κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το κέντρο μάζας του:

Transcript

1 Κύλιση μη συμμετρικού στερεού Σαιρίδιο μάζας m που θεωρείται υλικό σημείο, έχει κολληθεί σε σημείο Α στην περιέρεια δίσκου μάζας m και ακτίνας R, όπως αίνεται στο σχήμα. Το σύστημα βρίσκεται στο κατακόρυο επίπεδο και ισορροπεί με τη βοήθεια αβαρούς μη ελαστικού νήματος, όπου το ένα του άκρο είναι δεμένο στο σημείο Α, ενώ το άλλο του άκρο στερεωμένο σε οροή. Το νήμα είναι τεντωμένο και σχηματίζει γωνία ˆ με την οριζόντια ευθεία, πάνω στην οποία βρίσκεται το σημείο Α και το κέντρο Κ του δίσκου. Δίμομται: Η ροπή αδράνειας δίσκου μάζας m και ακτίνας R ως προς άξονα Α Κ R κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το κέντρο μάζας του: 1 mr I. α) Να βρείτε την τάση του νήματος (Τ) και την στατική τριβή (Τ στ ) που δέχεται το στερεό από το έδαος, όσο αυτό ισορροπεί. Να κάνετε σχήμα όπου να αίνονται οι δυνάμεις αυτές. Το νήμα κόβεται και το στερεό ξεκινά κύλιση χωρίς ολίσθηση γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο Κ του δίσκου. β) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση (α ) του κέντρου μάζας του συστήματος τη στιγμή που κόβεται το νήμα. γ) Βρείτε την ελάχιστη επιτρεπτή τιμή του συντελεστή τριβής ολίσθησης, ώστε να μπορέσει το στερεό να ξεκινήσει εκτελώντας κύλιση χωρίς ολίσθηση. δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα v του σημείου Κ του δίσκου, όταν το σαιρίδιο τάσει στο έδαος. Θεωρείστε ότι εκτελείται συνέχεια κύλιση χωρίς ολίσθηση. ε) Τη στιγμή που το σαιρίδιο τάνει για πρώτη ορά στο έδαος (ερώτημα δ), ο δίσκος μεταβαίνει σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συνεχίζει την κίνησή του σε αυτό. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της στροορμής του στερεού ως προς το κέντρο μάζας του τη στιγμή που ελαχιστοποιείται για 1

2 πρώτη ορά η κινητική του ενέργεια, καθώς κινείται στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Απάμτηση α) Το στερεό ισορροπεί. Άρα, για άξονα που περνά από το σημείο επαής του δίσκου με το οριζόντιο επίπεδο θα είναι: Στ (Γ) =0 τ W1 -τ Τy -τ Τx =0 m 1 g R=T y R+Tx R m 1 g=t ημ+τ συν m1 g 10 T T T 0,6 0,8 50 Επίσης στον άξονα x ισχύει: ΣF x =0 T στ =Τ x T στ =Τ συν T στ = 50 0, 8 Τ στ = 40 β). Θεωρώ μεταορική και περιστροική γύρω από το. Από το Θεμελιώδη Νόμο της Μεταορικής κίνησης έχουμε: F ma T ma x,x,y,x Fy ma mg ma (),y Από το Θεμελιώδη Νόμο της Στροικής κίνησης έχουμε: I T, a mg mr R R R mg T (3) 1 R ( mr Τ y T στ w 1 T Γ w R R m m ) 4 4 α,y αεπ,κ α,y Το σημείο Κ δεν επιταχύνεται προς τα κάτω η προς τα πάνω οπότε: (4) α,χ y αγ y Επίσης για το σημείο Δ που είναι το σημείο επαής Δ του στερεού με το έδαος θα ισχύει αού εκτελεί ΚΧΟ: (5) Από τις 1, και 3 έχουμε: T 4ma,x

3 aγr mg m από τις οποίες mg mr T mr g R Έτσι g,x g,y και α =, +, = γ). Για να ξεκινήσει κύλιση χωρίς ολίσθηση, θα πρέπει να ισχύει η συνθήκη κύλισης, δηλ. θα πρέπει: () Θα πρέπειε επίσης, Άρα δ). Θεωρώντας πάντα την κίνηση του στερεού μεταορική και περιστροική γύρω από το κέντρο μάζας του, λέμε ότι αυτό έχει ταχύτητα U. Επομένως το κέντρο Κ του δίσκου θα έχει ταχύτητα από τη συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση για το στερεό, η οποία θα είναι: U Ο Δ R Εαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης θεωρώντας επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το κατώτερο σημείο στην τελική θέση της σημειακής μάζας m και έχουμε: Επομένως θα είναι = 3 ε). Όταν το στερεό εισέλθει σε λείο επίπεδο μηδενίζεται η τριβή, οπότε το στερεό συνεχίζει να κινείται διατηρώντας σταθερή τη συνιστώσα της ταχύτητας υ,χ =/, ενώ η γωνιακή του ταχύτητα μειώνεται λόγω της 3

4 συνισταμένης ροπής από τη δύναμη Ν που δέχεται από το έδαος. Άρα, η κινητική ενέργεια του στερεού (Κ ολ =Κ μετ +Κ περ ) ελαχιστοποιείται, όταν ελαχιστοποιηθεί μηδενιστεί στιγμιαία η κινητική του ενέργεια λόγω περιστροής, δηλ. όταν Κ περ =0. Αυτό θα γίνει όταν το κέντρο μάζας τάσει σε ύψος h από το έδαος, το οποίο υπολογίζουμε με ΑΔΕ από τη αρχική οριζόντια θέση (Ι) μέχρι την τελική θέση (ΙΙ), στην οποία το στερεό θα κινείται με κινητική ενέργεια, που θα είναι αποτέλεσμα της χ συνιστώσας της ταχύτητάς του, δηλαδή /. (Ι) U CM h Λ Ζ W ολ wολ A U m (ΙΙ) Κ Ι + =Κ + = 1 + = = Τη στιγμή αυτή ο ρυθμός μεταβολής της στροορμής θα είναι: - = α, - = γ συνθ () αεπ,κy θ αεπ,κ θ α,y α,y 4

5 Με πρόσθεση κατά μελη προκυπτει ότι: και από τη () Eπομένως Α. Αθανασιάδης 5