Πως θα τα τοποθετήσουµε;

Πως θα τα τοποθετήσουµε; Σε κεκλιµένο επίπεδο ωνίας κλίσης =30 ο αήνουµε να κινηθούν µαζί ένας κύβος µάζας m 1 =6kg και µία οµοενής συµπαής σαίρα µάζας m =10kg και ακτίνας R µε δύο τρόπους, την διάταξη 1 και τη διάταξη. m 1 Ο κύβος δεν εµανίζει τριβές µε το κεκλιµένο επίπεδο ούτε µε τη σαίρα. Η σαίρα µπορεί να κυλίεται και ο συντελεστής οριακής τριβής ολίσθησης µεταξύ της σαίρας και του κεκλιµένου επιπέδου είναι µ ορ =0,5. Αρχικά συκρατούµε τη σαίρα και τον κύβο ακίνητα µε το χέρι µας και µια χρονική στιµή που θεωρούµε µηδέν αήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. Οι διαστάσεις των σωµάτων είναι τέτοιες ώστε η ευθεία που ενώνει τα κέντρα µάζας των σωµάτων να είναι παράλληλη στην ευθεία του κεκλιµένου επιπέδου. Α) Υποδείξτε σε ποια απο τις δύο διατάξεις τα σώµατα µπορούν να κινηθούν µαζί µε κοινή επιτάχυνση κέντρου µάζας. Β) i) Για τη διάταξη που υποδείξατε βρείτε την κοινή επιτάχυνση. ii) Ελέξτε αν η σαίρα κυλίεται. iii) Υπολοίστε την δύναµη που ασκεί το ένα στο άλλο σώµα. Γ) Κατόπιν συνδέσουµε τα σώµατα µε λεπτή αβαρή ράβδο όπως αίνεται στα σχήµατα µε τέτοιο τρόπο ώστε αν η σαίρα µπορεί να κυλίεται να µην εµποδίζεται. Ποιες απο τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; i) Η δύναµη που ασκεί η ράβδος και στις δύο περιπτώσεις είναι συνευθειακές κατά µήκος της ράβδου ii) Η επιτάχυνση του συστήµατος της διάταξης 1 είναι µεαλύτερη απο αυτή της διάταξης. iii) Και στις δύο διατάξεις οι σαίρες κυλίονται µε ίδια ωνιακή επιτάχυνση. ) Τώρα τον κύβο και τη σαίρα του προηούµενου ερωτήµατος τα δένουµε µε ιδανικό νήµα και αβαρή µηχανισµό µε τέτοιο τρόπο ώστε αν η σαίρα µπορεί να κυλίεται να µην εµποδίζεται. Για να µένει το νήµα τεντωµένο 1

ποια διάταξη θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε; Η ροπή αδράνειας της σαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της είναι Ι cm =0.4mR και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s. Απάντηση Α) Αρχικά θα βρούµε την επιτάχυνση που αποκτά κάθε σώµα όταν αεθεί να κινηθεί µόνο του. ( + ) Σ F = m α ց w 1,x =m 1 α cm,1 m 1 gηµ = m 1 α cm,1 x cm, 1 α cm,1 = gηµ α cm,1 = 5m/s (1) w 1 w 1,x α cm,1 Σαίρα ( + ) T στ =m α cm, x cm, m gηµ T στ = m α cm, () Τ στ α cm, Επειδή η σαίρα κυλίεται α cm, =α R. Στ=Ι cm Τ στ R=0,4m R α Τ στ =0,4m α cm, (3) H () µε τη βοήθεια της σχέσης (3) ίνεται: m gηµ 0,4m α cm, = m α cm, gηµ 0,4α cm, = α cm, 1,4α cm, = gηµ 7α cm, /5= gηµ α cm, = 5gηµ/7 α cm, =5/7 m/s Με τη διάταξη 1 ο κύβος θα προλαβαίνει τη σαίρα και θα την σπρώχνει συνεχώς προς τα εµπρός µένοντας διαρκώς σε επαή µε κοινή επιτάχυνση κέντρου µάζας. Βi) Επειδή η ευθεία που ενώνει τα κέντρα µάζας των σωµάτων είναι παράλληλη στην ευθεία του κεκλιµένου επιπέδου οι δυνάµεις επαής των σωµάτων διέρχονται απο τα κέντρα µάζας των σωµάτων. Αυτό σηµαίνει ότι δεν προκαλούν ροπή ως προς το κέντρο µάζας των σωµάτων. ( + ) w 1,x F =m 1 α cm x 1 cm m 1 gηµ F = m 1 α cm (4) Ο κύβος εκτελεί µεταορική κίνηση και δεν F w 1x F Τ στ w 1 α cm

στρέεται. Έτσι N1 0 Σ τ 0 w 0+ F 0+ N d= 0 d= 0 = 1 Η δύναµη Ν 1 διέρχεται απο το κέντρο µάζας του κύβου. Σαίρα ( + ) +F T στ =m α cm m gηµ +F T στ = m α cm (5) x cm Έστω ότι η σαίρα κυλίεται. Τότε α cm =α R Στ =Ιcm Τ στ R=0,4m R α Τ στ =0,4m α cm (6) H (5) µε τη βοήθεια της σχέσης (6) ίνεται: m gηµ+f 0,4m α cm = m α cm m gηµ+f = 1,4m α cm (7) Λαµβάνοντας υπόψη ότι η F και η F αποτελούν ζεύος δράσης αντίδρασης προσθέτουµε την (4) και την (7) και παίρνουµε m 1 gηµ+ m gηµ = m 1 α cm +1,4m α cm (m 1 +m )gηµ = (m 1 +1,4m )α cm ( m1+ m) gηµϕ αcm= α cm =(6+10) 10 0,5/(6+1,4 10) α cm =4m/s m + 1, 4m 1 Βii) Απο την (6) Τ στ =0,4 10 4=16Ν Ενώ η µέιστη τιµή της τριβής είναι Τ ορ =µν=µw y =µ m g συν()= 0,5 50 3=5 3Ν Έτσι η σαίρα κυλίεται. Biii) Η (4) δίνει F = m 1 gηµ m 1 α cm F = m 1 (gηµ α cm ) ( + ) ( ) ( + ) m1 m gηµϕ gηµϕ m1+ 1, 4m m1 m gηµϕ F = m1 g ηµϕ F = m1 m1+ 1, 4m m1+ 1,4m m gηµϕ+ 1, 4m g ηµϕ m gηµϕ m g ηµϕ 0,4m m g ηµϕ 0,4 6 10 10 0,5 10 = = = = = Ν + 1 1 1 F m1 F 6 m1+ 1, 4m m1+ 1, 4m 6 1, 4 10 0 Γi) Σωστή Εξαιτίας της σύνδεσης των σωµάτων µε τη ράβδο τα σώµατα του κάθε συστήµατος θα κινηθούν µε κοινή επιτάχυνση. Η ράβδος εκτελεί µεταορική κίνηση µε την κοινή επιτάχυνση των δύο κέντρων µάζας του κύβου και της σαίρας. 3

Έστω η διάταξη 1. Με βάση τα προηούµενα ο κύβος κατηορίζει πιο ρήορα απο ότι η σαίρα. Αυτό σηµαίνει ότι ο κύβος µέσω της ράβδου παρασύρει τη σαίρα και την σπρώχνει προς τα κάτω. Ο κύβος σπρώχνει την ράβδο στο σηµείο σύνδεσής τους προς τα κάτω ι αυτό και η ασκούµενη δύναµη του κύβου στη ράβδο F ρκύβου = έχει κατεύθυνση προς τα κάτω. Η ράβδος µε τη σειρά της σπρώχνει την σαίρα προς τα κάτω και η σαίρα λόω δράσης αντίδρασης τη ράβδο προς τα πάνω. Η δύναµη F ρσαίρα = που ασκεί η σαίρα στη ράβδο είναι προς τα πάνω. L L Στ = 0 y F1y = 0 F1y = Fy (8) ( + ) (8) mρ 0 Fy 0 F1y + Fy wρ y = 0 F1y = wρy F1y = 0 (9) Σ = y x w ρx x y Έτσι οι δυνάµεις που δέχεται η ράβδος απο τον κύβο και τη σαίρα είναι κατά µήκος της ράβδου. w ρy w ρ Σ F = 0 ( + ) mρ 0 F F + w = 0 F = F x 1 ρx 1 (10) Η διάταξη 1 είναι ισοδύναµη µε τον κύβο και τη σαίρα σε επαή χωρίς να παρεµβάλλεται η ράβδος όπως υποδείχτηκε στο Α ερώτηµα. ιάταξη 1 Με ανάλοη συλλοιστική οι δυνάµεις που ασκούνται στη ράβδο στη διάταξη θα είναι κατά µήκος της ράβδου αλλά αντίθετης οράς από ότι στη διάταξη 1. Ο κύβος θέλοντας να κινηθεί πιο ρήορα απο ότι η σαίρα θα σπρώχνει τη ράβδο προς τα κάτω ασκώντας της µία δύνµαη. Η ράβδος θα τραβά τη σαίρα προς τα κάτω και η σαίρα µε τη σειρά της θα τραβά την ράβδο προς τα πάνω ασκώντας της µία δύναµη. ιάταξη Γii Λάθος Γiii Σωστή Και ια τις δύο διατάξεις οι εξισώσεις είναι ίδιες. ( + ) w 1,x F 1=m 1 α cm x 1 cm F 1 w 1x w 1 T στ α cm F m 1 gηµ F 1 = m 1 α cm Ο κύβος εκτελεί µεταορική κίνηση και δεν στρέεται. ιάταξη 1 4

Έτσι N1 0 Σ τ = 0 w 0+ F 0 1 + N 1 d= 0 d = 0 Η δύναµη Ν 1 διέρχεται απο το κέντρο µάζας του κύβου. Σαίρα ( + ) +F T στ =m α cm x cm m gηµ +F T στ = m α cm Επειδή η σαίρα κυλίεται α cm =α R Στ =Ιcm Τ στ R=0,4m R α Τ στ =0,4m α cm Επιπλέον F 1=F. Το σύστηµα αυτό έχει ήδη λυθεί στο Β ερώτηµα απο όπου προκύπτει α cm =4m/s T στ =16Ν Και F 1=F =6N T στ α N cm F F 1 w 1,x ιάταξη w 1. Η ράβδος στα σηµεία που είναι ενωµένη µε τα σώµατα µπορεί να ασκήσει δύναµη προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Το σχοινί απεναντίας ασκεί δύναµη σε σώµα που είναι δεµένο µε αυτό πάντα απο το σώµα προς το νήµα κατά µήκος του νήµατος. Έτσι αν τοποθετηθεί ο κύβος πίσω και η σαίρα µπροστά, ο κύβος θέλοντας να κινηθεί πιο ρήορα θα λυίσει το σχοινί και τα σώµατα θα κινηθούν ελεύθερα µέχρι ο κύβος να προτάσει και να συκρουστεί µε τη σαίρα. Θέλοντας να κινηθεί το σύστηµα µε κοινή επιτάχυνση θα χρησιµοποιηθεί η διάταξη. Η διάταξη αυτή είναι ισοδύναµη µε τη διάταξη του Γ ερωτήµατος. Χ. Αριόδηµας chagriodimas@yahoo.gr chagriodimas@gmail.com 5