Ââåäåíèå Íà ßäó ñ ïîèñêîì ïî çàäàííîé ôóíêöèè åå ï îèçâîäíîé, òî ßâëßåòñß çàäà åé äèôôå åíöèàëüíîãî èñ èñëåíèß, àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â îá àòíîé îïå àöèè âîññòàíîâëåíèè ôóíêöèè ïî åå ï îèçâîäíîé. Òàê, åñëè èçâåñòíî ó àâíåíèå äâèæåíèß ìàòå èàëüíîé òî êè s = s(), òî ìîæíî íàéòè ñêî îñòü v() =s (), à ïîòîì óñêî åíèå a() =v (). Îäíàêî, ï èõîäèòñß å àòü è îá àòíó çàäà ó: èçâåñòíû ñèëû, äåéñòâó ùèå íà òî êó, à çíà èò (èç âòî îãî çàêîíà Íü òîíà), è óñêî åíèå a = a(), à íàäî íàéòè ñêî îñòü è ï îéäåííûé ïóòü. Òî åñòü íåîáõîäèìî ïî ôóíêöèè a() âîññòàíîâèòü ôóíêöè v(), äëß êîòî îé ôóíêöèß a ßâëßåòñß ï îèçâîäíîé, à ïîòîì, àíàëîãè íî, ïî ôóíêöèè v âîññòàíîâèòü ôóíêöè s. À åñëè àññìîò åòü êîëåáàòåëüíûé êîíòó, â êîòî îì èçâåñòíû èíäóêòèâíîñòü êàòó êè è åìêîñòü êîíäåíñàòî à, âêë åííûõ â ëåêò è åñêó öåïü, òî ìîæíî àññ èòàòü òîê i() â öåïè, íî äëß òîãî ï èõîäèòñß å àòü äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå, à äëß òîãî îïßòü íàäî óìåòü âîññòàíàâëèâàòü ôóíêöèè ïî èõ ï îèçâîäíûì. Ôóíêöèè, äëß êîòî ûõ çàäàííûå ôóíêöèß ßâëß òñß ï îèçâîäíûìè, íàçûâà òñß ïå âîîá àçíûìè îò äàííûõ ôóíêöèé, à ï îöåññ èõ îòûñêàíèß íàçûâàåòñß èíòåã è îâàíèåì. Ïå âîîá àçíàß îò äàííîé ôóíêöèè íå ßâëßåòñß åäèíñòâåííîé, ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïå âîîá àçíûõ íàçûâàåòñß íåîï åäåëåííûì èíòåã àëîì. Â îòëè èå îò äèôôå åíöè îâàíèß, ãäå èìååòñß åòêèé àëãî èòì íàõîæäåíèß ï îèçâîäíîé, ï è íàõîæäåíèè ïå âîîá àçíîé êàæäûé àç íóæåí ñïåöèàëüíûé ïîäõîä. Áîëåå òîãî, íå ó êàæäîé ëåìåíòà íîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò ïå âîîá àçíàß, ßâëß ùàßñß ëåìåíòà íîé ôóíêöèåé. Îñíîâíûå ï èåìû èíòåã è îâàíèß îáñóæäà òñß â äàííîì ïîñîáèè.
Ïå âîîá àçíàß è íåîï åäåëåííûé èíòåã àë Ïóñòü Δ êîíå íûé èëè áåñêîíå íûé ï îìåæóòîê èñëîâîé îñè, è ôóíêöèè f è F çàäàíû íà Δ. Îï åäåëåíèå Ôóíêöèß F íàçûâàåòñß ïå âîîá àçíîé ôóíêöèè f íà ï îìåæóòêå Δ, åñëè ôóíêöèß F äèôôå åíöè óåìà íà Δ è F () =f() äëß ë áîãî Δ. Íàï èìå, ôóíêöèß F () = 3 ßâëßåòñß ïå âîîá àçíîé ôóíêöèè 3 f() =. Ïå âîîá àçíàß ë áîé ôóíêöèè íåï å ûâíà, òàê êàê îíà èìååò ï îèçâîäíó. Îäíàêî, ôóíêöèß, ó êîòî îé åñòü ïå âîîá àçíàß íå îáßçàòåëüíî íåï å ûâíà. Íàï èìå, ó àç ûâíîé â íóëå ôóíêöèè { sin f() = cos, ï è 0, 0, ï è =0. íà âñåé èñëîâîé îñè ñóùåñòâóåò ïå âîîá àçíàß { F () = sin, ï è 0, 0, ï è =0. Òåî åìà Åñëè ôóíêöèß f íåï å ûâíà íà ï îìåæóòêå Δ, òî ñóùåñòâóåò ïå âîîá àçíàß ôóíêöèè f íà Δ. Â äàëüíåé åì áóäåì ãîâî èòü î ïå âîîá àçíûõ íåï å ûâíûõ íà ñâîåé îáëàñòè îï åäåëåíèß ôóíêöèé. Òåî åìà Äëß òîãî, òîáû äâå äèôôå åíöè óåìûå íà Δ ôóíêöèè F è G áûëè ïå âîîá àçíûìè îäíîé è òîé æå ôóíêöèè f íåîáõîäèìî è äîñòàòî íî, òîáû îíè îòëè àëèñü íà Δ íà ïîñòîßííó, òî åñòü ôóíêöèè F è G ïå âîîá àçíûå f òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãäå C íåêîòî àß ïîñòîßííàß. G() =F ()+C, Δ, Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè F ïå âîîá àçíàß ôóíêöèè f, òî åñòü F () = f() íà Δ, òî ôóíêöèß F ()+C ßâëßåòñß ïå âîîá àçíîé òîé æå ôóíêöèè f, òàê êàê (F ()+C) = F () =f(). Åñëè ôóíêöèè F è G ßâëß òñß ïå âîîá àçíûìè ôóíêöèè f, òî åñòü F () =G () =f,òî(f () G()) = F () G () =0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåî åìå Ëàã àíæà F () G() =C íà Δ.
Îï åäåëåíèå Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïå âîîá àçíûõ ôóíêöèè f íà Δ íàçûâàåòñß íåîï åäåëåííûì èíòåã àëîì ôóíêöèè f è îáîçíà àåòñß f() d. Ïîä çíàêîì èíòåã àëà ïè óò äëß óäîáñòâà íå ñàìó ôóíêöè f, à åå ï îèçâåäåíèå íà äèôôå åíöèàë d. Ýòî äåëàåòñß äëß òîãî, òîáû óêàçàòü, ïî êàêîé ïå åìåííîé èùóò ïå âîîá àçíó. Ôóíêöèß f íàçûâàåòñß ïîäûíòåã àëüíîé ôóíêöèåé, à âû àæåíèå f()d ïîäûíòåã àëüíûì âû àæåíèåì. Åñëè F êàêàß-ëèáî ïå âîîá àçíàß ôóíêöèè f, òî ïè óò f() d = F ()+C. () Ñîãëàñíî ôî ìóëå () ïîä çíàêîì èíòåã àëà ñòîèò äèôôå åíöèàë ôóíêöèè F : df () =F ()d = f()d. 3 Îñíîâíûå ñâîéñòâà íåîï åäåëåííîãî èíòåã àëà Ïóñòü ôóíêöèß f èìååò ïå âîîá àçíó F íà ï îìåæóòêå Δ.. df () =F ()+C, èëè, òî òî æå ñàìîå, F ()d = F ()+C. Ýòî ñ àçó ñëåäóåò èç îï åäåëåíèß íåîï åäåëåííîãî èíòåã àëà êàê ñîâîêóïíîñòè âñåõ ïå âîîá àçíûõ.. Àääèòèâíîñòü íåîï åäåëåííîãî èíòåã àëà. Ïóñòü ôóíêöèè f è f èìå ò ïå âîîá àçíûå íà ï îìåæóòêå Δ, òîãäà ôóíêöèß (f + f ) èìååò ïå âîîá àçíó íà ï îìåæóòêå Δ, ï è åì (f ()+f ()) d = f () d + f () d. () Ïîñëåäíåå àâåíñòâî ïîíèìàåòñß êàê ñîâïàäåíèå äâóõ ìíîæåñòâ ôóíêöèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèè F è F ßâëß òñß ïå âîîá àçíûìè ôóíêöèé f è f ñîîòâåòñòâåííî, òî åñòü F () =f (), F () =f (). Òîãäà f () d = F ()+C, f () d = F ()+C, 3
ãäå C,C ï îèçâîëüíûå ïîñòîßííûå. Ïîëîæèì F () :=F ()+F (). Ôóíêöèß F áóäåò ïå âîîá àçíîé ôóíêöèè (f + f ), òàê êàê F () =F ()+F () =f ()+f (), Δ. Ñëåäîâàòåëüíî, (f ()+f ()) d = F ()+C = F ()+F ()+C, ãäå C ï îèçâîëüíàß ïîñòîßííàß. Ñ ä óãîé ñòî îíû, f () d + f () d = F ()+C + F ()+C. Ïîñêîëüêó C, C, C ï îèçâîëüíûå ïîñòîßííûå, òî ìíîæåñòâà ôóíêöèé F ()+F ()+C è F ()+C +F ()+C ñîâïàäà ò, òî è îçíà àåò ñï àâåäëèâîñòü àâåíñòâà (). 3. Ïóñòü λ èñëî, λ 0. Òîãäà λf() d = λ f() d, (3) ïîñëåäíåå àâåíñòâî ïîíèìàåòñß êàê ñîâïàäåíèå äâóõ ìíîæåñòâ ôóíêöèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèß F () ßâëßåòñß ïå âîîá àçíîé ôóíêöèè f(). Òîãäà ôóíêöèß λf () ßâëßåòñß ïå âîîá àçíîé ôóíêöèè λf(), òàê êàê (λf ()) = λf () =λf(). Çíà èò, λf() d = λf ()+C, ãäå C ï îèçâîëüíàß ïîñòîßííàß. Ñ ä óãîé ñòî îíû, λ f() d = λ(f ()+C )=λf ()+λc, ãäå C ï îèçâîëüíàß ïîñòîßííàß. Ïîñêîëüêó λ 0, C è C ï îèçâîëüíûå ïîñòîßííûå, òî ìíîæåñòâà ôóíêöèé λf ()+C è λf ()+λc ñîâïàäà ò, òî è îçíà àåò ñï àâåäëèâîñòü àâåíñòâà (3). 4. Ëèíåéíîñòü èíòåã àëà. Ïóñòü λ,λ èñëà, õîòß áû îäíî èç íèõ íå íîëü. Òîãäà (λ f ()+λ f ()) d = λ f () d + λ f () d. 4
Äîêàçàòåëüñòâî ñ àçó ñëåäóåò èç ñâîéñòâ. è 3. Òàáëèöà îñíîâíûõ èíòåã àëîâ.. α d = α+ α+. d =ln + C. + C, α. 3. a d = a ln a + C, a > 0, a, â àñòíîñòè, e d = e + C. 4. sin d= cos + C. 5. cos d=sin + C. 6. d cos 7. d sin =g + C. = cg + C. d 8. +a = a arcg a + C = a arccg a + C, a 0. d 9. a = a ln a +a + C, a 0. 0. d a =arcsin a + C = arccos a. d a =ln + a + C, > a.. d +a =ln + + a + C. + C, < a. Åñëè çíàìåíàòåëü ïîäûíòåã àëüíîé ôóíêöèè îá àùàåòñß â íîëü â íåêîòî îé òî êå, òî íàïèñàííûå ôî ìóëû áóäóò ñï àâåäëèâû ëè ü äëß òåõ ï îìåæóòêîâ, â êîòî ûõ óêàçàííûé çíàìåíàòåëü â íîëü íå îá àùàåòñß. Ï èìå û.. Íàéòè èíòåã àë (3 sin +5cos) d. Ðå åíèå. Âîñïîëüçîâàâ èñü ëèíåéíîñòü èíòåã àëà (ñâîéñòâî 4) è òàáëèöåé, ïîëó èì (3 sin +5cos) d =3 sin d+5 cos d= 3cos+5sin+C.. Íàéòè èíòåã àë ( + ) d. 5
Ðå åíèå. Ðàñê ûâ ñêîáêè, è âîñïîëüçîâàâ èñü ëèíåéíîñòü èíòåã àëà è òàáëèöåé, ïîëó èì ( + ) d= d+ 3 d = + 5 5 + C. Óï àæíåíèß.. d.. 3 d. 3. d. 4. ( 3 +3 ) d. 5. sin d. 6. ( ) d. 7. ( +3)( + ) d. 8. (+) 3 d. 9. 5 + 5 d. 0. g d. 4 Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåã è îâàíèß 4. Çàìåíà ïå åìåííîé â íåîï åäåëåííîì èíòåã àëå Ïóñòü ôóíêöèè f() è ϕ() çàäàíû ñîîòâåòñòâåííî íà ï îìåæóòêàõ Δ è Δ, ï è åì ϕ(δ )=Δ. Òîãäà èìååò ñìûñë ñëîæíàß ôóíêöèß f(ϕ()), Δ. Ïóñòü ôóíêöèß ϕ äèôôå åíöè óåìà è ìîíîòîííà, òîãäà ñóùåñòâóåò îá àòíàß ôóíêöèß ϕ () íà Δ. Òåî åìà 3 Ïóñòü ôóíêöèß ϕ äèôôå åíöè óåìà è ìîíîòîííà íà Δ, ôóíêöèè f() çàäàíà íà Δ è ϕ(δ )=Δ. Åñëè ó ôóíêöèè f ñóùåñòâóåò ïå âîîá àçíàß F íà Δ, òî f() d = f(ϕ())ϕ () d. =ϕ () Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèß F ßâëßåòñß ïå âîîá àçíîé ôóíêöèè f, çíà èò, F = f. Ïóñòü = ϕ(), ïîêàæåì, òî ôóíêöèß F (ϕ()) ßâëßåòñß ïå âîîá àçíîé ôóíêöèè f(ϕ())ϕ (). Äåéñòâèòåëüíî, [F (ϕ())] = F (ϕ())ϕ () =f(ϕ())ϕ (). Òàêèì îá àçîì, èìååì f() d = F ()+C = F (ϕ()) =ϕ () +C = f(ϕ())ϕ () d =ϕ (), ãäå C ï îèçâîëüíàß ïîñòîßííàß. 6
Çàìåòèì, òî èíîãäà áûâàåò óäîáíåå äåéñòâîâàòü â ä óãó ñòî îíó, òî åñòü f(ϕ())ϕ () d = f(ϕ()) dϕ()= f() d. =ϕ() Ýòà îïå àöèß íàçûâàåòñß ïîäâåäåíèåì ïîä çíàê äèôôå åíöèàëà. 5 Ï èìå û.. Íàéòè èíòåã àë e 5 d. Ðå åíèå. Ñäåëàåì çàìåíó =5. Âû àæàß, ïîëó èì =, d = 5 d. Ïîäñòàâëßåì e 5 d = e d = 5 5 e + C = 5 e5 + C.. Íàéòè èíòåã àë g d. Ðå åíèå. Èñïîëüçóß îï åäåëåíèå òàíãåíñà, è ïîäâîäß ñèíóñ ïîä çíàê äèôôå åíöèàëà, ïîëó èì sin d cos g d= cos d = = ln cos + C. cos 3. Íàéòè èíòåã àë + d. Ðå åíèå. Çàìåòèâ, òî d = d = d( +), ïîëó èì + d = d( +) + = ln( +)+C. Â ïîñëåäíåì àâåíñòâå íåßâíî áûëà èñïîëüçîâàíà çàìåíà = +. Óï àæíåíèß.. cos 3d.. ln d. 3. 9 7 8 0 d. 4. 3 +4 d. 5. a d. 6. arcg 3 + d. 7. d sin cg. 8. e 9. cos 3 sin d. 0. + d. e + d. 7
4. Èíòåã è îâàíèå ïî àñòßì Òåî åìà 4 Åñëè ôóíêöèè u() è v() äèôôå åíöè óåìû íà íåêîòî îì ï îìåæóòêå Δ è ñóùåñòâóåò èíòåã àë vdu, òî ñóùåñòâóåò èíòåã àë udv è ñï àâåäëèâà ôî ìóëà èíòåã è îâàíèß ïî àñòßì: udv = uv vdu. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ï àâèëó äèôôå åíöè îâàíèß ï îèçâåäåíèß d(uv) =vdu+ udv, è ïî òîìó udv = d(uv) vdu. Èíòåã àë îò êàæäîãî ñëàãàåìîãî ñï àâà ñóùåñòâóåò, èáî ïå âûé ñóùåñòâóåò ïî ñâîéñòâó íåîï åäåëåííîãî èíòåã àëà, d(uv) =uv + C, à âòî îé ñóùåñòâóåò ïî óñëîâè. Çíà èò, ñóùåñòâóåò èíòåã àë udv è, âîñïîëüçîâàâ èñü àääèòèâíîñòü íåîï åäåëåííîãî èíòåã àëà (ñâîéñòâî ), èìååì udv = d(uv) vdu= uv vdu, ãäå êîíñòàíòà C îòíåñåíà ê èíòåã àëó vdu. Ï èìåíåíèå ï àâèëà èíòåã è îâàíèß ïî àñòßì öåëåñîîá àçíî â òåõ ñëó àßõ, êîãäà èíòåã àë â ï àâîé àñòè àâåíñòâà ëèáî ï îùå èñõîäíîãî, ëèáî åìó ïîäîáåí. Èíòåã è îâàíèå ïî àñòßì ï èìåíèìî, â àñòíîñòè, ê ñëåäó ùèì êëàññàì ôóíêöèé. I. Â èíòåã àëàõ âèäà P ()cosa d, P ()sina d, P ()e a d, ãäå P () ìíîãî ëåí, a 0, âêà åñòâå ôóíêöèè u ñëåäóåò ï èíßòü P (), à ïîä äèôôå åíöèàë ïîäâåñòè ôóíêöèè sin a, cos a, e a ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëå èíòåã è îâàíèß ïî àñòßì, èíòåã àë ñâîäèòñß ê èíòåã àëó òîãî æå òèïà, íî ñ ìåíü èì ïîêàçàòåëåì. Èíòåã àë ëèíååí (ñâîéñòâî 4), ïî òîìó âìåñòî ìíîãî ëåíà P () àññìîò èì îäíî ëåí n, ãäå n íàòó àëüíîå èñëî. Ðàññìîò èì ïå âûé èç âû åóïîìßíóòûõ èíòåã àëîâ (îñòàëüíûå èíòåã è ó òñß àíàëîãè íî): n cos a d = n d sin a = a a n sin a n a n sin ad. Èíòåã è îâàíèå ïî àñòßì ï îèçâîäßò n àç, ïîêà íå èñ å ïàåòñß ñòåïåíü ó. 8
Ï èìå û.. Íàéòè èíòåã àë sin 3d. Ðå åíèå. Ïîäâåäåì ñèíóñ ïîä çíàê äèôôå åíöèàëà è ï îèíòåã è óåì ïî àñòßì. sin 3d= d cos 3 = 3 3 cos 3 + cos 3d = 3 = 3 cos 3 + sin 3 + C. 9. Íàéòè èíòåã àë e d Ðå åíèå. Âîçüìåì u =, dv = e d. Òîãäà v = e, du =d è, èñïîëüçóß ôî ìóëó èíòåã è îâàíèß ïî àñòßì, èìååì e d = de = e e d. Ïîâòî èâ ï îöåäó ó äëß u =, dv = e d, ïîëó èì e d = de = e e d = e e + C. Îêîí àòåëüíî, e d = e e +e + C. II. Â èíòåã àëàõ âèäà P ()arcsina d, P () arccos a d, P () arcg a d, P () arccg a d è P ()lnd âû àæåíèå P ()d áå åòñß âêà åñòâå dv. Èíòåã è îâàíèå ïî àñòßì ïîçâîëßåò èçáàâèòüñß îò îá àòíûõ ò èãîíîìåò è åñêèõ ôóíêöèé èîòëîãà èôìà. Åñëè îá àòíûå ò èãîíîìåò è åñêèå ôóíêöèè èëè ëîãà èôì âîçâåäåíû â ñòåïåíü m, m > 0, òî ï è èíòåã è îâàíèè ïî àñòßì ñòåïåíü m ïîíèçèòñß íà åäèíèöó, è äëß ïîëó åíèß îòâåòà íàäî ï îèíòåã è îâàòü ïî àñòßì m àç. Êàê è â ï åäûäóùåì ïóíêòå âìåñòî ìíîãî ëåíà P () àññìîò èì îäíî ëåí n, ãäå n íàòó àëüíîå èñëî èëè íîëü. n ln m d= n + Ï èìå û. ln m d n+ = n+ n + lnm m n + n ln m d. 9
. Íàéòè èíòåã àë ln d Ðå åíèå. Âîçüìåì u =ln, dv = d. Òîãäà v =, du = d è, èñïîëüçóß ôî ìóëó èíòåã è îâàíèß ïî àñòßì, èìååì ln d= ln d = ln d= ln 4 +C.. Íàéòè èíòåã àë arccos d. Ðå åíèå. Ïóñòü u = arccos, dv = d,òîãäà v =, du = 4 d. Ï îèíòåã è óåì ïî àñòßì: arccos d= arccos + = arccos 4 4 d = ( 4 ) / d( 4 )= arccos 4 +C. III. Èíòåã àëû âèäà e b sin a d, e b cos a d, a 0,b 0, ï è èíòåã è îâàíèè ïî àñòßì äâàæäû, ñâîäßòñß ñàìè ê ñåáå. Ïîäâåäåì ïîä äèôôå åíöèàë ôóíêöè e b è ï îèíòåã è óåì ïî àñòßì: I := e b sin a d = sin a de b = b b eb sin a a e b cos a d. b Ïîäâîäß îïßòü ïîä äèôôå åíöèàë ôóíêöè e b è ï îèíòåã è îâàâ ïîñëåäíèé èíòåã àë ïî àñòßì, ïîëó èì I = b eb sin a a b cos a de b = = b eb sin a a b cos a eb a b e b sin a d. Ïîñëåäíèé èíòåã àë àâåí I. Òàêèì îá àçîì, ïîëó èëè ó àâíåíèå îòíîñèòåëüíî I I = b eb sin a a b cos a eb a b I. Âû àæàß îòñ äà I, îêîí àòåëüíî ïîëó èì e b sin a d = eb a + b[b sin a a cos a]+c. 0
Àíàëîãè íî ìîæíî ïîëó èòü e b cos a d = eb a + b[b cos a + a sin a]+c. Óï àæíåíèß.. cos d.. arcsin d. 3. e d. 4. ln d. 5. 3 d. 6. arcg d. 7. 3 e d. 8. ln d. 9. g d. 30. cos ln d. Äàëåå àññìîò èì àçëè íûå ï èåìû èíòåã è îâàíèß âàæíåé èõ êëàññîâ ëåìåíòà íûõ ôóíêöèé. 5 Èíòåã è îâàíèå àöèîíàëüíûõ ä îáåé Ðàöèîíàëüíîé ä îáü íàçûâàåòñß ä îáü, èñëèòåëåì è çíàìåíàòåëåì êîòî îé ßâëß òñß ìíîãî ëåíû: R() = a n n + a n n +... + a 0 b N N + b N N +... + b 0, ñ èòàåì, òî a n 0, b N 0. Åñëè ñòåïåíü ìíîãî ëåíà â èñëèòåëå ñò îãî ìåíü å ñòåïåíè ìíîãî ëåíà â çíàìåíàòåëå, n<n, òî òàêàß àöèîíàëüíàß ä îáü íàçûâàåòñß ï àâèëüíîé. Åñëè æå ñòåïåíü ìíîãî ëåíà â çíàìåíàòåëå áîëü å ëèáî àâíà ñòåïåíè èñëèòåëß, n N, òî òàêàß àöèîíàëüíàß ä îáü ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê ñóììå ìíîãî ëåíà è ï àâèëüíîé àöèîíàëüíîé ä îáè ïóòåì äåëåíèß îäíîãî ìíîãî ëåíà íà ä óãîé ñ îñòàòêîì (íàï èìå, äåëåíèåì â ñòîëáèê èëè ï èáàâëåíèåì è âû èòàíèåì â èñëèòåëå ïîäõîäßùåãî âû àæåíèß). Ïóñòü P n () èñëèòåëü, à Q N () çíàìåíàòåëü àöèîíàëüíîé ä îáè R() è n N R() = P n() Q N () = S()+ T k() Q N (), ãäå S() è T k () ìíîãî ëåíû, ï è åì k<n. Äàëåå, ë áàß ï àâèëüíàß àöèîíàëüíàß ä îáü ìîæåò áûòü àçëîæåíà íà ñóììó ï îñòåé èõ àöèîíàëüíûõ ä îáåé. Ï îñòåé èìè íàçûâà òñß ä îáè âèäà A ( a) k, B + C ( + p + q) m, p 4q <0, k,m N,
A, B, C âåùåñòâåííûå èñëà. Ï èâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òåî åìó î àçëîæåíèè ë áîé ï àâèëüíîé àöèîíàëüíîé ä îáè íà ñóììó ï îñòåé èõ àöèîíàëüíûõ ä îáåé. Òåî åìà 5 Ïóñòü P () Q() ï àâèëüíàß àöèîíàëüíàß ä îáü ñ âåùåñòâåííûìè êî ôôèöèåíòàìè. Åñëè Q() = r ( a j ) k j j= s ( + p l + q l ) m l, ãäå a j ïîïà íî àçëè íûå âåùåñòâåííûå êî íè ìíîãî ëåíà Q() ê àòíîñòè k j, j =,..., r; à ò åõ ëåíû + p l + q l òàêèå, òî p l 4q l < 0, l=,..., s. Òîãäà ñóùåñòâó ò åäèíñòâåííûå èñëà A () j,..., A (k j) j,j=,..., r; B () l,..., B (m l) l, C () l,..., C (m l) l, l =,..., s, òàêèå òî + s l= P () Q() = r j= ( B () l + C () l + + p l + q l ( A () j a j + l= A () j ( a j ) +... + A (k j ) ) j ( a j ) k + j B() l + C () l ( + p l + q l ) B(ml) l + C (m l) l +... + ( + p l + q l ) m l ). Ï èìå. Ðàçëîæèòü íà ï îñòåé èå ä îáü 4 3 ( ) ( +). Ðå åíèå. Ä îáü ßâëßåòñß ï àâèëüíîé, ïî òîìó ïî òåî åìå 4 3 ( ) ( +) = A + A ( ) + B + C +. Ï èâîäß ï àâó àñòü ê îáùåìó çíàìåíàòåë, ïîëó èì 4 3 ( ) ( +) = A ( )( +)+A ( +)+(B + C)( ). ( ) ( +) Ó ä îáè ñï àâà è ñëåâà îäèíàêîâûå çíàìåíàòåëè, çíà èò, îíè àâíû òîãäà, êîãäà àâíû èõ èñëèòåëè. Òàêèì îá àçîì, íàéäåì A,A,B,C èç àâåíñòâà 4 3 = A ( )( +)+A ( +)+(B + C)( ). (4)
Äâà ìíîãî ëåíà àâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êî ôôèöèåíòû àâíû. Ïî òîìó ï è àâíßâ êî ôôèöèåíòû ï è êàæäîé ñòåïåíè, ïîëó èì ñèñòåìó èç 4-õ ó àâíåíèé è 4-õ íåèçâåñòíûõ: A + B = 0 A + A 4B + C = 4 A +4B 4C = 3 A + A +4C = 0 Îòñ äà A =, A =, B =, C =0 (çàìåòèì, òî ïîäñòàâèâ â âû àæåíèå (4) =, ìû ñ àçó ìîãëè íàéòè A ). Òàêèì îá àçîì, èìååì 4 3 ( ) ( +) = + ( ) + àçëîæåíèå ï àâèëüíîé àöèîíàëüíîé ä îáè íà ï îñòåé èå. Èòàê, äëß òîãî, òîáû ï îèíòåã è îâàòü àöèîíàëüíó ä îáü, íàäî ñíà àëà ñâåñòè åå ê ñóììå ìíîãî ëåí ïë ñ ï àâèëüíàß ä îáü, à ïîòîì ï àâèëüíó ä îáü àçëîæèòü íà ï îñòåé èå. A Èíòåã àë îò ï îñòåé åé ä îáè ßâëßåòñß òàáëè íûì. Ï è n = ( a) n A d = A ln a + C. a Ï è n> A ( a) d = A n ( a) n A d( a) = + C. (n )( a) n B+D Èíòåã àë îò ï îñòåé åé ä îáè ( +p+q), ãäå p 4q <0 ñâîäèòñß ê n èíòåã àëó îò ä îáè b+c ( +a ) ïóòåì âûäåëåíèß ïîëíîãî êâàä àòà, n + p + q = ( + p ) p + q 4, è ëèíåéíîé çàìåíû ïå åìåííîé = + p ( å åç a îáîçíà åíà ïîëîæèòåëüíàß âåëè èíà q p 4 b + c + a d = b ). Ï è n = + a d+c + a d = b ln( +a )+ c a arcg a +C. 3
b+c Ïóñòü n>. Èíòåã àë ( +a ) d ìîæíî àçáèòü íà äâà èíòåã àëà. n Ïå âûé ëåãêî ñâîäèòñß ê òàáëè íîìó: b ( + a ) d = b + C. n (n )( + a ) n Äëß èíòåã àëà I n := ( +a ) d âûâåäåì åêó åíòíó ôî ìóëó ï è n ïîìîùè èíòåã è îâàíèß ïî àñòßì, òî åñòü âû àçèì I n å åç I n : I n := ( + a ) d = + a n a ( + a ) d = n = a ( + a ) d n a ( + a ) d = n = a I n ( a (n )( + a ) + n (n ) = a I n + Òàêèì îá àçîì, îêîí àòåëüíî I n = a (n )( + a ) n + a d ( + a ) n a (n )( + a ) n a (n ) I n. ( ) = ) I n, n =, 3,... (5) (n ) Òàê êàê èíòåã àë I óæå âû èñëåí, òî ìîæíî âû èñëèòü I,I 3 è ò.ä. Ï èìå û.. Íàéòè èíòåã àë 3+5 ++5 d Ðå åíèå. Äèñê èìèíàíò çíàìåíàòåëß ìåíü å íóëß, ïî òîìó âûäåëèì â çíàìåíàòåëå ïîëíûé êâàä àò, ++5 = (+) +4. Ñäåëàâ ëèíåéíó çàìåíó = +(ï è òîì d = d), ïîëó èì 3 +5 3 + + +5 d = d =3 +4 +4 d + +4 d. Â ïå âîì èíòåã àëå ïîäâåäåì ïîä çíàê äèôôå åíöèàëà, âòî îé èíòåã àë ßâëßåòñß òàáëè íûì. Ï îäîëæèì öåïî êó àâåíñòâ: 3 ln( +4)+arcg + C = 3 ln( + +5)+arcg + + C.. Íàéòè èíòåã àë 3+5 + 3 d 4
Ðå åíèå. Ñïîñîá. Äèñê èìèíàíò çíàìåíàòåëß áîëü å íóëß, êî íßìè çíàìåíàòåëß ßâëß òñß =, = 3. Ðàçëîæèì ä îáü íà ï îñòåé- èå 3 +5 ( )( +3) = A + B +3. Ï èâîäß ä îáè, ñòîßùèå ñï àâà, ê îáùåìó çíàìåíàòåë, ïîëó èì àâåíñòâî èñëèòåëåé 3 +5=A( +3)+B( ). Ýòî àâåíñòâî âûïîëíåíî ï è âñåõ, ïî òîìó, ïîäñòàâèâ = 3, ïîëó- èì B =, ïîäñòàâèâ =, ïîëó èì A =. Òàêèì îá àçîì, 3 +5 d d = + 3 + d =ln +ln +3 + C. +3 Ñïîñîá. Âûäåëèì â çíàìåíàòåëå ïîëíûé êâàä àò, + 3 = ( +) 4. Ñäåëàâ ëèíåéíó çàìåíó = + (ï è òîì d = d), ïîëó èì 3 +5 + 3 d = 3 + d =3 4 4 d + 4 d. Â ïå âîì èíòåã àëå ïîäâåäåì ïîä çíàê äèôôå åíöèàëà, âòî îé èíòåã àë ßâëßåòñß òàáëè íûì. Ï îäîëæèì öåïî êó àâåíñòâ: 3 ln 4 + ln + + C = 3 ln + 3 + ln +3 + C. Ïîñëåäíåå âû àæåíèå ìîæíî óï îñòèòü, âîñïîëüçîâàâ èñü ñâîéñòâàìè ëîãà èôìà ln + 3 =ln ( )( +3) =ln +ln +3 ; ln +3 =ln ln +3. Ïî òîìó îêîí àòåëüíî 3 +5 d =ln +ln +3 + C. + 3 Óï àæíåíèß. 3. + d. 3. ( )(+3) 35. 7 d ( ) (+) d. 36. 39. 3 ++ ( +) d. 40. d ( +)( +). 3+ d. 33. 5 + 4 8 3 4 d. 34. 4 3 + d. ( +). 37. 3 +3 6 3 3 +4 d. 38. d. 4 5
6 Èíòåã è îâàíèå íåêîòî ûõ è àöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Ïóñòü R(u,..., u n ) àöèîíàëüíàß ä îáü è ïóñòü u = f (),..., u n = f n (). Òîãäà ïîëó àåì, òî R(f (),..., f n ()) àöèîíàëüíàß ä îáü îò ôóíêöèé f (),..., f n (). I. Ðàññìîò èì èíòåã àëû âèäà ( ( ) r a + b R,,..., c + q ( ) rn ) a + b c + q d. (6) Áóäåì ï åäïîëàãàòü, òî èñëà r,..., r n àöèîíàëüíûå è çàïèñàíû ñ îäíèì çíàìåíàòåëåì, r i = p i m,ãäå m íàòó àëüíîå, p i öåëûå, è aq bc 0 (èíà å ä îáü ìîæíî ñîê àòèòü). Ñäåëàåì â èíòåã àëå (6) çàìåíó ïå åìåííîé m = a+b c+q. Âû àæàß îòñ äà, ïîëó èì = qm b a c =: ρ(). Ôóíêöèß ρ ßâëßåòñß àöèîíàëüíîé m ä îáü ; åå ï îèçâîäíàß ρ òàêæå ( ) ßâëßåòñß àöèîíàëüíîé ä îáü. Ïî òîìó çàìåíà d = ρ ri () d, =( m ) p i m = p i ñâîäèò èíòåã àë (6) ê a+b c+q èíòåã àëó îò àöèîíàëüíîé ä îáè: ( ( ) r ( ) rn ) a + b a + b R,,..., c + q c + q d = R(ρ(), p,..., p n )ρ () d. Îòìåòèì îòäåëüíî àñòíûé ñëó àé c = 0, êîãäà ïîä êî íåì ñòîèò ëèíåéíîå âû àæåíèå, è èíòåã àë (6) èìååò âèä ( R, r a + b,..., rn a + b) d. Ï èìå û. d. Íàéòè èíòåã àë + Ðå åíèå. Ñäåëàåì â èíòåã àëå çàìåíó =, d =d.ïîäñòàâëßß, ïîëó èì d d + d + = + = = + d = d + = ln + + C = ln + + C.. Íàéòè èíòåã àë + d 6
Ðå åíèå. Ñäåëàåì çàìåíó + =. Âû àæàß îòñ äà, ïîëó èì = +, d = 4 (+ ) d. + d = = 4 4 + d = 4 ( + ) ( + ) d = d +4 + ( + ) d. Ïå âûé èíòåã àë ßâëßåòñß òàáëè íûì, à âòî îé èíòåã àë èìååò âèä (5) ï è a =,n =. Ï îäîëæàß öåïî êó àâåíñòâ, ïîëó èì [ 4 arcg +4 ( + ) + ] + d = arcg + + + C. Ïå åõîäß îá àòíî ê ïå åìåííîé, ïîëó èì îòâåò: d = arcg + + + ( + )( )+C. Óï àæíåíèß. 4. + d d. 4. ( 3 3). 43. + 3 + 45. 6 +3 +3(+ 3 +3) d. 46. + d. 47. 3 48. + ( ++ )( ) d. 49. d (+ 3 ) 3. 50. + d. 44. d d ( ). 3 3. 3 4 d. II. Åñëè êâàä àòíûé ò åõ ëåí + p + q èìååò âåùåñòâåííûå êî íè, òî ï è ë áîì àöèîíàëüíîì r èíòåã àëû âèäà R(, r + p + q) d (7) ìîæíî ñâåñòè ê ï åäûäóùåìó ñëó à. Äåéñòâèòåëüíî, R(, r + p + q) =R(, r ( a)( b)) = ( ) ( ( ) ) /r a a = R, b r = R,. b b  íåêîòî ûõ àñòíûõ ñëó àßõ äëß èíòåã àëîâ âèäà (7) ï îöåññ íàõîæäåíèß ïå âîîá àçíîé ìîæíî óï îñòèòü. Ðàññìîò èì áîëåå ïîä îáíî 7
èíòåã àëû âèäà R(, a + b + c) d, a 0, è ïîêàæåì åòû å ï èåìà èíòåã è îâàíèß, ï èìåíßåìûõ â àçëè íûõ ñèòóàöèßõ.. Ò èãîíîìåò è åñêèå çàìåíû. Êâàä àòíûé ò åõ ëåí + p + q ïóòåì âûäåëåíèß ïîëíîãî êâàä àòà è ëèíåéíîé çàìåíû ñâîäèòñß ê âû- àæåíè ± a. Äëß òîãî, òîáû èçáàâèòüñß îò è àöèîíàëüíîñòè â èíòåã àëàõ R(, ± a ) d, R(, a ) d (8) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäó ùèå ò èãîíîìåò è åñêèå çàìåíû. à) R(, a ) d, a a, çàìåíà = a sin y, π y π ; á) R(, a ) d, a, çàìåíà = a sin y, â) R(, + a ) d, çàìåíà = a g y, π <y<π. Ï èìå. Íàéòè èíòåã àë d,. π y π,y 0; Ðå åíèå. Ñäåëàåì çàìåíó =siny, π/ y π/, d =cosydy. d = sin y cos ydy= cos ydy= = [ + cos y] dy = dy + cos ydy= y + sin y + C = 4 = y + sin y cos y + C = arcsin + + C.. Âûäåëåíèå â èñëèòåëå ï îèçâîäíîé êâàä àòíîãî ò åõ ëåíà, ñòîßùåãî ïîä çíàêîì êî íß. A+B Ðàññìîò èì èíòåã àëû âèäà a +b+c d, A 0, a 0. Äëß íàõîæäåíèß òîãî èíòåã àëà âûäåëèì â èñëèòåëå ï îèçâîäíó êâàä àòíîãî ò åõ ëåíà, ñòîßùåãî ïîä çíàêîì êî íß, è àçëîæèì èíòåã àë íà ñóììó äâóõ èíòåã àëîâ, ñâîäßùèõñß ê òàáëè íûì. A + B A Ab a + b + c d = (a + b)+b a a d = a + b + c = A a d(a ( + b + c) a + b + c d + B Ab ) a d a + b + c. 8
Ïå âûé èç ïîëó åííûõ èíòåã àëîâ ßâëßåòñß òàáëè íûì, à âòî îé ñâîäèòñß ê òàáëè íîìó ïóòåì âûäåëåíèß ïîëíîãî êâàä àòà â ïîäêî åííîì âû àæåíèè. Îêîí àòåëüíûé îòâåò â ñëó àå a>0 A + B a + b + c d = = A a + b + c + a ab Ab a a ln + b a + a a + b + c + C. Îêîí àòåëüíûé îòâåò â ñëó àå a<0 (ñ èòàåì b 4ac > 0, èíà å ïîäêî åííîå âû àæåíèå ìåíü å íóëß ï è ë áîì ) A + B a + b + c d = = A a + b + c + a ab Ab a a a b arcsin b 4ac + C. Ï èìå. Íàéòè èíòåã àë 3+4 +6+8 d. Ðå åíèå. Âûäåëßß â èñëèòåëå ï îèçâîäíó ïîäêî åííîãî âû àæåíèß +6, ïîëó èì 3 +4 3 +6 +8 d = ( +6)+3 +6 +8 d = = 3 d( +6 +8) +6 +8 d +3 d 7 ( 3) d = = 3 +6 +8+3arcsin 3 7 + C. 3. Ìåòîä íåîï åäåëåííûõ êî ôôèöèåíòîâ. Ðàññìîò èì èíòåã àë âèäà P n ()d a +b+c, ãäå P n() ìíîãî ëåí n-íîé ñòåïåíè. Èíòåã àë òàêîãî âèäà ìîæíî íàéòè ï è ïîìîùè òîæäåñòâà P n ()d a + b + c = Q n a + b + c + λ d a + b + c, ãäå Q n ìíîãî ëåí (n )-é ñòåïåíè ñ íåîï åäåëåííûìè êî ôôèöèåíòàìè, λ èñëî. Äèôôå åíöè óß óêàçàííîå òîæäåñòâî è ï èâîäß åçóëüòàò ê îáùåìó çíàìåíàòåë, ïîëó èì àâåíñòâî, èç êîòî îãî ìîæíî îï åäåëèòü êî ôôèöèåíòû ìíîãî ëåíà Q n è èñëî λ. 9
Ï èìå. Íàéòè èíòåã àë Ðå åíèå. Ïîëàãàåì 3 ++ d. 3 + + d =(a + b + c) + ++λ + + d. Äèôôå åíöè óß îáå àñòè àâåíñòâà, ïîëó èì 3 + + = =(a + b) + ++(a + + b + c) + + + Îñâîáîæäàåìñß îò çíàìåíàòåëß: λ + +. 3 =(a + b)( + +)+(a + b + c)( +)+λ. Ñ àâíèâàß êî ôôèöèåíòû ï è îäèíàêîâûõ ñòåïåíßõ, èìååì 3a = 5a + b = 0 4a +3b + c = b + c + λ =. Îòêóäà a = 3,b= 5 6,c= 6,λ= 5. Îêîí àòåëüíî, 3 + + d = = 6 ( 5 +) + + + 5 ( +) + d = = 6 ( 5 +) + ++ 5 ln( ++ + +)+C. 4. Ñïåöèàëüíàß çàìåíà ïå åìåííîé. d Èíòåã àë ( α) k a +b+c ñâîäèòñß ê èíòåã àëó, àññìîò åííîìó â ïóíêòå 3, ïîäñòàíîâêîé α =. Äåéñòâèòåëüíî, d = d, a + b + c = (aα +bα+c) +(aα+b)+a è, ñ èòàß äëß îï åäåëåííîñòè >α, >0, ïîëó èì d ( α) k a + b + c = k (aα + bα + c) +(aα + b) + a d. 0
Ï èìå. Íàéòè èíòåã àë d ( ) ++3. Ðå åíèå. Ïîëàãàåì =, òîãäà = +, d = d. Èìååì d ( = + ) +(+ )+3 d ( ) + +3 = = d 4 = d = ln + 4 + C = 4 = ln + + +3 ( ) + C. Óï àæíåíèß. 5. + d. 5. d 4 ( 4) 3. 53. 3 + d. 54. 55. 3 d d. 56. +5 59. 6+5 d. 60. 4+8 (+). 57. +5+3 +5 5 4 d. 58. d. 8 5+ d. d. III. Ðàññìîò èì èíòåã àëû âèäà (a + b β ) α γ d, ãäå a, b âåùåñòâåííûå èñëà, α, β, γ àöèîíàëüíûå. Ïîäûíòåã àëüíîå âû àæåíèå íàçûâàåòñß äèôôå åíöèàëüíûì áèíîìîì. Ñäåëàâ â èíòåã àëå çàìåíó = β ( d = β β d), ï èâåäåì åãî ê áîëåå óäîáíîìó âèäó ãäå λ = γ+ β (a + b β ) α γ d = β àöèîíàëüíîå èñëî. Ðàññìîò èì ò è ñëó àß. (a + b) α λ d,. α öåëîå èñëî. Ïóñòü λ = m n, ãäå m è n > 0 öåëûå èñëà. Ñîãëàñíî åçóëüòàòàì ïóíêòà I ïîäñòàíîâêà u = n ñâîäèò èíòåã àë ê èíòåã àëó îò àöèîíàëüíîé ä îáè.
. λ öåëîå èñëî. Ïóñòü òåïå ü α = m n, ãäå m è n > 0 öåëûå èñëà. Ñîãëàñíî åçóëüòàòàì ïóíêòà I ïîäñòàíîâêà u =(a + b) n ñâîäèò èíòåã àë ê èíòåã àëó îò àöèîíàëüíîé ä îáè. 3. α + λ öåëîå èñëî. Ïóñòü, êàê è âû å, α = m n, ãäå m è n>0 öåëûå èñëà. Èìååì ( ) α a + b (a + b) α λ d = α+λ d. Ñíîâà ïîëó èëñß èíòåã àë òèïà, àññìîò åííîãî â ïóíêòå I. Çàìåíà u = ) /n ñâåäåò èíòåã àë ê èíòåã àëó îò àöèîíàëüíîé ä îáè. ( a+b Çàìåòèì, òî íè â êàêîì ä óãîì ñëó àå èíòåã àë îò äèôôå åíöèàëüíîãî áèíîìà íå âû àæàåòñß å åç ëåìåíòà íûå ôóíêöèè. Ï èìå. Íàéòè èíòåã àë 3 + 4 d. Ðå åíèå. Ñäåëàåì â èíòåã àëå çàìåíó = 4, òîãäà = 4, d = 4 3 d. 3 + 4 d = ( + 4 ) 3 d =4 ( + ) 3 d. Çäåñü α = 3, λ = öåëîå èñëî, ïî òîìó èìååì ñëó àé. Ñäåëàåì çàìåíó u =(+) 3, òîãäà = u 3, d=3u du. Òàêèì îá àçîì, èìååì 3 + 4 d = (u 6 u 3 ) du = 7 u7 3u 4 + C = = 7 ( + ) 7 3 3( + ) 4 3 + C = 7 ( + 4 ) 7 3 3( + 4 ) 4 3 + C. 7 Èíòåã è îâàíèå ò èãîíîìåò è åñêèõ ôóíêöèé I. Èíòåã àë âèäà R(sin, cos )d ñâîäèòñß óíèâå ñàëüíîé ïîäñòàíîâêîé u =g, π <<π, ê èíòåã àëó îò àöèîíàëüíîé ä îáè. Ï è òîì, =arcgu, d = du +u. Ò èãîíîìåò è åñêèå ôóíêöèè âû àæà- òñß ñëåäó ùèì îá àçîì: sin = u u +u, cos = +u.
Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóß îñíîâíîå ò èãîíîìåò è åñêîå òîæäåñòâî è ôî ìóëó äëß ïîëîâèííîãî óãëà, àçäåëèâ èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà cos, ïîëó èì sin = sin cos cos +sin cos = cos sin cos +sin Èòàê, èìååì R(sin, cos )d = R = g +g = g +g = u +u ; = u +u. ( u u ) du +u, +u +u. Çàìåòèì, òî ï è âû èñëåíèè èíòåã àëîâ òèïà R(sin, cos ) d àñòî îêàçûâà òñß ïîëåçíûìè ïîäñòàíîâêè u =sin, u =cos, u =g. Â ßäå ñëó àåâ ï è èíòåã è îâàíèè ñ ïîìîùü òèõ ïîäñòàíîâîê ò åáóåòñß ï îâåñòè ìåíü å âû èñëåíèé, åì ï è èíòåã è îâàíèè ñ ïîìîùü óíèâå ñàëüíîé ïîäñòàíîâêè. Åñëè àöèîíàëüíàß ä îáü R(u, v) åòíà ïî îäíîìó èç à ãóìåíòîâ, íàï èìå u, òî åñòü R( u, v) = R(u, v), òî îíà ìîæåò áûòü ï èâåäåíà ê âèäó R(u, v) =R (u,v), ñîäå æàùèå ëè ü åòíûå ñòåïåíè u. Åñëè R(u, v) íå åòíà ïî îäíîìó èç à ãóìåíòîâ, òî åñòü R( u, v) = R(u, v), òî îíà ìîæåò áûòü ï èâåäåíà ê âèäó R(u, v) =u R (u,v), òî ñ àçó ñëåäóåò èç ï åäûäóùåãî çàìå àíèß, åñëè åãî ï èìåíèòü ê R(u,v) u. à) ïóñòü R( sin, cos) = R(sin, cos ), òî åñòü ïîäûíòåã àëüíàß ôóíêöèß íå åòíà ïî ñèíóñó, òîãäà R(sin, cos )d = R (sin, cos )sind= R ( cos, cos )d cos, è àöèîíàëüíàß ä îáü ïîëó àåòñß ï è ïîäñòàíîâêå u =cos; á) àíàëîãè íî, åñëè R(sin, cos ) = R(sin, cos ), òî åñòü ïîäûíòåã àëüíàß ôóíêöèß íå åòíà ïî êîñèíóñó, òî öåëåñîîá àçíà çàìåíà u = sin ; â) åñëè R( sin, cos ) =R(sin, cos ), òî åñòü ïîäûíòåã àëüíàß ôóíêöèß åòíà ïî êîñèíóñó è ñèíóñó, òî, çàìåíßß u íà u v v, áóäåì èìåòü R(u, v) =R( u v v, v) =R ( u v,v)=r ( u v,v ), 3
ïîñëåäíåå àâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, òî R ( u v, v) =R ( u v,v), òî åñòü R åòíà ïî âòî îìó à ãóìåíòó, è ïóíêòà à). Ïî òîìó R(sin, cos ) =R (g, cos )=R (g, òî ï åäïîëàãàåò çàìåíó u =g ( π < < π). Ï èìå û. +g d. Íàéòè èíòåã àë sin. Ðå åíèå. Ïîñêîëüêó ïîäûíòåã àëüíàß ôóíêöèß íå ßâëßåòñß íè åòíîé, íè íå åòíîé, òî ñäåëàåì óíèâå ñàëüíó ïîäñòàíîâêó u =g. d sin = du ( + u )( u +u ) = du u + u = = ( u) d( u) =( u) + C = g + C. sin. Íàéòè èíòåã àë ( cos ) d. Ðå åíèå. Ïîäûíòåã àëüíàß ôóíêöèß ßâëßåòñß íå åòíîé ïî ñèíóñó, ïî òîìó çäåñü ìîæíî ñäåëàòü çàìåíó u =cos. sin ( cos ) d = d( cos ) ( cos ) = = u + C = cos + C du u = II. Èíòåã àëû âèäà sin m cos n d, n,m öåëûå, âû èñëß òñß ïî- àçíîìó â çàâèñèìîñòè îò åòíîñòè n è m. à) åñëè n è m íå åòíûå èñëà, òî ïîäñòàíîâêîé u =cos ïîäûíòåã àëüíîå âû àæåíèå ñâîäèòñß ê àöèîíàëüíîé ä îáè. Ïóñòü m =k +, n=l +. sin k+ cos l+ d= sin k cos l sin d= ( ) k ( ) l cos +cos d cos = ), = 4 4
= k+l+ ( u) k ( + u) l du. á) åñëè n è m åòíûå èñëà, òî ïîäñòàíîâêîé u = g ïîäûíòåã àëüíîå âû àæåíèå ñâîäèòñß ê àöèîíàëüíîé ä îáè. Ï è òîì = arcg u, d = du +u ; ê îìå òîãî sin = ( ( cos ) = ) u = u +u +u ; cos = (+ ( + cos ) = ) u = +u +u. Áîëåå òîãî, åñëè èñëà n è m íåîò èöàòåëüíûå, òî, ìîæíî ï îñòî ïå åéòè ê êîñèíóñàì äâîéíîãî à ãóìåíòà, sin cos =, cos +cos =, ï è òîì ïîëó èì èíòåã àëû òàêîãî æå òèïà, íî ñ ìåíü èì ïîêàçàòåëåì. â) åñëè n åòíîå, à m íå åòíîå, òî çàìåíà u =cos, à åñëè n íå åòíîå, à m åòíîå, òî çàìåíà u =sin ï èâîäèò ê èíòåã àëó îò àöèîíàëüíîé ä îáè. Ï èìå û.. Íàéòè èíòåã àë g 4 d. Ðå åíèå. Ñäåëàåì çàìåíó u =g. Âû àæàß, ïîëó èì = arcg u, d = du +u. g 4 u 4 d= +u du. Âû èòàß è ï èáàâëßß â èñëèòåëå, àçîáüåì ïîñëåäíèé èíòåã àë íà äâà: u 4 + du = +u (u ) du + du +u = = u3 3 u + arcg u + C = g3 g + + C. 3. Íàéòè èíòåã àë sin d. Ðå åíèå. Âû àçèâ êâàä àò ñèíóñà å åç êîñèíóñ äâîéíîãî óãëà, ñâåäåì èíòåã àë ê ñóììå òàáëè íûõ èíòåã àëîâ: cos sin d= d = d cos d= sin +C. 4 5
sin 3. Íàéòè èíòåã àë 3 cos d. Ðå åíèå. Ó ñèíóñà íå åòíàß ñòåïåíü, ó êîñèíóñà åòíàß, ïî òîìó ïîäâåäåì ñèíóñ ïîä çíàê äèôôå åíöèàëà (òî åñòü ï îäåëàåì çàìåíó u = cos ), ïîñëå òîãî àçîáüåì èíòåã àë íà ñóììó òàáëè íûõ èíòåã àëîâ. sin 3 sin cos d = cos d cos = u = du = u du u + cos cos d cos = du = u + u + C = +cos + C. cos III. Â èíòåã àëàõ âèäà sin a cos b d, sin a sin b d, cos a cos b d ïîëüçóåìñß ôî ìóëàìè äëß ï îèçâåäåíèß ò èãîíîìåò- è åñêèõ ôóíêöèé: sin a cos b = [sin(a + b) +sin(a b)]; sin a sin b = [cos(a b) cos(a + b)]; cos a cos b = [cos(a + b) +cos(a b)]. Ï èìå. Íàéòè èíòåã àë sin cos d. Ðå åíèå. Âîñïîëüçîâàâ èñü ïå âîé ôî ìóëîé èç óïîìßíóòûõ âû å, ïîëó èì sin cos d= [sin 3 sin ] d = = sin 3d sin d= 6 cos 3 + cos + C. Óï àæíåíèß. 6. d 3+ cos. 6. d 5 4sin+3 cos. 63. +cg d cg d. 64. 65. sin 3 cos 8 d. 66. sin cos d. 67. sin 3 cos 5 d. 68. d. 69. sin sin 3d. 70. cos cos 3d. sin 4 cos sin 4. 6
 çàêë åíèå çàìåòèì, òî íå âñßêèé èíòåã àë îò ëåìåíòà íîé ôóíêöèè âû àæàåòñß å åç ëåìåíòà íûå ôóíêöèè, òî åñòü íå êàæäàß ôóíêöèß ßâëßåòñß ï îèçâîäíîé îò ëåìåíòà íîé ôóíêöèè. Ï èìå û "íåáå óùèõñß"èíòåã àëîâ d ln = e d èíòåã àëüíûé ëîãà èôì; sin d èíòåã àëüíûé ñèíóñ; e d, âå îßòíîñòíûé èíòåã àë; d, d è d, (0 <k<, ( )( k ) ( )( k ) (+h ) ( )( k ) h ï îèçâîëüíûé ïà àìåò ) ëëèïòè åñêèå èíòåã àëû. 7
8 Îòâåòû 3. + C.. 3 4 + C. 3. + C. 4. 4 4 4 + 3 + C. 5. sin + C. ln 3 6. ln + + C. 7. 7 7 + 3 + + 3 + C. 8. 6 +4 + 4 ( 3 + 5 5 + C. 9.5 + 5 ) ln 5 + C. 0. g + C (óêàçàíèå: â èñëèòåëå ï èáàâèòü è âû åñòü cos ).. 3 sin 3 + C.. ln + C. 3. 7 7 80 (8 0 ) 8 + C. 4. ln( +4)+C. 5. a lna + C. 6. 4 arcg4 + C. 7. cg + C. 8.e ln(e +)+C. 9.3 3 sin + C. 0. arcsin + C.. sin + 4 cos +C.. arcsin + +C. 3. ( ++ )e +C. 4. ln +C. 5. ln 3 3 ln 3 3 +C. 6.(+) arcg + C. 7.( 3 3 +6 6)e + C. 8. ln ln + + C. 9. g +ln cos + C. 30. (cos ln + sin ln )+C (óêàçàíèå: ï îèíòåã è îâàòü äâà àçà ïî àñòßì, çàòåì å èòü ó àâíåíèå îòíîñèòåëüíî èñêîìîãî èíòåã àëà). 3. ln + ln +3 + C. 3. ln +ln + C. 33. 3 3 + +4 +ln +5ln 3ln + + C. 34. ln ln +C. 35. ln +ln + + +C. 36. ln ln( +)+C. 37.+ 7 3 ln 4 3 ln + +C. 38. 4 ln + 4 ln arcg +C. 39. 4( +) + ln( +) 4 arcg +C. 40. ln ln + 4 ln( + ) arcg + C. 4. + arcg + C. 4. 3 ln +ln 3 3 + C. 43. 3 ( +)3 4 ++ 6 6 5 ( +)5 + C. 44. +3 3 +6 6 + 6ln 6 +C. 45. 3 3 +3 6 6 +3 3ln 3 +3+ +6 arcg 6 +3+ C. 46. ln( ++ ) ln( + ) arcg + + C. ( ) 47. 3 3 7+ ( ) ) 3 3 4+C. 7 4 48. 3 + + + 3 3 (+ ln + + C. 49. 3 3 +3 (+ 3 +ln 3ln + 3 6 +C. 50. 6 ) 5 5 + 5 5 + 5 ln 5 + C. 5. 3sin 3 (arcg ) + C. 5. 4 sin(arccos sin( arcsin + )+C. 54. 8 5+ 3arcsin C. 58. 6 4 +8 + C. ) + C. 53. arcsin+ + 6 + C. 55. +5 5ln + +5 +C. 56. +5 9(+) 7 +3 +5 + 7 ln + +C. 57. ( +) 5 4 + 3 ( ) 3 ( ) + ln 5 arcsin + 3 + + C. 59. 6 4 +8+7ln + 60. 3 3 + 3 ( ) 3 + C (óêàçàíèå: äîìíîæèòü è 8
àçäåëèòü ä îáü íà + ). 6. 5 arcg ( g 5 ) + C. 6. g 64. 67. 3 g + C. 69. sin 0 sin 5 + C. 70. sin + 0 + C. 63. ln sin cos + C. g + arcg( g)+c. 65. 7cos 7 5cos 5 +C. 66. 8 sin 4 3 +C. cos 64 cos + 96 cos3 + 8 cos4 +C. 68. 3g 3 sin 5 + 8 g + sin 7 + C. 9
9 Ëèòå àòó à Ó åáíèêè:. Áóã îâ SS.Ñ., Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. "Äèôôå åíöèàëüíûå è èíòåã àëüíûå èñ èñëåíèß", Ì., Íàóêà, 988.. Çà óáèí Â.Ñ., Èâàíîâà Å.Å.,Êóâû êèí "Èíòåã àëüíîå èñ èñëåíèå ôóíêöèé îäíîãî ïå åìåííîãî", èçä. ÌÃÒÓ èì. Áàóìàíà, 006, 58ñ. 3. Êóä ßâöåâ Ë.Ä. "Ê àòêèé êó ñ ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà"â äâóõ òîìàõ,òîì, èçä. "Alfa", 998, 400ñ. 4. Ïèñêóíîâ Í.Ñ. "Äèôôå åíöèàëüíîå è èíòåã àëüíîå èñ èñëåíèå äëß âòóçîâ"â äâóõ òîìàõ, Ì., Íàóêà, 978. 5. Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. "Îñíîâû ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà"â äâóõ òîìàõ, òîì, Ìîñêâà, 955, 440ñ. Çàäà íèêè: 6. Áå ìàí Ã.Í. "Ñáî íèê çàäà ïî êó ñó ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà", èçä."ï îôåññèß", 00, 43ñ. 7. Äàíêî Ï.Å., Ïîïîâ À.Ã., Êîæåâíèêîâà Ò.SS. "Âûñ àß ìàòåìàòèêà â óï àæíåíèßõ è çàäà àõ"â äâóõ àñòßõ, àñòü, Ìîñêâà, èçä. "Âûñ àß êîëà", 999, 304ñ. 8. Åôèìîâ À.Â., Äåìèäîâè Á.Ï. ( åä.) "Ñáî íèê çàäà ïî ìàòåìàòèêå äëß âòóçîâ", èçä. "Íàóêà", 98, 464ñ. 9. Åôèìîâ À.Â., Ïîñïåëîâ À.Ñ. ( åä.) "Ñáî íèê çàäà ïî ìàòåìàòèêå äëß âòóçîâ"â äâóõ òîìàõ, òîì, Ìîñêâà, 003, 43ñ. 30
Ñîäå æàíèå Ââåäåíèå Ïå âîîá àçíàß è íåîï åäåëåííûé èíòåã àë 3 Îñíîâíûå ñâîéñòâà íåîï åäåëåííîãî èíòåã àëà 3 4 Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåã è îâàíèß 6 4. Çàìåíà ïå åìåííîé â íåîï åäåëåííîì èíòåã àëå...... 6 4. Èíòåã è îâàíèå ïî àñòßì.................. 8 5 Èíòåã è îâàíèå àöèîíàëüíûõ ä îáåé 6 Èíòåã è îâàíèå íåêîòî ûõ è àöèîíàëüíûõ ôóíêöèé 6 7 Èíòåã è îâàíèå ò èãîíîìåò è åñêèõ ôóíêöèé 8 Îòâåòû 8 9 Ëèòå àòó à 30 3