Math-NetRu Общероссийский математический портал А Л Багно, А М Тарасьев, Свойства функции цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом, Вестн Удмуртск ун-та Матем Мех Компьют науки, 216, том 26, выпуск 1, 3 14 DOI: http://dxdoiorg/12537/vm1611 Использование Общероссийского математического портала Math-NetRu подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://wwwmathnetru/rus/agreement Параметры загрузки: IP: 463277 6 декабря 217 г, 12:15:18
ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 ÓÄÊ 517977 c À Ë Áàãíî, À Ì Òà àñüåâ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÔÓÍÊÖÈÈ ÖÅÍÛ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈSS Ñ ÁÅÑÊÎÍÅ ÍÛÌ ÃÎÐÈÇÎÍÒÎÌ 1 Â ñòàòüå èññëåäó òñß ñâîéñòâà ôóíêöèè öåíû çàäà è îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß íà áåñêîíå íîì ãî èçîíòå ñ íåîã àíè åííûì ïîäûíòåã àëüíûì èíäåêñîì, âõîäßùèì â ôóíêöèîíàë êà åñòâà ñ äèñêîíòè ó ùèì ìíîæèòåëåì Âûâîäèòñß îöåíêà àïï îêñèìàöèè ôóíêöèè öåíû â çàäà å ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì çíà åíèßìè ôóíêöèè öåíû â çàäà àõ ñ óäëèíß ùèìñß êîíå íûì ãî èçîíòîì Âûßâëßåòñß ñò óêòó à ôóíêöèè öåíû å åç çíà åíèß ñòàöèîíà íîé ôóíêöèè öåíû, çàâèñßùåé òîëüêî îò ôàçîâîé ïå åìåííîé Äàåòñß îïèñàíèå àñèìïòîòèêè îñòà çíà åíèé ôóíêöèè öåíû äëß ôóíêöèîíàëîâ êà åñòâà àçëè íîãî âèäà, ï èíßòûõ â êîíîìè åñêîì è ôèíàíñîâîì ìîäåëè îâàíèè: ëîãà èôìè åñêèõ, ñòåïåííûõ, êñïîíåíöèàëüíûõ, ëèíåéíûõ Óñòàíàâëèâàåòñß ñâîéñòâî íåï å ûâíîñòè ôóíêöèè öåíû è âûâîäßòñß îöåíêè ã ëüäå îâñêèõ ïà àìåò îâ íåï å ûâíîñòè Ïîëó åííûå îöåíêè íåîáõîäèìû äëß àç àáîòêè ñåòî íûõ àëãî èòìîâ ïîñò îåíèß ôóíêöèé öåíû â çàäà àõ îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì Êë åâûå ñëîâà: îïòèìàëüíîå óï àâëåíèå, áåñêîíå íûé ãî èçîíò, ôóíêöèß öåíû, îöåíêà ìîäóëß íåï å- ûâíîñòè, àñèìïòîòè åñêèå ñâîéñòâà DOI: 12537/vm1611 Ââåäåíèå Â íåêîòî ûõ ï èëîæåíèßõ òåî èè îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß âñò å à òñß çàäà è, â êîòî- ûõ òå åíèå ï îöåññà íåîã àíè åííî Çàäà è òàêîãî òèïàâîçíèêà ò, íàï èìå, ï è èçó åíèè ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèß è â ìàòåìàòè åñêîé êîíîìèêå Â ñòàòüå èññëåäó òñß ñâîéñòâà ôóíêöèè öåíû çàäà è îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß íåîã àíè- åííîé ï îäîëæèòåëüíîñòè (ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì, ôóíêöèîíàë êà åñòâàêîòî îé ñîäå æèò äèñêîíòè ó ùèé ìíîæèòåëü, à òàêæå èíäåêñ êà åñòâà ï îöåññà, êîòî ûé ìîæåò íåîã àíè åííî àñòè ñ òå åíèåì â åìåíè Ïîäîáíûå çàäà è àññìàò èâàëèñü â àáîòàõ È Ö Êàïóööî Äîëü åòòà[1], À È Ñóááîòèíà[7] è Ð À Àäèàòóëëèíîé è À Ì Òà àñüåâà [3] Îäíàêî â íèõ èçó- àëñß ñëó àé, êîãäàïîäûíòåã àëüíûé èíäåêñ êà åñòâàï îöåññàßâëßåòñß îã àíè åííîé ôóíêöèåé Â ñòàòüå Ì Ñ Íèêîëüñêîãî [2] èññëåäîâàëèñü ñâîéñòâà ôóíêöèè öåíû äëß ôóíêöèîíàëîâ êà åñòâà ñ ïîäëèíåéíûì îñòîì Â òîé àáîòå ï îäîëæåíû èññëåäîâàíèß ñâîéñòâ ôóíêöèé öåíû â çàäà àõ îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì äëß ôóíêöèîíàëîâ êà åñòâà ëîãà èôìè åñêîãî, ñòåïåííîãî, êñïîíåíöèàëüíîãî è ëèíåéíîãî âèäà (ñì [4] Îáñóæäàåòñß âîï îñ î âîçìîæíîñòè àïï îêñèìàöèè ôóíêöèè öåíû â çàäà å ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì çíà åíèßìè ôóíêöèé öåíû çàäà ñ óäëèíß ùèìñß êîíå íûì ãî èçîíòîì è ïîëó åíû îöåíêè àïï îêñèìàöèè Äàåòñß îïèñàíèå ñò óêòó û ôóíêöèè öåíû, áàçèñ êîòî îé ñîñòàâëßåò ñòàöèîíà íàß ôóíêöèß öåíû, çàâèñßùàß òîëüêî îò ôàçîâîé ïå åìåííîé Èçó à òñß ñâîéñòâààñèìïòîòè åñêîãî îñòàôóíêöèé öåíû äëß ôóíêöèîíàëîâ êà åñòâà àçëè íîãî òèïà Èññëåäóåòñß íåï å ûâíîñòü ôóíêöèé öåíû â çàäà å ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì è ñò îßòñß îöåíêè äëß ã ëüäå îâñêèõ ïà àìåò îâ íåï å ûâíîñòè Ñëåäóåò îòìåòèòü, òî ïîëó åííûå îöåíêè ìîãóò ñëóæèòü îñíîâîé äëß îáîñíîâàíèß îöåíîê òî íîñòè àïï îêñèìàöèîííûõ ñåòî íûõ ìåòîäîâ ïîñò îåíèß ôóíêöèè öåíû â çàäà àõ óï àâëåíèß ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ï è ïîääå æêå ã àíòà ÐÍÔ 15 11 118
4 À Ë Áàãíî, À Ì Òà àñüåâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 1 Äèíàìèêà ñèñòåìû è ôóíêöèîíàë êà åñòâà Â ñòàòüå àññìàò èâàåòñß ñòàöèîíà íàß óï àâëßåìàß ñèñòåìà ẋ(t =f(x(t,u(t, t [t, +, (11 ñíà àëüíûì óñëîâèåì x(t =,ãäå x R n, u P R p, ìíîæåñòâî P μêîìïàêò Ôóíêöèîíàë êà åñòâà çàäàåòñß àâåíñòâîì + J(x(,u( = e τ g(x(τ,u(τ dτ, >, t > (12 t Ñòàâèòñß çàäà à ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà J(x(,u( (12 íà ò àåêòî èßõ (x(,u( óï àâëßåìîé ñèñòåìû (11 Ï åäïîëàãàåòñß, òî âûïîëíåíû ñëåäó ùèå óñëîâèß 1 Ôóíêöèè f è g íåï å ûâíû ïî ñîâîêóïíîñòè ïå åìåííûõ íà R n P 2 Äëß ë áûõ x 1,x 2 R n ï è ë áîì p ñï àâåäëèâû ñîîòíî åíèß Ëèï èöà ïî à ãóìåíòó x f(x 1,p f(x 2,p x 1 x 2, g(x 1,p g(x 2,p x 1 x 2, ãäå μ îáùàß êîíñòàíòà Ëèï èöàäëß ôóíêöèé f è g 3 Äëß ë áûõ x, p âûïîëíßåòñß óñëîâèå ïîäëèíåéíîãî îñòàïî à ãóìåíòó x: ãäå κ μ ïîëîæèòåëüíàß êîíñòàíòà 2 Ñò óêòó à ôóíêöèè öåíû Ââåäåì íîâó êîî äèíàòó y = y(t äëß ôóíêöèîíàëà ïëàòû: ( ( ẋ(t f(x(t,u(t = ẏ(t e t g(x(t,u(t f(x, p κ(1 + x, (13 Ðàññìîò èì ôèêñè îâàííûé îò åçîê â åìåíè [t,t] Ïóñòü {Δ k (τ i } μ àçáèåíèå òîãî îò- åçêà Ñîãëàñíî [5] ëîìàíîé Ýéëå à íàçûâàåòñß àáñîë òíî íåï å ûâíàß ôóíêöèß Δz k ( = (Δx k (, Δy k (, ßâëß ùàßñß å åíèåì ó àâíåíèß ( Δz k (t =zk + f(δx k (τ,u k (τ dτ, e τ g(δx k (τ,u k (τ dτ, t [t,t] t t Äâèæåíèåì ïî [5] íàçûâàåòñß ôóíêöèß, îòîá àæà ùàß [t, + â R m+1, äëß êîòî îé ï è ë áîì t èç îò åçêà â åìåíè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëîìàíûõ Ýéëå à {Δz k ( } k=1, àâíîìå íî ñõîäßùàßñß ê òîé ôóíêöèè ï è ñò åìëåíèè ìàêñèìóìà äèàìåò îâ àçáèåíèß max {Δ k(τ i } êíóë k å åç Δzk (t îáîçíà èì ëîìàíó Ýéëå à (Δx k (t, Δy k (t, ãäå (Δx k (t, Δy k (t = (Δx k(t + t, (Δy k (t + t Δy k (t e t å åç z (t îáîçíà èì äâèæåíèå (x (t, y (t, ãäå (x (t, y (t = (x(t + t, (y(t + t y(t e t Ëåììà 1 Äëß ë áîãî ìîìåíòà â åìåíè t [, + ôóíêöèß z(t, ãäåt [t,t], ï åäñòàâèìà â âèäå z(t =(x (t t,y + e t y (t t Òàêæå âå íî è îá àòíîå Äëß ë áîãî ìîìåíòà â åìåíè t [, + ôóíêöèß z (t =(x,y ï åäñòàâèìà â âèäå z (t =(x(t + t, (y(t + t y e t
Ñâîéñòâàôóíêöèè öåíû â çàäà àõ îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß 5 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 ÄîêàçàòåëüñòâîÏóñòü t <T <+ Ïî îï åäåëåíè ëîìàíîé Ýéëå à äëß äâèæåíèß z( ñóùåñòâóåò àâíîìå íî ñõîäßùàßñß ê íåìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Δz k ( } 1 òàêàß, òî Δx k (t =Δx k (t + f(δx k (τ,u k (τ dτ, t Δy k (t =Δy k (t + e τ g(x k (τ,u k (τ dτ t Ñäåëàåì ïîä èíòåã àëîì çàìåíó s = τ t Òîãäàíà è âû àæåíèß ï èìóò âèä Δx k (t + t =Δx k (t + f(δx k (s + t,u k (s + t ds, Δy k (t + t =Δy k (t +e t e s g(x k (s + t,u k (s + t ds Ìû ïîëó èì âåêòî (Δx k (t, Δy k (t = Δz k (t Ìîæíî óâèäåòü, òî âû àæåíèå äëß Δzk (t ï åäñòàâëßåò ñîáîé ëîìàíó Ýéëå à ñ íà àëüíûì óñëîâèåì Δzk ( = (Δx k (t, Ê îìå òîãî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Δzk ( } 1 àâíîìå íî ñõîäèòñß ê z ( =(Δx(t + t, (Δy(t + t Δy e t, òî ñëåäóåò èç âûáî à ëîìàíîé Ýéëå à {Δzk ( } 1 è åå ïîñò îåíèß Â îá àòíó ñòî îíó äîêàçàòåëüñòâî ï îâîäèòñß àíàëîãè íî Êî îòêî îïè åì åãî Ïî îï åäåëåíè ëîìàíîé Ýéëå à çàïèñûâàåòñß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, àâíîìå íî ñõîäßùàßñß ê äâèæåíè z (  ïîëó åííîì âû àæåíèè ïîä èíòåã àëîì ìîæíî ñäåëàòü çàìåíó s = τ + t  åçóëüòàòå ïîëó èì âû àæåíèå, êîòî îå ï åäñòàâëßåò ñîáîé ëîìàíó Ýéëå à äëß Δz k ( Îñòàëîñü çàìåòèòü, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Δz k ( } 1 àâíîìå íî ñõîäèòñß ê z( Ýòî çàâå - àåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû Ëåììà 2 Ïóñòü <T <θ<+ Äëß ë áîãî äâèæåíèß z(, äëß êàæäîãî èíòå âàëà â åìåíè [T,θ ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî Δy k (T Δy k (θ K(T e T ãäå K(T μïîëîæèòåëüíàß êîíñòàíòà, êîòî àß çàâèñèò, âîîáùå ãîâî ß, îò â åìåííîãî ïà- àìåò à T Ä î ê àç àò å ë ü ñ ò â î Îïè àßñü íàîï åäåëåíèå äâèæåíèß (ñì [5, ñ 33, 34], ìû ìîæåì çàêë èòü, òî ôóíêöèè x(t, y k (t íåï å ûâíû è ñîäå æàòñß â êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå å- åíèé íà îã àíè åííîì èíòå âàëå â åìåíè Äëß äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî íî ïîêàçàòü, òî y k (T y k (θ K(T (e T e θ Èç îï åäåëåíèß ëîìàíîé Ýéëå à ñëåäóåò, òî θ Δy k (θ =Δy k (T + e τ g(x k (τ,u k (τ dτ T Ï è êîíå íûõ çíà åíèßõ t ôóíêöèß g(x(,u( áóäåò îã àíè åíà: g(x(t,u(t K(T Îòñ äàñëåäóåò, òî ï è êîíå íûõ çíà åíèßõ x ñï àâåäëèâà îöåíêà Ëåììàäîêàçàíà Δy k (T Δy k (θ θ T, K(T e τ dτ = K(T (e T e θ (21
6 À Ë Áàãíî, À Ì Òà àñüåâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 Äëß äîêàçàòåëüñòâà ñëåäó ùåé ëåììû íàì ïîò åáó òñß äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâàôóíêöèè g è åå ïå âûõ àñòíûõ ï îèçâîäíûõ 1 Ôóíêöèß g äâàæäû íåï å ûâíî äèôôå åíöè óåìà 2 àñòíûå ï îèçâîäíûå ôóíêöèè g óäîâëåòâî ß ò íå àâåíñòâó ( g, g g,, >, x 1 x 2 x n òî åñòü g ñò îãî ìîíîòîííî âîç àñòàåò ïî êàæäîìó x i 3 Ìàò èöà âòî ûõ ï îèçâîäíûõ ôóíêöèè g îò èöàòåëüíî îï åäåëåíà: 2 g x 2 < Èç îò èöàòåëüíîé îï åäåëåííîñòè ìàò èöû âòî ûõ ï îèçâîäíûõ ñëåäóåò, òî ôóíêöèß g ñò îãî âîãíóòàïî ñîâîêóïíîñòè ïå åìåííûõ è, ñëåäîâàòåëüíî, ñò îãî âîãíóòàïî êàæäîé ïå åìåííîé â îòäåëüíîñòè 4 Ôóíêöèß g óäîâëåòâî ßåò íå àâåíñòâó ãäå c 1 1 g(x, u c 1 (1 + x, (22 Ëåììà 3 Ïóñòü < T < θ < + è κ < Äëß ë áîãî äâèæåíèß z( ñóùåñòâóåò êîíå íûé ï åäåë y(θ, ï è åì lim y(θ = lim θ + θ + Ä î ê àç àò å ë ü ñ ò â î Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (13 è (22 èìååì lim t + e t g(x(t,u(t lim t + e t c 1 (1 + x(t lim t + e t c 1 (1 + e κt = lim c 1e κt + lim c 1e (κ t = t + t + Òàêèì îá àçîì, ñîîòíî åíèß (21 ìîæíî àñï îñò àíèòü è íà ñëó àé x(t =+ Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Δz k ( } k=1 àâíîìå íî ñõîäèòñß ê y(, òî ñóùåñòâóåò êîíå íûé ï åäåë lim y(θ òî è ò åáîâàëîñü äîêàçàòü θ + Îñîáûé èíòå åñ ï åäñòàâëß ò àñòíûå ñëó àè, âñò å à ùèåñß âìîäåëßõ êîíîìè åñêîãî îñòà(ñì, íàï èìå, [4, ñ 167], è [6, ñ 19], êîãäà ôóíêöèß g ï èíèìàåò ñëåäó ùèé âèä: 1 g(x = n a i x i ; i=1 ( 2 g(x = k exp n a i x i,ãäå k>, a i > ; i=1 3 g(x = n a i ln x i,ãäå a i > ; i=1 a i 1 b i x 1 b i i,ãäå <b i < 1, a i > i=1 Îï åäåëèì, ï è êàêèõ óñëîâèßõ âêàæäîì èç òèõ ñëó àåâ èíòåã àë (12 áóäåò ñõîäèòüñß èêàêîé âèä áóäåò ï èíèìàòü ïà àìåò K(T, îã àíè èâà ùèé ñâå õó ôóíêöè g(x Äåéñòâóß ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ëåììû, ìû ìîæåì ñ èòàòü, òî êîî äèíàòû x i (t, i =1,,n, èìå ò ïî ßäîê e κt Òîãäàâû àæåíèå (12 â ïå âîì ñëó àå ï èìåò âèä + + n J = g(xe τ dτ = a i e (κ τ dτ t t i=1 4 g(x = n Ëåãêî óâèäåòü, òî ïîëó åííûé èíòåã àë ñõîäèòñß ï è κ <, ãäå i =1,,n, àäëß ôóíêöèè g(x ñï àâåäëèâà îöåíêà g(x <Ae κt (23
Ñâîéñòâàôóíêöèè öåíû â çàäà àõ îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß 7 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 Çäåñü è â ñëåäó ùèõ ò åõ ñëó àßõ A è κ μ ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû Âî âòî îì ñëó àå ìû ïîëó èì âû àæåíèå J = k + e n t i=1 a i κτ e τ dτ Çäåñü èíòåã àë ñõîäèòñß ï è ë áûõ κ è, àôóíêöèß îã àíè åíàçíà åíèåì Â ò åòüåì ñëó àå ìû èìååì J = g(x < ke AeκT (24 + t n a i ln(e κτ e τ dτ Èíòåã àë òàêæå ñõîäèòñß ï è ë áûõ κ è, àôóíêöèß g(x îã àíè åíà: Íàêîíåö, â ïîñëåäíåì ñëó àå ìû ïîëó èì + n a i J = (e κτ 1 b i e τ dτ t 1 b i=1 i i=1 g(x < κt (25 Äàííûé èíòåã àë ñõîäèòñß ï è κ(1 b i <, i =1,,n, à äëß ôóíêöèè g(x ñï àâåäëèâà îöåíêà g(x <Ae κt (26 Òåïå ü ââåäåì îï åäåëåíèå ôóíêöèè öåíû ñîãëàñíî [1] Ïóñòü u T ( μ èçìå èìîå ïî Ëåáåãó ï îã àììíîå óï àâëåíèå íà êîíå íîì èíòå âàëå Ìíîæåñòâî ï îã àììíûõ óï àâëåíèé íà êîíå íîì èíòå âàëå îáîçíà èì ñèìâîëîì U T Îï åäåëåíèå 1 Ôóíêöèåé ( öåíû â çàäà å ñ êîíå íûì ãî èçîíòîì äëß íà àëüíîé ïîçèöèè x (t,z,ãäå t (,T, z =, x R n, y R, x = x(t, y = e t g(x,u(t, íàçûâàåòñß âåëè èíà y ω T (t,z = ( T inf y + e τ g(x(τ,u(τ dτ (27 u T U T t Òàêæå íàì ïîò åáóåòñß îï åäåëåíèå ôóíêöèè öåíû â çàäà å ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì Ïóñòü u( μ èçìå èìîå ïî Ëåáåãó ï îã àììíîå óï àâëåíèå íà áåñêîíå íîì èíòå âàëå Ìíîæåñòâî èçìå èìûõ ïî Ëåáåãó ï îã àììíûõ óï àâëåíèé íà áåñêîíå íîì èíòå âàëå îáîçíà èì ñèìâîëîì U Îï åäåëåíèå 2 Ôóíêöèåé öåíû( â çàäà å ñ áåñêîíå íûì ãî èçîíòîì äëß íà àëüíîé ïîçèöèè (t,z, ãäå t (,T, z =, x R n, y R, x = x(t, y = e t x g(x,u(t, íàçûâàåòñß âåëè èíà ( T ω(t,z = inf lim y + e τ g(x(τ,u(τ dτ u U T + t Ïå åéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó íåêîòî ûõ ñâîéñòâ ôóíêöèé öåíû y Ëåììà 4 Ôóíêöè öåíû ω T ìîæíî ï åäñòàâèòü â âèäå ( ω T (t, z =y + e t x ω T t (,x,, ãäå z =,t (,T y
8 À Ë Áàãíî, À Ì Òà àñüåâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 ÄîêàçàòåëüñòâîÏóñòü <t <T <+ è z =(x,y Ïî îï åäåëåíè ôóíêöèè öåíû (27 è ëåììå 1 èìååì Ëåììàäîêàçàíà ω T (t,z = inf y(t =y + e t inf u U u U y (T t =y + e t ω T t (,x, Ëåììà 5 Äëß ë áûõ x 1 è x 2 ôóíêöèß öåíû ω T óäîâëåòâî ßåò íå àâåíñòâó ω T (,x 1, ω T (,x 2, η(t x 1 x 2, ãäå η(t = ( e ( T 1 ÄîêàçàòåëüñòâîÄîïóñòèì, òî ω T (,x 1, ω T (,x 2, Ïî îï åäåëåíè ôóíêöèè öåíû ε> u T : y 2 (T ε ω T (,x 2, Îòñ äàñëåäóåò, òî ω T (,x 1, ω T (,x 2, y 1 (T y 2 (T + ε Òà êêàê z 1 è z 2 àïï îêñèìè ó òñß ëîìàíûìè Ýéëå à, â ïîëó åííîì íå àâåíñòâå y 1 è y 2 ìîæíî ñ òî íîñòü äî ε çàìåíèòü íà ïîäõîäßùèå êîî äèíàòû ëîìàíûõ y 1 k è y2 k : ω T (,x 1, ω T (,x 2, y 1 k y2 k +2ε Ïî îï åäåëåíè ëîìàíîé Ýéëå àìîæíî ñäåëàòü îöåíêó T T yk 1 y2 k +2ε e t g(x 1 g(x 2 dt +2ε e t x 1 k x2 k dt +2ε Òåïå ü îöåíèì íî ìó àçíîñòè x 1 k x2 k : x 1 k x2 k x1 k ( x2 k ( + f(x 1 k f(x2 k dτ x1 k ( x2 k ( + x 1 k x2 k dτ Ïî íå àâåíñòâó à îíóîëëà èìååì x 1 k x2 k et x 1 k ( x2 k ( Ñóììè óåì îöåíêè: T ω T (,x 1, ω T (,x 2, x 1 k ( x2 k ( e ( t dt +2ε Åñëè óñò åìèòü k + è ε, ïîëó èì ò åáóåìîå íå àâåíñòâî Ëåììà äîêàçàíà 3 Îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóíêöèè öåíû Òåî åìà 1 Äëß ë áîé ïîçèöèè (t,z çàäà à îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß èìååò öåíó ω(t,z, ï è åì ñï àâåäëèâà àïï îêñèìàöèß ôóíêöèè ω ôóíêöèßìè ω T ω(t,z ω T (t,z K(T e T, ãäå κ < Ä î ê àç àò å ë ü ñ ò â î Âîñïîëüçóåìñß ëåììîé 2: Îòñ äàñëåäóåò, òî äëß ω 1 (t,z ñï àâåäëèâî e T lim y(θ y(t +K(T θ + ω 1 (t,z =infsupj (z inf sup J T (z+ K(T e T = ω T (t,z + K(T e T
Ñâîéñòâàôóíêöèè öåíû â çàäà àõ îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß 9 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 Àíàëîãè íî, ω 2 (t,z =supinfj (z ω T K(T e T Òàêæå èçâåñòíî, òî ω 2 (t,z ω 1 (t,z Èç òèõ ò åõ íå àâåíñòâ ñëåäóåò: K(T e T + ω T ω 2 ω 1 ω T + K(T e T K(T e T Îòñ äà ω 1 ω 2 2 Òåïå ü óñò åìèì T +, ïîëó èì, òî ω 1 = ω 2 = ω, è ïîñëåäíåå íå àâåíñòâî ï èìåò âèä Òåî åìàäîêàçàíà K(T e T + ω T ω ω T + K(T e T Òåî åìà 2 Äëß ë áûõ x 1 è x 2 ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî Ä î ê àç àò å ë ü ñ ò â î Î åâèäíî, ω(,x 1, ω(,x 2, C x 1 x 2 γ w(x 1 w(x 2 w(x 1 ω T (,x 1, + ω T (,x 1, ω T (,x 2, + ω T (,x 2, w(x 2 Ïî ëåììå 5 è òåî åìå 1 Îáîçíà èì w(x 1 w(x 2 η(t x 1 x 2 + δ = x 1 x 2, ρ(t,δ=ηδ + 2K(T e T 2K(T e T Òåïå ü èç óñëîâèß inf(ρ(t,δ Cδ γ, ãäå T [, +, íàéäåì êîíñòàíòû C è γ Ìèíèìóì äîñòèãàåòñß ëèáî ï è T =, ëèáî ï è T =+, ëèáî ï è T (, +, äëß êîòî îãî ρ T (T,δ= Äîêàçàòåëüñòâî ï îâåäåì äëß ñëó àåâ (23, (24, (25, (26 Íàïîìíèì, òî â òèõ ñëó àßõ K(T ï èíèìàåò ñëåäó ùèå çíà åíèß: 1 K(T =Ae κt ; 2 K(T =κt ; 3 K(T = ke AeκT Âêàæäîì èç íèõ â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíî åíèé ìåæäó κ, è âîçìîæíî íåñêîëüêî ïîäñëó- àåâ Ðàññìîò èì êàæäûé èç íèõ Ñëó àé 1a K(T =Ae κt, κ > Òà ê êàê ï îèçâîäíàß ρ(t,δ=(e ( T δ 1 + 2Ae(κ T ρ T (T,δ=e ( T δ + 2A(κ e (κ T >, ôóíêöèß ρ(t,δ ìîíîòîííî âîç àñòàåò ïî T Ïî òîìó îíàäîñòèãàåò ìèíèìóìà ï è T =, è åå çíà åíèå â òîé òî êå àâíî ρ(,δ= 2A Â òîì ñëó àå ìû ìîæåì ïîëîæèòü C = 2A, γ =
1 À Ë Áàãíî, À Ì Òà àñüåâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 Ñëó àé 1b K(T =Ae κt, >κ >Â òîìñëó àå ôóíêöèß ρ(t,δ ï è T =ï èíèìàåò çíà åíèå 2A δ Ï è T, ñò åìßùåìñß ê áåñêîíå íîñòè, îíà èìååò ï åäåë, àâíûé Ëåãêî ï îâå èòü, òî ï îèçâîäíàß ρ T (T,δ îá àùàåòñß â íóëü â åäèíñòâåííîé òî êå è òî ï è T, ìåíü èõ òîãî çíà åíèß, ï îèçâîäíàß ïîëîæèòåëüíà Ñëåäîâàòåëüíî, òî êà, â êîòî îé ï îèçâîäíàß îá àùàåòñß â íóëü μ ëèáî òî êà ìàêñèìóìà, ëèáî òî êà ïå åãèáà Òàêèì îá àçîì, ìèíèìóì ôóíêöèè ρ(t, δ äîñòèãàåòñß íà ã àíèöàõ èíòå âàëà [, + Óêàæåì óñëîâèß, ï è êîòî ûõ ìèíèìóì äîñòèãàåòñß íàêàæäîé èç ã àíèö Î åâèäíî, ôóíêöèß ρ(t,δ èìååò ìèíèìóì ï è T =, åñëè δ + 2A <, è ìèíèìóì ï è ñò åìëåíèè T ê áåñêîíå íîñòè, åñëè ñóììàáîëü å íóëß Â ñëó àå, êîãäàñóììà àâíà íóë, çíà åíèß â íóëå è â áåñêîíå íîñòè àâíû Òàêèì îá àçîì, â êà åñòâå êîíñòàíò ìû ìîæåì âçßòü C = 2A, γ =, åñëè δ + 2A <, C = Ñëó àé 1c K(T =Ae κt, >κ =, γ =1, åñëè δ + 2A ( δ ρ(t,δ=e ( T + 2A Ôóíêöèß ρ(t,δ ìîíîòîííî âîç àñòàåò ï è δ δ + 2A < (31 è ìîíîòîííî óáûâàåò, åñëè òî âû àæåíèå ïîëîæèòåëüíî Êîãäà âû àæåíèå (31 ï èíèìàåò δ çíà åíèå, àâíîå íóë, ôóíêöèß ρ(t,δ òîæäåñòâåííî àâíà Òàêèì îá àçîì, ìèíèìóì ôóíêöèè ρ(t,δ â çàâèñèìîñòè îò çíàêà(31 äîñòèãàåòñß ëèáî ï è T =, ëèáî ï è T, ñò åìßùåìñß êáåñêîíå íîñòè Òàêèì îá àçîì, âêà åñòâå êîíñòàíò, êàê è â ï åäûäóùåì ñëó àå, ìû ìîæåì âçßòü C = 2A, γ =, åñëè δ + 2A <, C =, γ =1, åñëè δ + 2A Ñëó àé 1d K(T =Ae κt, >>κ Çäåñü ï è ìàëûõ δ ìèíèìóì ρ(t,δ äîñòèãàåòñß â òî êå ρ 2A(κ T (T,δ=e( T δ + e (κ T = Îòñ äà T = 1 κ ln ( 2A( κ 2A( κ Îòìåòèì, òî ï è δ< ïîëó åííàß òî êà ëåæèò ñò îãî ëåâåå íóëß Òåïå ü íàéäåì çíà åíèå ôóíêöèè ρ(t,δ â òîé òî êå ρ(t,δ= δ ( (2A( κ δ δ 1 + 2A ( 2A( κ δ κ =
Ñâîéñòâàôóíêöèè öåíû â çàäà àõ îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß 11 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 = ( 2A( κ δ δ κ + 2A ( 2A( κ δ κ κ δ + δ Òàê êàê â ïå âûõ äâóõ ñëàãàåìûõ ïîêàçàòåëü ñòåïåíè δ ìåíü å åäèíèöû, ï è ìàëûõ δ ñï àâåäëèâàîöåíêà δ κ <δ,èìîæíî çàïèñàòü: ( ( κ ( 2A 2A( κ 2A( κ ρ(t,δ δ + δ δ Èìûìîæåì âçßòü êîíñòàíòû: γ =1, C = 2A ( 2A( κ δ κ ( 2A( κ δ + Ñëó àé 1e K(T = Ae κt, κ > > Ôóíêöèß ρ(t,δ ìîíîòîííî âîç àñòàåò ïî T, è íà èíòå âàëå [, + ìèíèìóì äîñòèãàåòñß ï è T = Â òîé òî êå ôóíêöèß àâíà 2A Êîíñòàíòû ìû ìîæåì âçßòü: C = 2A, γ = Ñëó àé 1f K(T =Ae κt, κ = > Â òîì ñëó àå ôóíêöèß ρ(t,δ èìååò òîò æå âèä, òî è â ñëó àå 1c Îäíàêî çäåñü âû àæåíèå (31 âñåãäà ïîëîæèòåëüíî, è ïî òîìó ôóíêöèß ρ(t,δ ìîíîòîííî óáûâàåò Ñëåäîâàòåëüíî, åå ìèíèìóì äîñòèãàåòñß ï è T, ñò åìßùåìñß ê áåñêîíå íîñòè È â êà åñòâå êîíñòàíò ìû ìîæåì âçßòü C =, γ =1 Ñëó àé 1g K(T =Ae κt, >κ Çäåñü ôóíêöèß ρ(t,δ ìîíîòîííî âîç àñòàåò ïî T Ïî àíàëîãèè ñî ñëó àåì 1e ìû ìîæåì âûá àòü êîíñòàíòû C = 2A, γ = Ñëó àé 1h K(T =Ae κt, >>κ Çäåñü, êàê è â ñëó àå 1d, ìèíèìóì ôóíêöèè ï è ìàëûõ δ äîñòèãàåòñß â òî êå T = 1 ( 2A( κ κ ln δ Ï è δ< T 2A( κ ρ(t,δ= = òî êà T ëåæèò ñò îãî ëåâåå íóëß Íàéäåì çíà åíèå ôóíêöèè ρ(t,δ â òî êå δ ( 2A( κ δ ( (2A( κ δ κ δ + κ 1 + 2A ( 2A( κ δ ( 2A( κ δ κ = κ δ δ Òà ê êàê ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå îò èöàòåëüíî, ìû ìîæåì åãî îòá îñèòü Ïîñëå ã óïïè îâêè ñëàãàåìûõ îöåíêà ôóíêöèè áóäåò âûãëßäåòü ñëåäó ùèì îá àçîì: ρ(t,δ δ κ ( ( + Èìûìîæåì âçßòü òàêèå êîíñòàíòû: ( ( C = + κ κ ( 2A( κ δ ( 2A( κ δ κ κ, γ = κ κ
12 À Ë Áàãíî, À Ì Òà àñüåâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 Ñëó àé 1i K(T =Ae κt, κ >= Òàê êàê =, èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïå âîãî ñëàãàåìîãî â âû à æåíèè ôóíêöèè ρ(t,δ îá àùà òñß â íóëü Ï èìåíèì ï àâèëî Ëîïèòàëß è ïîëó èì: ρ(t,δ=t δ + 2Ae(κ T Ýòà ôóíêöèß ìîíîòîííî âîç àñòàåò, çíà åíèå ρ(,δ= 2A àâíû: C = 2A, γ = Ñëåäîâàòåëüíî, êîíñòàíòû áóäóò Ñëó àé 1j K(T =Ae κt, = = κ Çäåñü òàêæå =, è ôóíêöèß ρ(t,δ ï èíèìàåò òîò æå âèä Åå íàèìåíü åå çíà åíèå íàèíòå âàëå [, + àâíî 2A Êîíñòàíòû áå åì òå æå: C = 2A, γ = Ñëó àé 1k K(T =Ae κt, = >κ Ï è ìàëûõ δ ôóíêöèß äîñòèãàåò ìèíèìóìà, êîãäà Îòñ äà = κ ln ρ T δ 2A(κ (T,δ=δ e (κ T = T = 1 κ ln ρ(t,δ= ( 2A( κ κ ln δ ( 2A( κ δ + κ δ = ( 2A( κ δ δ + 2A ( ln κ ( 2A( κ δ ( 2A( κ Çàìåòèì, òî äëß ë áîãî γ èç èíòå âàëà (, 1 ( ( 2A( κ lim 1+ln δ 1 γ = δ δ Ïî òîìó äëß ìàëûõ δ ρ(t,δ= ( 1+ln κ ( 2A( κ δ δ 1 γ δ γ δ òî åñòü êîíñòàíòû ìîæåì âçßòü C =, γ (, 1 κ Ñëó àé 2a K(T =κt, Â òîì ñëó àå ôóíêöèß èìååò âèä ρ(t,δ=(e ( T δ 1 + 2CTe T κ κ = κ δγ, +1 δ Ëåãêî óâèäåòü, òî ρ(,δ=è òî ρ(t,δ > äëß âñåõ T > Ïî òîìó ìèíèìóì ôóíêöèè äîñòèãàåòñß ï è T =, è ìû ìîæåì âçßòü êîíñòàíòû C =, γ (, + Ñëó àé 2b K(T = κt, = Çäåñü, êàê è â ñëó àßõ 1i 1k, èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïå âîãî ñëàãàåìîãî ôóíêöèè àâíû íóë, è ôóíêöèß ï èíèìàåò âèä: ρ(t,δ=t δ + 2CTe T Åå ìèíèìóì äîñòèãàåòñß ï è T =, è ôóíêöèß â òîé òî êå àâíà íóë Ïî òîìó C =, γ (, +
Ñâîéñòâàôóíêöèè öåíû â çàäà àõ îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß 13 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 Ñëó àé 3a K(T = ke AeκT, Â òîì ñëó àå ôóíêöèß èìååò âèä Òà ê êàê åå ï îèçâîäíàß ρ(t,δ=(e ( T δ 1 2ke AeκT T ρ T (T,δ=δe( T + 2ke AeκT T ( Aκe κt +1 ñàìà ôóíêöèß ìîíîòîííî âîç àñòàåò è äîñòèãàåò ìèíèìóìà ï è T =: ρ(,δ= 2k e A Ñëåäîâàòåëüíî, C = 2k e A, γ = Ñëó àé 3b K(T = ke AeκT, = Ïî àíàëîãèè ñî ñëó àßìè 1i 1k è 2a Ï îèçâîäíàß ρ(t,δ=δt 2ke AeκT T ρ T (T,δ=δ + 2ke AeκT T ( Aκe κt +1 > Ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìóì ï è T =: ρ(,δ= 2k 2k È ìû ìîæåì âçßòü C = ea e A, γ = Òåî åìàäîêàçàíà >, ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1 Capuzzo Dolcetta IC, Ishii H Approximate solution of the Bellman equation of deterministic control theory // Appl Math Optimiz 1984 Vol 11 1 P 161 181 2 Nikol'skii MS Continuity and the ipschitz property of the Bellman function in some optimization problems on the semi-infinite interval [, + // Differential Equations 22 Vol 38 11 P 1599 164 3 Àäèàòóëèíà ÐÀ, Òà àñüåâ ÀÌ Äèôôå åíöèàëüíàß èã à íåîã àíè åííîé ï îäîëæèòåëüíîñòè // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà 1987 Ò 51 Âûï 4 Ñ 531 537 4 Èíò èëèãàòî Ì Ìàòåìàòè åñêèå ìåòîäû îïòèìèçàöèè è êîíîìè åñêàß òåî èß Ì: Àé èñ-ï åññ, 22 576 ñ 5 Ê àñîâñêèé ÍÍ, Ñóááîòèí ÀÈ Ïîçèöèîííûå äèôôå åíöèàëüíûå èã û Ì: Íàóêà, 1974 456 ñ 6 Ê ó âèö Ë Ôèíàíñè îâàíèå è èíâåñòèöèè ÑÏá: Ïèòå, 2 381 ñ 7 Ñóááîòèí ÀÈ Ìèíèìàêñíûå íå àâåíñòâà è ó àâíåíèß Ãàìèëüòîíà SSêîáè Ì: Íàóêà, 1991 216 ñ Ïîñòóïèëà â åäàêöè 271215 Áàãíî Àëåêñàíä Ëåîíèäîâè, àñïè àíò, êàôåä à ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè, Ó àëüñêèé ôåäå àëüíûé óíèâå ñèòåò, 6283, Ðîññèß, ã Åêàòå èíáó ã, ï Ëåíèíà, 51 E-mail: bagnoalexander@gmailcom Òà àñüåâ Àëåêñàíä Ìèõàéëîâè, ä ô-ì í, è î çàâåäó ùåãî îòäåëîì äèíàìè åñêèõ ñèñòåì, Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè èì Í Í Ê àñîâñêîãî Ó Î ÐÀÍ, 6299, Ðîññèß, ã Åêàòå èíáó ã, óë Ñ Êîâàëåâñêîé, 16 E-mail: tam@immuranru
14 À Ë Áàãíî, À Ì Òà àñüåâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 216 Ò 26 Âûï 1 A Bagno, A M Tarasyev Properties of the value function in optimal control problems with infinite horizon Keywords: optimal control, infinite horizon, value function, estimation of continuity modulus, asymptotic properties MSC: 49K15 The article investigates properties of the value function of the optimal control problem on infinite horizon with an unlimited integrand index appearing in the quality functional with a discount factor The estimate is derived for approximating the value function in a problem with the infinite horizon by levels of value functions in problems with lengthening finite horizons The structure of the value function is identified basing on stationary value functions which depend only on phase variables The description is given for the asymptotic growth of the value function generated by various types of the quality functional applied in economic and financial modeling: logarithmic, power, exponential, linear functions The property of continuity is specified for the value function and estimates are deduced for the HΞolder parameters of continuity These estimates are needed for the development of grid algorithms designed for construction of the value function in optimal control problems with infinite horizon REFERENCES 1 Capuzzo Dolcetta IC, Ishii H Approximate solution of the Bellman equation of deterministic control theory, Appl Math Optimiz, 1984, vol 11, no 1, pp 161 181 2 Nikol'skii MS Continuity and the ipschitz property of the Bellman function in some optimization problems on the semi-infinite interval [, +, Differential Equations, 22, vol 38, no 11, pp 1599 164 3 Adiatulina RA, Tarasyev AM A differential game of unlimited duration, J Appl Math Mech, 1987, vol 51, no 4, pp 415 42 4 Intriligator M Matematicheskie metody optimizatsii i ekonomicheskaya teoriya (Mathematical optimization methods and economic theory, Moscow: Airis press, 22, 576 p 5 Krasovskii NN, Subbotin AI Pozitsionnye differentsial'nye igry (Positional differential games, Moscow: Nauka, 1974, 456 p 6 Krushvits Finansirovanie i investitsii (Financing and investments, St Petersburg: Piter, 2, 381 p 7 Subbotin AI Minimaksnye neravenstva i uravneniya Gamil'tona Yakobi (Minimax inequalities and Hamilton Jacobi equations, Moscow: Nauka, 1991, 216 p Received 271215 Bagno Alexander eonidovich, Post-Graduate Student, Department of Applied Mathematics, Ural Federal University, pr enina, 51, Yekaterinburg, 6283, Russia E-mail: bagnoalexander@gmailcom Tarasyev Alexander Mikhailovich, Doctor of Physics and Mathematics, Acting Head of the Department of Dynamic Systems, NN Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul S Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 6299, Russia E-mail: tam@immuranru