προορισμού j 4. Ζήτηση για την περίοδο j 5. Μοναδιαίο Κόστος 5. Μοναδιαίο κόστος (παραγωγή +διατήρηση + μεταφοράς από την πρόσθετο κόστος πηγή i στον πληρωμής) της περιόδου i προορισμό j για την περίοδο j 4

5 Εφαρμογές ΠΜ-Έλεγχος Αποθεμάτων Παραγωγής (3/5) Επομένως το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς από την περίοδο παραγωγής i στην περίοδο ζήτησης j υπολογίζεται ως εξής: Κόστος παραγωγής στην i, i = j Cij Κόστος παραγωγής στην i + Κόστος διατήρησης από i στην j, i < j Κόστος παραγωγής στην i + Κόστος ποινής από i στην j, i > j 5

6 Δυνατότητα Παραγωγής Περίοδος Παραγωγής July 50 Μάρτιος R/T 40 40, ,5 Αναπαράσταση Δικτύου Περίοδος Ζήτησης Μάρτιος Απρίλιος Απρίλιος Μάϊος 40, , Μάϊος 180 Ζήτηση 270 Ιούνιος 40 Ιούνιος 300

7 Εφαρμογές ΠΜ-Έλεγχος Αποθεμάτων Παραγωγής (4/5) Ο πίνακας για το παραπάνω πρόβλημα μεταφοράς που προκύπτει δίνεται: ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΖΗΤΗΣΗΣ Προσφορά , , , , Ζήτηση

8 Εφαρμογές ΠΜ-Έλεγχος Αποθεμάτων Παραγωγής (5/5) Η βέλτιστη λύση είναι: ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Προσφορά , , , , Ζήτηση

9 Δυνατότητα Παραγωγής Βέλτιστη Λύση του Προβλήματος Ελέγχου Αποθεμάτων Περίοδος Παραγωγής 50 Μάρτιος 50 Περίοδος Ζήτησης Μάρτιος Απρίλιος 130 Απρίλιος Μάιος Μάιος 180 Ζήτηση Ιούνιος 270 Ιούνιος 300

10 Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης (Transshipment problem) Είναι πρόβλημα μεταφοράς στο οποίο η μεταφορά γίνεται μέσω ενδιάμεσων σημείων (κόμβων μεταφόρτωσης) Μπορεί να μετατραπεί σε μεγαλύτερο πρόβλημα μεταφοράς και να επιλυθεί με τον αλγόριθμο μεταφοράς. Επιλύεται επίσης και με γενικού σκοπού κώδικες γραμμικού προγραμματισμού. 10

11 Πρόβλημα Μεταφόρτωσης- Ορισμοί Πηγή: ένα σημείο (π.χ. πόλη) το οποίο μπορεί μόνο να αποστείλει φορτία αλλά δεν μπορεί να δεχτεί φορτία Προορισμός: ένα σημείο το οποίο δέχεται φορτία αλλά δεν μπορεί να αποστείλει φορτία Σημείο Μεταφόρτωσης: κάθε σημείο το οποίο μπορεί να παραλάβει φορτία και να αποστείλει φορτία 11

12 Παράδειγμα Προβλήματος Μεταφόρτωσης Ελληνική εταιρία παραγωγής κομπόστας Δύο μονάδες παραγωγής: στη Βέροια και στη Σόφια με 180 και 200 τόνους παραγωγής ετησίως. Πελάτες: στη Φρανκφούρτη, το Παρίσι και το Μιλάνο με ζήτηση: 140, 140 και 80 τόνους αντίστοιχα. Η εταιρία πιστεύει ότι η μεταφορά μέσω Άμστερνταμ ή και Βιέννης μπορεί να μειώσει το κόστος. Οι δυνατές επιλογές μεταφοράς και το αντίστοιχο κόστος δίνεται στον επόμενο πίνακα. Η εταιρία θέλει να ελαχιστοποιήσει το κόστος μεταφοράς 12

13 Δεδομένα- Κόστος Μεταφόρτωσης Πηγές Σημεία μεταφόρτωσης Προρισμοί Βέροια Σόφια Άμστερνταμ Βιέννη Φρανκφούρτη Παρίσι Μιλάνο Βέροια Σόφια Άμστερνταμ Βιέννη Φρανκφούρτη Παρίσι Μιλάνο Με παύλα σημειώνονται οι διαδρομές που δεν έχουν νόημα 13

14 Αναπαράσταση δικτύου 5. Φρανκφούρτη Βέροια 3. Άμστερνταμ 6. Παρίσι Σόφια 4. Βιέννη 7. Μιλάνο 80 ΠΗΓΕΣ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΤΩΣΗΣ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΙ

15 Μαθηματική Διατύπωση Min z=9x X X X X X X X X X X X X X 37 +7X X X X 47 X 13 +X 14 +X 15 +X 16 +X 17 =180 X 23 +X 24 +X 25 +Χ 26 +X 27 =200 Περιορισμοί Προσφοράς X 13 +X 23 +X 43 =X 34 +X 35 +X 36 +X 37 X 14 +X 24 +X 34 =X 43 +X 45 +X 46 +X 47 X 15 +X 25 +X 35 +X 45 =140 X 16 +X 26 +X 36 +X 46 =140 X 17 +X 27 +X 37 +X 47 =80 Περιορισμοί σημείων μεταφόρτωσης Περιορισμοί Ζήτησης 15

16 Μετατροπή Προβλήματος Μεταφόρτωσης σε Πρόβλημα Μεταφοράς Βήμα 1: Εάν είναι απαραίτητο, προσθέστε ένα εικονικό σημείο ζήτησης ή ένα εικονικό σημείο προσφοράς για τα προκύψει ισορροπημένο πρόβλημα μεταφοράς Βήμα 2: Κατασκευάστε έναν πίνακα μεταφοράς ως εξής: Για κάθε πηγή και για κάθε σημείο μεταφόρτωσης δημιουργήστε μια γραμμή στον πίνακα Για κάθε σημείο ζήτησης και για κάθε σημείο μεταφόρτωσης δημιουργήστε μια στήλη Κάθε πηγή θα έχει προσφορά ίση με την αρχική προσφορά της, και κάθε σημείο ζήτησης θα έχει ζήτηση ίση με την αρχική ζήτηση του. Κάθε σημείο μεταφόρτωσης θα έχει προσφορά = αρχική προσφορά του + συνολική διαθέσιμη προσφορά, και ζήτηση = αρχική ζήτησή του + συνολική διαθέσιμη προσφορά Στη συνέχεια, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί ως πρόβλημα μεταφοράς 16

17 ΠΗΓΕΣ Μετατροπή Προβλήματος Μεταφόρτωσης σε Πρόβλημα Μεταφοράς Βέροια Σόφια ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΙ Άμστερνταμ Βιέννη Φρανκφούρτη Παρίσι Μιλάνο Τεχνητός Προσφορά Άμστερνταμ Βιέννη Ζήτηση

18 Πρόβλημα Αναθέσεων Πρόβλημα της ανάθεσης ή αντιστοίχησης ή εκχώρησης Ειδικής μορφής πρόβλημα ΓΠ-Απλούστευση του Προβλήματος Μεταφοράς: Η προσφορά κάθε πηγής και η ζήτηση κάθε προορισμού ισούνται με 1 Εφαρμογές Κατανομή εργατών σε μηχανές. Κατανομή πελατών σε περιοχές. Κατανομή πληρωμάτων σε δρομολόγια. Κατανομή παραγγελιών σε εργοστάσια κ.τ.λ. 18

19 Πρόβλημα Αναθέσεων Προκύπτει όταν m εργασίες (δραστηριότητες, έργα, γεωγραφικές περιοχές, διαδικασίες) μπορούν να εκτελεστούν από, ή να αντιστοιχηθούν σε m εργάτες (άτομα, μηχανήματα κ.ά.) C ij είναι το μοναδιαίο κόστος (ή κέρδος) εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας i από κάθε άτομο j Το αντικείμενο των προβλημάτων ανάθεσης είναι η αντιστοίχηση πόρων σε δραστηριότητες, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος ή να μεγιστοποιείται το αποτέλεσμα Ο μόνος περιορισμός του προβλήματος είναι ότι ο κάθε πόρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο σε μία δραστηριότητα και η κάθε δραστηριότητα θα χρησιμοποιήσει μόνο ένα πόρο 19

20 Υποθέσεις Προβλήματος Αναθέσεων Ο αριθμός των εργασιών πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των εργατών Για ισορροπημένο πρόβλημα, κάθε εργασία αντιστοιχείται σε ακριβώς ένα άτομο και κάθε άτομο εκτελεί ακριβώς μία εργασία Για μη-ισορροπημένο πρόβλημα, εισάγουμε «εικονικό» εργάτη (όταν οι εργασίες είναι περισσότερες από τους εργάτες) ή «εικονικές» εργασίες (όταν οι εργάτες είναι περισσότεροι από τις εργασίες) 20

21 Παράδειγμα Προβλήματος Αναθέσεων Η εταιρία «Μηχανουργική» έχει αναλάβει την εκτέλεση 4 εργασιών. Η εταιρία διαθέτει 4 μηχανές οι οποίες μπορούν να εκτελούν μία μόνο εργασία κάθε φορά. Ο χρόνος εκτέλεσης των 4 εργασιών από τις μηχανές δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Η εταιρία θέλει να προσδιορίσει την βέλτιστη κατανομή των εργασιών στις 4 μηχανές ώστε να ελαχιστοποιείται ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης 21

22 Δεδομένα Προβλήματος «Μηχανουργική» Πίνακας Κόστους ΜΗΧΑΝΟΥΡΓΙΚΗ: Χρόνοι (σε ώρες) εκτέλεσης εργασιών 22

23 Μαθηματική Διατύπωση-Πρόβλημα «ΜΗΧΑΝΟΥΡΙΚΗ» Μεταβλητές Χ ij =1 αν η μηχανή i εκτελέσει την εργασία j =0 αν η μηχανή i δεν εκτελέσει την εργασία j Min Z = 14 X X X X X X X Χ X X X X X X X X 44 S.t. X 11 +X 12 +X 13 +X 14 =1 X 21 +X 22 +X 23 +X 24 =1 X 31 +X 32 +X 33 +X 34 =1 X 41 +X 42 +X 43 +X 44 =1 X 11 + X 21 + X 31 + X 41 + =1 X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + =1 X 13 + X 23 + X 33 + X 43 + =1 X 14 + X 24 + X 34 + X 44 + =1 X 11, X 12, X 13, X 14, X 21, X 22,X 23, Χ 24, X 31, X 32, X 33, X 34, X 41, X 42, X 43, X

24 Επίλυση Προβλήματος Αναθέσεων Πρόβλημα Μεταφοράς όπου o Η προσφορά κάθε πηγής και η ζήτηση κάθε προορισμού ισούνται με 1 Κάθε προσφορά και ζήτηση είναι ακέραιο αριθμοί και επομένως όλες οι μεταβλητές στην βέλτιστη λύση θα είναι ακέραιοι αριθμοί 0 και 1. Επιλύεται με τον αλγόριθμο μεταφοράς Πολύ μεγάλο πλήθος εφικτών λύσεων (m!) Ειδικός αλγόριθμος: «Ουγγρική Μέθοδος» 24

25 Επίλυση Προβλημάτων Αναθέσεων: «Η Ουγγρική Μέθοδος» (1/4) Η "Ουγγρική Μέθοδος" είναι μια επαναληπτική μέθοδος που περιλαμβάνει τα εξής βήματα: Βήμα 1: Δημιουργούμε τον πίνακα μειωμένου κόστους: Βρείτε το ελάχιστο κόστος κάθε γραμμής του mxm πίνακα κόστους. Κατασκευάστε ένα νέο πίνακα αφαιρώντας το ελάχιστο κόστος από κάθε στοιχείο κάθε γραμμής. (Στην περίπτωση προβλημάτων μεγιστοποίησης, βρείτε το μέγιστο κέρδος κάθε γραμμής και κατασκευάστε ένα νέο πίνακα αφαιρώντας τα στοιχεία κάθε γραμμής από αυτό) Για αυτόν τον νέο πίνακα, βρείτε το ελάχιστο στοιχείο κάθε στήλης. Κατασκευάστε ένα νέο πίνακα (πίνακα μειωμένου κόστους) αφαιρώντας το ελάχιστο αυτό στοιχείο από κάθε στήλη 25

26 «Η Ουγγρική Μέθοδος» (2/4) Βήμα 2: Ελέγχουμε αν ο πίνακας που προέκυψε από το βήμα 1, δίνει τη βέλτιστη ανάθεση: Καλύπτουμε όλα τα μηδενικά στοιχεία του πίνακα χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο αριθμό οριζόντιων και κατακόρυφων γραμμών. Αν ο αριθμός των γραμμών που απαιτούνται είναι m δηλ. ίσος με τον αριθμό των γραμμών ή στηλών του πίνακα, τότε μπορούμε να προχωρήσουμε στην αντιστοίχηση που θα δώσει το μικρότερο κόστος, στο βήμα 4. Αλλιώς, συνεχίζουμε με το επόμενο βήμα 26

27 «Η Ουγγρική Μέθοδος» (3/4) Βήμα 3: Αναπροσαρμογή των τιμών του πίνακα μειωμένου κόστους ως εξής: Αφαιρούμε το μικρότερο στοιχείο του πίνακα που δεν καλύπτεται με γραμμές από όλα τα υπόλοιπα στοιχεία που επίσης δεν καλύπτονται, ενώ το προσθέτουμε σε όλα τα στοιχεία του πίνακα που βρίσκονται στα σημεία τομής των γραμμών που σχεδιάστηκαν στο βήμα 2 Αφήνουμε τα υπόλοιπα στοιχεία μεταβλητά. Επιστρέφουμε στο βήμα 2 27

28 «Η Ουγγρική Μέθοδος» (4/4) Βήμα 4: Εκτελούμε την αντιστοίχηση δραστηριοτήτων και πόρων. Ξεκινούμε από μια σειρά ή μια στήλη η οποία έχει μόνο ένα 0 Αναθέτουμε τον πόρο που αντιστοιχεί στη γραμμή, στη δραστηριότητα που αντιστοιχεί στη στήλη Διαγράφουμε τον πόρο και τη δραστηριότητα και προχωρούμε με το υπόλοιπο τμήμα του πίνακα με τον ίδιο τρόπο Αν δεν υπάρχει σειρά ή στήλη με ένα μόνο 0, διαλέγουμε τη σειρά ή στήλη με δύο 0 και επιλέγουμε ένα από αυτά Είναι ευνόητο ότι σε αυτή την περίπτωση μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις 28

29 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» με την Ουγγρική Μέθοδο Πίνακας κόστους

30 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Πίνακας κόστους μετά την αφαίρεση του ελάχιστου στοιχείου σε κάθε γραμμή

31 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Πίνακας κόστους μετά την αφαίρεση του ελάχιστου στοιχείου σε κάθε στήλης

32 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Ο αριθμός των γραμμών για την επικάλυψη των 0 είναι: 3 < Το μικρότερο από τα μη επικαλυμμένα στοιχεία είναι 1 και αφαιρείται από όλα τα μη επικαλυμμένα στοιχεία και προστίθεται στα σημεία τομής των ευθειών 32

33 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Ο αριθμός των γραμμών για την επικάλυψη των 0 είναι 4: Βέλτιστη Λύση

34 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Ανάθεση Εργασιών Για να βρείτε μια βέλτιστη ανάθεση, παρατηρούμε ότι το μόνο 0 στη σειρά 3 είναι X33, οπότε πρέπει να έχουμε X33 = 1. 34

35 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Ανάθεση Εργασιών Το μόνο 0, στη γραμμή 4 είναι Χ41, οπότε πρέπει να έχουμε X41 = 1. 35

36 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Ανάθεση Εργασιών Τώρα το μόνο διαθέσιμο καλύπτονται μηδέν στη στήλη 2 είναι x12. Έτσι, επιλέγουμε x12 = 1 36

37 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Ανάθεση Εργασιών Τώρα το μόνο διαθέσιμο καλύπτονται μηδέν στη στήλη 2 είναι x12. Έτσι, επιλέγουμε x12 = 1. Τέλος, επιλέγουμε X24 = 1. 37

38 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Ανάθεση Εργασιών Τώρα το μόνο διαθέσιμο καλύπτονται μηδέν στη στήλη 2 είναι x12. Έτσι, επιλέγουμε x12 = 1. Τέλος, επιλέγουμε X24 = 1. 38

39 Επίλυση Προβλήματος «Μηχανουργική» (συνέχεια) Βέλτιστη ανάθεση Εργασιών ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΣΤΟΣ Μ1 Ε2 12 Μ2 Ε4 5 Μ3 Ε3 3 Μ4 Ε1 2 Ελάχιστο Κόστος: Ζ= =22 39

40 Πρόβλημα Αναθέσεων- Η περίπτωση Προβλήματος Μεγιστοποίησης Μια επιχείρηση παραγωγής απορρυπαντικών θέλει να διαφημίσει το νέο της προϊόν στην τηλεόραση. Η εταιρεία θέλει να βάλει μία διαφήμιση σε καθένα από τα εθνικά κανάλια (MEGA, ANT1, SKY) και μία διαφήμιση στο τοπικό κανάλι TRT. Οι διαφημίσεις θα παιχτούν τις ώρες 10 π.μ. έως 2 μ.μ., μία διαφήμιση κάθε ώρα. Η τηλεθέαση την περίοδο αυτή δίνεται στην επόμενη διαφάνεια. Προσδιορίστε τη βέλτιστη κατανομή των διαφημίσεων στα τέσσερα κανάλια ώστε να μεγιστοποιηθεί η τηλεθέαση. 40

41 Πρόβλημα Αναθέσεων- Η περίπτωση Προβλήματος Μεγιστοποίησης Κανάλι Ώρα MEGA ANT1 SKY TRT

42 Επίλυση Προβλήματος Μεγιστοποίησης Βρίσκουμε το μεγαλύτερο στοιχείο κάθε γραμμής Κανάλι Ώρα MEGA ANT1 SKY TRT Μέγιστο γραμμών 42

43 Επίλυση Προβλήματος Μεγιστοποίησης (συνέχεια) Πίνακας κόστους μετά την αφαίρεση των στοιχείων κάθε γραμμής από το μέγιστο κάθε γραμμής Κανάλι Ώρα MEGA ANT1 SKY TRT Ελάχιστο στηλών

44 Επίλυση Προβλήματος Μεγιστοποίησης (συνέχεια) Πίνακας κόστους μετά την αφαίρεση του ελάχιστου στοιχείου σε κάθε στήλης Κανάλι Ώρα MEGA ANT1 SKY TRT Το μικρότερο από τα μη επικαλυμμένα στοιχεία είναι 0.7 και αφαιρείται από όλα τα μη επικαλυμμένα στοιχεία και προστίθεται στα σημεία τομής των ευθειών 44

45 Επίλυση Προβλήματος Μεγιστοποίησης (συνέχεια) Ελάχιστος αριθμός γραμμών κάλυψης των 0 είναι 3 <4 Κανάλι Ώρα MEGA ANT1 SKY TRT Το μικρότερο από τα μη επικαλυμμένα στοιχεία είναι 0.3 και αφαιρείται από όλα τα μη επικαλυμμένα στοιχεία και προστίθεται στα σημεία τομής των ευθειών 45

46 Επίλυση Προβλήματος Μεγιστοποίησης (συνέχεια) Ελάχιστος αριθμός γραμμών κάλυψης των 0 είναι 4: Βέλτιστη Λύση Κανάλι Ώρα MEGA ANT1 SKY TRT

47 Επίλυση Προβλήματος Μεγιστοποίησης (συνέχεια) Ανάθεση Εργασιών Κανάλι Ώρα MEGA ANT1 SKY TRT

48 Επίλυση Προβλήματος Μεγιστοποίησης (συνέχεια) Βέλτιστη Κατανομή διαφημίσεων Ώρα Κανάλι Τηλεθέαση MEGA SKY ANT TRT

49 49