Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης"

ebrew Βαρουξής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β.

1 Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει μια ελάχιστη ημερήσια ζήτηση τόνων σκυροδέματος. Ο υπεύθυνος παραγωγής προσπαθεί να καθορίσει την αντίστοιχη παραγωγική δραστηριότητα των δύο εργοταξίων, με τρόπο ώστε το συνολικό κόστος εκμετάλλευσης να είναι το ελάχιστο δυνατό. Τα τεχνοοικονομικά δεδομένα της παραγωγής συνοψίζονται στα εξής σημεία. Ένας τόνος σκυροδέματος παράγεται από την ανάμειξη 400 λίτρων νερού και 600 κιλών στερεών υλικών (άμμος, χαλίκι, τσιμέντο). Περιορισμοί που οφείλονται στη δυνατότητα αποθήκευσης και στις μεταφορές δεν επιτρέπουν την παραλαβή περισσοτέρων από 800 τόνους στερεών υλικών συνολικά και στα δύο εργοτάξια ημερησίως. Διατίθενται καθημερινά 110 εργατοώρες που μπορούν να κατανεμηθούν και στα δύο εργοτάξια με την παραγωγικότητα του εργοταξίου Α να είναι 0,13 εργατοώρες/τόνο, ενώ του Β 0,08 εργατοώρες/τόνo. Το συνολικό κόστος εκμετάλλευσης που επιβαρύνει την εταιρία αποτελείται από το κόστος ανεφοδιασμού των στερεών υλικών (100 /τόνο για το εργοτάξιο Α και 200 /τόνο για το εργοτάξιο Β) και το κόστος παραγωγής του σκυροδέματος (650 /τόνο για το εργοτάξιο Α και 300 /τόνο για το εργοτάξιο Β). Η μέγιστη δυνατότητα παραγωγής των εργοταξίων Α και Β είναι 700 και 900 τόνοι/ημέρα αντίστοιχα ενώ παράλληλα το εργοτάξιο Β δεν μπορεί να παράγει λιγότερο από 400 τόνους/ημέρα.

2 Διατυπώστε το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που επιλύει το παραπάνω πρόβλημα και προσδιορίστε το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής Να επιλυθεί το ίδιο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο Simplex. Να διατυπωθεί το δυαδικό πρόβλημα, να προσδιοριστεί η βέλτιστη λύση του και να δοθεί η οικονομική ερμηνεία των μεταβλητών του. Για ποια τιμή του κόστους παραγωγής σκυροδέματος στο εργοτάξιο Α θα έχουμε άπειρες λύσεις στο πρωτεύον πρόβλημα αν όλα τα υπόλοιπα κόστη παραμείνουν σταθερά;

3 Μεταβλητές Απόφασης: Χ i : Η ημερήσια ποσότητα σκυροδέματος που παράγεται από το εργοτάξιο i (tn/day). Χ 1 είναι οι τόνοι που παράγονται από το εργοτάξιο Α και Χ 2 από το εργοτάξιο Β. Παραμετρική εξίσωση: X i (tn) = 0,4 Η 2 Ο (tn) + 0,6 στερεά υλικά (tn) Περιορισμοί: Ελάχιστης ζήτησης: Χ 1 + Χ (I) Μέγιστης παραγωγής: Χ (ΙΙ) Χ (ΙΙΙ) Ελάχιστης παραγωγής: Χ (ΙV) Αποθήκευσης και μεταφοράς: 0,6Χ 1 + 0,6Χ (V) Εργατικού δυναμικού: 0,13Χ 1 + 0,08Χ (VI) Φυσικοί περιορισμοί: Χ 1, Χ 2 0

4 Κριτήριο Απόφασης: Ελαχιστοποίηση ημερήσιου κόστους εκμετάλλευσης Κόστος εκμετάλλευσης (z) [χιλ. ] = [Κόστος ανεφοδιασμού στερεών υλικών] [χιλ. ]+ [Κόστος παραγωγής] [χιλ. ] [min] z = [0,6(0,1X 1 + 0,2X 2 )] + [0,65X 1 + 0,3X 2 ] = 0,71 X 1 + 0,42 X 2 [χιλ. ] Θα πραγματοποιήσουμε γραφική επίλυση για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού που μόλις μοντελοποιήσαμε.

Αποτυπώνουμε τους περιορισμούς του προβλήματος γραφικά: x 2 1500 1333 ( II ) 1000

5 Αποτυπώνουμε τους περιορισμούς του προβλήματος γραφικά: x ( II ) 1000 A B ( III ) 900 ( VI ) Γ ( IV ) ( I ) ( V ) x 1

6 Ελέγχουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε κάθε κορυφή του τριγώνου ΑΒΓ. Σημείο Α: ( I ) (IΙΙ) X 2 = 900 Χ 2 = 900 Χ 1 + Χ 2 = 1000 Χ 1 = 100 z(χ 1,Χ 2 ) = 449 χιλ. Σημείο Β: ( III) ( VI ) X 2 = 900 X 2 = Χ Χ 2 = 110 X 1 = 292 z(x 1,X 2 ) = 585 χιλ. Σημείο Γ: ( I) (ΙV) ( VI ) X 2 = 400 X 1 = 600 Χ 1 + Χ 2 = 1000 X 2 = 400 z(x 1,X 2 ) = 594 χιλ. Από τα παραπάνω αποδεικνύεται ότι το σημείο Α (100, 900) είναι το βέλτιστο του προβλήματος μας.

7 Θα πραγματοποιήσουμε επίλυση του προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού με χρήση του αλγορίθμου Simplex. Μετατροπή στην πρότυπη μορφή με την εισαγωγή των μεταβλητών απόκλισης και μετατροπή της αντικειμενικής σε συνάρτηση μεγιστοποίησης min z = 0,71X 1 + 0,42X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 + 0S 4 + 0S 5 + 0S 6 + MA 1 + MA 2 => max z = - 0,71X 1-0,42X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 + 0S 4 + 0S 5 + 0S 6 - MA 1 - MA 2 Χ 1 + X 2 - S 1 + A 1 = Χ 1 + S 2 = 700 Χ 2 + S 3 = 900 X 2 - S 4 + A 2 = 400 0,6X 1 + 0,6Χ 2 + S 5 = 800 0,13Χ 1 + 0,08Χ 2 + S 6 = 110 Χ 1, Χ 2, S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, A 1, A 2, M 0

8 Κατασκευή του πρώτου πίνακα Simplex Βήμα 0 Οδηγό στοιχείο Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος A S S A S 5 0,6 0, S 6 0,13 0, C j -0,71-0, Μ -Μ C j -0,71 +M -0,42 +2M -Μ 0 0 -Μ Ζ = -1400M Η μεταβλητή με το μεγαλύτερο θετικό Ο.Κ.Ε. θα εισέλθει στη βάση, δηλαδή η X 2 Ο μικρότερος θετικός λόγος Χ Βi /y i1 καθορίζει ποια μεταβλητή θα εξέλθει από τη βάση. Εδώ είναι: 400/1 = 400. Επομένως η μεταβλητή Α 2 βγαίνει από τη βάση.

9 Βήμα 1 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος A S S X S 5 0, S C j -0,71-0, Μ -Μ C j -0,71 +M 0 -M 0 0 M -0, M +0,42 Ζ = M Η μεταβλητή με το μεγαλύτερο θετικό Ο.Κ.Ε. θα εισέλθει στη βάση, δηλαδή η S 4 Ο μικρότερος θετικός λόγος Χ Βi /y i1 καθορίζει ποια μεταβλητή θα εξέλθει από τη βάση. Εδώ είναι: 500/1 = 500. Επομένως η μεταβλητή S 3 βγαίνει από τη βάση.

10 Βήμα 2 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος A S S X S S C j -0,71-0, Μ -Μ C j -0,71 +M 0 -M 0 -M+ 0, M Ζ = M

Βήμα 3 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος X 1 1 0-1 0-1 0 0 0 1 0 100 S 2 0 0 1 1 1 0 0 0-1 0 600 S 4 0

13 0 25 C j -0,71-0,42 0 0 0 0 0 0 -Μ -Μ C j 0 0-0,71 0-0,29 0 0 0 -M+ 0,71 -M Ζ = -449 Δεν υπάρχει άλλο θετικό Ο.Κ.

11 Βήμα 3 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος X S S X S S C j -0,71-0, Μ -Μ C j 0 0-0,71 0-0, M+ 0,71 -M Ζ = -449 Δεν υπάρχει άλλο θετικό Ο.Κ.Ε επομένως δεν υπάρχουν περιθώρια περαιτέρω βελτίωση της λύσης. Η λύση είναι βέλτιστη και ο αλγόριθμος σταματά. (Χ 1 = 100, Χ 2 = 900 και z = 449 χιλ. )

12 Διατύπωση του δυαδικού προβλήματος 1. Φέρνουμε το πρωτεύον πρόβλημα στην πρότυπη μορφή [min] z = 0,71 Χ 1 + 0,42 Χ 2 Χ 1 + Χ (I) - Χ (ΙΙ) -Χ (ΙΙΙ) Χ (ΙV) - 0,6Χ 1-0,6Χ (V) -0,13Χ 1-0,08Χ (VI) Χ 1, Χ 2 0

13 2. Μοντελοποιούμε το δυαδικό πρόβλημα [max] z = 1000Π 1-700Π 2-900Π Π 4-800Π 5-110Π 6 Π 1 - Π 2 +0Π 3 + 0Π 4-0,6Π 5-0,13Π 6 0,71 (1) Π 1 + 0Π 2 - Π 3 + Π 4-0,6Π 5-0,08Π 6 0,42 (2) 3. Επιλύουμε το δυαδικό πρόβλημα Εκμεταλλευόμαστε τη γνώση μας, από την επίλυση του πρωτεύοντος, ότι κορεσμένοι περιορισμοί είναι οι Ι και ΙΙΙ, και ακόρεστοι οι υπόλοιποι. Οπότε θέτουμε Π 2, Π 4, Π 5 και Π 6 = 0 και επιλύουμε το σύστημα των (1) και (2). Π 1 = 0,71 Π 1 = 0,71 Π 1 Π 3 = 0,42 Π 3 = 0,29 Έτσι, z = 1000 Π1-900 Π3 = 449 χιλ.

14 Εύρεση απειρίας λύσεων στο πρωτεύον πρόβλημα Για να έχουμε απειρία βέλτιστων λύσεων σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, πρέπει η αντικειμενική συνάρτηση να έχει ίδια κλίση με έναν από τους δύο περιορισμού που ορίζουν τη βέλτιστη λύση. Με αυτό τον τρόπο η αντικειμενική συνάρτηση θα ταυτιστεί με τον περιορισμό, και έτσι όλα τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζεται από τον περιορισμό θα αποτελούν βέλτιστες λύσεις της. Έτσι, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, αρκεί να ισχύει λ z = λ III. X 1 + X 2 = 1000 λ ΙΙΙ = -1 (VI) (0,06 + C)X 1 + 0,42X 2 (z) Πρέπει λ z = -1 => -(0,06 + C)/0,42 = -1 => C = 0,36 χιλ. /tn. Άρα για να έχουμε απειρία βέλτιστων λύσεων, πρέπει το κόστος παραγωγής στο εργοτάξιο Α να είναι 360 /tn.

Σχετικά έγγραφα

Δυναμικότητα (GWh) A B C Ζήτηση (GWh) W X Y Z

Δυναμικότητα (GWh) A B C Ζήτηση (GWh) W X Y Z Άσκηση 0 Η εταιρία ηλεκτρισμού ELECTRON έχει τρείς μονάδες ηλεκτροπαραγωγής Α, Β, C και θέλει να καλύψει τη ζήτηση σε τέσσερις πόλεις W, Χ, Υ, Ζ. Η μέγιστη παραγωγή, η απαιτούμενη ζήτηση και το κόστος