ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. iz+α. (z 1)(z + 1) f ( ) = f (z). (1993-2ο- 1) (1994-2ο) (1999-2ο) ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

Transcript

1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ.. Αν +α w =, α R και α να αποδειχθεί ότι: +α α) Ο w είναι φανταστικός αριθµός, αν και µόνο αν, ο είναι φανταστικός αριθµός. β) Ισχύει: w =, αν και µόνο αν, ο είναι πραγµατικός αριθµός. (99-ο).. ίνεται η συνάρτηση: α) Να αποδείξετε ότι: ( )( + ) f () =, Cκαι Re(). + f ( ) = f (). β) Να βρείτε το είδος της καµπύλης, στο οποίο ανήκουν τα σηµεία M(x, y), για τα οποία οι µιγαδικοί =α x+β yµε α, β, x R και αβx, ικανοποιούν τη σχέση: Re[f ()] =. (99-ο- ).. Θεωρούµε τους µιγαδικούς, w, w τέτοιους ώστε w= και w= +α, α R *, α R *. α Να δείξετε ότι, αν το α µεταβάλλεται στο R * και ισχύει w= w, τότε η εικόνα P του στο µιγαδικό επίπεδο κινείται σε υπερβολή. (994-ο).4. Έστω ο µιγαδικός = x+ y, x, y R. Να αποδείξετε ότι στο µιγαδικό επίπεδο, ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M(x, y), που είναι τέτοια ώστε: βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού. + = 6, είναι κύκλος. Να (999-ο).5. Να βρεθούν τα σηµεία του επιπέδου που είναι εικόνες των µιγαδικών, για τους οποίους ισχύει: =. (-ο-τεχν.)

2 Û Ù f Ô +.6. ίνεται ο µιγαδικός και έστω f () =,. α) Να βρείτε το µέτρο και ένα όρισµα του µιγαδικού f (). β) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός w [f ()] 4 είναι πραγµατικός. f () γ) Να αποδείξετε ότι: =. f () + δ) Αν = και Μ είναι η εικόνα του f () στο µιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (-ο-ο.ε.φ.ε.).7. Έστω ένας µιγαδικός αριθµός και v * f (v) =, v N. Να δείξετε ότι f() + f(8) + f() + f(8) =. (-o).8. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = και = + 4. α) Αν = x+ y, x, y R, να αποδείξετε ότι: x = - και y =. β) Αν µια ρίζα της εξίσωσης των β και γ. x +β x +γ= όπου β, γ R είναι η, να βρείτε της τιµές γ) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών, για τους οποίους ισχύει: =. (-o-οµογ.).9. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί =α+β, όπου α, β R και w= + 4, όπου είναι ο συζυγής του. α) Να αποδείξετε ότι: Re(w) = α β+ 4, Im(w) = β α. β) Να αποδείξετε ότι αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x- τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x-. γ) Να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x-, έχει το ελάχιστο µέτρο. (-o).. α) Να περιγράψετε γεωµετρικά, το σύνολο (Σ) των εικόνων των µιγαδικών αριθµών, που ικανοποιούν τις σχέσεις: = και Im(). β) Να αποδείξετε ότι αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού, κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η 4 εικόνα του µιγαδικού αριθµού w = ( + ), κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα, το οποίο βρίσκεται στον άξονα x x. (-o-επαν.) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

3 .. ίνεται η συνάρτηση f, µε + f () =, όπου µιγαδικός αριθµός, µε. α) Αν f () = f (), να αποδείξετε ότι ο είναι πραγµατικός αριθµός. β) Αν f () =, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του, στο µιγαδικό επίπεδο. γ) Αν Re(f ()) =, να αποδείξετε ότι οι εικόνες του µιγαδικού αριθµού βρίσκονται σε κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. (-ο-οµογ.).. ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [ α,β] µε < α< β και οι µιγαδικοί αριθµοί = α+ β και w = f (α) + f (β) µε f (β). Α. Να αποδείξετε ότι: + β α. Ο αριθµός = είναι πραγµατικός αν και µόνο αν f (α) = α. + f (β) w β. Αν = w τότε οι εικόνες των, w στο µιγαδικό επίπεδο και η αρχή Ο των αξόνων, είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. Β. Έστω ότι ισχύει w = + w. Να αποδείξετε ότι: α. α f (β) β f (α) = β. Οι εικόνες των, w και η αρχή Ο είναι συνευθειακά σηµεία. γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον x (α,β) τέτοιο ώστε, η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο M(x,f (x )) να διέρχεται από το σηµείο O (,). (-ο-ο.ε.φ.ε.).. Έστω µιγαδικός αριθµός µε ± και w= +. α) Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγµατικός, τότε ο είναι πραγµατικός ή =. β) Να λύσετε στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών την εξίσωση: =. + γ) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (β), να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( ) K=. (4-ο-Οµογ.) 4 + ( + ).4. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = + και =. α) Να αποδείξετε ότι: = και + =. β) Να αποδείξετε ότι: =. k γ) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό w =,k R {}. Να αποδείξετε ότι για κάθε k k R {}, ισχύει: Im(w) =. (5-ο-Οµογ.)

4 Û Ù f Ô.5. ίνονται οι µιγαδικοί,, µε = = =. 9 α) είξτε ότι =. β) είξτε ότι ο αριθµός +, είναι πραγµατικός. γ) είξτε ότι + + = + +. (5-ο).6. Α. Αν, είναι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει: + = 4+ 4 και = 5+ 5, να βρείτε τους,. Β. Αν για τους µιγαδικούς, w ισχύουν: και w, τότε: α) Να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί µιγαδικοί αριθµοί, w έτσι ώστε =w και β) να βρείτε τη µέγιστη τιµή του w. (5- ο -Επαν.) x+.7. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός =, x R. α) Να βρείτε το x, ώστε ο αριθµός να είναι φανταστικός. β) Αν x = - 6, να αποδείξετε ότι ο είναι πραγµατικός. γ) Αν x = 4, να βρείτε το. (5- ο -Εσπερ.-Επαν.).8. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, µε = = = και + + =. Α. Να αποδείξετε ότι: α) = = β) 4 και Re( ) Β. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των,, στο µιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηµατίζουν. (6-ο).9. ίνεται η εξίσωση: x 4x+ = (). α) Να λυθεί, στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, η εξίσωση (). β) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης (), τότε να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης: 6 A= + +. γ) Αν = + τότε να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει: = 5. (6- ο -Εσπ.) 4 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

5 + a.. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός = µε a R a+ α) Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του µιγαδικού ανήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ=. + a β) Έστω, οι µιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο = για α= και α= a+ αντίστοιχα.. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των µιγαδικών αριθµών και. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ( ) ( ) ν ν = για κάθε φυσικό αριθµό ν. (7- ο ).. ίνονται οι µιγαδικοί = α + β και =, όπου α,β R µε β. + ίνεται επίσης ότι ( - ) R. ) Να αποδειχθεί ότι - =. ) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του στο µιγαδικό επίπεδο. ) Αν ο αριθµός είναι φανταστικός και αβ>, να υπολογισθεί ο και να δειχθεί ότι: ( + + ) ( + ) =. (7-4 ο -Επαν.).. Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς και w ισχύουν (+ )= 6 και w ( ) = w ( ) τότε να βρείτε : α) το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών β) το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w γ) την ελάχιστη τιµή του w. δ) την ελάχιστη τιµή του w. (8- ο ).. Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς = (λ+ ) + (λ ), λ R Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών, για τις διάφορες τιµές του λ R. β. Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς να αποδείξετε ότι ο µιγαδικός αριθµός = έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. Β. Να βρεθούν οι µιγαδικοί αριθµοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w + w = όπου ο µιγαδικός αριθµός που αναφέρεται στο προηγούµενο ερώτηµα. (9- ο ).4. ίνεται η εξίσωση + =, C και, οι ρίζες της. Να αποδείξετε ότι : = Β. ( + ) R Γ. + + =. Αν f (x) συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, ] µε f () = + και f () = + τότε Α. = και υπάρχει ένα τουλάχιστον x (, ), ώστε f (x ) = x. Ε. Αν Γ είναι η εικόνα του µιγαδικού w= + και Α, Β οι εικόνες των και αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (9-ο-Ο.Ε.Φ.Ε.) 5