ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία φ πρέπει να πετάξουμε μια μπάλα έτσι ώστε να φθάσει στο μέγιστο βεληνεκές; Θεωρείστε ότι το έδαφος είναι οριζόντιο, ότι η μπάλα ξεκινά από το έδαφος και αγνοήστε τις αντιστάσεις. ( μονάδες) β) Υπολογίστε το μέγιστο ύψος για τις συνθήκες του ερωτήματος α). ( μονάδες) γ) Δείξτε ότι η διαστατική ανάλυση για το μέγιστο ύψος δεν οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα. Σχολιάστε τη διαφορά που βρίσκετε. ( μονάδα) (Υπόδειξη: sinφ cosφ = sinφ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αρχικά, θα πρέπει να βρούμε την εξάρτηση του βεληνεκούς από την αρχική γωνία φ στην κίνηση βολής. Ένας γρήγορος τρόπος είναι να ξεκινήσουμε από την εξάρτηση της θέσης x από το χρόνο t (στον άξονα x έχουμε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση): y x(t) = υ cosφ t () φ Στη συνέχεια θα βρούμε το συνολικό χρόνο της βολής. Θα x κάνουμε χρήση του γεγονότος ότι ο χρόνος για να φθάσει το σώμα στο μέγιστο ύψος, t, είναι ο μισός του συνολικού χρόνου, λόγω συμμετρίας. Στο μέγιστο / ύψος, υ y =, οπότε από τη σχέση (στον άξονα y έχουμε ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση):: υ (t) = υ sinφ - t () y λαμβάνουμε: υ t = / υ sinφ (3) δηλαδή ο συνολικός χρόνος κίνησης, t, θα είναι: t = υ sinφ (4) Αντικαθιστώντας τη σχέση (4) στη σχέση () βρίσκουμε το βεληνεκές, R, ίσο με: R = υ sinφ cosφ υ sinφ (5) Ο όρος sinφ λαμβάνει τη μέγιστη τιμή όταν φ=π/. Συνεπώς, το μέγιστο βεληνεκές

επιτυγχάνεται για αρχική γωνία φ=π/4. β) Το μέγιστο ύψος, y max, προκύπτει από την εξίσωση κίνησης για τη συνιστώσα y: y = υ sin45 t - t (6) αντικαθιστώντας όπου t την τιμή t / της σχέσης (3). Άρα: υ y = (7) 4 max γ) Για να εφαρμόσουμε διαστατική ανάλυση θα πρέπει να κατανοήσουμε τα φυσικά μεγέθη που χαρακτηρίζουν το πρόβλημα. Στο συγκεκριμένο θέμα τα ζητούμενα μεγέθη είναι η αρχική ταχύτητα, υ, και η επιτάχυνση της βαρύτητας,. Τώρα, πρέπει να δημιουργήσουμε μια παράσταση με τα υ και με διαστάσεις μήκους, τη διάσταση του μέγιστου ύψους, λαμβάνοντας υπόψη ότι: - - [υ ] = LT,[] = LT (7) Έστω ότι η ζητούμενη παράσταση είναι: y υ α β (8) max Απομένει να προσδιορίσουμε τους εκθέτες α και β. Από τις εξισώσεις (7) και (8) έχουμε: [υ ] L T L T L T (9) α β α α β β αβ αβ επομένως για να έχει η παράσταση (9) διαστάσεις μήκους θα πρέπει: α+β= και α-β= () που έχει λύση α= και β=-. Αντικαθιστώντας τη σχέση () στην εξίσωση (8) παίρνουμε: y max υ που διαφέρει με την απάντηση που βρήκαμε στο ερώτημα β) κατά μια σταθερά /4. Αυτό είναι απόλυτα φυσιολογικό αφού η διαστατική ανάλυση αδυνατεί να μας δώσει σταθερές. Επομένως, η ασυμφωνία που βρήκαμε οφείλεται στο ότι ο τύπος του μέγιστου ύψους περιέχει τη σταθερά /4. ΑΣΚΗΣΗ Σώμα μάζας m είναι αναρτημένο στο άκρο ελατηρίου. Σας δίνεται ότι η θέση του σώματος συναρτήσει του χρόνου, x(t), δίνεται από τη σχέση x(t) = Asin(ωt + φ), όπου Α, ω και φ είναι σταθερές.. α) Να δώσετε τις διαστάσεις των μεγεθών Α, ω και φ. (.5 μονάδα) β) Πως συνδέεται η επιτάχυνση του σώματος, α(t), με τη θέση του, x(t); (.5 μονάδα) γ) Να αποδείξετε ότι για το σώμα μάζας m ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας. ( μονάδες)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αφού μας δίνει η εκφώνηση τη θέση x(t) = Asin(ωt + φ) θα έχουμε ότι [A] = L και δεδομένου ότι το όρισμα του συνημίτονου είναι αδιάστατο θα πρέπει μέγεθος. β) Για να βρούμε την επιτάχυνση, α(t), εφαρμόζουμε τον ορισμό: - [ω] = T. Η γωνία φ είναι αδιάστατο α(t) = d x(t) dt = -ω Asin(ωt + φ) = -ω x(t) () γ) Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι: E = k όπου: m υ () dx υ(t) = = ωa cos(ωt + φ) dt (3) δηλαδή: E = mω A cos (ωt + φ) k (4) Από το νόμο της δυναμικής, F=mα, και τη σχέση () η δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι: F = -mω x (5) και πηγάζει από τη δυναμική ενέργεια, U(x), που δίνεται από τη σχέση: du x x dx (6) F = - du = -Fdx U(x) - U() = - Fdx = mω x dx = mω x Αν ορίσουμε ότι U()= (θυμηθείτε ότι η δυναμική ενέργεια δεν έχει απόλυτη τιμή αλλά ορίζεται πάντα σε σχέση με κάποιο σημείο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οποίο και επιλέγουμε αυθαίρετα) καταλήγουμε ότι: U(x) = m ω x (7) Από τις εξισώσεις (7) και τη σχέση της εκφώνησης x(t) = Asin(ωt + φ) έχουμε ότι: U(x) = m ω A sin (ωt + φ) (7) Τελικά, για την ενέργεια του σώματος, Ε, λαμβάνουμε:

E = E + U mω A cos (ωt + φ) + mω A sin (ωt + φ) = mω A k που είναι σταθερή ποσότητα αφού τα μεγέθη m, ω και Α είναι σταθερές. ΑΣΚΗΣΗ 3 α) Η ροπή που δέχεται ένα σώμα είναι μη μηδενική και σταθερή ως προς κάποιο σημείο αναφοράς Ο. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο; Μπορείτε να προσδιορίσετε το μέτρο της; ( μονάδα) β) Η ταχύτητα ενός σώματος βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο, υ = (Α, Α, ). Δώστε ένα κατάλληλο σημείο ως προς το οποίο η στροφορμή να βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο. ( μονάδα) α) Η σχέση που συνδέει τη ροπή, τ, με τη στροφορμή, L, ενός σώματος ως προς κάποιο σημείο αναφοράς Ο είναι ο νόμος της δυναμικής: dl τ = dt () Αφού η ροπή που δέχεται το σώμα είναι σταθερή ως προς το σημείο αναφοράς Ο σημαίνει ότι: dl σταθερά L = σταθερά t dt δηλαδή η στροφορμή του σώματος αυξάνει γραμμικά με το χρόνο. Σε ότι αφορά το μέτρο της είναι προφανές ότι είναι αδύνατο να προσδιορισθεί. β) Η στροφορμή του σώματος, L, δίνεται από τη σχέση: L = r p = r mυ Προκειμένου η στροφορμή να βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο, θα πρέπει το γινόμενο r υ να έχει μηδενικές x και y-συνιστώσες. Έστω ότι r = (x, y, z) τότε, αφού υ = (Α, Α,), θα ισχύει ότι: ˆi ˆj ˆk r υ = x y z -A zˆi + A zˆj + (Ax - Ay) ˆk A A Συνεπώς, για να έχουμε μηδενικές x και y-συνιστώσες θα πρέπει z=. Επομένως, r = (x, y, ), όπου x, y αυθαίρετες σταθερές. Το ζητούμενο κατάλληλο σημείο λοιπόν θα είναι τέτοιο ώστε το διάνυσμα θέσης του σώματος ως προς το σημείο αυτό να έχει τυχαίες συνιστώσες στους άξονες x και y και μηδενική συνιστώσα στον άξονα z. ()

ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένα πιάτο βρίσκεται πάνω στο τραπεζομάντηλο ενός λείου τραπεζιού. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ πιάτου και τραπεζομάντηλου είναι μ. Τραβάμε το τραπεζομάντηλο με σταθερή οριζόντια δύναμη F έτσι ώστε το πιάτο να παραμένει ακίνητο ως προς το τραπεζομάντηλο (ισοδύναμα αυτό σημαίνει ότι κινούνται μαζί). α) Να σχεδιάσετε, εξηγώντας αναλυτικά τις δυνάμεις που θεωρείτε, τα διαγράμματα ελεύθερου σώματος για το πιάτο και το τραπεζομάντηλο. ( μονάδες) β) Με βάση την προηγούμενη απάντησή σας να βρείτε την ελάχιστη τιμή της F έτσι ώστε το πιάτο να κινείται ως προς το τραπεζομάντηλο. ( μονάδες) ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το πιάτο απεικονίζεται παρακάτω: N T όπου m το βάρος του πιάτου, Τ η στατική τριβή και Ν η κάθετη αντίδραση που δέχεται από το τραπεζομάντηλο. Για τη φορά της στατικής τριβής βλέπε παρακάτω. Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για και το τραπεζομάντηλο είναι: N m F N T όπου Μ το βάρος του τραπεζομάντηλου, Τ η στατική τριβή, Ν η κάθετη αντίδραση που δέχεται από το πιάτο (ζεύγος δράσης-αντίδρασης με τη δύναμη Ν του πιάτου άρα Ν=Ν ), F η σταθερή οριζόντια δύναμη (αυθαίρετα επιλεγμένη με φορά προς τα αριστερά) και Ν η κάθετη αντίδραση που δέχεται το τραπεζομάντηλο από το τραπέζι. Σχόλιο για τη φορά της στατικής τριβής: από το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το πιάτο παρατηρήστε ότι η μοναδική οριζόντια δύναμη είναι η στατική τριβή. Επομένως, έχοντας επιλέξει τη σταθερή οριζόντια δύναμη F προς τα αριστερά, το τραπεζομάντηλο μαζί με το πιάτο κινούνται προς τα αριστερά. Επομένως, η στατική τριβή που ασκείται στο πιάτο πηγαίνει αναγκαστικά προς τα αριστερά (η μόνη κινητήρια δύναμη) και αντίστοιχα, από το νόμο δράσης, αντίδρασης, η στατική τριβή στο τραπεζομάντηλο κατευθύνεται προς τα δεξιά. β) Λύνουμε βρίσκοντας τη μέγιστη τιμή της F έτσι ώστε το πιάτο να παραμένει ακίνητο ως προς το τραπεζομάντηλο. Η μέγιστη αυτή τιμή θα ισούται με την ελάχιστη τιμή της F έτσι ώστε το πιάτο M

να κινείται ως προς το τραπεζομάντηλο. Το πιάτο παραμένει ακίνητο ως προς το τραπεζομάντηλο όταν τα δύο αυτά σώματα να κινούνται με την ίδια επιτάχυνση, α. Γράφουμε τις εξισώσεις κίνησης: Πιάτο: T = mα () N - m = N = m () Τραπεζομάντηλο: F - T = M α (3) N - N' - M = N = N + M (αφού Ν =Ν) (4) Για τη στατική τριβή, Τ, η μέγιστη τιμή είναι: T = μ N = μ m (5) max Από τις σχέσεις (), (3) και (5) παίρνουμε ότι: M M M F = + T F + T = + μ m = μ (M + m) max max m m m Η παραπάνω σχέση μας δίνει τη μέγιστη τιμή της F έτσι ώστε το πιάτο να παραμένει ακίνητο ως προς το τραπεζομάντηλο και ισοδύναμα την ελάχιστη τιμή της F έτσι ώστε το πιάτο να κινείται ως προς το τραπεζομάντηλο. Ο διδάσκων καθηγητής 4// Βαρσάμης Χρήστος