x 9 o ìüèçìá Êýêëïò Ê Ì ø o 6 ÊåöÜëáéï 0 o ìüèçìá ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá Ê
9 Κύκλς Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Ορισµί i) Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν η κρυφή της είναι πάνω στν κύκλ και ι πλευρές της χρδές τυ. π.χ. η Α. ii) Τ τόξ πυ περιέχεται µεταξύ των πλευρών της εγγεγραµµένης λέγεται αντίστιχ τόξ αυτής. π.χ. τ ΒΛΓ. iii) Η επίκεντρη γωνία πυ βαίνει στ ίδι τόξ µε την εγγεγραµµένη λέγεται αντίστιχη επίκεντρη της εγγεγραµµένης. π.χ. η ΒΚΓ είναι η αντίστιχη επίκεντρη της Α. Β Κ Λ Γ Θεώρηµα Κάθε εγγεγραµµένη γωνία σε κύκλ είναι ίση µε τ µισό της αντίστιχης επίκεντρης. Απόδειξη Από τ ισσκελές τριγ. ΚΑΒ έχυµε: Κ = x+ x = x Όµια από τ ισσκελές Γ έχυµε: () () Κ = ψ + ψ Κ = ψ Πρσθέτυµε τις (), () και έχυµε: ( ) Κ + Κ = x + ψ ΒΚΓ = x + ψ ΒΚΓ = ΒΑΓ ΒΚΓ ΒΑΓ =. Πόρισµα Ι. Στν ίδι κύκλ ή σε ίσυς κύκλυς ίσες εγγεγραµµένες βαίνυν σε ίσα τόξα και αντίστρφα. Β x Κ x y Λ Γ
40. Κύκλς Πόρισµα ΙΙ. Κάθε εγγεγραµµένη σε ηµικύκλι είναι ρθή. Πόρισµα ΙΙΙ. Κάθε εγγεγραµµένη πυ βαίνει σε τόξ µικρότερ από ηµικύκλι είναι ξεία, ενώ κάθε εγγεγραµµένη πυ βαίνει σε τόξ µεγαλύτερ από ηµικύκλι είναι αµβλεία. Παρατήρηση Έστω ένα τόξ ΑΤΒ και ΑΒ η χρδή τυ. Παρατηρύµε ότι όλα τα σηµεία τυ τόξυ ΑΤΒ (και τυ συµµετρικύ τυ ως πρς ΑΒ) έχυν την ιδιότητα να βλέπυν τ ΑΒ υπό την ίδια γωνία ω. Τα σηµεία Λ πυ είναι εσωτερικά τυ κυκλικύ τµήµατς βλέπυν τ ΑΒ υπό γωνία ρ µεγαλύτερη της ω ( ρ > ω ως εξωτερική τυ τριγ. ΒΛM). Τα σηµεία Σ πυ είναι εξωτερικά τυ κυκλικύ τµήµατς, βλέπυν τ ΑΒ υπό γωνία ν < ω (γιατί ω εξωτερική τυ τριγ. ΒΜΣ). Επειδή τα σηµεία τυ τόξυ ΑΤ Β ) έχυν µια κινή ιδιότητα πυ ανήκει σ αυτά και µόν αυτά απτελύν ένα γεωµετρικό τόπ. M T ù ñ T Ó Θεώρηµα Η γωνία πυ σχηµατίζεται από µια χρδή κύκλυ και την εφαπτµένη τυ κύκλυ πυ φέρνυµε στ ένα άκρ της χρδής, είναι ίση µε την εγγεγραµµένη γωνία πυ βαίνει στ τόξ πυ περιέχεται µέσα σ αυτή. Απόδειξη ΑΚΒ Γνωρίζυµε ότι Γ Γ = Γ = ΚΒ (). Επειδή Κ ΑΒ (διχτόµς τυ ισσκ. ΑΚΒ) και ΚΒ Βx (εφαπτµένη και Κ ακτίνα) έπεται ΑΒx = (). Από τις (), () έπεται Α Β ΑΓΒ = ΑΒx. Δ x Θεώρηµα Αν µια γωνία έχει την κρυφή της µέσα στν κύκλ, είναι ίση µε τ άθρισµα δύ εγγεγραµµένων γωνιών πυ βαίνυν στα τόξα, πυ ρίζνται από τις πλευρές της και τις πρεκτάσεις τυς. Απόδειξη Z Έστω η γωνία Γ πυ έχει την κρυφή της µέσα στν κύκλ. Β Φέρνυµε την Γ, τότε ΒΑΓ Α = φ + ρ ως εξωτερική τυ τριγ. ΑΓ. Γ φ ρ Δ
Κύκλς 4. Θεώρηµα Αν µια γωνία έχει την κρυφή της έξω από τν κύκλ και ι πλευρές της τν τέµνυν είναι ίση µε τη διαφρά δύ εγγεγραµµένων γωνιών πυ βαίνυν στα τόξα πυ περιέχνται µεταξύ των πλευρών της. Απόδειξη Έστω γωνία Γ πυ έχει την κρυφή της έξω από τν κύκλ, Å φέρνυµε την ΒΕ, τότε φ = Α + ν (ως εξωτερική τυ τριγώνυ ΒΑΕ), ö άρα Α = φ ν. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Εφαρµγή Οι ευθείες πυ ενώνυν τ κέντρ ενός κύκλυ µε τις τµές δύ παραλλήλων εφαπτµένων από τρίτη εφαπτµένη είναι κάθετες µεταξύ τυς. Φέρνυµε την ΚΖ και τα τρίγωνα ΑΚ και ΚΖ είναι ίσα, από την ισότητα έχυµε Δ Ζ Κ = Κ δηλαδή η Κ διχτόµς της γωνίας Γ ΑΚΖ. Όµια τα τρίγ. ΚΖΓ και ΚΒΓ είναι ίσα και άρα Κ 3 = Κ4 επµένως η ΚΓ διχτόµς της ΖΚΒ, ι διχτόµι όµως των εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών τέµννται κάθετα. Εφαρµγή ύ ίσες χρδές τέµννται µέσα στ κύκλ (Κ,Α) στ σηµεί Α. Να απδείξετε ότι σχηµατίζυν ίσες γωνίες µε την ΚΑ και ότι τµήµατα αυτών είναι ανά δύ ίσα. Έστω ΘΒ, Γ δύ ίσες χρδές πυ τέµννται στ Α, θα δείξυµε ότι Α = Α και ΑΘ = ΑΓ. Από τ Κ φέρνυµε τις ΚΖ, ΚΕ κάθετες πρς τις ΘΒ, Γ τότε ΚΖ = ΚΕ () γιατί τ κέντρ απέχει ίσα από τις ίσες χρδές. Τα τρίγωνα ΚΑΖ και ΚΑΕ είναι ίσα ( ΚΑ = ΚΑ, Ζ = Ε Æ Å =, ρθ. και È ΚΖ = ΚΕ ) από την ισότητα των τριγώνων έπεται Α = Α και Ê ΖΑ = ΑΕ (). Επειδή ΖΘ = ΕΓ () 3 σαν µισά των ΑΒ, Γ έπεται από τις (), (3) ΘΑ = ΑΓ. Εφαρµγή 3 Να απδείξετε ότι η κινή εφαπτµένη δύ άνισων κύκλων είναι µικρότερη από τη διάκεντρ τυς. Α í 3 4 Κ Β
4. Κύκλς Έστω ΒΓ η κινή εφαπτµένη δύ άνισων κύκλων και ΚΛ η διάκεντρς, θα δείξυµε ότι: ΒΓ < ΚΛ. Φέρνυµε τις ακτίνες ΚΒ, ΛΓ τότε ΚΒ ΛΓ γιατί είναι κάθετες στη ΒΓ. Από τ Λ φέρνυµε παράλληλ πρς την ΒΓ.Τότε ΒΓ = ΛS, αλλά ΛS < Λ από τ ρθγώνι ΚΛS, άρα ΒΓ < ΚΛ. S Γ Λ Εφαρµγή 4 ύ κύκλι τέµννται στα Α, Β.Αν Γ, τα διαµετρικά σηµεία τυ Α, να απδείξετε ότι ΓΒ είναι ευθεία. Α Φέρνυµε την κινή χρδή ΑΒ πότε: ΑΒΓ = 90 γιατί είναι εγγεγραµµένη πυ βαίνει σε ηµικύκλι. Όµια ΑΒ = 90 Λ άρα ΓΒ ευθεία. Δ Γ Β Εφαρµγή 5 ύ κύκλι εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Από τ Α φέρνυµε µια τυχαία τέµνυσα. Να απδείξετε ότι ι ακτίνες πυ καταλήγυν στα άκρα της τέµνυσας είναι παράλληλες. Για να δείξυµε ότι ΚΒ ΛΓ αρκεί να δείξυµε ότι Β = Γ. Φέρνυµε την ΚΛ. Αυτή θα περάσει από τ Α. Τα τρίγωνα ΚΒΑ και ΛΑΓ είναι ισσκελή και επµένως θα είναι: Β= Α () και Γ= Α (). Επειδή όµως Α = Α () 3. Από τις (), () έχυµε Β = Γ και επµένως ΚΒ ΛΓ. Β Γ Α Λ Εφαρµγή 6 ύ κύκλι εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Αν ΒΓ η κινή εξωτερική εφαπτµένη αυτών, να απδείξετε ότι ΓΑΒ = 90. Φέρνυµε την κινή εσωτερική εφαπτµένη των κύκλων στ Α και έστω Μ τ σηµεί της τµής αυτής µε την ΒΓ. Τότε ΜΒ = ΜΑ και ΜΑ = ΜΓ (εφαπτόµενα τµήµατα από σηµεί Β M Γ πρς κύκλ). Άρα ΜΑ = ΜΒ = ΜΓ και επµένως κύκλς διαµέτρυ ΒΓ θα περάσει από τ Α πότε η Α ως εγγεγραµµένη Α πυ βαίνει σε ηµικύκλι θα είναι ρθή.
Κύκλς 43. Εφαρµγή 7 Να απδείξετε ότι ι κινές εφαπτµένες δύ κύκλων είναι ανά δύ ίσες. Θα απδείξυµε ότι ΑΒ = Γ και ΕΖ = ΗΘ. Έχυµε Σ ΣΓ () = και Σ = Σ () (εφαπτµένα τµήµατα από σηµεί σε κύκλ). Από τις (), () µε αφαίρεση κατά µέλη έχυµε ΑΒ = Γ. Όµια ΜΘ ΜΖ () 3 = και ΜΗ = ΜΕ () 4 Ì È Ó H Æ πρσθέτυµε τις (3), (4) και έχυµε: ΗΘ Εφαρµγή 8 = ΕΖ. ύ κύκλι εφάπτνται εξωτερικά στ Β. Αν από τ Β φέρυµε τυχαία τέµνυσα, να απδείξετε ότι ι εφαπτµένες στα άκρα της τέµνυσας είναι παράλληλες. Έστω Γ µια τέµνυσα και ψ, Γx ι εφαπτµένες στα άκρα της, θα δείξυµε ότι Γx ψ. Φέρνυµε τις ακτίνες ΚΓ, Γ τότε Γx ΚΓ και ψ Λ, Κ Β Δ Λ y επειδή ΚΓ Λ, έπεται ότι Γx ψ. Γ x
44. Κύκλς Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Η Αναλυτική Μέθδς (Πλάτωνας 430-347 π. Χ.) Οι απδεικτικές µέθδι - συνθετική µέθδς, η µέθδς της απαγωγής σε άτπ και η µέθδς της αντιθεταντιστρφής και της τέλειας επαγωγής - είναι γνωστές από την Άλγεβρα και χρησιµπιύνται και στη λύση γεωµετρικών πρβληµάτων. Οι παραπάνω µέθδι δεν µας δίνυν ικανπιητικά στιχεία για τ πως βρέθηκε η απόδειξη µιας πρότασης. Γι αυτό ακλυθύµε την επόµενη σειρά συλλγισµών πυ λέγεται ανάλυση. εχόµαστε ότι τ πρόβληµα ή η ζητύµενη πρόταση αληθεύει και τη µετασχηµατίζυµε διαδχικά µε τη βήθεια γνωστών πρτάσεων και θεωρηµάτων µέχρι να καταλήξυµε σε µία αληθινή πρόταση ή σε µία πρόταση πυ δίνεται στην υπόθεση τυ πρβλήµατς. ηλαδή: Έστω ότι η ζητύµενη πρόταση είναι η Π. εχόµαστε ότι η Π είναι αληθινή και τη µετασχηµατίζυµε διαδχικά στις πρτάσεις Π, Π,..., Π ν, όπυ η τελευταία πρόταση Π ν είναι αληθινή ή δσµένη στην υπόθεση τυ πρβλήµατς. Οι παραπάνω πρτάσεις είναι ι πρτάσεις της ανάλυσης και διατυπωµένες µε αντίστρφη σειρά απτελύν τη σύνθεση. Η λύση ενός πρβλήµατς παρυσιάζεται (διατυπώνεται) σχεδόν πάνττε µε τη σύνθεση. Παράδειγµα Στν κύκλ (Ο, ρ) παίρνυµε τις χρδές ΑΒ = ΑΓ και φέρνυµε από τ Α ευθεία, πυ τέµνει τν κύκλ στ Ε και τη ΒΓ στ. Να δειχθεί ότι η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ κύκλυ, πυ διέρχεται από τα σηµεία Β,, Ε. ιατυπώνυµε τις πρτάσεις της ανάλυσης: Π : εχόµαστε ότι η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ κύκλυ. Π : Α Β = ΕΒΑ (γωνία υπό χρδής και εφαπτµένης) Π : ΕΒΑ = ΕΓΑ (βαίνυν στ ίδι τόξ ΑΕ) Π : 3 ΕΓΑ = ω x (βλ. σχήµα) Π : 4 Α Β = ω x (διότι η γωνία ω είναι εξωτερική γωνία στ τρίγων Α Β) Οι παραπάνω πρτάσεις µας δηγύν στη διατύπωση της λύσης η πία είναι: Α Β = ω x, διότι η γωνία ω είναι εξωτερική γωνία στ τρίγων Α Β και ΕΓΑ = ω x πότε Α Β = ΕΓΑ και Α Β = ΕΒΑ, πυ σηµαίνει ότι η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ κύκλυ στ σηµεί Β. ù x ù x
Κύκλς 45. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Στα άκρα Α, Β διαµέτρυ ΑΒ κύκλυ (Ο,ρ) φέρνυµε τις ηµιεφαπτµένες Αx και Βψ πρς τ ίδι ηµιεπίπεδ της ΑΒ. Σε σηµεί Μ τυ κύκλυ φέρνυµε τρίτη εφαπτµένη, πυ τέµνει τις Αx, Βψ στα Γ και. Να δειχθεί ότι: α. Γ = ΑΓ + Β, β. ΓΟ = 90, γ. Ο κύκλς διαµέτρυ Γ εφάπτεται της ΑΒ στ κέντρ Ο. x ø α. Είναι ΓΜ = ΓΑ και Μ = Β. Άρα ΓΜ + Μ = Γ = ΑΓ + Β. Ê Ì β. Είναι Γ = Γ και =. Επειδή Αx//Βψ έχυµε: Γ Γ+ = 80 Γ + = + = 90 Επµένως ΓΟ = 90. γ. Φέρνυµε την ΟΚ//ΑΓ//Β, πότε ΟΚ ΑΒ. Επειδή τ Ο είναι µέσ της ΑΒ θα είναι τ Κ µέσ της Γ. Η διάµεσς τυ τραπεζίυ ΑΒ Γ δηλ. ΑΓ + Β Γ Γ η ΚΟ είναι ίση µε =, άρα κύκλς Κ, περνά από τ Ο. Επειδή Γ ΑΒ ΚΟ, η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ Κ,. Άσκηση Στ ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓ ( Α= =90 ) είναι ΒΓ = ΑΒ + Γ. Να δειχθεί ότι κύκλς µε διάµετρ τη ΒΓ εφάπτεται της Α. Η διάµεσς ΟΕ τυ τραπεζίυ είναι κάθετη στην Α - ΑΒ + Γ ΒΓ (ΟΕ//ΑΒ//Γ ). Επειδή ΟΕ = =, κύκλς ΒΓ Ο, εφάπτεται στην Α,αφύ η Α είναι κάθετη στην ΟΕ. Å Ï
46. Κύκλς Άσκηση 3 Σε κύκλ µε κέντρ Κ φέρνυµε τη διάµετρ ΑΒ. Με κέντρ σηµεί Γ της ΚΒ, τέτι ώστε ΚΓ > ΓΒ και ακτίνα ΓΚ γράφυµε κύκλ, πυ τέµνει τν (Κ, ΚΑ) στα και Ε. Αν η ευθεία Γτέµνει τν κύκλ (Κ,ΚΒ) στ σηµεί Ζ, να δείξετε ότι η γωνία ΑΚΖ είναι τριπλάσια της γωνίας ΒΚ. Επειδή Κ = ΚΖ είναι : = Ζ = ω. Επειδή ΓΚ = Γ είναι : = ΚΓ = ω. Η γωνία ΑΚΖ ως εξωτερική γωνία στ τρίγων ΚΓΖ ισύται µε τ άθρισµα των δύ απέναντι γωνιών, δηλ. είναι: ΑΚΖ = Γ + Ζ = + ΚΓ + Ζ = ω + ω + ω = 3ω. Άσκηση 4 ύ κύκλι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Ε. Μία ευθεία ε περνάει από τ Ε και τέµνει τυς κύκλυς στα σηµεία Α και Β αντίστιχα. Να δειχθεί ότι ι εφαπτόµενες ε και ε των κύκλων στα σηµεία Α και Β είναι παράλληλες. Από τα ισσκελή τρίγωνα ΚΑΕ και ΛΕΒ παίρνυµε: å Α = Ε = Ε = Β Επµένως Α Ê R Å = Β, ως συµπληρώµατα ίσων γωνιών. ñ Άρα ε //ε. å Άσκηση 5 ύ κύκλι µε κέντρα Κ και Λ εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Φέρνυµε δύ χρδές ΑΒ και ΑΓ των κύκλων κάθετες µεταξύ τυς στ Α. Να δειχθεί ότι: ΚΒ//ΛΓ. Επειδή ΒΑΓ = 90 είναι Α + Α = 90. Άρα Β Γ 90 ( Α Β, Α Γ) + = = =. å Επειδή Κ + Β + Α + Λ + Γ + Α = 360 έχυµε: Κ + Λ + 90 + 90 = 360 Κ + Λ = 80 ΚΒ // ΓΛ (αφύ είναι παραπληρωµατικές ι εντός και επί τα αυτά γωνίες των ΚΒ και ΛΓ). Άσκηση 6 ύ κύκλι µε κέντρα Κ και Λ εφάπτνται εξωτερικά σε σηµεί Α και στις πλευρές της ρθής γωνίας xψ, στα σηµεία Β και Γ. Να δειχθεί ότι Γ =35.
Κύκλς 47. Φέρνυµε την κινή εσωτερική εφαπτόµενη ε, πυ τέµνει την Οψ στ και την Οx στ Ε. Είναι Β = Α, Γ = Α (διότι ΕΒ = ΕΑ και Α = Γ ως ίσα εφαπτόµενα τµήµατα). Είναι Ε = 80 Α, = = 80 Α. Ε+ = 360 Α + Α Άρα ( ) ( ) ( ) Α + Α = 360 Ε + = 360 90 = 70. Επµένως Α Α + = 35 ή ΒΑΓ = 35. Άσκηση 7 Οξυγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Β > Γ) είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (Ο,R). Φέρνυµε τ ύψς Α, τη διάµετρ ΑΕ και τη διχτόµ ΑΗ. Να δειχθεί ότι: α. Α = ΕΑΓ β. ΑΗ = ΗΑΕ γ. ΑΕ = Β - Γ ( Β > Γ ). α. Τα ρθγώνια τρίγωνα Α Β και ΑΓΕ έχυν Β = Ε (ως εγγεγραµµένες στ τόξ ΑΓ). Επµένως ΒΑ = ΕΑΓ. β. Είναι ΑΗ = ΗΑΕ, διότι Α Α ΑΗ = ΒΑ = ΕΑΓ = ΗΑΕ Α ΑΕ = ΑΗ = 90 ΑΗ = 80 Γ + = = Α + Β + Γ Α Γ = Β Γ γ. ( ) Άσκηση 8 Σε κύκλ (Ο,R) παίρνυµε διαδχικά τα σηµεία Α,Β,Γ,. Οι διχτόµι των εγγεγραµµένων γωνιών Α,Γ τέµνυν τ κύκλ στα Ε, Ζ. Να δειχθεί ότι η ΕΖ είναι διάµετρς τυ κύκλυ. Οι εγγεγραµµένες γωνίες ΒΑ και ΒΓ αντιστιχύν στα τόξα ΒΕ και ΖΒ. Είναι ΒΕ ΒΕ = και ΒΖ ΖΒ =. ö ö Άρα ΒΕ + ΖΒ 360 ΒΕ + ΒΖ = = = 80. Επµένως η ΕΖ είναι διάµετρς τυ κύκλυ. å ù ù ö ö H ù ù Z Ø
48. Κύκλς Άσκηση 9 Τρίγων ΑΒΓ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (Ο,R). Φέρνυµε την εφαπτµένη στ Α πυ τέµνει την πρέκταση της ΓΒ στ σηµεί Ε. Φέρνυµε την διχτόµ Α τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Να δειχθεί ότι τ τρίγων Α Ε είναι ισσκελές. Α = Γ,ως γωνία χρδής και εφαπτµένης, πότε είναι ΕΑ = Α + ω = Γ + ω. Όµως Α Ε = ω + Γ,ως εξωτερική στ τρίγων Α Γ Άρα ΕΑ = Α Ε και τ τρίγων Α Ε είναι ισσκελές. Άσκηση 0 Έστω κύκλς (Ο,ρ) και ΑΒ διάµετρς. Στ Α φέρνυµε την εφαπτµένη ε και ενώνυµε τυχαί σηµεί Γ της εφαπτµένης µε τ Β. Η ΒΓ τέµνει τν κύκλ στ σηµεί. Να απδειχθεί ότι η εφαπτµένη στ περνάει από τ µέσ Ε τυ ΑΓ. Τ τρίγων Α Γ είναι ρθγώνι γιατί Α Β = 90 (εγγεγραµµένη σε ηµικύκλι). å = Α, ως ίσες µε την αντίστιχη εγγεγραµµένη γωνία Β. Άρα ΑΕ = Ε. Επειδή = Γ, ως συµπληρωµατικές των = Α θα είναι ΑΓ ñ Ε = ΓΕ. Επµένως ΑΕ = ΕΓ =. Άσκηση Σε κύκλ (Ο,ρ) θεωρύµε διάµετρ ΑΒ και Γ µία χρδή τυ. Να απδειχθεί ότι ι χρδές ΑΓ και Β έχυν ίσες πρβλές στην ευθεία Γ. Φέρνυµε Γ, ΒΒ Γ και ΟΟ Γ. Τ Ο είναι τ µέσ τυ Α Β,άρα η ΟΟ είναι διάµεσς τυ τραπεζίυ ΑΑ Β Β.Είναι Α Γ = Α Ο Ο Γ και Β = Β Ο Ο. Επµένως Α Γ = Β. Άσκηση ύ κύκλι (Κ, ρ) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Φέρνυµε µια χρδή ΑΒ τυ κύκλυ (Κ, ρ) και την χρδή Να δειχθεί ότι ΒΓ//=ΚΛ. Ï ΑΓ ΑΒ τυ κύκλυ (Λ, ρ).
Κύκλς 49. Τα τρίγωνα ΚΒΑ και ΑΛΓ είναι ισσκελή. Επειδή ΒΑΓ = 90 ω + φ = 90 + = + =. ω φ 80 Κ Λ 80 ΚΒ// ΓΛ Επίσης είναι ΚΒ = ΛΓ = ρ. Επµένως τ ΚΒΓΛ είναι παραλληλόγραµµ. Ετσι πρκύπτει ΒΓ//=ΚΛ. Άσκηση 3 Ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι εγγεγραµµέν στν κύκλ (Ο,ρ). Στ τόξ ΒΓ, πυ δεν ανήκει τ Α, θεωρύµε σηµεί Ε και φέρνυµε την ΒΚ ΑΕ, πυ τέµνει την πρέκταση της ΕΓ στ. Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΒΕ είναι ισσκελές. Επειδή ΑΒ = ΑΓ = Γ,θα είναι Ε = Ε (),ως εγγεγραµµένες σε ίσα τόξα. Άρα η ΕΚ είναι ύψς και διχτόµς στ τρίγων ΒΕ. Αυτό σηµαίνει ότι τ τρίγων ΒΕ είναι ισσκελές. Άσκηση 4 Θεωύµε δύ κάθετες χρδές ΑΒ και Γ κύκλυ (Ο,ρ), πυ τέµννται στ Ι. Έστω Μ και Ρ τα µέσα των χρδών Α και ΒΓ. Να απδείξετε ότι: α. ΙΜ ΒΓ και ΙΡ Α β. ΟΜ = ΓΒ/ και ΟΡ = Α /. α. Η ΙΜ είναι διάµεσς τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΙ, πότε ΙΜ = ΜΑ και Α = ΑΙΜ = ΕΙΒ. Επειδή Α = Γ (ως εγγεγραµµένες στ ) και Γ+ Β= 90, παίρνυµε ΕΙΒ + Β = 90. Άρα ΙΜ ΒΓ. Όµια πρκύπτει ότι ΙΡ Α. β. Επειδή ΟΜ Α, είναι ΟΜ//ΙΡ. Επειδή ΟΡ ΒΓ, είναι ΟΡ//ΙΕ. Άρα τ ΜΟΡΙ είναι παραλληλόγραµµ και συνεπώς έχυµε: ΒΓ Α ΟΜ = ΙΡ = και ΟΡ = ΙΜ =. ñ ù ñ ù ñ ö ö ñ Άσκηση 5 Σε κύκλ µε κέντρ Ο, θεωρύµε διάµετρ ΑΒ και ακτίνα ΟΓ ΑΒ. Στις πρεκτάσεις της διαµέτρυ ΑΒ παίρνυµε τα τµήµατα Α = ΒΕ. Οι Γ και ΓΕ, τέµνυν τ κύκλ στα σηµεία Ζ και Η αντίστιχα. Να δειχθεί ότι: α. Ζ = ΗΕ β. ΖΗ// Ε.
50. Κύκλς Επειδή Ο = ΟΕ και ΟΓ Ε,τ τρίγων Γ Ε είναι ισσκελές. Οπότε Γ = Γ και Γ = ΓΕ. Φέρνυµε τις ΟΚ Γ και ΟΛ ΓΕ, τότε ρθγώνια τρίγωνα ΟΚΓ και ΟΛΓ είναι ίσα, (διότι έχυν ΟΓ κινή υπτείνυσα και Γ = Γ). Επµένως ΟΚ = ΟΛ, πότε είναι ΓΖ = ΓΗ, ως χρδές των απστηµάτων ΟΚ,ΟΛ. Άρα Z H α. Ζ = ΗΕ (ως διαφρές ίσων τµηµάτων). β. Από τα παραπάνω τ τρίγων ΓΖΗ είναι ισσκελές, πότε η διχτόµς ΓΟ της γωνίας Γ, είναι κάθετη στη ΖΗ. Επειδή ΓΟ ΖΗ και ΓΟ Ε πρκύπτει ότι ΖΗ// Ε. Άσκηση 6 Έστω Γ τ µέσ ηµικυκλίυ διαµέτρυ ΑΒ. Αν σηµεί τυ τόξυ ΑΓ και Ε η πρβλή τυ Γ στην ευθεία Α, να δειχθεί ότι: ΓΕ = Ε. Είναι ΑΟΓ = 90. Από τ τρίγων ΑΓ έχυµε: ω= Α + Γ,(ως εξωτερική γωνία). Επειδή Α = Ο και Γ = Ο (Η εγγεγραµµένη είναι ίση µε τ µισό της αντίστιχης επίκεντρης), έχυµε: ( ) 0 ω = Ο + Ο = Ο+ Ο = ΑΟΓ = 90 = 45 Άρα τ ρθγώνι τρίγων ΓΕ είναι και ισσκελές δηλ. ΓΕ = Ε. ù
Κύκλς 5.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρύµε σηµεί Α στην πρέκταση της διαµέτρυ ΒΓ κύκλυ (Ο,ρ). Από τ Α φέρνυµε την Α Ε, πυ τέµνει τν κύκλ, έτσι ώστε τ Α να είναι ίσ µε την ακτίνα. Να απδείξετε ότι = 3Γ. Å Ï ñ. ίνεται ηµικύκλι διαµέτρυ ΑΒ.Φέρνυµε χρδή ΑΓ έτσι ώστε ΓΑΒ = 30. Στ σηµεί Γ φέρνυµε την εφαπτόµενη, πυ τέµνει την ευθεία ΑΒ στ. Να δειχθεί ότι ΑΓ = Γ. 3. Γράφυµε δύ κύκλυς (Κ, R) και (Λ, ρ) πυ τέµννται στα Α και Β. Αν Γ, τα αντιδιαµετρικά σηµεία τυ Α πρς τυς δύ κύκλυς και Ζ, Ε τα αντιδιαµετρικά ση- µεία τυ Β, να δείξετε ότι τ τετράπλευρ Γ ΕΖ είναι ρθγώνι παραληλόγραµµ. Z Ê 4. Θεωρύµε δύ ίσυς κύκλυς µε κέντρα Κ και Λ πυ τέµννται στα Α και Β. Γράφυµε τυχαία ευθεία ε πυ διέρχεται από τ µέσν Ο της ΑΒ και τέµνει τν κύκλ Κ στα σηµεία, Ε και τν κύκλ Λ στα Ζ και Η (τ Ζ ανήκει στην Ε και τ Ε στην ΖΗ). είξτε ότι ΟΕ = ΟΖ. å Ê Ð Z Ï Ñ Ç 5. Γράφυµε δύ κύκλυς µε κέντρα Κ και Λ πυ τέµννται στα Α και Β. Από τ Α φέρνυµε παράλληλη στη διάκεντρ ΚΛ, πυ τέµνει τυς κύκλυς στα σηµεία Γ, αντίστιχα. Να δείξετε ότι η Γ έχει διπλάσι µήκς απ την ΚΛ. Ð Ê Ó 6. Από τ ένα κινό σηµεί Α δύ τεµνόµενων κύκλων Κ και Λ φέρνυµε τυχαία ευθεία, πυ τυς τέµνει στα σηµεία Β και Γ. Να δειχθεί ότι ι εφαπτόµενες στα Β, Γ ρίζυν γωνία ίση µε 80 - ΚΑΛ. Ê
5. Κύκλς 7. Γράφυµε δύ κύκλυς (Κ, R) και (Λ, ρ) µε R > ρ,πυ εφάπτνται εσωτερικά στ Ε. Η ευθεία ΚΛ τέµνει τν (Κ, R) στ Α και τν (Λ, ρ) στ Β. Από τ µέσν Ο τυ τµήµατς ΑΒ φέρνυµε την ΟΓ κάθετη στην ΑΒ. Αν η ευθεία ΕΓ τέµνει τν κύκλ (Λ, ρ) στ, να δείξετε ότι η ευθεία Ο είναι εφάπτεται στν κύκλ (Λ, ρ). 8. Οι κύκλι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Α. Από τ Α φέρνυµε ευθεία, πυ τέµνει τν (Λ, ρ) στ σηµεί Γ και τν (Κ, R) στ σηµεί Β. Να δείξετε ότι η εφαπτµένη ε τυ κύκλυ (Κ, R), στ Β είναι κάθετη στην ευθεία ΓΛ. ñ R å 9. ύ κύκλι µε κέντρα Κ και Λ εφάπτνται σε κύκλ µε κέντρ Ο στα σηµεία Α και Β. Αν η ευθεία ΑΒ τέµνει τν κύκλ µε κέντρ Λ στ Γ, να δείξετε ότι ι ΚΑ και ΛΓ είναι παράλληλες. 0. Γράφυµε δύ κύκλυς (Κ, R) και (Λ,ρ) πυ εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Ε. Φέρνυµε και την κινή εξωτερική εφαπτόµενη τυς πυ εφάπτεται στα σηµεία Α και Β αντίστιχα. Να δείξετε ότι: α.τ τίγων ΑΕΒ είναι ρθγώνι β. Ο κύκλς µε διάµετρ την ΑΒ εφάπτεται στην διάκεντρ των κύκλων στ σηµεί Ε. γ. Η ευθεία ΑΒ εφάπτεται στν κύκλ µε διάµετρ την ευθεία ΚΛ.. Γράφυµε κύκλ (Ο,R) και παίρνυµε δύ ίσα τόξα µε κινή αρχή και µέτρ 0 τ καθένα. Έστω και Ε τα µέσα των ίσων τόξων. Να δείξετε ότι η Ε χωρίζεται σε τρία ίσα µέρη από τις αντίστιχες χρδές των ίσων τόξων πυ θεωρήσα- µε.
Κύκλς 53.. Θεωρύµε σηµεία Α, Β, Γ κύκλυ (Ο, R). Από τ µέσ Μ τυ τόξυ ΒΓ φέρνυµε τη χρδή ΜΝ παράλληλη στην ευθεία ΑΓ. Να δείξετε ότι τα τόξα ΑΒ και ΜΝ είναι ίσα. Í M 3. Θεωρύµε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµέν σε κύκλ-.αν ι διχτόµι των ίσων γωνιών Β και Γ τυ ισσκελύς τριγώνυ τέµνυν τ κύκλ στα σηµεία, Ε και Ο είναι τ σηµεί τµής των διχτόµων, να δειχθεί ότι τ τετράπλευρ Α ΟΕ είναι ρόµβς. 4. Γράφυµε δύ κύκλυς πυ τέµννται στα σηµεία Α και Β. Φέρνυµε την κινή εφαπτµένη τυς Γ.Να δειχθεί ότι ι γωνίες ΓΑ και ΓΒ είναι παραπληρωµατικές. 5. Θεωρύµε τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµέν σε κύκλ και τέτι ώστε να είναι Β-Γ = 90. Να δειχθεί ότι η ευθεία ΒΓ είναι κάθετη στην εφαπτµένη στ Α. 6. ίνεται κύκλς µε κέντρ Ο.Γράφυµε τη διάµετρ ΑΒ και σηµειώνυµε τυχαί σηµεί Γ τυ κύκλυ. Φέρνυµε την εφαπτµένη Βx και τη διχτόµ της γωνίας ΒΑΓ, πυ τέµνει τη ΒΓ στ, τν κύκλ στ Μ και τη x στ Ζ. Να δειχθεί ότι Β = ΒΖ. M Z x
54. Κύκλς 7. Χωρίζυµε τη χρδή ΑΒ κύκλυ (Ο,ρ) σε τρία ίσα ευθ.τµήµατα ΑΓ = Γ = Β. Να δειχθεί ότι: α. ΑΟΓ = ΟΒ β. ΑΟΓ < ΓΟ 8. Γράφυµε δύ κύκλυς πυ τέµννται στα σηµεία Α και Β. Αν Γ και είναι τα αντιδιαµετρικά σηµεία τυ Α ως πρός τυς δύ κύκλυς, να δείξετε ότι τα σηµεία Γ,, Β είναι συνευθειακά. å 9. Γράφυµε κύκλ (Ο,ρ) και στην πρέκταση της ακτίνας ΟΑ, παίρνυµε ευθ.τµήµα ΑΒ ίσ µε την ακτίνα.φέρνυµε τη ΒΓ κάθετη σε τυχαία εφαπτόµενη ε τυ κύκλυ. Να δείξετε ότι η γωνία ΟΑΓ είναι τριπλάσια της ΑΓΒ. ñ ñ 0. Θεωρύµε κύκλ (Ο,ρ) και γράφυµε τις ίσες χρδές ΑΒ, ΑΓ. Φέρνυµε από τ Α ευθεία, πυ τέµνει τν κύκλ στ Ε και τη ΒΓ στ. Να δείξετε ότι κύκλς πυ διέρχεται από τα σηµεία Β,, Ε εφάπτεται στην ΑΒ.. Γράφυµε δύ κύκλυς πυ τέµννται στα σηµεία Α και Β. Φέρνυµε τις διαµέτρυς ΑΚΓ και ΑΛ και τις παράλληλες χρδές ΓΖ και Ε. Να δειχθεί ότι τα σηµεία Ζ, Α, Ε βρίσκνται στην ίδια ευθεία. Z
Κύκλς 55.. Θεωρύµε ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµέν στν κύκλ (Κ,R) τυχαί σηµεί Μ τυ τόξυ ΒΓ. Να δείξετε ότι: ΜΑ = ΜΒ + ΜΓ. M Z 3. Τραπέζι ΑΒΓ (ΑΒ// Γ) είναι εγγεγραµµέν στν κύκλ (Κ,ρ). Να δείξετε ότι, η γωνία των εφαπτόµενων τυ κύκλυ αυτύ, στα σηµεία Α και Γ, είναι ίση µε τη γωνία πυ σχηµατίζυν ι πρεκτάσεις των πλευρών Α και ΒΓ.. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Α. Σε κύκλ παίρνυµε σηµεί Γ της διαµέτρυ ΑΒ. Γράφυµε τυς κύκλυς µε διαµέτρυς τα ευθ,τµήµατα ΑΓ και ΓΒ. Φέρνυµε ευθεία πυ διέρχεται από τ Γ και τέµνει τυς τρεις κύκλυς κατά σειρά στα σηµεία, Ε, Ζ και Η. Να δείξετε ότι: Ε = ΖΗ. Β. Γράφυµε κύκλ (Ο,R) και παίρνυµε δύ τόξα µικρότερα των 80 0 µε κινή αρχή Α. Έστω και Ε τα µέσα των τόξων. Αν η Ε τέµνει τις χρδές πυ θεωρήσαµε στα Ζ,Η να δείξετε ότι ΑΖ = ΑΗ.