Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Transcript

1 Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα

2 Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής υνατής Λύσης 3. Εύρεση Μιας Βέλτιστης Βασικής υνατής Λύσης 2

3 ιαµόρφωση του Προβλήµατος Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς α 1 α 2 c 11 c 12 b 1 b 2 α i α m c ij b i b n α m+1 b n+1 α i : Μονάδες παραγόµενες από το i-στό εργοστάσιο (πηγή) b i : Μονάδες ζητούµενες από την j-στή αποθήκη c ij : Κόστος µεταφοράς µιας µονάδας προϊόντος από το i-στό εργοστάσιο στην j-στή αποθήκη x ij : Ποσότητα (άγνωστη) µεταφερόµενη από το i-στό εργοστάσιο στην j-στή αποθήκη 3

4 Μαθηµατική Έκφραση Προβλήµατος min z =Σ Σc ij x ij (ελαχιστοποίηση συνολικού κόστους) n Σ x ij = α i, i=1,2, m (µεταφέρονται αυτά που παράγονται) j=1 m Σ x ij = b j, j=1,2, n (µεταφέρονται αυτά που ζητούνται) i=1 x ij >=0, για κάθε i και j (µεταφερόµενες ποσότητες θετικές) m m n i=1 j=1 Σα i = Σ b j (προϋπόθεση) i=1 m Εάν Σ α i < Σ b j, προσθέτουµε πλασµατική πηγή ή i=1 εργοστάσιο m n j=1 Εάν Σ α i > Σ b j, προσθέτουµε πλασµατική αποθήκη i=1 n j=1 n j=1 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 4

5 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Ορισµένες Προτάσεις... Πρόταση 1: Το πρόβληµα µεταφοράς έχει µία δυνατή λύση Πρόταση 2: Μία βασική δυνατή λύση έχει το πολύ m+n-1 µεταβλητές x ij διάφορες του µηδενός (µία από τις εξισώσεις του προβλήµατος µεταφοράς είναι πλεονάζουσα, οπότε το πρόβληµα περιλαµβάνει m+n-1 ανεξάρτητες εξισώσεις και mxn αγνώστους) 5

6 Παράδειγµα Προβλήµατος Μεταφοράς για m=3 και n=4 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = α 1 + x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = α 2 + x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = α 3 x 11 + x 21 + x 31 = b 1 x 12 + x 22 + x 32 = b 2 x 13 + x 23 + x 33 = b 3 x 14 + x 24 + x 34 = b 4 (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) (δ) + (ε) + (στ) +(ζ) - (β) - (γ) = (α) 6

7 Πρόβληµα Μεταφοράς σε Μητρική Μορφή Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Α = Οποιαδήποτε ορίζουσα ή υποορίζουσα της Α έχει τιµή +1, -1 ή 0. Πρόκειται για µια ενδιαφέρουσα ιδιότητα του προβλήµατος µεταφοράς (unimodular property), στην οποία βασίζονται αλγόριθµοι επιλύσεως απλοποιητικοί της Simplex 7

8 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Και Άλλες Προτάσεις... Πρόταση 3: Αν οι αριθµοί α i και b j είναι ακέραιοι µη αρνητικοί, κάθε βασική λύση έχει ακέραιες τιµές Πρόταση 4: Υπάρχει πάντοτε µία δυνατή βέλτιστη λύση µε πεπερασµένη ελάχιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης Πρόταση 5: Μία λύση είναι µη εκφυλισµένη βασική δυνατή λύση αν περιέχει m+n-1 θετικές µεταβλητές σε θέσεις ανεξάρτητες µεταξύ τους (η λύσηδενπρέπειναπεριλαµβάνει κλειστό βρόχο) 8

9 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς ιατύπωση του Προβλήµατος Υπό Μορφή Πίνακα n Ικανότητα α i 1 c 11 c c 1n α 1 2 c 21 c c 2n α 2 m c m1 c m2... c mn α m α i = Παραγωγή b j b 1 b 2. b n Σα i = Σb j b j = Ζήτηση 1, n = Περιορισµοί 1, m = Πηγές 9

10 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς ιατύπωση του Προβλήµατος Υπό Μορφή Πίνακα n Ικανότητα α i 1 x 11 x x 1n α 1 2 x 21 x x 2n α 2 m x m1 x m2... x mn α m b j b 1 b 2. b n Σα i = Σb j 10

11 Παράδειγµα Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Μια επιχείρηση έχει αποφασίσει να αρχίσει την παραγωγή µερικών ή όλων από πέντε νέα προϊόντα σε τρία εργοστάσιά της που έχουν πλεονάζουσα δυναµικότητα. Τα προϊόντα πωλούνται σε ακέραιες µονάδες και η απαιτούµενη παραγωγική ικανότητα για την παραγωγή µιας µονάδας από κάθε προϊόν είναι περίπου ηίδια. ίδεται σε πίνακα η διαθέσιµη παραγωγική ικανότητα κάθε εργοστασίου ανά µονάδα χρόνου. ίδονται επίσης σε πίνακα εκτιµήσεις των δυνατών πωλήσεων στη µονάδα του χρόνου για τα διαφορετικά προϊόντα. Τέλος, δίνονται σε πίνακα τα µεταβλητά κόστη παραγωγής για τους συνδυασµούς εργοστασίων και προϊόντων 11

12 Πίνακες του Παραδείγµατος Εργοστάσιο ιαθέσιµη παραγωγικήικανότητα σε µονάδες προϊόντων Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Προϊόντα υνατές πωλήσεις σε µονάδες προϊόντων

13 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Πίνακες του Παραδείγµατος Χ Ποια ποσότητα από κάθε προϊόν πρέπει να παραχθεί σε κάθε εργοστάσιο, ώστε να έχουµε το ελάχιστο κόστος παραγωγής; 13

14 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Συνέχεια του Παραδείγµατος... Προορισµοί Πηγές ** α i M * b 30 j x ij = Παραγόµενες µονάδες προϊόντος j στο εργοστάσιο i *Το εργοστάσιο 3 δεν µπορεί να παράγει το προϊόν 5, οπότε θέτουµε ένανπολύµεγάλο αριθµό ** Εισάγεται ένα πλασµατικό εργοστάσιο που µε µηδενικό κόστος καλύπτει τη ζήτηση 14

15 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής υνατής Λύσης Προορισµοί α i Β Πηγές Ν Α b j Ξεκινάµε από το πρώτο άνω αριστερά τετραγωνίδιο στον πίνακα µεταβλητών και απαιτήσεων. 2. Προσδίδουµε στην αντίστοιχη µεταβλητή τη µέγιστη δυνατή τιµή. 3. Κινούµαστε προς τα δεξιά ή αλλιώς κάτω. Γυρίζουµε στο βήµα 2. 15

16 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Εύρεση Μιας Βέλτιστης Βασικής υνατής Λύσης (1/2) α i b 30 j α i b 30 j c 11 = = +5 Η µεταβλητή x 11 δεν πρέπει να επιλεγεί για εισαγωγή στη βάση γιατί το κόστος αυξάνεται 16

17 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Εύρεση Μιας Βέλτιστης Βασικής υνατής Λύσης (2/2) α i b 30 j α i b 30 j c 12 = = +9 Η µεταβλητή x 12 δεν πρέπει να επιλεγεί για εισαγωγή στη βάση γιατί το κόστος αυξάνεται 17

18 Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς Βασικές Κατευθύνσεις... Εξετάζουµε όλεςτιςµη βασικέςµεταβλητές (τα κενά κουτιά). Επιλέγουµε τηµεταβλητή που βελτιώνει µε τον ταχύτερο ρυθµό την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης (που µειώνει περισσότερο το κόστος, άρα για την οποία το οριακό καθαρό εισόδηµα θα είναι ελάχιστο). Προσθαφαιρούµε από τις τιµές των µεταβλητών του βρόχου τη µέγιστη ποσότητα που δεν καθιστά καµία από τις τιµές των µεταβλητών του αρνητική. Έτσι η βελτιωµένηλύσηπουθα προκύπτει θα είναι βασική και δυνατή. Εάν κανένα οριακό καθαρό εισόδηµα δεν βρεθεί αρνητικό, τότε η υπάρχουσα λύση είναι η βέλτιστη. Αλγόριθµος Charnes ή Stepping-Stone Algorithm 18

19 19 Μέθοδος MODI

20 Πίνακας Κόστους & Απαιτήσεων Προβλήµατος Μέθοδος MODI a i Μ b j

21 Μέθοδος MODI Αρχική Βασική υνατή Λύση a i b j

22 Κατασκευή Πίνακα µε ΣτοιχείαΒασικών Μεταβλητών Μέθοδος MODI Συµπληρώνεται µε βάση τις διαφάνειες 20 και 21 22

23 Μέθοδος MODI Βήµα 1ο: Υπολογισµός των u i και v j v j Ορίζουµε ως0 το u 2 γιατί έχει τις περισσότερες βασικές µεταβλητές 2. Υπολογίζουµε ταυπόλοιπαu i ως εξής: c 33 = u 3 + v 3 ή 18 = u ή u 3 = 5 c 15 = u 1 + v 5 ή 16 = u ή u 1 = 0 c 45 = u 4 + v 5 ή 0 = u ή u 4 = Υπολογίζουµετιςτιµές των v ως εξής: c 32 = u 3 + v 2 ή 15 = 5 + v 2 ή v 2 = 10 c 44 = u 4 + v 4 ή 0 = v 4 ή v 4 = u i

24 Μέθοδος MODI Βήµα 2ο: Υπολογισµός Μη Βασικών Μεταβλητών 20 (0 + 15) = * 2 * 10 * 3 * 3-2 * * -1 M * * 1. Εφαρµόζουµε τοντύποc ij -(u i + v j ) 2. Εφόσον εµφανίζονται µεταβλητές µε αρνητικές τιµές, η λύση που βρέθηκε δεν είναι η βέλτιστη 3. Στη βάση θα πρέπει να εισέλθει το τετραγωνίδιο που έχει την µεγαλύτερη απολύτως αρνητική τιµή (εδώ η µεταβλητή x 31 ) 4. Οι τιµές του παραπάνω πίνακα είναι τα καθαρά οριακά εισοδήµατα των αντίστοιχων µεταβλητών 24

25 Μέθοδος MODI Βήµα 3ο: Εύρεση Μη Βασικής Μεταβλητής που θα Εισέλθει * 2 * 10 * 3 * 3-2 * * -1 M * * 1. Στη βάση θα πρέπει να εισέλθει το τετραγωνίδιο που έχει την µεγαλύτερη απολύτως αρνητική τιµή (εδώ η µεταβλητή x 31 ) 2. Οι τιµές του παραπάνω πίνακα είναι τα καθαρά οριακά εισοδήµατα των αντίστοιχων µεταβλητών 25

26 Μέθοδος MODI Βήµα 4ο: Εύρεση Βασικής Μεταβλητής που θα Εξέλθει a i b j Από τη βάση θα εξέλθει η βασική µεταβλητή που µηδενίζεται πρώτη καθώς αυξάνεται η προσθαφαιρούµενη ποσότητα στις τιµές των µεταβλητών του βρόχου που σχηµατίζεται µε την εισερχόµενη µεταβλητή (ο µικρότερος αριθµός µε την ένδειξη-) 2. Το κριτήριο που εφαρµόζεται είναι αντίστοιχο µε αυτό που χρησιµοποιείται στογενικόπρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού 26

27 Μέθοδος MODI Βήµα 5ο: Εύρεση Βελτιωµένης Λύσης a i b j Από εδώ και πέρα εφαρµόζεται επαναλαµβανόµενα η ίδια διαδικασία Με βάση τις διαφάνειες 21 και 26 27

28 Μέθοδος MODI Νέος Υπολογισµός των u i και v j c j u i Εφαρµόζουµε τοντύποc ij = u i + v j 28

29 Μέθοδος MODI Νέος Υπολογισµός Μη Βασικών Μεταβλητών * * 3 * 3 * * * -1 M * * 1. Εφαρµόζουµε τοντύποc ij (u i v ij ) γιαναβρούµε ταοριακάκαθαρά εισοδήµατα 2. Ηθέση(3,4) έχει αρνητικό οριακό καθαρό εισόδηµα, άρα συνεχίζουµε την επαναληπτική διαδικασία 29

30 Εύρεση Βασικής Μεταβλητής που θα Εξέλθει Μέθοδος MODI a i b j Από τη βάση θα εξέλθει η βασική µεταβλητή που µηδενίζεται πρώτη καθώς αυξάνεται η προσθαφαιρούµενη ποσότητα στις τιµές των µεταβλητών του βρόχου που σχηµατίζεται µε την εισερχόµενη µεταβλητή (ο µικρότερος αριθµός µε την ένδειξη-) 2. Το κριτήριο που εφαρµόζεται είναι αντίστοιχο µε αυτό που χρησιµοποιείται στογενικόπρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού 30

31 Εύρεση Βελτιωµένης Λύσης Μέθοδος MODI a i b j Από εδώ και πέρα εφαρµόζεται επαναλαµβανόµενα η ίδια διαδικασία 31

32 Μέθοδος MODI Νέος Υπολογισµός των u i και v j c j u i Εφαρµόζουµε τοντύποc ij = u i + v j 32

33 Μέθοδος MODI Νέος Υπολογισµός Μη Βασικών Μεταβλητών * * * * * * M * * 1. Εφαρµόζουµε τοντύποc ij (u i v ij ) γιαναβρούµε ταοριακάκαθαρά εισοδήµατα 2. Καµία θέση δεν έχει αρνητικό οριακό καθαρό εισόδηµα, άρα βρέθηκε ηβέλτιστηλύση 3. Ητιµή (1,3) είναι µηδενική και εποµένως εάν η µεταβλητή x13 εισέλθει στη βάση, δηλαδή εάν λάβει θετική τιµή, δεν θα µεταβληθεί το κόστος, άρα υπάρχει και δεύτερη βέλτιστη βασική δυνατή λύση µε το ίδιο κόστος 33

34 Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως& Αρχή Αποσυνθέσεως Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα

35 Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Πρόβληµα Αντιστοίχησης 2. Αρχή της Αποσυνθέσεως 3. Ενδεικτικά Παραδείγµατα 35

36 Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως ή Κατανοµής (Assignment Problem) Προβλήµατα Γραµµικού Προγραµµατισµού Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Αντιστοιχήσεως 36

37 Μαθηµατική ιατύπωση Προβλήµατος m = n (Ο αριθµός των πηγών ισούται µε τοναριθµό των προορισµών) Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως a i = 1, για i=1, 2,, m (Η ικανότητα κάθε πηγής ισούται µε 1) b j = 1, για j=1, 2,, n (Η ζήτηση κάθε προορισµού ισούται µε 1) Όλα τα x ij είναι 0 ή 1 n min Σ Σc ij x ij, µε τουςπεριορισµούς: i=1 n n j=1 Σ x ij = 1, για i=1, 2,, n j=1 n Σ x ij = 1, για j=1, 2,, n i=1 x ij = 0 ή 1 37

38 Παράδειγµα Προβλήµατος Αντιστοιχήσεως... Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως ΙΠ Ζ ΙΠ: Ικανότητα Πηγών Ζ: Ζήτηση Προορισµών 38

39 Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως Αλγόριθµος Αντιστοιχήσεως (Ουγγρική Μέθοδος) Απαγόρευση Α Β 15 Χ Γ Τρεις µηχανές, τέσσερις πιθανές θέσεις Μερικές θέσεις είναι πιο επιθυµητές Εκτιµηθέν κόστος ανά µονάδα χρόνου διακινήσεως εργαζοµένων και υλικών Ισοδύναµες µήτρες κόστους Θέσεις Α Β 15 Μ Γ Μηχανές Α Β 2 M- 0 7 Γ Αφαιρούµε από τα στοιχεία κάθε σειράς το µικρότερο = 28 39

40 Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως Παράδειγµα (1/2) Α Β Γ Ε Αφαιρούµε από τα στοιχεία κάθε σειράς το µικρότερο... Αφαιρούµε από τα στοιχεία κάθε στήλης το µικρότερο Α Β Γ Ε

41 Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως Παράδειγµα (2/2) Α Β Γ Ε Όταν πραγµατοποιηθεί η αντιστοίχηση µε ταµηδενικά, έχει βρεθεί η βέλτιστη λύση (το ολικό κόστος δεν µπορεί να είναι αρνητικό) Στα µηδενικά πραγµατοποιούµε τις αντιστοιχήσεις Α 0 Β 0 Γ Ε 0 41

42 Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως Αλγόριθµος Αντιστοιχήσεως (1/2) Αφαιρέστετοελάχιστοστοιχείοκάθεσειράςτηςµήτρας µοναδιαίου κόστους από κάθε στοιχείο της σειράς αυτής. Το ίδιο κάντε για κάθε στήλη. 2. Εξετάστε τις σειρές και στήλες διαδοχικά. Για κάθε σειρά/ στήλη µε ένα ακριβώς µηδενικόκρατήστετηθέσηαυτήγια τοποθέτηση (αντιστοίχηση) και διαγράψτε τα άλλα µηδενικά σε αυτήν την στήλη/σειρά. Επαναλαµβάνετε τη διαδικασία αυτή για σειρές και στήλες έως ότου όλα τα µηδενικά είτε έχουν αντιστοιχηθεί, είτε έχουν διαγραφεί. Εάν οι κρατηθείσες θέσεις περιλαµβάνουν ένα πλήρες σύνολο αντιστοιχήσεων, τότε αυτό αποτελεί τη βέλτιστη λύση, αλλιώς προχωρήστε στο 3. 42

43 Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως Αλγόριθµος Αντιστοιχήσεως (2/2) Χαράξτε ένα ελάχιστο αριθµό γραµµών για κάλυψη όλων των µηδενικών ως εξής: Σηµειώστε όλες τις σειρές που δεν περιέχουν αντιστοιχήσεις Σηµειώστε όλες τις στήλες που έχουν µηδενικά σε σηµειωµένες σειρές Σηµειώστε όλες τις σειρές που έχουν αντιστοιχήσεις σε σηµειωµένες στήλες Επαναλάβετε τα βήµατα β και γ έως ότου δεν µπορούν να σηµειωθούν άλλες σειρές ή στήλες Χαράξτε µία γραµµή από κάθε µη σηµειωµένη σειρά και κάθε σηµειωµένη στήλη 4. Εξετάστε όλα τα στοιχεία που δεν καλύπτονται από γραµµή. Εκλέξτε το ελάχιστο από αυτά και αφαιρέστε το από τα άλλα ακάλυπτα στοιχεία. Κατόπιν προσθέστε τούτο σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται στην τοµή 2 γραµµών και πηγαίνετε στο 2. 43

44 και η Συνέχεια του Παραδείγµατος (1/3) Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως γ α β Α Β Γ Ε ε ε ε 44

45 και η Συνέχεια του Παραδείγµατος (2/3) Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως Α Β Γ Ε

46 Πρόβληµα Αντιστοιχήσεως και Τελικά... (3/3) Α Β Γ Ε

47 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Προβλήµατα Αποσυνθέσεως Ιδιαίτερη µορφή προβληµάτων Πολλοί µηδενικοί συντελεστές της τεχνολογικής µήτρας Οι µη µηδενικοί συντελεστές είναι ειδικά διατεταγµένοι Ιδιαίτερη µορφή επίλυσης Η µέθοδος Simplex δεν είναι πάντα ικανή να λύσει πολύπλοκα προβλήµατα αυτής της µορφής (λόγω µεγέθους) ιαµόρφωση προβληµάτων Πολλών (αποκεντρωµένων) τµηµάτων Πολλών χρονικών περιόδων Πολλών τµηµάτων και χρονικών περιόδων 47

48 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Προβλήµατα Πολλών Τµηµάτων Περιορισµοί κεντρικών πόρων όλων των τµηµάτων (συνδετήριοι) Α =... Περιορισµοί πόρων Α τµήµατος Περιορισµοί πόρων Β τµήµατος Περιορισµοί πόρων τελευταίου τµήµατος Προβλήµατα πολυµερών αποκεντρωµένων οργανωτικών συστηµάτων Προβλήµατα µακροχρόνιου προγραµµατισµού πολλών περιόδων (σταδίων) 48

49 Παράδειγµα Μορφοποίησης Προβλήµατος (1/3) Μια επιχείρηση έχει δύο τοµείς, το βόρειο και το νότιο, που λειτουργούν ηµιαυτόνοµα. Κάθε τοµέας παράγει και εµπορεύεται τα προϊόντα του, αλλά για λόγους συντονισµού των προγραµµάτων παραγωγής και αποτελεσµατικής αναπτύξεώς τους, η κατανοµή των επενδυόµενων κεφαλαίων σε σχέδια ανάπτυξης νέων προϊόντων γίνεται από τη διοίκηση της επιχείρησης. Ειδικότερα, κάθε τοµέας υποβάλλει το Σεπτέµβριο κάθε έτους στη διοίκηση τις προτάσεις του για το επόµενο έτος και τα διαθέσιµα για επενδύσεις κεφάλαια κατανέµονται στους δύο τοµείς κατά τρόπο ώστε να µεγιστοποιείται το αναµενόµενο µέσο καθαρό κέρδος από την υλοποίηση των προτεινόµενων σχεδίων. Γιατοπροσεχέςέτοςκάθετοµέας προτείνει τρία σχέδια, που το καθένα µπορεί να υλοποιηθεί σε οποιαδήποτε στάθµη, το δε αναµενόµενο καθαρό κέρδος είναι ανάλογο προς τη στάθµη αυτή. Πρόβληµα Αποσυνθέσεως 49

50 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Παράδειγµα Μορφοποίησης Προβλήµατος (2/3) Σχέδια Β. Τοµέα Σχέδια Ν. Τοµέα Στάθµη x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 Απαιτούµενη επένδυση (εκ. δρχ) 16x 1, 7x 2, 13x 3, 8x 4, 20x 5, 10x 6 Καθαρό κέρδος 5x 1, 2x 2, 4x 3, 3x 4, 6x 5, 3x 6 Περιορισµός εξοπλισµού 10x 1 +3x 2 + 7x 3 <=50 6x 4 +13x 5 + 9x 6 <=45 Περιορισµός εργατικού δυν. 4x 1 +2x 2 + 5x 3 <=30 3x 4 + 8x 5 + 2x 6 <=25 Το διατιθέµενο για επενδύσεις κεφάλαιο είναι 40,000,000 δρχ. 50

51 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Παράδειγµα Μορφοποίησης Προβλήµατος (2/3) max z = 5 x x x 3 +3 x 4 +6 x 5 +3 x 6 µε τους παρακάτω περιορισµούς: 16 x x x x x x <= x x x 3 <=50 4 x x x 3 <=30 6 x x x 6 <=45 3 x x x <=25 6 Α = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x Κεντρικό πρόβληµα Βόρειος Τοµέας Νότιος Τοµέας 51

52 Προβλήµατα Πολλών Χρονικών Περιόδων Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Χρονικός προγραµµατισµός σε διαφορετικές περιόδους στην κλίµακα του χρόνου (προβλέψεις για ενδεχόµενες µεταβολές στο λειτουργικό περιβάλλον στο µέλλον επηρεάζουν αποφάσεις στο παρόν) Πχ. περίοδοι ηµέρας, µήνα, έτους Αποσυνθέσιµα υποπροβλήµατα Συνολικός προγραµµατισµός για τον συντονισµό των δραστηριοτήτων των διαφορετικών χρονικών περιόδων 52

53 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Μορφή Προβληµάτων Πολλών Χρονικών Περιόδων Μεταβλητές 1ης χρον. περιόδου Μεταβλητές Συνδέσεως Μεταβλητές τελευταίας χρον. περιόδου Α = Περιορισµοί διαθέσιµων πόρων στην 1η χρονική περίοδο Περιορισµοί διαθέσιµων πόρων στην 2η χρονική περίοδο... Περιορισµοί διαθέσιµων πόρων στην τελευταία χρονική περίοδο Οι συνδετήριες µεταβλητές µπορεί π.χ. να περιγράφουν ύψη αποθεµάτων που διατηρούνται στο τέλος µιας χρονικής περιόδου για να χρησιµοποιηθεί αργότερα 53

54 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Αναδιαµόρφωση Προβλήµατος Μεταβλητές Συνδέσεως Μεταβλητές 1ης χρον. περιόδου Μεταβλητές τελευταίας χρον. περιόδου... Περιορισµοί διαθέσιµων πόρων στην 1η χρονική περίοδο Περιορισµοί διαθέσιµων πόρων στην 2η Α =... χρονική περίοδο Περιορισµοί διαθέσιµων πόρων στην τελευταία χρονική περίοδο υαδική γωνιακή δοµή... υαδικό Πρόβληµα 54

55 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Παράδειγµα (1/5) Μια βιοµηχανία παράγει µεταξύ άλλων και δύο τύπους προϊόντων σε τρία παραγωγικά τµήµατά της και µπορεί να τους διαθέσει στην αγορά σε απεριόριστες ποσότητες. Ηβιοµηχανία θέλει να προγραµµατίσει την παραγωγή της για τους 3 προσεχείς µήνες, λαµβάνοντας υπόψη τα οικονοµικά και τεχνικά της στοιχεία. Το καθαρό κέρδος από την πώληση των προϊόντων µεταβάλλεται ανάλογα µε τον µήνα πωλήσεως λόγω µεταβολών στις συνθήκες της αγοράς. Συνεπώς µπορεί να συµφέρει η αποθήκευση προϊόντων που παράγονται σε κάποιο µήνα και η πώλησή τους αργότερα. Το κόστος αποθηκεύσεώς τους είναι 2 χρηµατικές µονάδες ανά µονάδα προϊόντος και µήνα. 55

56 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Παράδειγµα (2/5) x ij : Μονάδες προϊόντων τύπου i που παράγονται το µήνα j, όπου i=1, 2 και j=1, 2, 3 y ij : Μονάδες προϊόντων τύπου i που πωλούνται το µήνα j x ijk : Μονάδες προϊόντων τύπου i που παράγονται το µήνα j και αποθηκεύονται για να πωληθούν το µήνα k, όπου i=1, 2, j=1, 2, 3 και k=j+1, j+2,... 56

57 Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Παράδειγµα (3/5) Τµήµα Απαιτούµενες ώρες επεξεργασίας ιαθέσιµες ώρες προϊόντων τύπου: για τον µήνα Καθαρό κέρδος προϊόντων τύπου:

58 Παράδειγµα (4/5) Πρόβληµα Αποσυνθέσεως max z = 3 y y y y y y 23-2 x x x x x x 223 µε τους παρακάτω περιορισµούς: x 11 <=4 2x 21 <=12 3x x 21 <=18 x 11 -y 11 -x 112 -x 113 =0 x 21 -y 21 -x 212 -x 213 =0 x 12 <=6 2x 22 <=12 3x x 22 <=24 υναµικότητα Αυτά που παράγω (και αυτά που έχω σε stock) είναι ίσα µε αυτά που πουλάω και αυτά που Θα αποθηκεύσω για πώληση στους άλλους µήνες x x 12 -y 12 -x 123 =0 Για να µην περισέψουν τον µήνα 3 x 112 -y 12 <=0 x x 22 -y 22 -x 223 =0 x 212 -y 22 <=0 x 13 <=3 2x 23 <=10 3x x 23 <=15 x x x 13 -y 13 =0 x x x 23 -y 23 =0 x ij >=0, y ijk >=0 58

59 Παράδειγµα (5/5) Πρόβληµα Αποσυνθέσεως x x x 212 x 213 x 123 x 223 x 11 y 11 x 21 y 21 x 12 y 12 x 22 y 22 x 13 y 13 x 23 y

60 Πρόβληµα Πολλών Τµηµάτων & Πολλών Χρονικών Περιόδων Συνδετήριες Μεταβλητές Πρόβληµα Αποσυνθέσεως Συνδετήριοι Περιορισµοί Α =... 60

61 Θέµατα για συζήτηση - Συµπεράσµατα Ερωτήσεις... 61