ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64) Óå ìéá ðüëç 4 êáôïßêùí, ï áñéèìüò ôùí áõôïêôïíéþí óå Ýíá ìþíá áêïëïõèåß ôçí êáôáíïìþ Poisson ìå ðáñüìåôñï 4. Ïé áñéèìïß ôùí áõôïêôïíéþí óôïõò äéüöïñïõò ìþíåò èåùñïýíôáé áíåîüñôçôåò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò.. Íá âñåèåß ç ðéèáíüôçôá óå Ýíá ìþíá íá óõìâïýí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò.. Íá âñåèåß ç ðéèáíüôçôá óå Ýíá ñüíï íá õðüñ ïõí ôïõëü éóôïí ìþíåò ìå 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò óôïí êáèýíá.. Áò õðïèýóïõìå üôé ìüëéò áñ ßæåé ï ÌÜéïò ôïõ. ÐïéÜ åßíáé ç ðéèáíüôçôá ï ðñþôïò ìþíáò óôïí ïðïßï èá óõìâïýí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò íá åßíáé ï ÄåêÝìâñéïò ôïõ ; óêçóç (Ross, Exer. 4.Theor) óôù ìéá äéùíõìéêþ ôõ áßá ìåôáâëçôþ ðïõ ðáñéóôüíåé ôïí áñéèìü ôùí åðéôõ éþí óå n áíåîüñôçôåò äïêéìýò Bernoulli ìå ðéèáíüôçôá åðéôõ ßáò p áíü äïêéìþ. Íá âñåßôå ôç ìýóç ôéìþ [ ] Å X + óêçóç 4 (Ross, Exer. 4.Theor9) Áí ç åßíáé ôõ áßá ìåôáâëçôþ Poisson ìå ðáñüìåôñï, íá áðïäåßîåôå üôé E[X n ] E[(X + ) n ] ñçóéìïðïéþíôáò áõôü ôï áðïôýëåóìá õðïëïãßóôå ôéò E[X], E[X ] êáé Å[ ]. óêçóç 5 (Ross, Exer. 5.) óôù X óõíå Þò ôõ áßá ìåôáâëçôþ ìå óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò ðéèáíüôçôáò { c( x f(x) ) áí < x <. ÐïéÜ åßíáé ç ôéìþ ôïõ c;. Ðñïóäéïñßóôå ôç óõíüñôçóç êáôáíïìþò ôçò.
óêçóç 6 (Ross, Exer. 5.4) Ç óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò ðéèáíüôçôáò ìéáò óõíå ïýò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò, ðïõ ðáñéóôüíåé ôï ñüíï æùþò ìéáò çëåêôñïíéêþò óõóêåõþò (ìåôñçìýíï óå þñåò), äßíåôáé áðü ôïí ôýðï { áí f(x) x x >. Ðñïóäéïñßóôå ôçí P (X > ).. Ðñïóäéïñßóôå ôç óõíüñôçóç êáôáíïìþò ôçò.. Âñåßôå ôçí ðéèáíüôçôá üôé áðü 6 ôýôïéåò óõóêåõýò ðïõ ðåñéý ïíôáé óôçí ßäéá ðáñôßäá, ôïõëü éóôïí íá õðåñâïýí ôéò 5 þñåò ëåéôïõñãßáò. ÈåùñÞóôå üôé ïé ñüíïé æùþò äéáöïñåôéêþí óõóêåõþí åßíáé áíåîüñôçôåò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò. óêçóç 7 (Ross, Exer. 5.7) Ç óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò ðéèáíüôçôáò ìéáò óõíå ïýò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò äßíåôáé áðü ôïí ôýðï { a + bx áí x f(x) Áí Å[ ] 5, âñåßôå ôá a êáé b. óêçóç 8 (Ross, Exer. 5.5) ÊÜèå êïììüôé ðïõ ðáñüãåôáé óå ìéá áëõóßäá ðáñáãùãþò åßíáé áðïäåêôþò ðïéüôçôáò ìå ðéèáíüôçôá 95%, áíåîüñôçôá áðü ôá Üëëá êïììüôéá. Èåùñïýìå ìéá ðáñôßäá áðü 5 êïììüôéá. Íá âñåèåß ðñïóåããéóôéêü ç ðéèáíüôçôá ôï ðïëý áðü ôá êïììüôéá íá åßíáé áðáñüäåêôçò ðïéüôçôáò. óêçóç 9 (Ross, Exer. 5.4) Áí ç Ý åé ôçí ïìïéüìïñöç êáôáíïìþ óôï (; ), íá âñåßôå ôç óõíüñôçóç êáôáíïìþò, ôç óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò ðéèáíüôçôáò, ôç ìýóç ôéìþ êáé ôç äéáóðïñü ôçòõ e X. óêçóç (Ross, Exer. 5.Theor) Ç äéüìåóïò ìéáò óõíå ïýò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò ìå óõíüñôçóç êáôáíïìþò F åßíáé Ýíáò áñéèìüò m ôýôïéïò þóôå F (m). ÄçëáäÞ, ç ôõ áßá ìåôáâëçôþ åßíáé åîßóïõ ðéèáíü íá Ý åé ôéìýò ìåãáëýôåñåò ôçò äéáìýóïõ ôçò üóï êáé íá Ý åé ôéìýò ìéêñüôåñåò. Íá âñåßôå ôç äéüìåóï ôçò, üôáí ç áêïëïõèåß ôéò ðáñáêüôù êáôáíïìýò. ôçí ïìïéüìïñöç óôï (a; b),. ôçí êáíïíéêþ ìå ìýóç ôéìþ êáé äéáóðïñü,. ôçí åêèåôéêþ ìå ðáñüìåôñï.
ÁðáíôÞóåéò óêçóç (Ross, Exer. 4.8) ïõìå E[( + X) ] V ar[ + X] + (E[ + X]) V ar[x] + 9 4; V ar[4 + X] 9V ar[x] 45 óêçóç (Ross, Exer. 4.64) Áöïý ï áñéèìüò ôùí áõôïêôïíéþí óå Ýíá ìþíá áêïëïõèåß ôçí êáôáíïìþ Poisson ìå ðáñüìåôñï 4 èá Ý ïõìå p P (óå ìþíá íá óõìâïýí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò) 7 i 4 4i e i! Ï áñéèìüò ôùí ìçíþí óå Ýíá ñüíï ðïõ óõìâáßíïõí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò óôïí êáèýíá áêïëïõèåß ôç äéùíõìéêþ êáôáíïìþ ìå äïêéìýò (üóïé ïé ìþíåò) êáé ðéèáíüôçôá åðéôõ ßáò p, ôçí ðéèáíüôçôá óå ìþíá íá óõìâïýí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò. Óõíåðþò Ý ïõìå P (óå ñüíï ôïõëü éóôïí ìþíåò ìå 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò) ( p) p( p) O áñéèìüò ôùí ìçíþí ìý ñé íá åìöáíéóôåß ï ðñþôïò ìþíáò óôïí ïðïßï èá óõìâïýí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò áêïëïõèåß ôç ãåùìåôñéêþ êáôáíïìþ ìå ðéèáíüôçôá åðéôõ ßáò p, ôçí ðéèáíüôçôá óå ìþíá íá óõìâïýí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò. ÄåäïìÝíïõ üôé ìüëéò áñ ßæåé ï ÌÜéïò, ç ðéèáíüôçôá ï ðñþôïò ìþíáò óôïí ïðïßï èá óõìâïýí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò íá åßíáé ï ÄåêÝìâñéïò åßíáé P (ï ðñþôïò ìþíáò óôïí ïðïßï èá óõìâïýí 8 Þ ðåñéóóüôåñåò áõôïêôïíßåò åßíáé ï 8ïò áðü ôþñá) ( p) 7 p óêçóç (Ross, Exer. 4.Theor) ïõìå [ ] E X + n i ( n i + i (n + )p (n + )p n ) i n+ j p i ( p) n i ( ) n + p i+ ( p) n i i + ( ) n + j p j ( p) n+ j (n + )p [(p + ( p))n+ ( p) n+ ] ( p)n+ (n + )p óêçóç 4 (Ross, Exer. 4.Theor9) ïõìå E[X n ] i n i e i! i n e i (i )! (j + ) n e j! i i j E[(X + ) n ] j+
ñçóéìïðïéþíôáò ôç ó Ýóç áõôþ Ý ïõìå E[X] E[(X + ) ] E[] E[X ] E[(X + ) ] (E[X] + ) + E[X ] E[(X + ) ] (E[X ] + E[X] + ) + + óêçóç 5 (Ross, Exer. 5.) Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò óôáèåñüò c Ý ïõìå c ( x )dx c 4 Ãéá ôç óõíüñôçóç êáôáíïìþò Ý ïõìå üôé F (x) ãéá x êáé F (x) ãéá x. ÅðéðëÝïí F (x) x u 4 ( )du (x x 4 + ) ; x ( ; ) óêçóç 6 (Ross, Exer. 5.4) ïõìå P (X > ) x dx [ Ãéá ôç óõíüñôçóç êáôáíïìþò Ý ïõìå üôé F (x) ãéá x êáé F (x) x x ] x u du x ; x > H ðéèáíüôçôá ìéá óõóêåõþ íá õðåñâåß ôéò 5 þñåò ëåéôïõñãßáò åßíáé F (5). Áí Ý ïõìå ìéá ðáñôßäá 6 ôýôïéùí óõóêåõþí, ï áñéèìüò áõôþí ðïõ èá õðåñâïýí ôéò 5 þñåò ëåéôïõñãßáò áêïëïõèåß ôç äéùíõìéêþ êáôáíïìþ ìå ðáñáìýôñïõò n 6 êáé p. Óõíåðþò ç ðéèáíüôçôá üôé áðü 6 ôýôïéåò óõóêåõýò ðïõ ðåñéý ïíôáé óôçí ßäéá ðáñôßäá, ôïõëü éóôïí íá õðåñâïýí ôéò 5 þñåò ëåéôïõñãßáò åßíáé 6 ( 6 i i ) ( ) i ( ) 6 i óêçóç 7 (Ross, Exer. 5.7) ïõìå (a + bx )dx a + b x(a + bx )dx 5 Ëýíïõìå ôï óýóôçìá êáé âñßóêïõìå a 5 êáé b 6 5. a + 4 b 5 óêçóç 8 (Ross, Exer. 5.5) óôù ï áñéèìüò ôùí áðáñüäåêôùí êïììáôéþí ìåôáîý ôùí 5. Ç áêïëïõèåß ôç äéùíõìéêþ êáôáíïìþ ìå ìýóç ôéìþ 5 5 75 êáé äéáóðïñü 5 5 95 75. ñçóéìïðïéþíôáò ôçí êáíïíéêþ ðñïóýããéóç ôçò äéùíõìéêþò êáôáíïìþò (êåíôñéêü ïñéáêü èåþñçìá ôùí DeMoivre-Laplace) Ý ïõìå P (X ) P (X 5) ( ) X 75 5 75 P 75 75 P (Z 9); Z N(; ) 8695 4
óêçóç 9 (Ross, Exer. 5.4) ïõìå ãéá ôç óõíüñôçóç êáôáíïìþò F Y (y) ôçò Õ áí y F Y (y) P (Y y) P (e X y) P (X log y) log y áí < y < e áí e y Ãéá ôç óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò ðéèáíüôçôáò f Y (y) ôçò Õ Ý ïõìå H ìýóç ôéìþ åßíáé f Y (y) d { dy F áí < y < e Y (y) y äéáöïñåôéêü Å[Õ ] ÅíáëëáêôéêÜ, ìðïñåß íá âñåèåß áðü ôïí ôýðï Å[e X ] e yf Y (y)dy e x f X (x)dy dy e e x dx e Ç äéáóðïñü âñßóêåôáé áðü ôïí ôýðï V ar[y ] E[Y ] E[Y ], üðïõ E[Y ] e y f Y (y)dy ydy e ÔåëéêÜ V ar[y ] 4e e óêçóç (Ross, Exer. 5.Theor) ïõìå. m a+b.. m.. e m ïðüôå m log. ÐçãÞ. Ross, S. () A First Course in Probability, 6th Edition. Prentice-Hall. 5